11Géométrie dans l'espace - Didier

15 1.H GGH D CGLa droite ( DH) étant orthogonale aux 2 droites ( AB)et ( AC) , ( DH)est orthogonale au plan ABC et passepar le sommet D.6. a. Lorsqu’on referme le patron, les points B′ et Dcoïncident, donc B′P=DP.b. DHP est un triangle rectangle en H doncDP > PH ; ce qui donne B′P>PH.c. De même, A′Q> QH et C′R>RH.EA12. Le volume de la pyramide EGBF est V 1= -- ⋅ h3où est l’aire du triangle rectangle EFB et h = FG.1 FBD’où V 1-- ⋅ EF 1= -------------------- ⋅ FG = -- a .3 2 635Donc le volume du solide ABCDEGH est -- a .6316 1. Un tétraèdre réguliera 4 faces et 6 arêtes.2. Chaque face est un triangleéquilatéral.3. Figure ci-contre.17 CEDABCDBD19 1. a. Les droites ( DC) , ( EF) , ( HG)sont parallèlesà ( AB).b. Les droites ( BF) , ( GC) , ( HD)sont parallèles à( AE).c. Les droites ( BC) , ( FG) , ( EH)sont parallèles à( AD).2. a. ( AB) et ( HG)sont coplanaires.b. ( AC) et ( DF)ne sont pas coplanaires.20 1. a. K appartient au plan ( ACD), mais pas auplan ( BCD) , car K est sur la droite ( AC)sécante auplan ( BCD) en D et K≠D.b. De même, L ∈ ( ABD)et L ∉ ( ABC).2. I et K sont dans le plan ( ABD); donc les droites( IK) et ( BD)sont coplanaires.Dans le triangle ABD, I est le milieu de [ AB], donc( IK) n’est pas parallèle à ( BD)car K n’est pas lemilieu de [ AD].Par suite, ( IK) et ( BD)sont sécantes.3. a. D∉( ABC), donc ( AD) et ( BC)sont noncoplanaires, donc non sécantes.b. c. et d. De même les droites sont non coplanaires.AKJD21 1. a. Droites parallèles à ( AB) : ( DC) , ( IJ),( LK).b. Droites parallèles à ( AD) : ( JK) , ( IL) , ( BC).c. Aucune droite.2. ( IJ) et ( LK) sont parallèles au plan ( ABC), ainsique toute droite du plan ( ABCD).22 1.AIC I B I C18 1. A′C= 5,4 ; B′C= 6,5 ; AC′ = 7 .2. à 4. Voirfigure.A5. [ HD]est lahauteur du BPtétraèdre carH R( AC) ⊥ ( B′H),donc( AC) ⊥ ( DH).De même( AB) ⊥ ( DH).C Q BACKIJDBC2. ( IJ) et ( JK)sont 2 droites sécantes et parallèlesrespectivement aux droites ( BC) et ( CD). Doncd’après la propriété 6, les plans ( IJK) et ( BCD)sontparallèles.3. Les droites ( IK) et ( BD)sont inclues dans le plan( ABD) . De plus, ( IK) est inclue dans le plan ( IJK)et ( BD) dans le plan ( BCD) . Les plans ( IJK)et( BCD) étant parallèles, on en déduit que ( IK)et( BD)sont parallèles.6 ➥ chapitre 11 Géométrie dans l’espace