université de montréal développement de la méthode sn à schémas ...

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Pour cela, on reprend le cas test utilisé dans le paragraphe [2.2.3.1]. On raffine le maillage
de manière uniforme en X, Y et en Z d’un facteur α et l’on compare l’écart relatif en
norme infini sur l’erreur pour les flux calculés. La valeur de référence est prise pour un
raffinement maximal, correspondant aux résultats issus des calculs faits avec le schéma
cubique et un raffinement spatial de 6. Ceci introduit de fait une approximation dans
nos calculs, mais l’on peut néanmoins considérer notre solution S N issue de ce calcul
comme une bonne approximation de la valeur convergée.
On a de fait la relation e i = Kɛ M i , d’où :
log(e i ) = log(K) + Mlog(ɛ i )
(I.6)
Si l’on trace le graphe du logarithme de l’erreur en fonction du logarithme du pas ɛ i , on
doit obtenir une droite dont le coefficient directeur correspond à l’ordre de convergence
de notre méthode.
Lorsque l’on subdivise uniformément le maillage initial d’un facteur α, ce qui est équivalent
à multiplier le nombre de régions par α D avec D=3 dans le cas d’une géometrie
3D, l’erreur globale est réduite d’un facteur α −M .
En effet, pour un ordre M l’erreur sur les valeurs sera de O(ɛ M ), ɛ correpondant au pas
du maillage. Si l’on divise ɛ par un facteur α, l’erreur de troncature locale sera désormais
de O( ɛM
α M ). Le rapport des deux erreurs de troncature sera alors de O(α−M ). Etant
donné un schéma d’intégration d’ordre M, on aura pour chaque écart relatif sur les flux
ɛ i les propriétés suivantes :
ɛ i = O((N regionsi ) −M ) ⇔ ∃K > 0 | ɛ i = K(N regionsi ) −M (I.7)
Et :
log(ɛ i ) = log(K) − Mlog(N regions )
(I.8)