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Actes des journées mathématiquesde l’Institut français de l’Éducation,15 et 16 juin 2011, LyonFaire ensemb<strong>le</strong> des mathématiques :une approche dynamiquede la qualité des ressourcespour l’enseignementCoordination scientifique :Luc Trouche, Hamid Chaachoua, Magali Hersant,Yves Matheron et Giorgos Psycharis
© ENS de Lyon, Lyon, 2011ISBN 978-2-84788-337-4Secrétariat de rédaction réalisé par <strong>le</strong>s coordonnateurs
SommaireProloguePréfaceGhislaine Gueudet, présidente de l’Association pour la Rechercheen Didactique des Mathématiques......................................................................... 7IntroductionLuc Trouche, directeur de la recherche à l’Institut Français de l’Education,président du comité scientifique des journées mathématiques 2011 de l’IFÉ..... 11Ouvertures des journéesYves Winkin, directeur de l’IFÉ, Jean-François Pinton, directeur de la rechercheà l’Eco<strong>le</strong> Norma<strong>le</strong> Supérieure de Lyon, Robert Cabane, Inspecteur Généralde mathématiques et Nicolas Saby, président de l’assemblée des directeursd’IREM................................................................................................................ 15ConférencesMathématiques savonneuses - Olivier Druet (ENS de Lyon)............................. 23Quel<strong>le</strong>s mathématiques faut-il apprendre pour se préparer à répondreaux questions des élèves et à traiter <strong>le</strong>urs erreurs : <strong>le</strong> cas des commencementsde l'algèbre - Alain Mercier (IFÉ, ENS de Lyon)............................................... 35Ressources numériques, pratiques enseignantes et dynamique de la sal<strong>le</strong>de classe - Ana Isabel Sacristan (CINVESTAV, Mexico).................................. 53CommunicationsThème 1 : Quel<strong>le</strong>s interactions entre enseignants, mathématiciens et didacticiens ?Créer des mathématiques à partir de problèmes ouverts -Stéphanie de Vanssay (Paris 5)........................................................................... 69La position de chercheur en didactique dans une étude de résolution de problèmeouvert par des élèves et par un mathématicien - Maryline Gardes(université Lyon 1).............................................................................................. 77Un point de rencontre entre recherche mathématique et recherche didactique -Benoît Rittaud (Paris 13), Laurent Vivier (Paris 7)............................................. 85
Modélisation instrumentée et conceptions a priori dans un espace de travailgéométrique en évolution Un tour en géométrie dynamique tridimensionnel<strong>le</strong> -Mathieu Blossier (université de Rouen), Philippe R. Richard(Université de Montréal)..................................................................................... 93Thème 2 : Le travail collaboratif des enseignants : conception de ressourceset formationReprésentations des enseignants de mathématiques et de sciences expérimenta<strong>le</strong>ssur quelques concepts épistémologiques des démarches d’investigation :expliciter pour mieux interagir - Réjane Monod-Ansaldi, Jacques Vince,Michè<strong>le</strong> Prieur et Valérie Fontanieu (IFÉ, ENS Lyon)..................................... 105Communautés de pratique: une alternative pour encourager la réf<strong>le</strong>xionet l'apprentissage des enseignants de mathématiques - Sandra E. Parada(CINVESTAV, Mexico)................................................................................... 113Une ingénierie didactique de développement sur la numération décima<strong>le</strong>.Présentation de choix de conception d’une ressource et de difficultés rencontréespar <strong>le</strong>s enseignants lors de son utilisation - Frédérick Tempier (Paris 7).......... 123Evaluation de la qualité des ressources de géométrie dynamique.Un outil pour <strong>le</strong> développement de compétences professionnel<strong>le</strong>s des enseignantsde mathématiques - Jana Trgalová (IFÉ, ENS Lyon), Philippe R. Richard(Université de Montréal), Sophie Soury-Lavergne (IFÉ, ENS Lyon)............... 131Thème 3 Comment rendre <strong>le</strong>s élèves créateurs de mathématiques dans la sal<strong>le</strong> de classe ?Situation de recherche en classe et productions mathématiques des élèves -Mathias Front (Université Lyon 1).................................................................... 141Des Situations de Recherche pour la Classe. Quels apports en termed’« autonomie mathématique » de l’élève ? Quels types de ressources pour <strong>le</strong>senseignants ? - Simon Modeste (Grenob<strong>le</strong> 1).................................................... 151La correspondance mathématique : une activité mathématique « créative »,quels apprentissages ? - Mireil<strong>le</strong> Genin et Magali Hersant (Université de Nantes)........................................................................................................................... 159La résolution collaborative de problèmes. Rendre visib<strong>le</strong>s <strong>le</strong>s mathématiquesoù on ne <strong>le</strong>s attend pas - Benoît Ray, Saïd Azziz et Geneviève Couderc(IREM, Université Montpellier 2)..................................................................... 167Thème 4 Quels outils technologiques pour appuyer <strong>le</strong>s processus d’enrichissementdes ressources ?Le traitement des expressions mathématiques dans tous <strong>le</strong>s contextes avecepsilonwriter - Jean-François Nicaud & Christophe Viudez (Aristod)............. 177AlNuSet, un système pour l’approche de l’algèbre - Bettina Pedemonte(CNR, Italie)...................................................................................................... 185
Introduction à des enseignants de mathématiques du second degré du Mexiqueà des paradigmes pédagogiques numériques - Elisabet Rodríguez Vida<strong>le</strong>t Ana Isabel Sacristán (CINVESTAV, Mexico).............................................. 193Niveaux d’intervention enseignante pour <strong>le</strong> développement d’un système tutoriel.Une expérience didactique à l’éco<strong>le</strong> secondaire avec <strong>le</strong> système géogébraTUTOR- Michè<strong>le</strong> Tessier-Baillargeon (niversité de Montréal), Nicolas Leduc(Eco<strong>le</strong> polytechnique de Montréal) et Philippe R. Richard (Universitéde Montréal)...................................................................................................... 201AteliersThème 1 : Quel<strong>le</strong>s interactions entre enseignants, mathématicienset didacticiens ? - Coordination Gil<strong>le</strong>s Aldon et Luc Trouche......................... 211De la notion de droite à la production de ressources - Henri-Claude Argaud,Magali Carcel-Nowak, Georges Combier, Jacques Douaire, Marie-Pau<strong>le</strong> Dussuc,Gérard Gerdil-Margueron et Laetitia Rousson (équipe ERMEL)..................... 213Une approche méthodologique pour l’amélioration de l'apprentissagedes fractions au travers des éléments musicaux - A<strong>le</strong>xander Conde,CINVESTAV (Mexico)................................................................................... 215La recherche (CD)Ampères : usages de la théorie anthropologique du didactiquepour construire des AER (Activités d’étude et de recherche)et des PER (Parcours d’étude et de recherche) - Dominique Gaud(IREM de Poitiers), Robert Noirfalise (IREM de C<strong>le</strong>rmont-Ferrand).............. 217Ressources et démarches d'investigation - Manuel Pean et Dominique Payan(IRES, Université d’Orléans)............................................................................ 219Langue naturel<strong>le</strong> et raisonnement mathématique au lycée - Mouloud Abdelli(Faculté des Sciences Exactes Université Mentouri Constantine).................... 221Thème 2 : Le travail collaboratif des enseignants : conception de ressourceset formation - Coordination Magali Hersant et Sophie Soury-Lavergne............... 225LaboMep, pour scénariser la mise en œuvre de ressources - Benjamin C<strong>le</strong>rc(IREM de Montpellier)...................................................................................... 227e-CoLab, des équipes hybrides pour des mathématiques dynamiques -Marie Novak (IREM de Lyon et IFÉ)............................................................... 229Pairform@nce, un dispositif innovant de formation des enseignants -Ghislaine Gueudet (IUFM Bretagne et IREM Rennes) ; François Loric(IREM Rennes).................................................................................................. 231Démarches d'investigation et col<strong>le</strong>ctifs dans la formation des enseignants -Ghislaine Gueudet et Marie-Pierre Lebaud (IUFM de Rennes)........................ 233
Thème 3 Comment rendre <strong>le</strong>s élèves créateurs de mathématiques dans la sal<strong>le</strong>de classe ? - Coordination Yves Matheron............................................................. 237Organiser un parcours pour enseigner <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> au collège -Catherine Desnavres & Équipe (CD)AMPERES de l’IREM d’Aquitaine........ 239Un PER sur <strong>le</strong>s fractions. Comment <strong>le</strong>s productions des élèves nourrissentnos PER ? - Ruben Rodriguez Herrera (IUFM & IREM de Basse-Normandie),Claudine Plourdeau (IREM de Basse-Normandie)& Équipe (CD)AMPERES de Caen.................................................................. 242Un parcours d’étude et de recherche pour introduire la géométrie analytique -Bernat Ancochea (Institut de Premià de Mar, Rafael Casanovas),Josep Gascón (Departament de Matemàtiques, Universitat Autònomade Barcelona) & Marianna Bosch (FUNDEMI - Facultat d’Economia IQS,Universitat Ramon Llull)................................................................................... 245Des élèves « auteurs » des mathématiques du programme -Yves Matheron, Marie-Christine de Redon, Christiane Mota, Karine Drousset& l’équipe (CD)AMPERES de l’IREM d’Aix-Marseil<strong>le</strong>................................. 246Thème 4 Quels outils technologiques pour appuyer <strong>le</strong>s processus d’enrichissementdes ressources ? - Coordination Hamid Chaachoua, Giorgos Psychariset Jana Trgalova..................................................................................................... 251Conception et utilisation des ressources de la plateforme epsilonwriter –Hamid Chachoua, Nataly Essonnier, Sébastien Jolivet, Saïd Mouffak,Jean-François Nicaud, Jana Trgalová et Christophe Viudez(équipe Aplusix-epsilonwriter).......................................................................... 253Base de données WIRIS quizzes : mathématiques “ready-made” pour Mood<strong>le</strong>Quiz - Car<strong>le</strong>s Aguiló et Ramon Eixarch (équipe WIRIS)................................. 255Une démarche qualité pour améliorer <strong>le</strong>s ressources du répertoire i2geo -Frédérique Bourgeat, Anne Calpe, Marina Digeon, Esmael Esfahani,Isabel<strong>le</strong> Leyraud, Sophie Soury-Lavergne, René Thomas, Olivier Tourail<strong>le</strong>et Jana Trgalová (équipe Intergeo).................................................................... 257Ressources pour la formation à l’enseignement des fonctions - Gil<strong>le</strong>s Aldon,Roselyne Halbert, Jean Baptiste Lagrange, Christine Le Bihan,Bernard Le Feuvre, Marie Catherine Manens et Xavier Meyrier(équipe Casyopée)............................................................................................. 259
