Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

variationnelle est maintenant plus complexe. Le fait de passer de σi < 4
N à σi > 4
N modifie
complètement la géométrie de la fonctionnelle. Nous avons maintenant
inf F (u) = −∞
u∈S(c)
et donc il n’y a pas de minimum global. Nous montrons que F a une géométrie de col sur
S(c) c’est à dire qu’il existe u1, u2 ∈ S(c) tels que si
nous avons
Γ(c) := {g ∈ C([0, 1], S(c)) ; g(0) = u1, g(1) = u2}
γ(c) := inf
g∈Γ(c) max
s∈[0,1] F (g(s)) > max{F (u1), F (u2)}.
Ce résultat qui est obtenu en utilisant une inégalité de type Gagliardo-Sobolev et le
caractère autonome de (4.1) est à notre connaissance le seul exemple dans la littérature,
de fonctionnelle, dont on montre qu’elle possède une géométrie de col sur une contrainte.
Le principe d’Ekeland garantit l’existence d’une suite PS, {vn} ⊂ S(c) telle que, si n → ∞,
F (vn) → γ(c) et F ′
|S(c)(vn) → 0. (4.2)
Si vn → vc pour un vc ∈ H 1 (R N ), (P )c est résolu. Une première étape pour obtenir la
convergence est de prouver que {vn} est bornée. Une fois de plus nous sommes confronté
à l’absence d’estimations à priori sur les suites PS. Nous rappellons qu’une difficulté
identique avait été surmontée dans [ABe] en utilisant le “monotonicity trick” de Struwe.
Il n’est pas clair que cette idée peut s’appliquer ici et de long calculs seraient de toute facon
nécessaires. Nous proposons dans [8] une approche nouvelle qui repose sur l’introduction
de la fonctionnelle auxiliaire ˜ F : H 1 (R N ) × R → R définie par
˜F (u, s) = e2s
2
R N
|∇u(x)| 2 dx − 1
e sN
m
i=1
ai
σi + 2 RN |e sN
2 u(x)| σi+2
dx.
Sur la contrainte élargie S(c) × R, ˜ F a la même géométrie que F . En effet pour les u1, u2
précédemment introduit, si
on a
˜Γ(c) := {h ∈ C([0, 1], S(c) × R) ; h(0) = (u1, 0), h(1) = (u2, 0)}
γ(c) = ˜γ(c) := inf
max
h∈˜ Γ(c) t∈[0,1]
˜F (h(t)) > max{ ˜ F (u1, 0), ˜ F (u2, 0)}.
Maintenant en appliquant sur ˜ F le principe de localisation utilisé dans [7] on construit
pour F , une suite bornée {un} ⊂ S(c) satisfaisant (4.2).
L’introduction de ˜ F permet d’incorporer dans la procédure variationnelle l’information
que toutes les solutions faibles de (4.1) satisfont l’identité de Pohozaev. Plus généralement,
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