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maintenant préciser en partant de l’éq. (2.86), point d’embranchement oùsedifférencie les deux cas,qui s’écritf (r) =t2 h 2 1 2 2ZZjwj 2 expfjw , S 1 j 2 = 2 1 + j,it hrw , S 2 j 2 = 2 2g dRefwg dImfwg:(C.9)On doit, cette fois, prendre soin de mettre sous forme canonique la forme quadratique dans l’exponentiellejw , S 1 j 2+ j,t hrw , S 2 j 2 2 11 2 1 2 2+ t2 h jrj2 2 2=jwj 2 , 2RewS1 2 1, t hr S 2+ jS 1j 2 2 2 2 1+ jS 2j 2: (C.10) 2 2En posant a =1= 2 1 +t hjrj 2 = 2 2 , b = S 1= 2 1, t h r S 2 = 2 2 et c = jS 1j 2 = 2 1 + jS 2j 2 = 2 2 ,onreconnaît une intégrale gaussiennef (r) =t2 h 2 1 2 2ZZjwj 2 e ,ajw,b=aj2 dRefwg dImfwg e jbj2 =a,c ;qu’il est possible d’évaluer par un changement en coordonnées polaires [22](C.11)f (r) =t2 h 2 (1 + c + jbj2 =a , c)e jbj2 =a,c :(C.12)1 2 2 a2Il s’agit alors de remplacer dans (C.12), a, b et c parleurdéfinition, en remarquant auparavant quejbj 2 =a , c = ,t 2 hjs 1 j 2 jr , r 0 j 2 2 2 + 2 1 t2 h jrj2 ;(C.13)pour obtenirt 2 hf (r) = 2 1 2 2 (1=2 1 +t2 h jrj2 = 2 21 )2jS 1j 2+ 2 1+ jS 2j 2 2 2, t 2 hjS 1 j 2 jr , r 0 j 2 2 2 +t2 h 2 1jrj 2 expce qui nous conduit au résultat en insérant les expressions de 1 et 2f (r) =,t 2 hjS 1 j 2 jr , r 0 j 2 2 2 +t2 h 2 1jrj 2 ; (C.14) 1S (1 + jrj 2 ) 2 1+ 1+jr2 2 0 j 2 , jr , r 0j 2exp , S jr , r 0 j 2; (C.15)1+jrj 2 2 2 1+jrj 2que l’on préfère sous la forme (2.96).C.3 Quotient de variables aléatoires complexes gaussiennesLe problème qui nous intéresse ici est le suivant : soit y = [y 1 y 2 :::y N ] t un vecteur aléatoiregaussien complexe circulaire de moyenne s =[s 1 s 2 :::s N ] t et de matrice de covariance , inversible,donc de densité de probabilitéf y (y) =1 N det(,) exp(,(y , s)y , ,1 (y , s));(C.16)158