PréfaceGhislaine Gueudet,CREAD, IUFM de Bretagne – Université de Bretagne occidenta<strong>le</strong>Présidente de l’Association pour la Recherche en Didactique des MathématiquesLes 15 et 16 juin 2011 se sont tenues à Lyon des journées intitulées : « Faireensemb<strong>le</strong> des mathématiques : une approche dynamique de la qualité des ressourcespour l'enseignement ».Les termes « ressources », « qualité », « ensemb<strong>le</strong> » évoquent <strong>le</strong>s éditionssuccessives des journées mathématiques de l'INRP (pour la participante assidue quej'ai été au fil des années, éga<strong>le</strong>ment responsab<strong>le</strong> du comité des journées 2010) ; il nefaut toutefois pas s'y tromper, car même si la continuité était ici assumée, il s'agissaitbien des premières journées mathématiques de l'IFÉ. Ces actes, qui constituent lamémoire de ces journées, donnent à voir une forme de stabilité mais éga<strong>le</strong>ment desévolutions majeures. Le <strong>le</strong>cteur découvrira dans <strong>le</strong>s pages qui suivent <strong>le</strong> détail descontenus ; dans cette préface je tiens à souligner certains points que je retiens de cesactes, et de ma propre participation.Rencontre de chercheursToute conférence, colloque ou séminaire est façonné par <strong>le</strong> col<strong>le</strong>ctif deschercheurs qui y prennent part. Les participants de ces journées, partageant unintérêt pour l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques, étaient issus decontextes institutionnels très divers : des chercheurs français et étrangers, desmathématiciens et des didacticiens des mathématiques et des sciencesexpérimenta<strong>le</strong>s, des universitaires et des professeurs du premier et du second degré.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ7
De nombreux chercheurs étrangers ont en effet contribué aux journées : dans<strong>le</strong> comité scientifique, avec Giorgos Psycharis et Paul Drijvers ; parmi <strong>le</strong>sconférenciers, avec Ana Isabel Sacristan. Mais c'est surtout <strong>le</strong> nouveau dispositif decommunications de recherche qui a conduit à la présence de chercheurs de différentspays (et amené <strong>le</strong> nombre maximum d'inscrits à être atteint nettement avant la datelimite d'inscription !). Cette internationalisation nouvel<strong>le</strong> a constitué une granderichesse, permettant notamment aux participants français de découvrir des études,des propositions pour la formation des enseignants, issus de différents pays. Autrenouveauté, lors de cette édition 2011 : la présence de chercheurs en mathématiques.On retient en particulier la conférence de Olivier Druet, qui a enchanté <strong>le</strong> public tantpar ses bul<strong>le</strong>s de savon que par <strong>le</strong>s modè<strong>le</strong>s mathématiques sous-jacents ; l'atelier 1(« interactions entre enseignants, mathématiciens et didacticiens »), et <strong>le</strong>scommunications associées.L'ensemb<strong>le</strong> des ateliers, centrés sur <strong>le</strong>s travaux de groupes de recherche de l'IFÉ,ont permis un travail commun d'universitaires et d'enseignants « de terrain » ; <strong>le</strong>sinteractions sur des sujets communs ont été riches et profitab<strong>le</strong>s pour tous <strong>le</strong>s typesde participants, participants à des recherches menées par l'IFÉ de diffuser cestravaux au sein des IREM.La mise en lumière des technologies informatiquesCes journées 2011 marquent une certaine forme de retour à un intérêtspécifiquement porté aux technologies. Cette remarque peut étonner <strong>le</strong>s participantsréguliers : <strong>le</strong>s technologies ont certes toujours été présentes dans ces manifestations.Toutefois, après la première édition en 2006, el<strong>le</strong>s n'apparaissaient plus commeobjet d'étude spécifique – notamment à cause de l'attention portée à l'ensemb<strong>le</strong> desressources disponib<strong>le</strong>s pour <strong>le</strong>s professeurs. Même en soulignant, parmi cesressources, <strong>le</strong>s spécificités des ressources numériques, ce point de vue généralamène probab<strong>le</strong>ment à s'attacher en priorité aux traits qui sont communs à tous <strong>le</strong>stypes de ressources (par exemp<strong>le</strong>, l'influence des choix didactiques faits dans unmanuel, ou dans un site web, sur <strong>le</strong> travail mathématique des élèves).Dans <strong>le</strong>s journées 2011 une place spécifique était faite aux technologies, et àl'informatique, avec <strong>le</strong>s conférences de Ana Isabel Sacristan et de NicolasBalacheff ; avec <strong>le</strong>s travaux de l'atelier 4, consacré aux outils technologiquessusceptib<strong>le</strong>s d'appuyer <strong>le</strong>s processus d'enrichissement des ressources, et avec <strong>le</strong>scommunications qui y étaient associées. Cet atelier a repris, en particulier, <strong>le</strong>squestions de qualité des ressources déjà abordées lors d'éditions précédentes desjournées ; mais il a étudié ces questions sous l'ang<strong>le</strong> nouveau des outilstechnologiques qui peuvent contribuer à l'objectif de qualité, en particulier <strong>le</strong>splateformes permettant un travail collaboratif.8 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Les élèves, créateurs potentiels de sciences, et <strong>le</strong>urs professeursAmener <strong>le</strong>s élèves à développer en classe une activité mathématique riche estun objectif poursuivi par <strong>le</strong>s travaux de nombreux groupes de l'IFÉ ; <strong>le</strong>s questionsassociées à cet objectif ont donc été considérées dans toutes <strong>le</strong>s éditions desjournées. Ces questions peuvent concerner <strong>le</strong>s ressources à proposer aux élèves,comme à <strong>le</strong>urs professeurs ; <strong>le</strong> travail des élèves en classe ; ou encore <strong>le</strong>s modalitésde formation des professeurs.Dans cette édition des journées, ces questions étaient présentes dans laconférence de Alain Mercier, développant l'aspect des connaissances mathématiquesdes professeurs, nécessaires pour la poursuite de cet objectif ; et dans l'atelier 3,s'appuyant comme la conférence de Alain Mercier sur <strong>le</strong>s travaux du projetAMPERES. Ces travaux proposent de redonner du sens aux mathématiquesenseignées, en introduisant ces mathématiques comme réponses à des questions.L'une de <strong>le</strong>urs spécificités majeures est l'échel<strong>le</strong> retenue : pour éviter <strong>le</strong>morcel<strong>le</strong>ment, il s'agit de proposer des questions qui permettent d'aborder unensemb<strong>le</strong> conséquent de notions et propriétés mathématiques.L'objectif de « rendre <strong>le</strong>s élèves créateurs de science » était éga<strong>le</strong>mentprésent dans l'atelier 2 (et naturel<strong>le</strong>ment, dans <strong>le</strong>s communications associées). Sonintitulé : « <strong>le</strong> travail collaboratif des enseignants : conception de ressources etformation » ne donne pas explicitement à voir l'objectif relatif aux élèves ; mais <strong>le</strong>contenu du travail de l'atelier montre que <strong>le</strong> travail collaboratif des enseignants, qu'ilsoit spontané, organisé par un dispositif de formation ou suscité par l'institutionscolaire, visait bien cet objectif. Évolution importante, amenée par cet atelier : laprésentation de travaux de didacticiens des sciences, questionnant des pointscommuns et des spécificités des professeurs de différentes disciplines scientifiques,en ce qui concerne <strong>le</strong>s démarches d'investigations, qu'ils sont amenés à considérerconjointement. Les liens entre mathématiques et autres disciplines a certainementvocation à être de plus en plus pris en compte par <strong>le</strong>s travaux des groupes derecherche de l'IFÉ.Au-delà de ces évolutions, pour des éditions ultérieures des journées IFÉ, ilserait intéressant de reprendre et de prolonger <strong>le</strong> questionnement sur <strong>le</strong>s effets desdispositifs, qu'avaient initié <strong>le</strong>s journées 2010.Ces actes participent au lancement d'une nouvel<strong>le</strong> aventure ; <strong>le</strong>s journées IFÉ2011 en étaient <strong>le</strong> coup d'envoi, <strong>le</strong> kick-off meeting, selon la terminologieanglophone. Comme tel<strong>le</strong>s el<strong>le</strong>s amènent à placer dans l'avenir beaucoup d'espoir,tant <strong>le</strong>s interactions et <strong>le</strong>s échanges, au sein du nouveau col<strong>le</strong>ctif de participants, ontété riches scientifiquement et humainement.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ9
10 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
