université de montréal développement de la méthode sn à schémas ...

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On a introduit la notation suivante pour les moments des flux et de la source :
et :
Φ (α,β,γ)
n,i,j,k = ∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
∫ 1/2
duP α (u) dvP β (v) dwP γ (w)Φ n,i,j,k (u, v, w) (2.10)
−1/2
−1/2
∫ 1/2
∫ 1/2
∫ 1/2
Q (α,β,γ)
l,i,j,k
= duP α (u) dvP β (v) dwP γ (w)Q l,i,j,k (u, v, w) (2.11)
−1/2
−1/2
−1/2
L’étape suivante de notre procédure de discrétisation est de multiplier l’équation (2.6)
par les polynômes normalisés de Legendre.
pour 0 ≤ α ≤ M , 0 ≤ β ≤ M , 0 ≤ γ ≤ M, on obtient :
∫
µ 1/2 ∫ 1/2
n
duP α (u)
∆x i −1/2
∫
η 1/2
n
duP α (u)
∆y j −1/2
∫
ξ 1/2
n
duP α (u)
∆z k −1/2
∫ 1/2
Σ i,j,k duP α (u)
−1/2
∫ 1/2
−1/2
duP α (u)
−1/2
∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
∫ 1/2
dvP β (v)
dvP β (v)
dvP β (v)
−1/2
dvP β (v)
dvP β (v)
−1/2
∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
dwP γ (w) ∂Φ n,i,j,k
(u, v, w)+
∂u
dwP γ (w) ∂Φ n,i,j,k
(u, v, w)+
∂v
dwP γ (w) ∂Φ n,i,j,k
(u, v, w)+
∂w
−1/2
dwP γ (w)Φ n,i,j,k (u, v, w) =
dwP γ (w)Q n,i,j,k (u, v, w). (2.12)
On utilise les notations suivantes pour les moments des flux aux frontières de la cellule :
Φ (∗,β,γ)
n,i±1/2,j,k = ∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
dvP β (v) dwP γ (w)Φ n,i,j,k (±1/2, v, w) (2.13)
−1/2
Φ (α,∗,γ)
n,i,j±1/2,k = ∫ 1/2
−1/2
∫ 1/2
duP α (u) dwP γ (w)Φ n,i,j,k (u, ±1/2, w) (2.14)
−1/2