11Géométrie dans l'espace - Didier

39EADHFBIGCA appartient auplan ABG et auplan passant parC et contenant( AF).I appartient à ladroite ( BG),donc au plan( ABG).44 a. La droite ( MA)est orthogonale au plan P,donc orthogonale à la droite ( DB)de ce plan.b. ( DB) est orthogonale à ( AC)(propriété d’uncarré).Donc ( DB)est orthogonale aux 2 droites sécantes( AC) et ( AM).Par suite, ( DB) est orthogonale au plan ( AMC)etdonc à toute droite de ce plan et en particulier la droite( MC).I appartient au plan ( AFC) car I ∈ ( FC)donc l’intersectioncherchée est la droite ( AI).40 Il suffit de respecter le parallélisme des rayons dusoleil. Pour une illustration dynamique, vous pouvezutiliser le CD-Rom.45 1. Comme ABC est un triangle équilatéral, H estle milieu de [ BC].Dans le triangle équilatéral BCD, ( HD)est unemédiane de ce triangle, donc également la hauteurissue de D.2. ( BC) est orthogonale à ( AH) car ( AH)est unehauteur du triangle ABC.De même, ( BC) est orthogonale à ( DH) car ( DH)est une hauteur du triangle BCD.Donc ( BC) est orthogonale au plan ( ADH), car elleest orthogonale aux 2 droites sécantes ( AH) et ( DH)de ce plan.3. ( BC)est donc orthogonale à toute droite du plan( ADH) et en particulier à la droite ( AD).On montre de même que ( AB)est orthogonale à( CD) et que ( BD) est orthogonale à ( AC).41 a. Droites orthogonales à ( AB) : ( AD) , ( EH),( FG) , ( BC) , ( AE) , ( BF) , ( DH) , ( CG).b. Droites orthogonales à ( AE) : ( EH) , ( AD),( BC) , ( FG) , ( AB) , ( DC) , ( EF) , ( HG).c. Droites orthogonales à ( AD) : ( AE) , ( AB),( EF) , ( DC) , ( HG) , ( BF) , ( CG) , ( HD).42 a. Droites orthogonales à ( AB) : ( AD) et ( BC).b. Droites orthogonales à ( AD) : ( AB) et ( DC).c. Aucune.43 1.Étape 1 2 3 4 5Outil( 1) ( 2) ( 5) ( 4) ( 5)2. Étape 1 : ( BG) et ( CF)sont orthogonales.Étape 2 : ( BG) et ( EF)sont orthogonales.Étape 3 : ( BG) est orthogonale au plan ( ECF).Étape 4 : ( BG) est orthogonale à ( EC).3. ( EC) est orthogonale à ( BG) et à ( DG).D’après la propriété 4 de la boîte à outils, ( EC)estorthogonale au plan ( BDG).46 1. Dans le triangle isocèle ABC ( AB = AC), lamédiane issue de A est également une hauteur de cetriangle.Donc ( AI) et ( BC)sont orthogonales (I est le milieude [ BC]).2. Même raisonnement dans le triangle CDB : ( DI)et( BC)sont orthogonales.3. On en déduit que ( BC)étant orthogonale aux2 droites sécantes ( AI) et ( DI) , ( BC)est orthogonaleau plan ( AID).Par suite, ( BC)est orthogonale à toute droite de ceplan, et en particulier à ( AD).47 La longueur de la diagonale d’une face d’un cubede côté a est 2a .Longueur de la diagonale [ AG]:ACGE est un rectangle de côtés de longueur a eta 2 . Donc AG = 3a .48 Les arêtes du tétraèdre ACBD sont des diagonalesdes 6 faces du cube. Elles ont donc toutes même longueur.Donc ACBD est un tétraèdre régulier.chapitre 11 Géométrie dans l’espace ➥9