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7masse 2 / masse 1 = 1 a 10 (de bas en haut)65frequence critique (kHz)432100 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20masse 1 (en masses solaires)FIG. 4.1– Mesure quantitative de la validitédel’interprétation en tant que chirp des ondes gravitationnelles.Les ondes gravitationnelles émises par une binaire coalescente peuvent être considéréescomme des chirps tant que leur fréquence maximale est plus petite que la fréquence critique qui dépenddes masses m 1 et m 2 de la binaire. Ce diagramme montre (en lignes continues) la fréquencecritique quand m 1 varie entre 1M et 10M, et quand m 2 = km 1 , avec 1 k 10. La lignepointillée (placée arbitrairement à 500Hz)désigne la fréquence de coupure haute du détecteur, ce quipermet d’avoir une borne approchée pour la validité de l’approximation.140
Preuve. Le calcul du spectre de Fourier de (4.69) revient àévaluer l’intégraleZ +1X(f ; t 0 ;d)=e ,i2ft 0a(t) e i (t) dt; (4.81)avec a(t) =At , et (t) =,2(dt , ft).Il est clair que (t) n’a pas de point stationnaire quand f < 0 et avec le résultat donné enAnnexeD, on peut d’abord conclure que (4.69) est presque analytique, tant que la condition (4.74) estsatisfaite.Pour les fréquences positives, (t) a un et un seul point stationnaire non dégénéré, nommément0t s = fd 1=(,1); (4.82)avec la condition (t s ) > 0.Quand on applique spécifiquement le résultat général (D.6) au modèle (4.69), il vient que (4.81)coïncide exactement avec un chirp en loi de puissance dans le sens de la Définition 6, avec lesconstantes données en (4.78) et (4.79). Pour chaque fréquence, l’évaluation de phase stationnairedu spectre revient à considérer la contribution du signal au point t = t s , et donc le reste (D.8) en cepoint. Après avoir retiré minutieusement chaque indétermination lors du calcul de Q(t s ), on obtientfinalement le résultat donné en (4.80), qui permet de borner le domaine en fréquence sur lequel l’approximationde phase stationnaire peut être considérée comme valide, étant donnée une erreur relativemaximale.Deux remarques peuvent être faites à ce point. Premièrement, alors que les “conditions de chirp”de la Définition 1 sont couramment présentées comme validant l’approximation de phase stationnaire(voir, e.g., [36, 88] ou [33]), la validité de l’approximation de phase stationnaire est en fait contrôléepar (D.8), ce qui est finalement plus compliqué. Deuxièmement, si on applique le précédent résultat(4.80) au cas des ondes gravitationnelles, on obtient que, pour une erreur relative d’approximation auplus égale à x pourcents, la fréquence doit être bornée parf 7:18 10 4 x 3=5 M ,1 ; (4.83)ce qui est en accord avec les conditions (de chirp) qualitatives en (4.77). Les critères exact et heuristiquesont donc de même nature, mais les résultats de la Proposition 9 autorisent un contrôle quantitatifde l’approximation.La Fig. 4.2, qui présente un exemple typique d’une forme d’onde, illustre l’efficacité de l’approximationde phase stationnaire.4.6.2 Un détecteur temps-fréquence simplifiéÀ strictement parler, le détecteur temps-fréquence optimal (4.62) nécessite le calcul d’une versionfiltrée (en temps) de la distribution de Bertrand de l’observation. Ceci implique malheureusementun gros coût de calcul. Pour aboutir à une solution pratiquement exploitable, il est obligatoire deconsidérer une description temps-fréquence plus simple, mais toujours précise à la place de la fonctionexacte R (t; f ) donnée en (4.63). Alors qu’une simplification ne semble pas possible dans le casgénéral, il apparaît qu’elle peut être effectuée dans le cas spécifique des ondes gravitationnelles, grâceaux valeurs des paramètres physiques qui sont impliqués.141
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Page 27 and 28: ConclusionPour conclure, nous feron
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