Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

sur R N . Finalement le troisième est le début d’un travail intensif autour de l’équation
d’Allen-Cahn.
Solutions de normes prescrites : Je considère dans [8] un problème aux valeurs
propres non linéaire de la forme
m
−∆u(x) − ai|u(x)|
i=1
σÑi u(x) = λu(x), λ ∈ R, x ∈ R N
avec pour 1 ≤ i ≤ m, ai > 0 et 0 < σi < 4
N−2 si N ≥ 3, σi > 0 si N = 1, 2.
(4.1)
Le problème de l’existence de solutions pour (4.1), lorsque λ < 0 est fixé, a été résolu par
les travaux de Berestycki et Lions [BL1, BL2]. Nous considérons ici la question différente
de trouver des solutions normalisées, c’est à dire des solutions qui satisfont une condition
du type
R N |u(x)|2 dx = 1. Ces solutions présentent un intérêt pour les physiciens, car
(4.1) est liée à la recherche de certains types de solutions stationnaires dans des équations
de Klein-Gordon ou de Schrödinger (voir [BL1]). Plus précisement nous considérons, pour
chaque valeur de c > 0 fixée, le problème suivant :
(P )c Trouver un couple (uc, λc) ∈ H 1 (R N ) × R satisfaisant (4.1) avec ||uc|| L 2 (R N ) = c.
Ce problème a déjà été étudié par Stuart (voir [Stu1, Stu4]). Ses résultats couvrent des
non-linéarités plus générales que dans (4.1). Pour (4.1), il montre que si 0 < σi < 4
N pour
1 ≤ i ≤ m, alors (P )c a une solution pour tout c > 0. Définissons F : H 1 (R N ) → R par
F (u) = 1
2 RN |∇u(x)| 2 dx −
m
i=1
ai
σi + 2 RN |u(x)| σi+2
dx.
Il est bien connu que si uc ∈ H 1 (R N ) est un point critique de F sous la contrainte
u ∈ S(c) := {v ∈ H 1 (R N ) ; ||v|| L 2 (R N ) = c},
alors il existe un multiplicateur de Lagrange λc tel que (uc, λc) satisfait (4.1). Sous la
condition 0 < σi < 4 pour 1 ≤ i ≤ m, Stuart montre que
N
inf F (u) > −∞
u∈S(c)
et il obtient un point critique en prouvant que l’infimum est atteint (voir [Stu1, Stu4]).
Dans [8] nous étendons ce résultat en montrant que (P )c a une solution pour tout c > 0,
si pour tout 1 ≤ i ≤ m,
4
N < σi < 4
N − 2 si N ≥ 3 et σi > 4
N
si N = 1, 2
(dans le cas où la non-linéarité est de la forme |u| 4
N u le problème (P )c est ouvert). Ce
résultat s’obtient encore en cherchant un point critique de F sur S(c), mais la procédure
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