amplitudefrequence (Hz)10−1x 10 −21(a) − onde gravitationnelle (m1 = 10, m2 = 10, r = 200 Mpc)−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0temps (seconde)(b) − frequence instantannee5000−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0temps (seconde)(c) − spectre d’energie normalisee et approx. de phase stat.0dB−20−4010 0 10 1 10 2 10 3frequence(d) − critere de validite de l’argument de phase stationnaire0.2010 0 10 1 10 2 10 3frequenceFIG. 4.2– Approximation de phase stationnaire du spectre d’une onde gravitationnelle. Le signalque l’on espère être émis par une binaire coalescente composée de deux objets de 1 M et 10 Mà une distance de 200 Mpc, est montré en(a), avec la fréquence instantanée correspondante en (b).La densité spectrale d’énergie est donnée en (c) (ligne pleine), accompagnée de son approximationde phase stationnaire (ligne pointillée). La validité de cette approximation est contrôlée par l’erreurrelative (qui dépend de la fréquence) en (d).142
avecEn effet, si nous revenons à (4.63), nous pouvons écrire d’une façon équivalente,Z R (t; f ) e ,i2t dt = C 2 f 2r+1,q h(u)h(u) = ( k(u) k (,u)) r+1_ k (u)ZP (k)R (t; f ) e,i2t dt (4.84)A (f k (u)) A (f k (,u)) (4.85)et u = k,1 : (4.86)fÀ cause des limitations aux basses fréquences (bruit sismique) et aux hautes fréquences (bruit dephotons), la largeur effective d’observation est nécessairement restreinte à un intervalle en fréquencepasse-bande f, f f + (avec comme valeurs typiques, que l’on pourrait raisonnablement choisir,f, 50Hz et f + 500Hz). Ceci a pour conséquence que le spectre de FourierZP (k)R (t; f ) e,i2t dt = f 2r+1,q ( k (u) k (,u)) r+1 R (f k (u)) R (f k (,u)) (4.87)est non nul seulement dans la bandejuju + = log f +f, ; (4.88)ce qui montre que le facteur h(u) de la transformée de Fourier de P (k)(t; f ) peut être simplementRignoré dans (4.84) dans la mesure où il est presque égal à 1 pour juju + .Àl’intérieur de la bande de fréquence définie ci-dessus, on peut considérer (voir, e.g., [55, 56]) quela densité spectrale de puissance , n (f ) du bruit d’observation n(t) varie, en moyenne, continuementet se comporte 1 en , n (f )= 2 f , ,avec 1 . En supposant donc quepour f, f f + , nous obtenons de (4.85) queA(f )= ,2 f ,(3r+2) (4.89)h(u) = ,4 ( k(u) k (,u)) ,(2r+1)_ k (u)(4.90)pour juj u + . Dans le cas des binaires coalescentes (k = ,5=3, r =1=6) et d’un bruit en “1/f”( =1), cela se réduit alors à 4 h(u) =,,5=3 (u) ,5=3 (,u) ,1=3_ ,5=3 (u); (4.91)une quantité qui, dans l’espace considéré des fonctions définies sur un intervalle limitéenu, peutêtreconsidérée comme l’élément neutre de la convolution, comme illustréenFig.4.3.1. Notons que ceci n’est qu’une première approximation et que, dans le cas des détecteurs réels, des raffinements doiventêtre faits sur la base de modèles plus réalistes.143