fiche - Secondaire - De Boeck

4. Comment résoudre un système par substitution ?
Exemple
Soit le système
⎧
⎪3x−
y= 11(
A)
⎨
⎩⎪ 2x− 5y= − 36 ( B)
.
Dans l’équation (A), on isole y dans le premier membre. On trouve y = 3x – 11.
Dans l’équation (B), on remplace y par 3x – 11. Le système devient
⎧
⎪y=
3x− 11 ( A)
⎨
⎩⎪ 2x−5( 3x− 11) =− 36(
B)
.
On résout l’équation qui ne contient qu’une inconnue
2x – 15x + 55 = – 36
– 13x = – 91
x = 7
On remplace x par sa valeur dans (A). On trouve y = 10.
La solution est le couple (7 , 10).
Cette méthode est commode lorsqu’une des deux inconnues a comme coefficient 1 dans au
moins une des deux équations. On l’appelle méthode par substitution. Il s’agit en effet de
substituer (c’est-à-dire de remplacer) une inconnue dans une équation par sa valeur calculée
dans l’autre.
5. Comment reconnaître un système impossible ?
Exemple
⎧2x+
4y= 4
⎨
⎩⎪ 4x+ 8y= 12
Isolons x dans la première équation. On a
⎧x=
2−2y ⎨
⎩⎪ 42 ( − 2y) + 8y= 12
Lorsque l’on regroupe les termes qui contiennent y, dans le premier membre de la
seconde équation, on trouve
– 8y + 8y = 4
0y = 4.
Quelle que soit la valeur de y, le produit 0y ne vaudra jamais 4. Il est impossible de
trouver une solution à ce système.
En observant les données, on constate que les rapports entre les coefficients des
inconnues est le même mais n’est pas égal au rapport entre les termes indépendants
⎛ 2 4 4 ⎞
= ≠
⎝
⎜ 4 8 12⎠
⎟
. Les droites qui représentent ces équations ont même pente, elles
sont parallèles.
Synthèse
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