pdf, 1156 KB - APC

Preuve. En prenant comme point de départ la définition de la distribution passive, basée sur la fonctionde pondération ~ k (u), nous pouvons écrireZ~P (k)X(t; f )=f 2(r+1),q ~ k (u) X (f k (u)) X (f k (,u)) e i2tfk(u) du (4.51)Z= f 2(r+1),q ~k (u) k (u)Z f2(r+1),q=_ k (u)hi k (u) X (f k (u)) X (f k (,u)) e i2tfk(u) du (4.52)h k (u) X (f k (u)) X (f k (,u))ie i2tf k(u) du; (4.53)de telle sorte que cela fasse apparaître la fonction de pondération k (u) de la distribution activeassociée. En utilisant alors le fait que, pour k 0, la fonction k (u) = k (u) , k (,u) est bijectivede R vers R, on peut faire le changement de variable u = ,1k (v) pour exprimer P ~ (k)X(t; f ) commeune transformée de Fourier ordinaire. Nous obtenons alorsZ "f2(r+1),q~P (k)X (t; f k ( ,1)= k (v)) ,_ k ( ,1k (v)) _ k ( X f k ( ,1 (v)) , ,1k (v)) kX f k (, ,1 (v))# ke i2tfv dv=Z= f(4.54)G k (s) P (k)Xt , s f ;f ds (4.55)ZG k (f (t , )) P (k)X(; f) d; (4.56)avecG k (s) ===ZZZ1e_ i2sv dv (4.57)k (k ,1 (v))ddv,,1k (v) e i2sv dv (4.58)e i2s k (u) du; (4.59)d’oùlerésultat.Étant donné une distribution active, sa contrepartie passive apparaît alors comme une version filtréede celle-ci, la réponse impulsionnelle G k du filtre étant dépendant de la fréquence (la “largeur” entemps équivalente de G k variecommel’inversedelafréquence). Dans le cas général (k quelconque),aucune expression analytique n’existe pour G k . Remarquons néanmoins que dans le cas où k = ,1(,1(u) =e u=2 , distribution de Unterberger [14]), nous avons explicitementG,1(s) =Z1q e i2sv dv (4.60)1+ v2 4=4K 0 (4jsj); (4.61)136