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Après un changement de variables fs 1 = s + u=2; s 2 = s , u=2g de jacobien égal à1ZZIx h s1 = + s 2x(s 1 )x (s 2 )h(s 1 , t)h (s 2 , t)e ,i(s 1,s 2 )! ds 1 ds 2 ;2(A.8)on reconnaît la FCT du signal que l’on isole, ce qui mène au résultat finalZZ Z=Re F h (t; !)sW x (s; )W h (s , t; , !) dsd2A.2 Opérateur de réallocation en fréquencexsx(s)h (s , t)e ,i!s ds e it!=2 :(A.9)On procèdedelamême manière pour l’opérateur de réallocation en fréquence, éq. (A.2), dont onmet à part le numérateurJ h x = ZZW x (s; )W h (s , t; , !) dsd2 ;(A.10)dans lequel on insère les expressions des distributions de Wigner-Ville du signal et de la fenêtreJ h x = ZZ ZZx(s + u=2)x (s , u=2)e ,iu h(s , t + v=2)h (s , t , v=2)e ,iv(,!) dudv dsd2 :On intègre d’abord en fréquenceZ,i(u+v) de2 = i0 (u + v);(A.11)(A.12)ce qui nous donne cette fois-ci la dérivée de la distribution de Dirac dont l’action sur le reste de lafonction àintégrer conduit àZh(s , t + v=2)h (s , t , v=2)e ,iv! i 0 (u + v) dv =(,i) , h 0 (s , t , u=2)h (s , t + u=2)e ,iu! + h(s , t , u=2)h 0 (s , t + u=2)e ,iu! +i!h(s , t , u=2)h (s , t + u=2)e ,iu! :(A.13)On effectue le même changement de variable qu’en section précédente fs 1 = s + u=2; s 2 =s , u=2g :J h x = !Sh x (t; w) , i 2ZZx(s 1 )x (s 2 ) , h 0 (s 2 , t)h (s 1 , t) , h(s 2 , t)h 0 (s 1 , t) e ,i(s 1,s 2 )! ds 1 ds 2 ;(A.14)d’oùaprès réarrangement des termes, le résultatZZW x (s; )W h (s , t; , !) dsd2= !Sh x (t; !) , Im ZF h (t; !)xx(s)h 0 (s , t)e ,i!s ds e it!=2 :(A.15)154