IntroductionLuc TroucheDirecteur du département recherche de l’IFÉCoordonnateur du conseil scientifique des journées mathématiques 2011 de l’IFÉ –ENS LyonVoici donc <strong>le</strong>s actes des 6èmes journées mathématiques qui se sont tenues àLyon, d’abord dans <strong>le</strong> cadre de l’INRP, et aujourd’hui dans <strong>le</strong> cadre du nouvel IFÉ,institut de l’ENS Lyon. Leur thème : « Faire ensemb<strong>le</strong> des mathématiques : uneapproche dynamique de la qualité des ressources pour l'enseignement ».C’est bien la thématique des ressources qui a assuré, depuis <strong>le</strong>ur origine, lacontinuité de ces journées, un thème qui a été approfondi de rencontre en rencontre,et a révélé sa grande richesse scientifique.Les ressources pour faire, apprendre, enseigner <strong>le</strong>s mathématiques, un enjeude recherche majeurLe choix d’orienter <strong>le</strong> regard sur <strong>le</strong>s ressources pouvait apparaître motivé,lors des premières journées de 2006, essentiel<strong>le</strong>ment par l’évolution desenvironnements technologiques (logiciels de calcul formel ou de géométriedynamique ou ressources en ligne) qui bou<strong>le</strong>verse <strong>le</strong>s conditions dans <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s unprofesseur conçoit et réalise son enseignement. C’est en effet pour cette prise encompte de nouveaux outils, comp<strong>le</strong>xes et puissants, que se sont développésplusieurs dispositifs de recherche (voir par exemp<strong>le</strong> Aldon et al. 2008), très actifs,qui ont donné matière à des collaborations avec plusieurs IREM, avant dedéboucher sur un projet européen, EdUmatics. C’est aussi pour questionner <strong>le</strong>foisonnement des ressources sur Internet que s’est développé <strong>le</strong> projet européenIntergeo, proposant un cadre pour penser la qualité des ressources pour faire desmathématiques (Trgalová et al. 2011).Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ11
La question des ressources ne se réduit ainsi pas à ses aspectstechnologiques. Penser <strong>le</strong>s ressources des enseignants, c’est interroger <strong>le</strong>s situationsdidactiques (Brousseau 2008), penser des processus de conception de problèmesproducteurs pour l’activité mathématique (Aldon 2009). C’est aussi penser desressources qui ne se limitent pas à une séance de classe, mais qui soient des maillonsde parcours d’étude et de recherche : c’est <strong>le</strong> projet du projet AMPERES, quirassemb<strong>le</strong> plusieurs équipes dans <strong>le</strong> cadre d’une collaboration IREM-IFÉ (Matheron2008).Penser <strong>le</strong>s ressources des enseignants, c’est aussi penser <strong>le</strong>ur formation. Larecherche de l’IFE dans <strong>le</strong> cadre du dispositif de formation innovant Pairform@ncea ainsi interrogé, en particulier dans <strong>le</strong> domaine des mathématiques, <strong>le</strong>s conditionsd’appropriation de nouvel<strong>le</strong>s ressources, à la fois pour <strong>le</strong>s formateurs et pour <strong>le</strong>senseignants (Soury-Lavergne et al. 2011).Fina<strong>le</strong>ment, c’est, à travers <strong>le</strong>s ressources, un ensemb<strong>le</strong> de dynamiques quisont ainsi étudiées : l’action conjointe du professeur et des élèves dans la classe, <strong>le</strong>jeu entre <strong>le</strong> travail hors classe et en classe (du professeur comme des élèves), lacollaboration entre enseignants. La thématique des ressources vives traduit bien cejeu d’interactions, el<strong>le</strong> a donné matière à un ouvrage (Gueudet & Trouche 2010)rassemblant des contributions de bon nombre des acteurs de la recherche à l’IFÉ etdonnant à des collaborations interdisciplinaires fécondes (informatique, didactiqueet histoire des mathématiques). Ce premier ouvrage a été suivi d’une publicationinternationa<strong>le</strong> (Gueudet et al. 2012), mettant en évidence l’actualité de cettethématique au-delà de l’Europe.Un réseau de collaborations scientifiques à développerLe succès de ces journées est d’abord lié à une histoire, cel<strong>le</strong> des journéesmathématiques de l’INRP, qui, depuis 2006, ont permis de constituer une réel<strong>le</strong>communauté de recherche autour de l’enseignement des mathématiques,rassemblant, chaque année 1 , des équipes d’enseignants associés, enseignant encollège, en lycée ou à l’université, et des enseignants chercheurs, mathématiciens,historiens ou didacticiens des mathématiques. L’ouverture de ces journéesreprésentait bien cette communauté d’intérêt, avec Nicolas Saby, <strong>le</strong> président del’Assemblée des Directeurs d’IREM, Robert Cabane, Inspecteur Général demathématiques, Yves Winkin, directeur de l’IFÉ et Jean-François Pinton, directeurdélégué à la recherche de l’ENS Lyon. Sébastien Hache, à l’origine dudéveloppement de l’association Sésamath, était aussi là, témoignant descollaborations anciennes avec l’IFÉ. Le dérou<strong>le</strong>ment des journées a mis enévidence, à nouveau, l’intérêt de cette action conjointe des mathématiciens deséco<strong>le</strong>s, des collèges, des lycées et des universités.1 Des actes ont été édités, et sont disponib<strong>le</strong>s en version é<strong>le</strong>ctronique pour <strong>le</strong>s années 2006,2007 et 2010.12 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Le succès des journées est ensuite <strong>le</strong> fruit du travail du comité scientifique,que je voudrais remercier ici : Paul Drijvers, de l’Institut Freudenthal d’Utrecht,Hamid Chaachoua, de l’équipe MeTAH du LIG (Grenob<strong>le</strong> 1), Magali Hersant, duCREN (Nantes), Yves Matheron, de l’équipe ADEF (IFÉ) et Giorgos Psycharys, del’Université Nationa<strong>le</strong> et Capodistriaque d'Athènes ont assuré, à travers <strong>le</strong> processusde sé<strong>le</strong>ction des propositions, la diversité et la richesse des contributions desjournées. C’était la première fois qu’un appel à contribution avait d’ail<strong>le</strong>urs étélancé 2 , expérience à poursuivre sans doute, en repensant l’articulation des différentsmoments de ces journées.Il est aussi <strong>le</strong> résultat de l’ouverture internationa<strong>le</strong> de des journées : desdoctorants, enseignants ou enseignants chercheurs d’Algérie, d’Italie, de Catalogne,du Québec, du Liban, de Colombie et du Mexique ont présenté <strong>le</strong>urs travaux. Unemention particulière pour Ana Isabel Sacristan, chercheure du CINVESTAV(Mexico) invitée à l’IFÉ, qui était accompagnée de ses trois doctorants, bénéficiantd’une bourse du gouvernement mexicain : sa conférence, sur l’intégration de latechnologie dans l’enseignement des mathématiques, constituait une sorte de pointd’orgue des interactions qui se sont développées, entre chercheurs et doctorantsfrançais et mexicains, pendant 3 mois.L’intérêt de ces journées reposait enfin sur <strong>le</strong>s interactions entre champs derecherche : la conférence d’Olivier Druet, mathématicien de l’ENS Lyon ; cel<strong>le</strong>d’Alain Mercier, didacticien des mathématiques (IFÉ) et cel<strong>le</strong> de Nicolas Balacheff(Laboratoire d’informatique de Grenob<strong>le</strong>), à la frontière entre didactique etinformatique, ont été des moments particulièrement riches de ce point de vue.Les interactions nouvel<strong>le</strong>s entre <strong>le</strong>s didacticiens et <strong>le</strong>s mathématiciens, àl’intérieur de l’ENS Lyon, apparaissent sans doute comme un des acquis majeurs deces journées, à développer comme sont à développer <strong>le</strong>s interactions entre l’IFÉ et<strong>le</strong>s deux anciennes composantes de l’ENS de Lyon (ENS-LSH et ENSL). Le soutienapporté à ces journées par <strong>le</strong> fonds recherche de l’ENS de Lyon est sans doutesignificatif de cette volonté partagée d’échanges.Une structuration en quatre thèmesLa structuration des actes reprend naturel<strong>le</strong>ment cel<strong>le</strong> des journées : ilss’ouvrent sur <strong>le</strong>s quatre conférences invitées, se poursuivent par <strong>le</strong>s communicationset s’achèvent par <strong>le</strong>s ateliers. Communications et ateliers sont structurés en quatrethèmes : 1) Quel<strong>le</strong>s interactions entre enseignants, mathématiciens et didacticiens ?2) Le travail collaboratif des enseignants : conception de ressources et formation3) Comment rendre <strong>le</strong>s élèves créateurs de mathématiques dans la sal<strong>le</strong> de classe ?2 Les années précédentes, <strong>le</strong>s journées étaient organisées autour de conférences invitées etd’ateliers, permettant aux équipes d’enseignants associés de confronter <strong>le</strong>urs travaux.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ13
4) Quels outils technologiques pour appuyer <strong>le</strong>s processus d’enrichissement desressources ?Ces thèmes se situent dans <strong>le</strong> fil des journées mathématiques antérieures, ilsse prolongeront sans doute au-delà de ces journées, sans attendre <strong>le</strong>s journées 2012 :<strong>le</strong>s équipes de recherche, mobilisant chercheurs et enseignants associés, poursuivent<strong>le</strong>urs travaux, et <strong>le</strong> site EducMath veut constituer, à <strong>le</strong>ur service, une ressource vive,support d’interactions renouvelées.Aldon, G., Artigue, M., Bardini, C., Baroux-Raymond, D., Bonnafet, J.-L., Combes,M.-C., Guichard, Y., Hérault, F., Nowak, M., Sal<strong>le</strong>s, J., Trouche, L., & Zuchi, I.,(2008), Nouvel environnement technologique, nouvel<strong>le</strong>s ressources, nouveauxmodes de travail : <strong>le</strong> projet e-CoLab (expérimentation Collaborative de Laboratoiresmathématiques), Repères-IREM, 72, 51-78Aldon, G. (2009), A resource to spread maths research prob<strong>le</strong>ms in the classroom.in V. Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne & F. Arzarello (Éds.), Proceedings of theSixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education.January 28th - February 1st 2009, Lyon (France).Brousseau, G. (1998), Théorie des situations didactiques. Grenob<strong>le</strong> : La PenséeSauvageGueudet, G., Pepin, B., & Trouche, L. (eds.) (2012), From Textbooks to ‘Lived’Resources: Mathematics Curriculum Materials and Teacher Documentation, NewYork, Springer.Gueudet, G., & Trouche, L. (dir.) (2010), Ressources vives. La documentation desprofesseurs en mathématiques, PUR, Rennes et INRP.Matheron, Y. (2008), Le projet AMPERES, Cahiers pédagogiques 466, 55-57.Soury-Lavergne S., Trouche, L., Loisy, C., & Gueudet, G. (2011), Parcours deformation, de formateurs et de stagiaires: suivi et analyse, rapport à destination duMESR, INRP-ENSL.Trgalová, J., Soury-Lavergne, S., Jahn, A. P. (2011), Quality assessment process fordynamic geometry resources in Intergeo project: rationa<strong>le</strong> and experiments. ZDM –The International Journal on Mathematics Education 43(3), 337-351.14 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Ouverture des journéesOuverture par Yves Winkin, directeur de l’IFÉ, Nicolas Saby, présidentde l’assemblée des directeurs d’IREM et Robert Cabane, inspecteur général,groupe des mathématiques de l’IGENYves Winkin, directeur de l’IFÉL’Institut national de recherche pédagogique a été dissous fin décembre 2010 ;l’Institut français de l’Éducation lui a succédé officiel<strong>le</strong>ment à la mi-avril 2011. Ils’agit d’une composante de l’Eco<strong>le</strong> norma<strong>le</strong> supérieure de Lyon, qui se voit ainsidotée d’un seul coup d’un excel<strong>le</strong>nt dispositif de formation et de recherche enéducation. Si <strong>le</strong> terme « éducation » remplace l’expression « recherchepédagogique », ce n’est évidemment pas parce que la recherche s’efface au profit dela formation (il suffit de lire <strong>le</strong>s statuts de l’IFÉ pour se rendre compte que <strong>le</strong>smissions de l’INRP, et en particulier la recherche, sont intégrées dans cel<strong>le</strong>s del’IFÉ), mais parce que <strong>le</strong> périmètre s’élargit : l’IFÉ se donne pour ambition decouvrir à terme l’ensemb<strong>le</strong> du spectre éducatif, du premier degré à l’université, et des’ouvrir à différentes « éducations à », en convoquant non seu<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>s sciences del’éducation mais l’ensemb<strong>le</strong> des disciplines qui s’intéressent à l’éducation, de laphilosophie à l’anthropologie, des sciences cognitives aux sciences de lacommunication.Vaste, très vaste programme. Au cœur duquel on va retrouver <strong>le</strong>smathématiques, qui exercent en France un incontestab<strong>le</strong> <strong>le</strong>adership en matière deréf<strong>le</strong>xion sur <strong>le</strong>s modes de transmission et d’apprentissage, à tout niveaud’enseignement. C’est ce rô<strong>le</strong> moteur exercé au niveau national que la didactiquedes mathématiques doit continuer à jouer au sein du nouvel IFÉ, en engageant <strong>le</strong>dialogue avec <strong>le</strong>s disciplines qui commencent à y entrer, comme l’anthropologie dessciences ou <strong>le</strong>s sciences de l’information.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ15
Que la recherche sur l’enseignement des mathématiques se sente en phase àl’IFÉ avec l’anthropologie des sciences, tel<strong>le</strong> qu’el<strong>le</strong> est aujourd’hui incarnée àl’IFÉ par Samuel Lézé 1 , ne devrait pas étonner <strong>le</strong>s <strong>le</strong>cteurs des travaux d’YvesMatheron, membre du laboratoire ADEF, que l’IFÉ partage avec l’Université deProvence à Marseil<strong>le</strong>. Son dernier ouvrage s’intitu<strong>le</strong> Mémoire et étude desmathématiques. Une approche didactique à caractère anthropologique (2010). Il yest question de mémoire socia<strong>le</strong>, à la manière de Maurice Halbwachs,d’ethnomathématiques, sinon d’ethnométhodologie : tous <strong>le</strong>s éléments sont en placepour un séminaire interdisciplinaire de haut niveau…Les sciences de l’information sont depuis la rentrée 2011 représentées à l’IFÉpar Jean-Michel Salaün, qui a pour mission d’y développer l’« architecture del’information » 2 , une interdiscipline à la fois proche de l’informatique et de lasociologie des usages des nouvel<strong>le</strong>s technologies. Ici aussi, on pressent <strong>le</strong> dialoguefécond qui va pouvoir s’établir entre <strong>le</strong>s architectes de l’information et <strong>le</strong>sdidacticiens des mathématiques, qui se sont intéressés aux TIC dès <strong>le</strong>ur apparitiondans <strong>le</strong> paysage éducatif.Pour que ces échanges aient lieu, il ne faut pas chercher à <strong>le</strong>s provoquer avectrop d’empressement. Il suffit que des Journées annuel<strong>le</strong>s tel<strong>le</strong>s que cel<strong>le</strong>s-ci aientlieu à l’IFÉ, que des actes en sortent et circu<strong>le</strong>nt, que des collègues <strong>le</strong>s lisent et sedemandent pourquoi ils n’y participeraient pas l’année prochaine. Bien sûr, il faudraveil<strong>le</strong>r à <strong>le</strong>s inviter, mais ce mouvement se fera de lui-même. C’est là où la grandeexpérience du travail collaboratif de Luc Trouche fait merveil<strong>le</strong> : avec quelquescollègues, il met calmement en place <strong>le</strong>s conditions d’un renouvel<strong>le</strong>mentdisciplinaire et générationnel de la didactique des mathématiques en France. L’IFÉse doit de lui donner, de vous donner, d’excel<strong>le</strong>ntes conditions de travail. Et je medois de lui exprimer, de vous exprimer, toute ma gratitude pour un apport décisifdans l’aventure intel<strong>le</strong>ctuel<strong>le</strong> que <strong>le</strong> nouvel IFÉ entame depuis quelques mois.Nicolas Saby, président de l’Assemblée des Directeurs d’IREM 3L'ADIREM se réjouit du succès croissant des journées mathématiques de l'IFÉ,ce qui prouve la vitalité des réseaux engagés. Ces premières journées qui prennent<strong>le</strong> relais de cel<strong>le</strong>s de l'INRP s'inscrivent dans une continuité. El<strong>le</strong>s sont avant toutpour l'ADIREM <strong>le</strong> symbo<strong>le</strong> de la rencontre de deux réseaux : <strong>le</strong> réseau de l'IFÉd'une part et celui des IREM d'autre part.Si l'activité des IREM réside surtout dans des groupes de recherche débouchant1 Fernandez, F., Lézé, S., & Marche, H. (dir.) (2008), Le langage social des émotions. Étudessur <strong>le</strong>s rapports au corps et à la santé, Anthropos Economica2 J.-M. Salaün présente ce nouveau champ par une vidéo sur You Tubehttp://www.youtube.com/watch?v=5ICyFJouHv43 Instituts de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques16 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
sur des actions de formation continue et initia<strong>le</strong>, <strong>le</strong> réseau des IREM ne saurait sepasser des activités plus orientées par des problématiques de recherchefondamenta<strong>le</strong>s ou appliquées. En ce sens, l'intégration récente de l'IFÉ dans l'ENS-Lyon est perçue comme un nouvel élan permettant d'enrichir mutuel<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>stravaux des deux réseaux. Ces rencontres sont ainsi l'occasion pour <strong>le</strong>s IREMd'apprendre <strong>le</strong>s nouveaux enjeux et recherches sur <strong>le</strong>s questions de l'enseignementdes mathématiques. C'est aussi l'occasion pour <strong>le</strong>s animateurs des IREM,participants à des recherches menées par l'IFÉ de diffuser ces travaux au sein desIREM.Bien sur, <strong>le</strong>s bou<strong>le</strong>versements récents dans l'enseignement supérieur et dans laformation des enseignants ont quelque peu déstabilisé <strong>le</strong>s structures, mais <strong>le</strong> succèsde ces journées montrent à l'évidence la mobilisation des réseaux sur <strong>le</strong>s questionsd'enseignement des mathématiques qui ne manquent pas de se renouve<strong>le</strong>r et nouspouvons résolument espérer que ces premières rencontres de l'IFÉ soient <strong>le</strong>spremières d'une longue série.Robert Cabane, inspecteur général, groupe des mathématiques de l’IGENLes journées mathématiques de l’IFÉ 2011 sont axées sur quelquesthématiques fort importantes pour tous, qu’ils soient enseignants, chercheurs ouresponsab<strong>le</strong>s du système comme <strong>le</strong>s inspecteurs. Je commenterai brièvement trois deces thématiques en <strong>le</strong>s associant aux travaux actuels que nous menons en lien avecla mise en place du soc<strong>le</strong> au Collège et de la réforme du lycée général ettechnologique.1. Quel<strong>le</strong>s interactions entre <strong>le</strong>s enseignements de mathématiques et de sciencesexpérimenta<strong>le</strong>s ?Dans <strong>le</strong> nouveau programme de Mathématiques pour la classe de Termina<strong>le</strong>S, nous avons choisi de mettre en avant <strong>le</strong>s situations qui permettent au professeurde mathématiques d’établir des liens explicites entre <strong>le</strong>s différents enseignementsscientifiques ; nous espérons que, par cette approche, <strong>le</strong>s élèves percevront mieuxqu’avant <strong>le</strong> « continuum » des sciences que <strong>le</strong>s « barrières disciplinaires » tendent àdissimu<strong>le</strong>r voire à briser. Cette ambition est donc annoncée dès <strong>le</strong> préambu<strong>le</strong> duprogramme par la phrase suivante :Les commentaires distinguent des thèmes pouvant se prêter à des ouverturesinterdisciplinaires, en concertation avec <strong>le</strong>s professeurs d’autres disciplinesscientifiques.Voici quelques exemp<strong>le</strong>s (re<strong>le</strong>vés dans la colonne « Commentaires » duprogramme) :• [SI] Gain lié à une fonction de transfert.• [SPC] Intensité sonore, magnitude d’un séisme, échel<strong>le</strong> des pH.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ17
