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on arrive finalement au résultat" f (r) = j 1 2 j 2,2+c 2 +(1+8c) jbj2 ca jbj2 ,2#ca +4exp ,jbj 2 =a + c : det , a 3 aa(C.25)NSi y est un vecteur centré, i.e., lorsque s =0, nul besoin de se restreindre à une valeur précise def (r) = Q N,1 n=1 n 2 N det ,ZZjy 1 j 2N,2 exp , ,ajy 1 j 2 dRefy 1 gdImfy 1 g;(C.26)le calcul général (C.20) peut être conduit à terme, et conduit à Q N,1 2 (N , 1)! n=1 nf (r) = N,1 det ,y r ,,1 r N:(C.27)160
DLaméthode de la phase stationnaireLe principe de phase stationnaire est souvent invoqué lorsdel’évaluation du spectre de Fourierd’un chirp. Cette annexe a pour but de considérer ce problème en détail, et de s’intéresser en particulierau contrôle quantitatif de l’erreur d’approximation correspondante, ce qui nous sera utile auChapitre 4. Une analyse détaillée conduit à l’introduction d’un critère plus précis mais plus compliquéque celui produit par les conditions heuristiques qui sont généralement considérées dans ce contexte.Il est également mis en évidence par l’intermédiaire de deux contre-exemples appartenant à l’importanteclasse des chirps en loi de puissance, que — en opposition à des croyances habituelles — lesconditions heuristiques ne sont ni nécessaires, ni suffisantes pour la validité de l’approximation dephase stationnaire. Le travail fait ici que l’on peut retrouver dans [26] est une entité ensoi.C’estla raison pour laquelle cette annexe a été écrite de manière à ce qu’elle puisse être lue et compriseindépendamment du reste du document.D.1 Quelques rappelsPar définition, un chirp est un signal de la formex(t) =a(t) expfi'(t)g;(D.1)où a(t) est une fonction d’amplitude aux variations douces et donc l’évolution est lente comparée auxoscillations du terme de phase expfi'(t)g.Rappelons cela se traduit formellement par les deux conditions de la Définition 1 (du Chapitre 4)" 1 =_a(t)a(t) _'(t) 1; " 2 = '(t)_' 2 (t) 1;(D.2)qui caractérisent x(t) en tant que chirp.Bien que la définition d’un chirp se donne généralement en temps (comme dans (D.1)), de nombreusesapplications appellent une description équivalente en fréquence [27, 25, 36]. Pour ce faire,il est habituel de faire appel à l’approximation de phase stationnaire en supposant plus ou moinsexplicitement que les conditions (D.2) régissent l’efficacité de l’approche.D.2 Approximation de phase stationnaire des spectres des chirpsLe principe de phase stationnaireL’argument de phase stationnaire peut être formulé comme suit. Soit I une intégrale oscillante dela formeI =Zb(t) e i (t) dt;(D.3)où b(t) > 0 et (t) sont C 1 , entendu que suppf (t)g est restreint à un intervalle R sur lequelb(t) est intégrable. En supposant que b(t) varie lentement relativement aux oscillations contrôléespar (t), les valeurs positives et négatives de l’intégrande tendent à s’annuler réciproquement, avecla conséquence que la contribution principale de I provient seulement du voisinage des points où ladérivée de la phase est nulle.161
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Page 43: 0(o) alpha = 0.01 ; beta = 0.5 ; d
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Page 48 and 49: [45] Gibiat (V.), Jardin (P.) et Wu
Page 50 and 51: [78] Mohanty (S. D.) et Dhurandhar

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