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être établit pour le scalogramme, que l’on sait être un membre de la classe affine [36]. Il apparaîtdonc que ces distributions (spectrogrammes et scalogrammes) ne peuvent aprioriservir de base àundétecteur temps-fréquence optimal, bien qu’ils puissent être mis en avant à ce sujet et que leur utilitéait été prouvée pour l’obtention de détecteurs sous-optimaux [3, 55, 56]. Des distributions optimalesau sens de la détection peuvent être néanmoins trouvées. Nous nous focaliserons sur le cas spécifiquede la détection de chirp. Nous renvoyons le lecteur intéressé par une discussion plus générale sur ladétection temps-fréquence optimale à[38]ouà [89].4.4 Détecter les chirps linéairesLa détection temps-fréquence optimale des chirps linéaires a été considérée, la première fois,dans [64]. Dans une perspective temps-fréquence, il apparaît que les chirps linéaires sont intimementassociés àunmembrespécifique de la classe de Cohen, la distribution de Wigner-Ville définie par[28, 36]Definition 8. La distribution de Wigner-Ville du signal x(t) est le membre de la classe de Cohenattachéà la paramétrisation '(; ) =1et son expression (à valeursréelles) s’écrit explicitementW x (t; f )=Zx t + x t , e ,i2f d: (4.29)2 2La raison pour laquelle les chirps linéaires et la distribution de Wigner-Ville sont fortement reliésest donnée dans la propriété suivanteProposition 2. Quand elle est appliquée au chirp linéaire de la Définition 5, avec a(t) =1, la distributionde Wigner-Ville (4.29) est parfaitement localisée et s’écritW x (t; f )=f , 12 _'(t) : (4.30)Puisque la fonction de paramétrisation de la distribution de Wigner-Ville est '(; ) =1, elle estbien évidemment de module unité, ce qui garantit son unitarité. Il s’en suit donc que nous avonsZx 1 (t) x 2 (t) dt2=ZZW x1 (t; f ) W x2 (t; f ) dt df (4.31)pour tous signaux x 1 (t) et x 2 (t). Dans le cas où x 1 (t) =r(t) 1 [,T=2;T=2] (t) (avec 1 I (t) la fonctionindicatrice de l’intervalle I) etx 2 (t) est un chirp linéaire x 2 (t) =a(t) e i('(t),2) , nous obtenons(grâce àlapropriété de conservation de support de la distribution de Wigner-Ville et à sa compatibilitéavec les modulations [28, 36])Z T=2,T=2r(t) a(t) e i('(t),2) dt2 Z T=2=,T=2Z T=2=,T=2ZZW r:a (t; f ) f , 1W at;2 _'(t) dt df (4.32) 12 _'(t) , W r (t; ) ddt: (4.33)132