• [SVT] Hérédité, génétique, risque génétique.• [SVT] Analyse de graphiques où <strong>le</strong>s données sont fournies par desinterval<strong>le</strong>s de confiance.Le même choix a prévalu en ce qui concerne <strong>le</strong>s séries STI2D et STL ; ontrouvera par exemp<strong>le</strong> la situation suivante : Impédances, admittances comp<strong>le</strong>xes.Enfin, en série STD2A, ce sont <strong>le</strong>s liens avec l’enseignement en artsappliqués qui ont sous-tendu toute l’écriture du programme.Au plan pédagogique, il ne suffit pas de formu<strong>le</strong>r de tel<strong>le</strong>s remarques dans <strong>le</strong>programme pour faire évoluer <strong>le</strong> contenu des enseignements : encore faut-il que <strong>le</strong>senseignants s’en saisissent et <strong>le</strong>s intègrent dans <strong>le</strong>urs progressions.Nous avons donc mis en chantier un certain nombre de documents deressources pédagogiques dont la vocation n’est pas d’imposer des démarches (ce quiserait en contradiction avec <strong>le</strong> principe de liberté pédagogique de l’enseignant) maisde proposer des scénarios possib<strong>le</strong>s pour la conception de cours et de travauxd’application mettant en œuvre l’ensemb<strong>le</strong> des aspects des nouveaux programmes.Ces documents, déjà publiés ou à paraître, concernent <strong>le</strong>s domaines suivants :• séries STI2D et STL PC : <strong>le</strong> document est pluridisciplinaire et concernesimultanément mathématiques, SPC et STI ;• série STL Biotechnologies : <strong>le</strong> document est aussi pluridisciplinaire etconcerne mathématiques et sciences biologiques (SBSSA) ;• série STD2A : <strong>le</strong> document aborde différents aspects des liens entremathématiques et arts et recoupe <strong>le</strong> programme de Physique à propos de lalumière et des cou<strong>le</strong>urs ;• séries S et STI2D : un document est déjà publié autour de l'enseignement dela Statistique et des Probabilités en classe de Première, un autre est en coursde réalisation pour <strong>le</strong>s classes termina<strong>le</strong>s.Les démarches pluri- ou interdisciplinaires ne sont pas réservées au lycée ; en effet,nous avons aussi publié une banque de problèmes et de situations permettantl’approche et l’évaluation des tâches comp<strong>le</strong>xes au collège.Au-delà du désir de présenter en cohérence <strong>le</strong> panorama des sciences, sedistingue particulièrement l’enseignement des probabilités et statistiques qui vientd’être singulièrement renforcé avec l’introduction de la loi binomia<strong>le</strong> en classe dePremière et de la loi norma<strong>le</strong> en classe termina<strong>le</strong> ; la manipulation des interval<strong>le</strong>s deconfiance ouvre la voie à l’étude de nombreuses situations issues des diversessciences, technologies ainsi que de l’économie. Compte tenu de cet enjeu, deuxdocuments de ressources pédagogiques sont en cours de réalisation, l’un partant dupoint de vue des mathématiques (déjà mentionné) et l’autre partant du point de vuedes physiciens (autour des incertitudes des mesures et de la métrologie). Laconfrontation de ces approches promet de nous occuper quelque temps encore !18 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
2. La mise en activité des élèvesLes inspecteurs, qui vont encore dans <strong>le</strong>s classes, savent bien que <strong>le</strong>s coursde mathématiques sont parfois ennuyeux ; pour <strong>le</strong>s élèves soumis à de telsenseignements, « faire des mathématiques » s’identifie à une répétition d’exercicesstéréotypés dont ils ne perçoivent pas <strong>le</strong> sens. Sans prétendre aucunement imposerune pédagogie « officiel<strong>le</strong> » (ce serait une aberration), nous tenons à quelquesobjectifs pédagogiques simp<strong>le</strong>s :• Essayons de rendre <strong>le</strong>s élèves « acteurs de <strong>le</strong>urs apprentissages » : la meil<strong>le</strong>uremanière de comprendre <strong>le</strong>s mathématiques c’est de <strong>le</strong>s essayer, de « joueravec », notamment grâce à l’usage des moyens technologiques (voir cidessous).Les enseignements de spécialité (séries S, ES, L) fournissent aussi uncontexte propice à cette mise en activité.• Donnons envie aux jeunes de faire des mathématiques, faisons en sorte qu'ils yprennent du plaisir et qu'ils en perçoivent l’intérêt. Que ce soit ludique,intrigant, rassurant ou simp<strong>le</strong>ment uti<strong>le</strong> pour d’autres sciences ou pourcomprendre <strong>le</strong> monde ou la société, peu importe !• Aussi souvent que possib<strong>le</strong>, passons par la résolution de problèmes pouraborder <strong>le</strong>s notions fondamenta<strong>le</strong>s, avec une petite limite cependant : <strong>le</strong>sproblèmes proposés ne doivent pas être tota<strong>le</strong>ment artificiels, sinon <strong>le</strong>smathématiques se réduisent à la résolution des problèmes inventés pour fairedes mathématiques !• Aussi souvent que possib<strong>le</strong>, déconnectons <strong>le</strong> temps consacré à la formation desélèves du temps consacré à l'évaluation fina<strong>le</strong>. Certes, <strong>le</strong>s programmesprécisent des capacités attendues, notion par notion, mais la formation desélèves ne saurait se limiter à un parcours d’obstac<strong>le</strong>s correspondant à cesdiverses capacités. C’est à travers une progression pédagogique soigneusementconçue, éclairant <strong>le</strong>s notions <strong>le</strong>s unes par <strong>le</strong>s autres, que <strong>le</strong>s enseignantsparviennent à donner du sens à l’édifice ; <strong>le</strong>s capacités attendues peuvent alorsse mettre en place en temps et heure.3. Les outils technologiques et <strong>le</strong>s ressources numériquesJe m’appuierai encore sur <strong>le</strong>s nouveaux programmes de mathématiques en sérieS, qui stipu<strong>le</strong>nt :L’utilisation de logiciels, d’outils de visualisation et de simulation, de calcul(formel ou scientifique) et de programmation change profondément lanature de l’enseignement en favorisant une démarche d’investigation.En particulier, lors de la résolution de problèmes, l’utilisation de logicielsde calcul formel limite <strong>le</strong> temps consacré à des calculs très techniques afinde se concentrer sur la mise en place de raisonnements.Si <strong>le</strong> premier paragraphe cité rappel<strong>le</strong> des prescriptions déjà anciennes, <strong>le</strong> secondmet en place un contexte un peu nouveau en proposant d’intégrer l’usage deActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ19
systèmes de calcul formel dans la pratique quotidienne des mathématiques en classetermina<strong>le</strong>. Cette évolution, anticipée dans <strong>le</strong>s programmes antérieurs, n’a rien de trèsoriginal dans la mesure où l’usage du calcul formel (parfois nommé CAS c’est-àdireComputer Algebra System) est devenu courant dans <strong>le</strong>s lycées de nombreuxpays dont l’Autriche et l’Al<strong>le</strong>magne.Les logiciels de calcul formel sont aujourd’hui répandus et on en trouve de fortbons dans <strong>le</strong> cadre des logiciels libres (XCas, Maxima) comme dans certainescalculatrices.Il serait évidemment souhaitab<strong>le</strong> que l’évaluation termina<strong>le</strong> (c’est-à-dire, <strong>le</strong> bac)puisse tenir compte de cette dimension essentiel<strong>le</strong> ; toutefois, <strong>le</strong> projet d’épreuvespratiques que nous avons expérimenté de 2006 à 2009 n’a pas abouti. L’effort desprofesseurs s’est donc partiel<strong>le</strong>ment reporté sur <strong>le</strong>s calculatrices dont ils apprécientla soup<strong>le</strong>sse mais déplorent la petite tail<strong>le</strong> (faire de la géométrie dynamique sur unecalculatrice tient parfois de l’exploit) !Pourtant tout n’est pas perdu : dès cette année, l’évaluation en mathématiquesdans <strong>le</strong> cadre du baccalauréat professionnel se fait en cours de formation et selon unprotoco<strong>le</strong> inspiré de ce que furent <strong>le</strong>s épreuves pratiques, avec l'utilisation de gril<strong>le</strong>sde compétences.Pour conclure sur cet aspect, il est indéniab<strong>le</strong> que nous disposons aujourd’hui detrès bons outils logiciels pour illustrer <strong>le</strong>s mathématiques et avant tout pour soutenirla mise en activité des élèves. Nous apprécions que <strong>le</strong>s professeurs montrent deschoses merveil<strong>le</strong>uses à l’aide du TNI ou de tel ou tel logiciel, mais nous apprécionsbien plus que <strong>le</strong>s élèves aient l’occasion de s’en servir réel<strong>le</strong>ment.20 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
ConférencesActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ21
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Autoroutes et films de savon conférence en ligne sur canal-uOlivier DruetUMPA-ENS Lyon46, allée d'Italie69364 Lyon cedex 7RÉSUMÉ. Ce texte prend pour point de départ une manipulation présentée à des collégiens etlycéens dans <strong>le</strong> cadre de MathαLyon. Nous tentons de dégager quelques questions que <strong>le</strong>sélèves se posent devant ces expériences et de montrer comment un mathématicien peut <strong>le</strong>sprendre au vol pour accompagner <strong>le</strong>s élèves dans une démarche de recherche enmathématiques.Introduction : MathαLyonMathαLyon est une opération menée depuis deux ans par l’IREM de Lyon,l’Institut Camil<strong>le</strong> Jordan (Université de Lyon 1) et l’Unité de Mathématiques Pureset Appliquées (ENS Lyon) soutenue par <strong>le</strong> CNRS, l’Université Lyon 1 et l’Eco<strong>le</strong>Norma<strong>le</strong> Supérieure de Lyon. Une fois par mois, des chercheurs instal<strong>le</strong>nt une miniexpositionde mathématiques dans un établissement du secondaire de l’Académie deLyon pour deux jours. Cette exposition est une version réduite de l’expositioninternationa<strong>le</strong> « Pourquoi <strong>le</strong>s mathématiques ? » qui a été créée en 2000 pour l’annéemondia<strong>le</strong> des mathématiques avec <strong>le</strong> soutien de l’UNESCO et qui continue decircu<strong>le</strong>r à travers <strong>le</strong> monde quelque dix ans après.Les mathématiciens lyonnais, qui avaient fait venir l’exposition en 2006 auMuseum, ont fait dupliquer un certain nombre de manipulations de cette expositionet la font maintenant circu<strong>le</strong>r dans <strong>le</strong>s établissements scolaires 1 .Le principe d’une intervention est <strong>le</strong> suivant : <strong>le</strong>s manipulations (une douzainede tab<strong>le</strong>s contenant chacune une ou deux manipulations) sont installées pour deuxjours dans un établissement scolaire. Les classes y circu<strong>le</strong>nt sur <strong>le</strong>urs heures decours, comme dans une mini-exposition. Une particularité de cette opération est quequatre chercheurs en mathématiques de l’Université de Lyon 1 ou de l’Éco<strong>le</strong>1 Et ce gratuitement pour <strong>le</strong>s établissements.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ23
