Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

Pour poursuivre la preuve comme dans le cas (1), on doit montrer que {un} est bornée.
Par définition de F et puisque F (un) → c nous avons
Aussi F ′ (un) → 0 s’écrit
||un|| 2 − 2 p+1
||un|| p+1 → 2c. (1.8)
p + 1
−∆un − |un| p−1 un → 0 dans H −1 . (1.9)
En multipliant (1.9) par un et en intégrant sur Ω on obtient
||un|| 2 − ||un|| p+1
p+1
≤ εn||un|| (1.10)
avec εn → 0 lorsque n → ∞. Maintenant, puisque p > 1, la différence d’homogénéité
entre (1.8) et (1.10) implique que {||un||} est bornée. Donc, comme précédemment, on
peut supposer que un ⇀ u dans H et que
un → u dans L q (Ω) pour tout q ∈ [1, 2N
[. (1.11)
N − 2
L’étape suivante consiste à montrer que un → u dans H. Puisque un → u dans L p+1 (Ω)
nous savons, en utilisant (1.10), que ||un|| 2 → ||u|| p+1
p+1. De plus, par (1.9), il vient que
Ω
∇un∇u −
Par définition de la convergence faible
Ω
Ω
∇un∇u →
|un| p−1 unu → 0. (1.12)
|∇u|
Ω
2 = ||u|| 2
et, grâce à (1.11), à la convergence faible et à l’inégalité de Hölder,
Ω
|un| p−1
unu →
Ω
|u| p+1 = ||u|| p+1
p+1.
On conclut maintenant, grâce à (1.12), que ||u|| 2 = ||u|| p+1
p+1. Puisque ||un|| 2 → ||u|| p+1
p+1 il
vient finalement que ||un|| 2 → ||u|| 2 . Cela prouve (voir Proposition III.30. de [Br]) que
un → u dans H et comme F et F ′ sont continues, u est un point critique de F au niveau
du col c. Puisque c > 0 = F (0), u est non trivial.
(3) p = N+2 : Dans ce cas la fonctionnelle F possède encore une géométrie de col. De plus
N−2
toutes les suites PS sont bornées. En particulier, il existe {un} ⊂ H telle que F (un) → c,
F ′ (un) → 0 et un ⇀ u dans H. La différence avec le cas (2) est que un ⇀ u n’implique
plus que un → u in L p+1 (Ω). L’inclusion H ↩→ L 2N
N−2 (Ω) n’est pas compacte. Ce n’est pas
seulement une difficulté technique ; une conséquence de l’identité de Pohozaev (voir [P])
est que F n’a pas de point critique au niveau c (sur un domaine Ω étoilé).
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