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1.2fmin = 50, fmax = 45010.8σ 4 h(u)0.60.40.20−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2u25Transf. de Fourier de σ 4 h20151050−5−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5sFIG. 4.3– Quand la bande passante du détecteur est limitée, la fonction temps-fréquence à utiliser,peut être bien approchée par une distribution de Bertrand à condition que la fonction 4 h(u),définieen (4.91), agisse comme l’élément neutre de la convolution dans l’espace de fonction à support bornéen u. La validité de cette approximation est illustrée ici en montrant dans le diagramme du haut 4 h(u) (ligne pleine) et la fonction indicatrice de l’intervalle en u associée à la bande de fréquence50Hz – 450Hz (ligne pointillée), et en comparant dans le diagramme du bas leur transformées deFourier.144
Quand l’approximation ci-dessus est valide, cela conduit alors àundétecteur semblable à (4.62),mais avec la simplification R (t; f ) C2 f q+2,(4r+3) P (k)4 R(t; f ): (4.92)En partant de cette structure simplifiée, le problème final est de trouver une approximation préciseet facile à mettre en œuvre de la distribution de Bertrand P (k)R(t; f ). Puisque la caractéristique-cléde cette distribution est sa localisation parfaite (4.41) sur les chirps “adaptés”, la solution que nousproposons est de la remplacer par un spectrogramme réalloué [5, 9] S x h (t; f ) qui, lorsqu’il est appliquéau même chirp en loi de puissance, se comporte approximativement enS h x r;k(t; f ) C 2 f ,2(r+1) (t , t X (f )) : (4.93)L’efficacité de cette approximation est illustrée en Fig. 4.4.En comparant (4.41) et (4.93), nous sommes conduits à choisir q =2r +1, ce qui donne la formefinale du détecteur optimal approché: w (r; t; c) C2 4 Z +10S h r t + ckf k,1 ;f f 2(,(r+1)) df: (4.94)Dans le cas spécifique des binaires coalescentes, nous préférerons paramétrer le signal àdétecter àl’aide de son temps de coalescence t et de sa “chirp mass” réduite M . Avec les constantes correctes,nous obtenons finalement (à un facteur d’amplitude près)avec4.6.3 Une illustrationL(t; M )=Z w (r; t; M ) /n(;f)L(t;M )S h r (;f) f,2=3 ; (4.95) t , =3 100 8=3 M ,5=3f ,8=3 o: (4.96)Pour illustrer l’efficacité de l’approche proposée, nous présentons en Fig. 4.5 deux exemples différentsbasés sur une des situations typiques discutées dans [55, 56]. Dans ces deux exemples, onsuppose que la binaire est constituée de deux objets de 1M et 10M (temps de coalescence fixé àt =0). Dans le premier exemple, la binaire est localisée à une distance de 200 Mpc de la terre, et 1Gpcdansledeuxième exemple. La simulation a été faite en altérant les données par un bruit additifgaussien, avec =1et 2 =0:7 10 ,42 =Hz sur une plage de fréquence de 50Hz – 500Hz. Lastratégieproposée, basée sur le spectrogramme réalloué, n’atteint pas la performance idéale prédite parla théorie du filtre adapté, à cause de la précision limitée des différentes approximations impliquéespour son obtention (en particulier, la nature à bande limitée du signal implique que la distribution deBertrand ne peut être localisée le long de la ligne de retard de groupe). Cependant, cette figure meten évidence que cette stratégie permet clairement la détection du chirp et qu’elle présente des performancesqui dépassent celles d’une simple intégration de chemin faite sur le spectrogramme standard.Dansl’exempledelaFig.4.5,lachirpmassM aété implicitement supposée connue, ce qui n’esten aucun cas vrai en pratique. Si l’on suppose que M est inconnue, une stratégie plus sophistiquéeconsiste alors à appliquer la précédente en parallèle en évaluant autant d’intégrales de chemin quenécessaire pour échantillonner convenablement les valeurs de M sur un intervalle raisonnable de145
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