Norma<strong>le</strong> Supérieure de Lyon sont présents en permanence pour accompagner <strong>le</strong>sélèves lors de <strong>le</strong>ur passage.L’idée essentiel<strong>le</strong> est d’inciter <strong>le</strong>s élèves à se poser des questions face à cesexpériences 2 , <strong>le</strong> but n’étant en aucun cas d’apporter des réponses. Les chercheurssont là pour aider <strong>le</strong>s élèves à adopter une démarche de mathématiciens en prenant<strong>le</strong>s questions "naïves" au vol, en <strong>le</strong>s transformant un peu et en <strong>le</strong>s amenant à s’enposer d’autres, éventuel<strong>le</strong>ment plus simp<strong>le</strong>s, et surtout à bien <strong>le</strong>s poser. C’est à notresens la première démarche du mathématicien : bien poser <strong>le</strong>s questions quiapparaissent naturel<strong>le</strong>ment. Cela demande de <strong>le</strong>s mettre dans un cadre approprié à<strong>le</strong>ur traitement mathématique.1. La manipulation des films de savonParmi toutes ces manipulations, nous en choisirons une comme point de départpour par<strong>le</strong>r de mathématiques, à tous niveaux. C’est la manipulation des films desavon 3 . L’expérience, très appréciée des élèves 4 , se présente ainsi : deux cuves sontremplies de savon 5 dans <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s <strong>le</strong>s élèves sont invités à tremper des objets dedeux sortes. Premièrement, deux plaques parallè<strong>le</strong>s au sein desquels ont été insérésdes plots ; deuxièmement, des polyèdres réguliers (cube, octaèdre, tétraèdre) dont <strong>le</strong>sarêtes sont en métal. Lorsque ces objets sont trempés dans <strong>le</strong>s cuves puis retirésdélicatement, <strong>le</strong> savon s’accroche sur ces contours (plots ou arêtes) et forme un filmde savon pour <strong>le</strong>s relier. Les films formés sont magnifiques, d’une grande pureté,présentent certaines symétries, et une chose est sûre : <strong>le</strong> savon ne forme pas cesfilms par hasard. Par exemp<strong>le</strong>, si on perturbe l’expérience en soufflant (un peu) sur<strong>le</strong>s films ou même en détachant <strong>le</strong> savon de certaines arêtes, on voit <strong>le</strong> savon revenirà sa forme initia<strong>le</strong> ou al<strong>le</strong>r en chercher une autre, tout aussi bel<strong>le</strong>.La question qui doit venir, et qui revient à chaque intervention, est : pourquoi <strong>le</strong>savon forme-t-il ces films ? Cette question est posée par <strong>le</strong>s élèves essentiel<strong>le</strong>mentpour <strong>le</strong>s polyèdres, qui donnent des formes magnifiques et surprenantes.Pour répondre à cette question, il faut faire appel à la physique. Ce n’est pas <strong>le</strong>lieu de rentrer dans ce problème ici. La seu<strong>le</strong> chose à savoir est que <strong>le</strong> savon, sous<strong>le</strong>s contraintes qui lui sont imposées, va tenter de prendre une forme qui minimisel’aire de la surface du film de savon, et ce pour des raisons d’énergie de tensionsuperficiel<strong>le</strong> 6 . On peut d’ail<strong>le</strong>urs en convaincre <strong>le</strong>s élèves en imposant au savon des’accrocher à deux plots seu<strong>le</strong>ment d’une doub<strong>le</strong> plaque. Le savon forme alors un2 Qui couvrent un large spectre des mathématiques : de la théorie des graphes auxprobabilités, en passant par la géométrie des surfaces, et j’en oublie…3 Nous renvoyons à l’excel<strong>le</strong>nt [Laurain 2011] sur <strong>le</strong> site "Images des mathématiques" pourdes photos de ces expériences. Une page Web MathαLyon avec des photos fera éga<strong>le</strong>ment sonapparition dans quelques mois.4 Mais qui n’a pas été émerveillé par des bul<strong>le</strong>s ou des films de savon, aux formes si pures ?5 Liquide vaissel<strong>le</strong>, eau et glycérine.24 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
film vertical dont la trace sur <strong>le</strong> plan est <strong>le</strong> segment de droite reliant <strong>le</strong>s deux pointsde départ, ce qui est visib<strong>le</strong>ment la surface d’aire minima<strong>le</strong> sous la contrainte d’êtreaccroché à ces deux plots. Mais prenons ce fait comme un point de départ. Nousvoilà maintenant sur <strong>le</strong> terrain des mathématiques ; <strong>le</strong> savon répond à la questionsuivante : quel<strong>le</strong> est la surface d’aire la plus petite possib<strong>le</strong> sous la contrainte d’êtreaccroché à un contour donné ? En fait, <strong>le</strong> savon ne répond pas exactement à cettequestion. Il ne "trouvera" qu’une surface qui minimise loca<strong>le</strong>ment (i.e. parmi <strong>le</strong>ssurfaces vérifiant <strong>le</strong>s contraintes proches de cel<strong>le</strong> considérée) l’aire. On peut illustrercela par un ballon lâché dans des montagnes russes. Celui-ci ira se placer en un pointd’altitude minima<strong>le</strong>, mais seu<strong>le</strong>ment loca<strong>le</strong>ment minima<strong>le</strong>. Nul ne dit qu’il n’y a pasdans <strong>le</strong> paysage un point d’altitude plus faib<strong>le</strong> mais que <strong>le</strong> ballon ne pourra pasatteindre.Mais la question reste entière : ces surfaces d’aire minima<strong>le</strong> présentent unecertaine régularité, <strong>le</strong>s mêmes motifs semblant revenir quel que soit <strong>le</strong> contourplongé dans la cuve. Pourquoi ?2. Le problème des autoroutes et <strong>le</strong>s points de SteinerLe premier acte mathématique, une fois ce problème bien posé, est de simplifier<strong>le</strong> problème. Nous inciterons <strong>le</strong>s élèves à commencer par <strong>le</strong> problème 2-dimensionnel, plutôt que d’essayer de comprendre immédiatement <strong>le</strong> problème dansl’espace. Les plaques sont construites pour réduire <strong>le</strong> problème d’une dimension enimposant au savon une invariance selon l’axe vertical.Le problème devient alors : étant donnés quelques points dans <strong>le</strong> plan, quel est <strong>le</strong>plus court chemin pour <strong>le</strong>s relier entre eux (cf. figure 1) ? Ce problème est connusous <strong>le</strong> nom de problème des autoroutes 7 . Étant donnés quelques villages, commentconstruire un réseau routier permettant de joindre deux quelconques de ces villagesen utilisant <strong>le</strong> moins de bitume possib<strong>le</strong>, <strong>le</strong> paysage étant supposé plat ?6 Nous renvoyons encore une fois à [Laurain 2011] pour une brève explication ou alors à[Isenberg 1978].7 Ou plus scientifiquement sous <strong>le</strong> nom de problème de Steiner, du nom d’un mathématiciensuisse (1796-1863), excel<strong>le</strong>nt géomètre du XIXe sièc<strong>le</strong>.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ25
Figure 1 - Le problème de Steiner.Pour deux points, la réponse est connue : c’est <strong>le</strong> segment de droite reliant cesdeux points qui constitue <strong>le</strong> réseau <strong>le</strong> plus court. Mais cela commence à devenirintéressant lorsqu’il y a plus de villages (et qu’ils ne sont pas alignés).2.1. Le triang<strong>le</strong> - L’expérienceCommençons par <strong>le</strong> triang<strong>le</strong>. On peut faire des expériences avec du savon. Mais,faute de savon, on peut aussi utiliser un ordinateur, et plus particulièrement la petiteapplication développée par Marc Lasson, Paul Laurain et Aurélien Pardon,cf. http ://perso.ens-lyon.fr/aurelien.pardon/steiner/. A notre avis, l’ordinateur al’énorme défaut d’être une immense boîte noire et d’être peu convaincant pour celuiqui ne connaît pas mathématiquement <strong>le</strong>s réponses à la question posée puisque touteapplication de ce genre utilise d’une façon ou d’une autre quelques résultatsmathématiques liés à la question 8 . Mais l’énorme avantage est qu’on peut répéterrapidement un nombre important de simulations. On trouve ainsi <strong>le</strong>s résultatssuivants :Figure 2 - Le problème de Steiner dans <strong>le</strong> cas du triang<strong>le</strong>.8 Certes, avec <strong>le</strong> savon, il faut faire confiance à l’explication physique, mais ensuite, cela resteplus concret et beaucoup plus convaincant.26 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Il semb<strong>le</strong> donc que la solution puisse être de deux types : soit <strong>le</strong>s deux segmentsdu triang<strong>le</strong> correspondant au grand ang<strong>le</strong> de celui-ci lorsque cet ang<strong>le</strong> est grand, soitun réseau composé de trois segments rejoignant <strong>le</strong>s sommets à un quatrième point,qui reste à déterminer… Bien entendu, faute de place, nous ne donnons que deuxexemp<strong>le</strong>s mais l’application mentionnée ci-dessus permet de faire beaucoupd’expériences à peu de frais pour se convaincre que seu<strong>le</strong>s ces deux situationsarrivent.Une première chose à remarquer est que, dans ce réseau, <strong>le</strong>s routes sont droites 9 ,et qu’il y a éventuel<strong>le</strong>ment des intersections. Dans <strong>le</strong> cas de trois points, <strong>le</strong> <strong>le</strong>cteur seconvaincra faci<strong>le</strong>ment qu’il n’y a aucun intérêt à avoir deux intersections : en effet,il faudra bien <strong>le</strong>s joindre l’une à l’autre et il est plus court de joindre <strong>le</strong>s points quiarrivent à la première directement à la seconde. Ceci nous permet de reposer <strong>le</strong>problème, dans <strong>le</strong> cas du triang<strong>le</strong> : où est <strong>le</strong> point M tel que MA+MB+MC soitminimal ? Etant entendu que ce point pourrait être en A, B ou C et étant entenduéga<strong>le</strong>ment qu’un mathématicien voudra éga<strong>le</strong>ment démontrer que ce point existe.En observant quelques exemp<strong>le</strong>s, il semb<strong>le</strong>rait que <strong>le</strong> point M soit tel que <strong>le</strong>s troisang<strong>le</strong>s BMC ,BMA et AMC soient égaux à 120 degrés. Sauf si l’ang<strong>le</strong> <strong>le</strong> plus granddu triang<strong>le</strong> est trop grand (en fait supérieur à 120 degrés comme nous <strong>le</strong> verrons).2.2. Le point de Steiner - une première preuveAdmettons pour l’instant que ce point M existe et supposons éga<strong>le</strong>ment dans unpremier temps qu’il est différent des sommets du triang<strong>le</strong>. La figure ci-dessous donneune preuve 10 du fait que ce point M est tel queBMC ,BMA et AMC sont égaux.9 Le plus court chemin pour joindre deux points étant <strong>le</strong> segment <strong>le</strong>s joignant.10 De niveau élémentaire.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ27
