Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

F (λ, ·), λ ∈]λ0, b[, nous savons que F (λn, ·) possède une suite BPS, {u m n } ⊂ V . Il est assez
standard de montrer que {u m n } converge, lorsque m → ∞, vers une solution non triviale
un de (P ). Comme dans [14] on voudrait montrer que ||un|| → 0 lorsque c(λn) → 0
et c ′ (λn) → 0. Cela prouverait le Théorème 5.4. Ce point est maintenant plus délicat
puisque la partie non quadratique de la fonctionnelle ne peut pas en général être contrôlée
par < L·, · >. Ce terme joue le rôle de la norme L 2 dans [14]. On surmonte cette difficulté
en contrôlant directement la partie non quadratique par la norme de H. C’est possible, si
l’on travaille dans une boule Bc(V ) suffisamment petite, puisque φ(u)u −2 → 0 lorsque
u → 0. Cette idée est liée à l’introduction de l’ensemble V dans [1,2] (voir section 2).
Nous avons résumé ici les grandes lignes de la preuve du Théorème 5.4 qui demande
en fait une utilisation optimum de nos hypothèses. La monotonie de λ → c(λ) dépend
de manière essentielle d’une interprétation variationnelle de la réduction de Lyapunov-
Schmidt. Aussi la convexité de φ n’était pas seulement utilisée précédemment pour faire
la réduction globale mais aussi pour obtenir les estimations à priori sur c(λ). Puisque
nous ne demandons pas dans [15] de convexité, la dérivation de ces mêmes estimations
demande de nouvelles idées.
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