Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

On munit H := H 1 (R N ) de la norme standard ||u|| 2 = ||∇u|| 2 2 + ||u|| 2 2. On définit
||h|| H−1 = sup{
RN hu ; ||u|| = 1} et S = inf{||u|| 2 ; ||u||p = 1}.
Notre résultat principal s’énonce comme suit :
Théorème 4.1 On suppose (H0)-(H4), h ≥ 0 et
||h|| H−1 < ˜cS p
1
p−1
2(p−2) − −
où ˜c = a p−2 (p − 1) p−2 (p − 2)(1 − b) p−1
p−2 S p
2(p−2) . (4.4)
Alors (4.3) possède deux solutions positives.
Mentionnons que (4.3) n’a pas de solution positive lorsque h ≥ 0 et ||h|| H −1 est grand
(voir [CZ]). Nos deux solutions sont obtenues comme points critiques de la fonctionnelle
I définie sur H par
I(u) = 1
2 RN |∇u| 2 + u 2
−
RN
F (x, u) −
RN hu
où F (x, t) = t
0 f(x, s)ds. Comme on cherche des solutions positives, on pose f(x, t) = 0,
p.p. x ∈ RN pour t ≤ 0. Alors, quand h ≥ 0, tout point critique u de I satisfait
u ≥ 0. Par conséquent, pour obtenir le théorème, la partie difficile est d’obtenir deux
points critiques. Pour ce faire on doit surmonter un manque de compacité et la structure
dégénérée de l’ensemble M := {u ∈ H ; I ′ (u)u = 0} qui contient les points critiques.
Le problème d’obtenir deux solutions de (4.3) avait déjà été étudié dans une série d’articles
[CZ, Zhu, ZZ]. Il est très lié au travail de Tarantello [Ta] qui obtient deux solutions pour
le problème de Dirichlet
−∆u = |u| p−2 u + h (4.5)
posé sur un domaine borné régulier Ω ⊂ RN , N ≥ 3 avec p = 2N . Ici le manque de
N−2
compacité vient du choix particulier de p, qui donne lieu à un problème dit d’exposant
critique de Sobolev (voir [BN1]). Il y a bien sûr beaucoup d’autres exemples dans la
littérature où deux solutions, correspondant l’une à un minimum local et l’autre à un
point selle, sont obtenues. Concernant (4.3) les résultats les meilleurs étaient jusqu’ici
dûs à Cao et Zhou [CZ]. Comme dans le Théorème 4.1, ils obtiennent deux solutions
positives, mais outre (H0)-(H4) ils supposent que
f(x, .) ∈ C 2 ]0, +∞[ et ∂2
∂ 2 t f(x, t) ≥ 0, ∀x ∈ RN , ∀t ≥ 0
ainsi qu’une condition plus forte sur h. Cao et Zhou étudient d’abord le cas limite f(x, t) =
a|t| p−2 t + bt. Pour cette non-linéarité ils obtiennent une solution positive de (4.3) comme
minimum de I sous la contrainte M. Comme dans le cas général f(x, t) ≤ a|t| p−2 t +
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