Figure 3 - Egalité des ang<strong>le</strong>s (preuve).Comment cette figure est-el<strong>le</strong> construite ? On part d’un point P qui n’est pas l’undes sommets du triang<strong>le</strong> ABC. En opérant une rotation de 60 degrés de centre A, onenvoie C sur C' et P sur P'. Les triang<strong>le</strong>s AP'C' et APC étant isométriques, nousavons AP=AP' et PC=P'C'. Mais <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> APP' étant équilatéral, nous avonséga<strong>le</strong>ment AP=PP'. AinsiAP+BP+CP=BP+PP'+P'C'≥BC'avec égalité si et seu<strong>le</strong>ment si <strong>le</strong>s points B, P, P' et C' sont alignés. Il faut noterque ce point C' ne dépend pas du choix de P puisque c’est simp<strong>le</strong>ment l’image de Cpar la rotation de 60 degrés de centre A. Le point P sera donc celui qui minimiseAP+BP+CP si <strong>le</strong>s points B, P, P' et C' sont alignés : il n’est pas diffici<strong>le</strong> de seconvaincre qu’alors, <strong>le</strong>s trois ang<strong>le</strong>s BPC , BPA et APC sont égaux à 120 degrés.Cette preuve, comme beaucoup de preuves géométriques "à la grecque", estsimplissime, une fois donnée. Le problème est de savoir d’où el<strong>le</strong> sort. On peutimaginer que l’objectif est de substituer <strong>le</strong> problème de sommes de longueurs à unproblème de points alignés puisque nous savons que la ligne droite est <strong>le</strong> plus courtchemin. Certes, mais cela ne fait que redonner une certaine naturalité à la preuve aposteriori. Car rien ne nous dit a priori comment passer par construction duproblème initial à ce problème d’alignement 11 . Heureusement, <strong>le</strong> 17ème sièc<strong>le</strong> estpassé par là, <strong>le</strong> développement de l’analyse ayant justement eu à cette époque pour11 Tant qu’on ne connaît pas <strong>le</strong> résultat. Une fois qu’on <strong>le</strong> connaît, <strong>le</strong>s ang<strong>le</strong>s de 120 degrés etla recherche d’alignement (180 degrés) peuvent faire penser à une rotation de 60 degrés).28 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
moteur principal l’objectif de traiter ce type de questions d’une manière généra<strong>le</strong> etefficace, sans recours aux "astuces" miracu<strong>le</strong>uses (cf. section 3.4).Toujours est-il que cette preuve nous donne un moyen direct de construire cepoint de Steiner puisqu’il doit se trouver à l’intersection des droites (AB'), (BC') et(CA') :Figure 4 - Construction du point de Steiner.2.3. Le point de Steiner - une deuxième preuveVoici une deuxième preuve que ce point M est tel que eBMC ,BMA t AMCsont égaux. Nous admettons toujours que ce point M existe. Supposons qu’il soitdifférent des sommets du triang<strong>le</strong>. L’ensemb<strong>le</strong> des points P tel que PA+PB=MA+MBest une ellipse de foyer A et B. Sur cette ellipse, <strong>le</strong> point M est celui qui minimise ladistance entre C et M. Ainsi, c’est <strong>le</strong> pied du point C sur l’ellipse. Mais alors latangente à l’ellipse se doit d’être perpendiculaire à la droite (MC). Il ne reste plusqu’à invoquer une propriété de l’ellipse pour conclure : <strong>le</strong>s ang<strong>le</strong>s faits par latangente en M avec <strong>le</strong>s deux droites reliant M aux deux foyers A et B, i.e. <strong>le</strong>s droites(MA) et (MB) sont égaux. Ainsi, il est clair que <strong>le</strong>s ang<strong>le</strong>s BMC et AMC sont égaux.Comme on peut répéter l’argument à partir des sommets B et C, on obtient <strong>le</strong> résultatvoulu.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ29
2.4. Le point de Steiner - une troisième preuveVoici une dernière preuve, qui mobilise plus de connaissances mais qui al’avantage, entre autres, de donner l’existence de ce point M, outre la propriété desang<strong>le</strong>s égaux. On considère la fonction f :R 2 R qui à un point M du planassocie f(M)=MA+MB+MC. La fonction distance à un point étant continue, etcomme f(M)≥f(A) si M est en-dehors du disque de centre A et de rayon AB+AC, sonminimum est atteint 12 en un point M. Donc ce point M existe.Si ce point M n’est pas un des sommets du triang<strong>le</strong>, alors la fonction estdifférentiab<strong>le</strong> en ce point et écrire que sa différentiel<strong>le</strong> est nul<strong>le</strong>, condition nécessairepour être un point de minimum, donne directement queMAMA MBMB MCMC = 0La somme de trois vecteurs unitaires ne pouvant être nul<strong>le</strong> que si ces troisvecteurs unitaires forment des ang<strong>le</strong>s égaux deux à deux, nous avons donc montréque <strong>le</strong>s trois ang<strong>le</strong>s BMC,BMA et AMC sont égaux si M n’est pas un des sommetsdu triang<strong>le</strong>.Si M=A, par exemp<strong>le</strong>, f n’est plus différentiab<strong>le</strong> en M mais rien n’empêched’écrire que f(P)≥f(A) pour tout point P. Fixons u un vecteur unitaire de R 2 etposons P ε=Aε u pour ε>0. Ecrivons quef P ε =ε−ε 〈 AB∣u〉AB−ε 〈 AC∣u〉+o ε ACoù o ε désigne une quantité qui devient négligeab<strong>le</strong> devant ε lorsque ε→0.Comme pour tout ε > 0, on en déduit que〈AB∣u〉AB〈 AC∣u〉AC≤1Ceci étant vrai pour tout vecteur unitaire u , on utilise <strong>le</strong> vecteur qui maximise<strong>le</strong> membre de gauche, i.e. u= v∥v∥ avecpour <strong>obtenir</strong>ou encore, après développement,v= ABAB ACAC∥v∥≤112 Une fonction continue sur un compact, par exemp<strong>le</strong> un disque, atteignant ses bornes.30 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
cos BAC =〈 ABAB , ACAC 〉≤−1 2Ceci revient exactement à dire que l’ang<strong>le</strong> BAC est supérieur ou égal à 120degrés. Ainsi, <strong>le</strong> point M ne peut être en un des sommets du triang<strong>le</strong> que si l’ang<strong>le</strong> ence sommet est supérieur ou égal à 120 degrés.Non seu<strong>le</strong>ment cette preuve nous donne l’existence d’un point M mais el<strong>le</strong> nouspermet de montrer éga<strong>le</strong>ment que ce point est unique. En effet, il est impossib<strong>le</strong>, cf.la sous-section Le point de Steiner - une première preuve, d’avoir un point M tel que<strong>le</strong>s trois ang<strong>le</strong>sBMC,BMA et AMC soient égaux si un des ang<strong>le</strong>s du triang<strong>le</strong> estsupérieur ou égal à 120 degrés. De plus, cf. éga<strong>le</strong>ment section 2.1Le point de Steiner- une première preuve, il y a au plus un point M différent de A, B et C ayant cettepropriété.2.5. Pourquoi tant de preuves ?Tout d’abord parce que cela donne l’occasion de faire une promenademathématique à niveaux multip<strong>le</strong>s (crescendo dans notre texte). Mais surtout cartoutes ces preuves présentent un intérêt. La première a l’élégance des preuvesgéométriques élémentaires ; el<strong>le</strong> a l’évidence pour el<strong>le</strong>. Mais cette évidence ne vientqu’a posteriori, el<strong>le</strong> est trompeuse. La deuxième fonctionne de la même façon maisen utilisant un peu plus de géométrie (<strong>le</strong>s propriétés de l’ellipse), el<strong>le</strong> gagne ennaturalité. La minimisation de la somme des trois longueurs est nécessairementminimisation de la troisième, la somme des deux premières étant fixée. Une foiscette remarque faite, l’ellipse s’impose. La troisième utilise cet outil extraordinairequ’est <strong>le</strong> calcul des variations (dans une forme simp<strong>le</strong>), outil parfaitement adapté àtous ces problèmes où il s’agit de minimiser, maximiser, une quantité. Avec cet outil,on quitte <strong>le</strong> monde de la géométrie pure pour l’analyse. Mais ce n’est que pourmieux y retourner, muni des résultats de l’analyse. Une fois ces résultats obtenus,rien n’interdit de trouver une preuve géométrique, mais c’est toujours plus faci<strong>le</strong>quand <strong>le</strong> résultat est connu. L’analyse ne nécessite pas d’avoir une intuition préalab<strong>le</strong>du résultat 13 , el<strong>le</strong> fournit des méthodes globa<strong>le</strong>s de résolution de problèmes.Enfin, <strong>le</strong> mathématicien préfère toujours avoir plusieurs preuves d’un résultat.Non pas pour s’assurer encore plus de la véracité de celui-ci - pour cela, une preuve(juste) suffit - mais pour s’assurer une compréhension plus profonde du problèmeainsi que pour se donner un réservoir de preuves à essayer sur des problèmesconnexes et / ou plus généraux. Par exemp<strong>le</strong>, c’est la dernière preuve qui segénéralise aux surfaces dans R 3 .13 C’est <strong>le</strong> cas ici car <strong>le</strong> problème est simp<strong>le</strong>. Il ne faudrait pas généraliser à toute l’analyse.Malgré tout, il y a une part de vrai là-dedans.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ31
2.6. Et <strong>le</strong> carré ?La réponse naturel<strong>le</strong> est : « <strong>le</strong>s deux diagona<strong>le</strong>s ». Cette réponse revient à tous<strong>le</strong>s coups. Nous attendons naturel<strong>le</strong>ment autant de symétrie dans la solution que dans<strong>le</strong> problème de départ. Malheureusement, rien ne permet d’affirmer ce genre depropriétés. Seul l’ensemb<strong>le</strong> des solutions aura nécessairement toutes <strong>le</strong>s symétriesdes données initia<strong>le</strong>s. Cette réponse donne lieu à une petite démonstrationmathématique, toute simp<strong>le</strong>, pour montrer qu’el<strong>le</strong> ne peut pas être la bonne. Tout estdans la figure suivante :Figure 5 - Le cas du carréSi <strong>le</strong>s deux diagona<strong>le</strong>s (rouges) constituaient <strong>le</strong> réseau <strong>le</strong> plus court pour joindre<strong>le</strong>s 4 sommets du carré, alors el<strong>le</strong>s seraient bien entendu éga<strong>le</strong>ment <strong>le</strong> réseau <strong>le</strong> pluscourt pour joindre <strong>le</strong>s 4 sommets su carré plus <strong>le</strong> centre de celui-ci. Mais, pourjoindre <strong>le</strong> centre avec deux sommets consécutifs du carré, c’est <strong>le</strong> réseau b<strong>le</strong>u qui est<strong>le</strong> plus court, ce que nous avons vu en traitant <strong>le</strong> cas du triang<strong>le</strong>. Ainsi, <strong>le</strong> réseau b<strong>le</strong>uest plus court que <strong>le</strong> réseau rouge. « Les deux diagona<strong>le</strong>s » ne peut donc pas être labonne réponse. Rien ne prouve que <strong>le</strong> réseau b<strong>le</strong>u soit minimal. En fait, c’est <strong>le</strong> casmais nous ne l’avons pas démontré. Il n’a pas toutes <strong>le</strong>s symétries du carré mais, parrotation de 90 degrés de centre <strong>le</strong> centre du carré, on obtient une autre solution auproblème de Steiner. L’ensemb<strong>le</strong> des solutions possède toutes <strong>le</strong>s symétries du carré.Sur cet exemp<strong>le</strong>, nous voyons bien avec <strong>le</strong>s élèves comment la réponse dans <strong>le</strong>cas <strong>le</strong> plus simp<strong>le</strong> (celui des triang<strong>le</strong>s) permet de démontrer des choses sur <strong>le</strong>s cas <strong>le</strong>splus compliqués.32 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
