Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

δ
1−
(A4) Il existe K > 0 tel que N(u) ≤ Kφ(u) 2 pour u ∈ Bε0.
(A5) N est compact.
Alors, il existe une suite {(λn, un)} ⊂]a, b[×H de solutions non triviales de (P ) telle que
λn → b et ||un|| → 0. En particulier, b est un point de bifurcation pour (P ).
La condition T (δ) peut sembler technique, mais dans les applications (sur (2.1) par exemple)
elle s’avère souvent nécessaire. Mentionnons qu’il y a dans [15] une version du
Théorème 5.4 où des non-linéarités non compactes sont permises.
Un intérêt majeur du Théorème 5.4 est sa généralité. Nous offrons dans [15] une approche
générale à la théorie de la bifurcation par méthodes variationnelles en l’absence
d’estimations à priori sur les suites PS associées. Lorsque nous l’appliquons à l’équation
(2.1) de la section 2, le Théorème 5.4 implique que b est un point de bifurcation sous les
mêmes hypothèses (H1)-(H5) introduites sur (5.3) pour prouver la bifurcation en λ = 0.
Nous renvoyons à [Tr] pour le résultat précédent le plus fin sur (2.1). Le résultat le
plus proche du Théorème 5.4, sous sa forme générale, est le Théorème 7.2 de [Stu5].
Dans [Stu5], (P ) est aussi étudiée et la bifurcation en b établie. Cependant, en plus de
(A1)-(A5), φ doit être globalement définie, convexe et il doit exister un p > 2 tel que
< N(u), u >≥ pφ(u) ∀u ∈ H et C, D > 0 tels que N(u) ≤ C + Dφ(u), ∀u ∈ H.
Les grandes lignes de la preuve du Théorème 5.4 sont les suivantes : tout d’abord on
montre que les solutions (λ, u) de (P ) pour λ proche de b et u petite sont de la forme
(λ, v + g(λ, v)) avec v ∈ V . La fonction g, définie dans un voisinage de (b, 0) ⊂ R × V ,
est obtenue par un théorème de fonction implicite. Après cette réduction de Lyapunov-
Schmidt, on définit la fonctionnelle F (λ, v) := J(λ, v + g(λ, v)) sur une (petite) boule
Bc(V ) := {v ∈ V ; v ≤ c} de V . La fonctionnelle F a la propriété que si v est un point
critique de F (λ, ·) alors v + g(λ, v) est un point critique de J(λ, ·). Pour pouvoir effectuer
la réduction on a besoin de (A2) mais, à la différence de [Stu5], aucune convexité n’est
requise puisque la réduction est seulement locale. On développe un argument variationnel
pour F (λ, ·) dans Bc(V ). En utilisant la condition T (δ), qui, combinée avec (H3), joue le
rôle de (H5) dans [14], on montre qu’il existe λ0 ∈]a, b[ tel qu’en posant
Γλ := {γ ∈ C([0, 1], Bc(V )) ; γ(0) = 0 , F (λ, γ(1)) < 0},
Γλ est non vide pour tout λ ∈ [λ0, b[ et
c(λ) := inf
max F (λ, γ(t)) > 0.
γ∈Γλ t∈[0,1]
Toujours en utilisant T (δ), on obtient, comme dans [H2, Stu5], des estimations sur le
comportement de c(λ) lorsque λ → b. Ces estimations, combinées avec l’observation
que la fonction λ → c(λ) est décroissante, nous permettent de montrer l’existence d’une
suite {λn} ⊂ ]a, b[, λn → b pour laquelle c(λn) → 0 et c ′ (λn) → 0. Par la géométrie de
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