11Géométrie dans l'espace - Didier

. La droite ( BD)est donc orthogonale aux 2 droitessécantes ( AM) et ( CM) ; donc ( BD)est orthogonaleau plan ( ACM).Par suite ( BD)est orthogonale à toute droite de ceplan, en particulier à ( AC).Comme ( IJ) // ( AC) et ( IL) // ( BD), on en déduitque ( IJ) et ( IL)sont orthogonales.c. IJKL est un losange tel que 2 côtés consécutifs sontorthogonaux, donc IJKL est un carré.a4. L’aire de IJKL vaut -- .⎝ ⎛ 2⎠⎞ 2 = a ----2462 1. Appelons a la longueur AD.Comme ABD, ABC, ADC sont des triangles isocèlesen A, AB = AD = AC = a .Comme ces triangles sont aussi rectangles en A,BD = 2a = DC = CB .Donc BDC est un triangle équilatéral.2. ( DA) est orthogonale à ( AB) et à ( AC)donc( DA) est orthogonale au plan ( ABC).Donc ( DA) est orthogonale à la droite ( BC)contenuedans ce plan.3. Comme ( DH)est une hauteur du triangle BDC,( DH) est orthogonale à ( BC) . ( BC)est donc orthogonaleà ( DH) et à ( AD), sécantes en D.Donc ( BC) est orthogonale au plan ( ADH)et parsuite ( BC) est orthogonale à la droite ( AH)du plan( ADH).4. ( AB) est orthogonale à ( AD) et à ( CA), donc( AB) est orthogonale au plan ( ACD)d’où l’orthogonalitédes 2 droites ( AB) et ( CD).( BH)est la hauteur issue de B du triangle BCD ; donc( BH) est orthogonale à ( CD).On en déduit que ( CD) est orthogonale à ( BH)et à( AB) , donc au plan ( ABH).Par suite ( CD) et ( AH)sont orthogonales.En reprenant le résultat de la question 3, ( AH)étantorthogonale aux droites sécantes ( CD) et ( BC),( AH) est orthogonale au plan ( BCD).5. a. Le tétraèdre peut être vu comme un cône de sommetC et de base ABD.Comme ( AC) est orthogonale à ( ABD), AC est lahauteur du tétraèdre,donc V 1 , d’où .3 -- ⎛a ----2 ⎞ 1= a = -- a⎝ 2 ⎠ 63 V = 32 ----- cm33b. BCD est un triangle équilatéral de côtéb = 2a = 4 2 cm,3donc S = ------ b .22 = 3a 2 = 16 3 cm 2c. Comme ( AH) est orthogonale au plan ( BDC), onpeut voir le tétraèdre comme un cône de base ( BDC)et de sommet A, avec AH la hauteur de ce cône.Donc V=S⋅AH.3 2On en déduit que AH = ------ a = -- 3 cm .18 963 1. Le cône C Aa pour patron 1 et C Bpourpatron 2.12. V A-- OB32 y⋅ OA2 x= = ------------31et V B-- OA32 x⋅ OB2 y= = ------------3Vdonc A y------- = -- .V Bx3. Le périmètre de base du cône C Aest 2OB = 2yet celui de C B, 2OA = 2x .2y 2y4. Pour le patron 1, 1= --------- = --------------------- .R x 2 + y 22xPour le patron 2, 2= --------------------- .x 2 + y 25. S A= y x 2 + y 2 et S B= x x 2 + y 2Sdonc A y V------ = -- = ------- A.S B x V BRemarque : On applique ces résultats avec x = 4 cmy = 3 cm.64 21. L’angle O 1OO 2a pour mesure en radians ------ .52.O avec = 2 ------ .52CommeO 1 O 2 = 6 cm , Osin -- 1H= ------------2 OO 1O 1 HO 23d’où OO 1= ------------ .sin ---53. a. O′O 1= 6 cmdonc OO′ O′O2 1O′O 2 9= – = 36 – ---------------.sin 2 ---5b. Les 2 boules jaunes sont donc distantes de2OO′ – 6 cm , soit environ 0,3 cm.etchapitre 11 Géométrie dans l’espace ➥13