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B.2 Opérateur de réallocation en échelleOn procèdedelamême manière pour l’opérateur de réallocation en fréquence, éq. (B.2), dont onmet à part le numérateurJ x =ZZW x (s; )W s , ba;a dsd2 ;dans lequel on insère les expressions des distributions de Wigner-Ville du signal et de la fenêtreJ x =ZZ ZZx(s + u=2)x (s , u=2)e ,iuOn intègre d’abord en fréquenceZ s , ba,i(u+av) de2 = i addv+ v=2 s , ba, v=2(B.11)e ,iva dudv dsd2 :(B.12),(u + av); (B.13)ce qui nous donne cette fois-ci la dérivée de la distribution de Dirac dont l’action sur le reste de lafonction àintégrer conduit àZ s , b+ v=2a12ia 20 s , ba s , b, u 2aa i, v=2a s , baddv+ u 2a,(u + av)dv =, s , ba, u 2a0 s , ba+ u 2a: (B.14)On effectue le même changement de variable qu’en section précédente fs 1 = s + u=2; s 2 =s , u=2g :ZZ J x = x(s 1 )x 1(s 2 )0s2 , b s1 , b s2 , b,2ia 2 a aa0s1 , bds 1 ds 2 ;a(B.15)d’oùaprès réarrangement des termes, le résultatZZW x (s; )W s , ba;a dsd2= , 1 a Im ZT (a; b)xx(s) p 1a0 s , ba ds : (B.16)156
CDensité de probabilité des vecteurs de réallocation du spectrogrammeC.1 Formule des interférencesLa formule des interférences est un résultat classique des systèmes linéaires. Dans le contextede la Sect. 2.3.1, elle mérite qu’on s’y attarde un peu, en particulier pour préciser la manièredelamanipuler lorsqu’un bruit blanc gaussien complexe analytique n(t) intervient.Lespartiesréelle et imaginaire d’un tel signal sont deux bruits blancs réelsE[Refn(t)gRefn(s)g] =E[Imfn(t)gImfn(s)g] =E[b(t)b(s)] = 2(t , s); (C.1)2liés par une corrélation imposée par la transformée de HilbertE[Refn(t)gImfn(s)g] = 1 vp Z E[b(t)b( )]s , 2d = ,2(t , s)si t 6= s, 0 sinon:(C.2)La fonction d’autocorrélation n (t , s) = E[n(t)n (s)] de n(t) admet alors une expressioncomposite entre les deux types de corrélation (C.1) et (C.2) n (t , s) =2E[Refn(t)gRefn(s)g]+i 2E[Refn(t)gImfn(s)g] (C.3)i= (t 2 , s) , ;(t , s)(C.4)R +1qui se traduit sur la densité spectrale , n (!) = ,1 n ( ) d par un échelon de Heaviside, n (!) = 2 (1 + sgn(!)): (C.5)Soit x 1 = n?h 1 et x 2 = n?h 2 , deux versions filtrées de n(t),lacorrélation entre ces deux processusà l’instant tE[x 1 (t)x 2 (t) ]=donne, en utilisant Parseval,ZZE[n( 1 )n ( 2 )]h 1 (t , 1)h 2 (t , 2 ) d 1 d 2Z +1E[x 1 (t)x 2 (t) ]=2 2 H (!)H 1 2(!) d!=(2):0(C.6)(C.7)Dans le cas où les supports fréquentiels de h 1 et h 2 sont approximativement contenus dans ledemi-plan des fréquences positives, on peut alors invoquer Parseval à nouveau pour obtenir le résultatqui nous sera utileE[x 1 (t)x 2 (t) ] 2 2 Zh 1 (s)h 2(s) ds:(C.8)C.2 Densité de probabilité des vecteurs de réallocation, fenêtre gaussienne, signal +bruitLe calcul de la densité de probabilité du vecteur de réallocation du spectrogramme de Gabor dansle cas “signal+bruit” suit la trame de celui déjà fait pour le cas “bruit seul”. C’est ce que nous allons157
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Page 27 and 28: ConclusionPour conclure, nous feron
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Page 48 and 49: [45] Gibiat (V.), Jardin (P.) et Wu
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