fiche - Secondaire - De Boeck

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4. Comment résoudre un système par substitution ? Exemple Soit le système ⎧ ⎪3x− y= 11( A) ⎨ ⎩⎪ 2x− 5y= − 36 ( B) . Dans l’équation (A), on isole y dans le premier membre. On trouve y = 3x – 11. Dans l’équation (B), on remplace y par 3x – 11. Le système devient ⎧ ⎪y= 3x− 11 ( A) ⎨ ⎩⎪ 2x−5( 3x− 11) =− 36( B) . On résout l’équation qui ne contient qu’une inconnue 2x – 15x + 55 = – 36 – 13x = – 91 x = 7 On remplace x par sa valeur dans (A). On trouve y = 10. La solution est le couple (7 , 10). Cette méthode est commode lorsqu’une des deux inconnues a comme coefficient 1 dans au moins une des deux équations. On l’appelle méthode par substitution. Il s’agit en effet de substituer (c’est-à-dire de remplacer) une inconnue dans une équation par sa valeur calculée dans l’autre. 5. Comment reconnaître un système impossible ? Exemple ⎧2x+ 4y= 4 ⎨ ⎩⎪ 4x+ 8y= 12 Isolons x dans la première équation. On a ⎧x= 2−2y ⎨ ⎩⎪ 42 ( − 2y) + 8y= 12 Lorsque l’on regroupe les termes qui contiennent y, dans le premier membre de la seconde équation, on trouve – 8y + 8y = 4 0y = 4. Quelle que soit la valeur de y, le produit 0y ne vaudra jamais 4. Il est impossible de trouver une solution à ce système. En observant les données, on constate que les rapports entre les coefficients des inconnues est le même mais n’est pas égal au rapport entre les termes indépendants ⎛ 2 4 4 ⎞ = ≠ ⎝ ⎜ 4 8 12⎠ ⎟ . Les droites qui représentent ces équations ont même pente, elles sont parallèles. Synthèse 73
74 Lorsqu’un système ne possède aucune solution, on dit que ce système est impossible. Les droites qui représentent ces équations sont parallèles. Énoncé 5.1 On peut prévoir qu’un système est impossible en réduisant les deux équations et en les explicitant par rapport à y. Si les coefficients angulaires sont identiques et si les termes indépendants ne le sont pas, alors le système est impossible. Ces équations sont représentées par des droites parallèles. 6. Comment reconnaître un système indéterminé ? Exemple ⎧2x+ 5y= 6 ⎨ ⎩⎪ 4x+ 10y= 12 Après les calculs habituels, on obtient l’égalité 0y = 0. Quelle que soit la valeur que l’on donne à y, cette égalité sera vraie. Elle revient à zéro égale zéro. Il y a donc une infinité de solutions. On dit aussi que le système est indéterminé. Les droites qui représentent ces équations sont confondues. En observant les données, on constate que les rapports entre les coefficients des inconnues et des termes indépendantes sont égaux 2 ⎛ 5 6 ⎞ = = ⎝ ⎜ 4 10 12⎠ ⎟ . Énoncé 5.2 On peut prévoir qu’un système dont les équations sont réduites est indéterminé en examinant les coefficients des inconnues et des termes indépendants respectifs. S’ils sont proportionnels, alors le système est indéterminé et les deux équations sont représentées par la même droite. 5. Systèmes d’équations
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