Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

Par suite, comme K i est une union d’ensembles fermés deux à deux disjoints, si (4.11) est
satisfaite, alors nécessairement ϕ(un) → +∞ lorsque n → ∞, ce qui contredit le caractère
mimimisant de {un}. Un point fort de [16] est la généralité de l’approche qui conduit au
résultat. En particulier nous montrons que notre problème bidimensionnel peut être vu
comme un problème unidimensionnel abstrait. Pour u ∈ X i , la courbe u(·, y) est identifiée,
pour tout y ∈ R fixé, à un point et de même l’application y → γ(y) := u(·, y) est assimilée
à une courbe. L’estimation (4.12) apparait alors comme le pendant de l’estimation bien
connue pour les problèmes à une dimension (voir [R3])
p
s
1
2 | ˙q(x)|2
+ a(x)W (q(x)) dx ≥ 2µr|q(p) − q(s)|
qui est valable pour q ∈ E satisfaisant a(x)W (q(x)) ≥ µr, ∀x ∈ [s, p]. Dans notre analogie
le terme F (u(·, y)) − c(i) s’interprète comme un potentiel agissant au point u(·, y).
Notre travail a aussi été motivé par un article de Alama, Bronsard et Gui [ABG] où est
étudié le système autonome
−∆U(x, y) + ∇W (U(x, y)) = 0, pour (x, y) ∈ R 2 , (4.13)
avec U est un vecteur à deux composantes. Ce système est considéré dans le cadre du
modèle de Allen-Cahn qui décrit des phénomènes de transition de phases. L’équation
(4.13) est le terme dominant dans le développement autour d’un point de l’interface
séparant les deux phases. L’existence de solutions satisfaisant des conditions de bord
distinctes lorsque y → ±∞ est interprétée comme une possibilité que le profil de transition
varie tangentiellement le long de l’interface. Dans [ABG] une solution satisfaisant des
conditions de bord données par des minima du problème unidimensionel associé est aussi
construite. Même si l’équation (4.13) est autonome le résultat de [ABG] n’est pas en
contradiction avec la conjecture de De Giorgi ; des fonctions à valeur vectorielle sont
considérées par Alama, Bronsard et Gui. A l’opposé de notre approche directe, une
procédure d’approximation, à travers des domaines bornés de R 2 , est développée dans
[ABG]. Elle conduit à des calculs longs qui, nous le pensons, dissimulent les ingrédients
clefs qui garantissent l’existence de minima. Puisque (4.13) est autonome le problème de
[ABG] peut sembler plus difficile que le nôtre. Cependant la compacité manquante est
récupérée par l’addition de conditions fortes sur W , notamment de symétrie.
5 Suites de Palais-Smale bornées : [12,13,14,15]
Dans cette section, on considère une fonctionnelle I qui possède une géométrie de col.
On s’intéresse à la question de l’existence d’au moins une suite PS bornée au niveau
du col, et on développe une approche générique pour répondre à cette question qui est
très liée à celle de l’existence d’un point critique pour I. Cette approche est ensuite
appliquée pour trouver une solution d’une EDP posée sur R N dont le terme non-linéaire
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