11Géométrie dans l'espace - Didier

49 1. a. ADC est un triangle rectangle en D.b. P= ( 13+85) cm . S=21 cm 2 .2. a. x ∈ [ 0 ; 4].b. Face DCGH (réduite à 95 %) :HJLG451 • La pyramide est régulière, doncHD = HC = HB = HA ;H est le centre du carré ABCD.aComme I est le milieu de [ BC] , HI = -- .2• Dans le triangle SHI, rectangle en H,SI 2 SH 2 HI 217= + donc SI = --------- a.2• Dans le triangle SBC isocèle en S, (SI) est la hauteurissue de S donc SIB est un triangle rectangle en I.d’où SB 2 SI 2 IB 2 9= + = -- a ; donc .22 SB = 3 --------- 2 a2DC7c. Le rapport de réduction k du triangle ADC au triangleJKL est k = -------- .JLDCD’après le théorème de Thalès appliqué dans le triangleDCH :JL HJ xk = -------- = --------- = -- .DC HD 4xxd. p( x ) = -- P et ax ( ) = ----- 2S .4163. Allure des courbesyPp(x)Sa(x)52 1. Le plan médiateur de [ AC] est SBS′D, donc ladroite ( SS′ ) est orthogonale à ( AC).De même ( SS′ ) est orthogonale à ( BD) donc ( SS′ )est orthogonale au plan ABCD.1Dans le carré ABCD, on calcule : OI = -- AB = 5 cm.2Dans le triangle équilatéral ABS, en calcule :3SI = ------ AB = 5 3 cm .2Dans le triangle OSI rectangle en O, on calcule :SO = SI 2 – OI 2 = 5 2 cm .La hauteur de l’octaèdre est alorsSS′ = 2SO = 10 2 cm (par symétrie, O est milieu de[ AC] , donc aussi de [ SS′ ]).2. Dans le triangle OIS rectangle en O,OS 2sin OIS = ------- = -- d’où OIS 54,74°IS 3Le triangle SIS′ étant isocèle en S,SIS′ = 2OIS 109,47° .O 1 2 3 414. a. p( x ) -- P ⇔ x 2 .21b. ax ( ) -- S ⇔ x .22 8 ⇔ x 2 250 En appliquant la relation de Pythagore dans chacundes 3 triangles rectangles en A, on obtient :AD 2 + AC 2 = 14 2 ; AD 2 + AB 2 = 12 2 ;AC 2 + AB 2 = 10 2 .En sommant ces 3 relations, on trouve :2AD ( 2 + AC 2 + AB 2 ) = 440donc AD 2 + AC 2 + AB 2 = 220 .Par comparaison avec les 3 relations précédentes, ontrouve :AB 2 = 220 – 14 2 = 24 ; AC 2 = 76 ; AD 2 = 120 .D’où AB = 2 6 ; AC = 2 19 ; AD = 2 30 .xAPPROFONDISSEMENT53 La construction au fur et à mesure est disponiblesur le CD-Rom.NAEDHPFBMGC10 ➥ chapitre 11 Géométrie dans l’espace