2.7. Et ensuite ?Dans <strong>le</strong> cas général, nous serions bien en peine de trouver <strong>le</strong> réseau optimal.C’est même un problème algorithmique compliqué. L’application citée ci-dessus,tout comme <strong>le</strong> savon 14 , ne donne que des solutions minima<strong>le</strong>s loca<strong>le</strong>s ; trouver lasolution optima<strong>le</strong> est autrement plus diffici<strong>le</strong>. Mais une chose que nous pouvonsdémontrer 15 est que <strong>le</strong> réseau sera constitué de segments de droites, <strong>le</strong>s intersectionsse faisant 3 par 3 avec des ang<strong>le</strong>s égaux.3. Les surfaces minima<strong>le</strong>sNous pouvons ensuite avec <strong>le</strong>s élèves revenir à la question initia<strong>le</strong> posée <strong>le</strong> plussouvent dans <strong>le</strong> cadre des surfaces dans l’espace, <strong>le</strong>s formes étant tout de mêmebeaucoup plus jolies et surprenantes. L’intérêt du texte écrit devient limité, il fautalors absolument manipu<strong>le</strong>r. Disons juste qu’avec <strong>le</strong> tétraèdre, nous retrouvons dansl’espace ce qui se passait pour <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> et que <strong>le</strong> cube fait penser au carré. Disonsaussi que <strong>le</strong>s formes obtenues avec l’octaèdre sont tout simp<strong>le</strong>ment magnifiques.Pour ceux ou cel<strong>le</strong>s qui auront la chance de voir ces manipulations (ou d’entrouver des photos), faisons remarquer que <strong>le</strong>s plans semb<strong>le</strong>nt remplacer <strong>le</strong>s droites,que ceux-ci s’intersectent trois par trois <strong>le</strong> long de droite avec des ang<strong>le</strong>s égaux, …Signalons tout de même que, dans l’espace, ce qui remplace <strong>le</strong>s droites (quiminimisent loca<strong>le</strong>ment la longueur) s’appel<strong>le</strong> « surfaces minima<strong>le</strong>s » (quiminimisent, ou plus précisément qui sont points critiques, loca<strong>le</strong>ment l’aire) et quece monde est vaste : il n’y a pas que <strong>le</strong>s plans qui soient des surfaces minima<strong>le</strong>s.Mentionnons enfin que l’étude des surfaces minima<strong>le</strong>s est un domaine de rechercheextraordinairement actif de nos jours encore.Références[1] Isenberg, C., (1978). The science of soap films and soap bubb<strong>le</strong>s, Tieto Ltd.[2] Laurain, P., (2011). Mathématiques savonneuses, Images desMathématiques, http://images.math.cnrs.fr/Mathematiques-savonneuses.html14 En fait, cette application "imite" <strong>le</strong> savon.15 Et nous ne sommes pas loin de pouvoir <strong>le</strong> faire rigoureusement avec ce que nous avons vusur <strong>le</strong>s triang<strong>le</strong>s.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ33
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Quel<strong>le</strong>s mathématiques faut-il apprendrepour se préparer à répondre aux questionsdes élèves et à traiter <strong>le</strong>urs erreurs ?Le cas des commencements de l’algèbre conférence en ligne sur canal-uAlain Mercier**ADEFAix-Marseil<strong>le</strong> Université, ENS-Lyon IFE32 rue Eugène Cas13006 MARSEILLEAdresse mail : alain.mercier@ens-lyon.frRÉSUMÉ : Cet exposé repose sur <strong>le</strong> travail col<strong>le</strong>ctif des enseignants chercheurs (YvesMatheron, responsab<strong>le</strong> du projet, Alain Mercier, Nadia Douek et Robert Noirfalise) et des 80professeurs des équipes du projet AMPERES conduit par la Commission Inter-IREM« Didactique » et l’INRP. Il présente des résultats partiels mais cherche à rendre compte dece que nous avons appris et démontré dans <strong>le</strong> cadre de la direction de plusieurs travauxdoctoraux, qui ont donné lieu à publication : un enseignement non formel du travailalgébrique est possib<strong>le</strong>, mais cela suppose la constitution d’une culture col<strong>le</strong>ctive desprofesseurs de mathématiques qui n’est pas formée dans <strong>le</strong> cadre de <strong>le</strong>urs études, quel quesoit <strong>le</strong>ur niveau de formation. En effet, cette culture ne relève pas des pratiques universitairesdes mathématiques.MOTS-CLÉS : commencements de l’algèbre, situations didactiques, outils symboliques,modélisation algébrique, systèmes d’équations, savoir professionnel.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ35
IntroductionNous appel<strong>le</strong>rons « commencements de l’algèbre » ce qui, dans <strong>le</strong>s programmesfrançais, appartient au calcul littéral et dans <strong>le</strong> soc<strong>le</strong> commun porte sur <strong>le</strong>sexpressions du premier degré ou sur des programmes de calcul. C’est l’initiation à ceque nous appelons <strong>le</strong> travail algébrique sur des formes qui sont supposées dénoterdes nombres.Chacun de ces termes, qu’il soit venu des textes officiels ou du travailépistémologique, prendra chair au fur et à mesure de l’exposé. Mais déjà, on peut enimaginer <strong>le</strong> sens en pensant à la géométrie euclidienne comme au travail géométriquesur des figures qui el<strong>le</strong>s aussi sont supposées dénoter des grandeurs ou des nombres,et au lien entre <strong>le</strong>s deux que faisait Descartes, appelant géométrie l’ouvrage où i<strong>le</strong>xpose <strong>le</strong>s notations (devenues définitives ou presque) du travail algébrique.1. ELEMENTS D’UN ETAT DES LIEUXVoici ce que l’on trouve dans <strong>le</strong>s programmes de Quatrième, classe traditionnel<strong>le</strong>de l’entrée dans un travail algébrique explicite. On y lit par exemp<strong>le</strong> : « Le calcullittéral qui a fait l’objet d’une première approche en classe de cinquième, par <strong>le</strong> biaisde la transformation d’écritures (nous soulignons), se développe […] en veillant à ceque <strong>le</strong>s élèves donnent du sens aux activités entreprises dans ce cadre, en particulierpar l’utilisation de formu<strong>le</strong>s issues des sciences et de la technologie (id). »Cependant, <strong>le</strong> texte définissant <strong>le</strong>s attendus du « soc<strong>le</strong> commun » se démarque :« dans <strong>le</strong> domaine du calcul littéral, <strong>le</strong>s exigences du soc<strong>le</strong> ne portent que sur <strong>le</strong>sexpressions du premier degré à une <strong>le</strong>ttre et ne comportent pas <strong>le</strong>s techniques derésolution algébrique ou graphique de l’équation du premier degré à une inconnue. »1.1. Les textes institutionnels pourraient ouvrir des possib<strong>le</strong>sEn principe, un programme ouvre <strong>le</strong>s possib<strong>le</strong>s mais <strong>le</strong>s professeurs (et souvent<strong>le</strong>s corps d’inspection) <strong>le</strong>s referment en enseignant seu<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>s exigences du soc<strong>le</strong>(ce qui souvent élimine la plupart des objets de l’écosystème des exigib<strong>le</strong>s et qui estune des causes d’échec repérée par <strong>le</strong>s recherches sur ces questions. Les <strong>le</strong>ttresfigurant dans <strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>s et que l’on peut traiter comme des paramètres en fontl’intérêt : que signifierait v=d/t (la vitesse est éga<strong>le</strong> au rapport de la distance autemps), C=pQ (<strong>le</strong> coût est égal au produit du prix unitaire par la quantité), U=RI (latension est éga<strong>le</strong> au produit de la résistance et de l’intensité) ou S=eN (la surfaceoccupée par la fou<strong>le</strong> est éga<strong>le</strong> au produit de l’espace occupé par chacun par <strong>le</strong>nombre des personnes rassemblées), si on restreignait ces « formu<strong>le</strong>s issues dessciences » à des « expressions à une seu<strong>le</strong> <strong>le</strong>ttre » ? Ce ne seraient plus des modè<strong>le</strong>sdont on peut tirer la résolution algébrique ou graphique de l’équation qui rendcompte de la question « quel<strong>le</strong> est la distance parcourue en trois heures ? »,36 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
espectivement « <strong>le</strong> coût de douze tab<strong>le</strong>s de classe, la résistance connaissantl’intensité mesurée, ou <strong>le</strong> nombre de participants à un concert en p<strong>le</strong>in air qui s’esttenu sur un terrain de trois hectares est-il plutôt de 20 000 ou de 5 000 ? (PISA2000) » Les élèves ont <strong>le</strong> droit d’avoir été confrontés à de tel<strong>le</strong>s questions, qui seloncertaines interprétations mobilisent des compétences n’appartenant pas aux exigib<strong>le</strong>sdu soc<strong>le</strong>. Leurs parents et <strong>le</strong>urs professeurs devraient l’exiger.Le résultat d’une interprétation réductrice des attendus du programme d’études,c’est que l’approche proposée aux élèves est fina<strong>le</strong>ment cel<strong>le</strong> d’un système formel etc’est seu<strong>le</strong>ment a posteriori qu’un sens peut être cherché, pour des manipulationsapprises formel<strong>le</strong>ment : ce que <strong>le</strong>s attendus cités ici montrent déjà en nommant« calcul littéral » <strong>le</strong> domaine de pratiques auquel il s’agit d’initier <strong>le</strong>s élèves,« <strong>le</strong>ttres » <strong>le</strong>s paramètres, variab<strong>le</strong>s, inconnues désignant des grandeurs, et« transformation d’écritures » <strong>le</strong> calcul permettant d’extraire une inconnue,d’exprimer une grandeur comme fonction des autres, de démontrer que deuxformu<strong>le</strong>s sont équiva<strong>le</strong>ntes.C’est pourquoi nos observations vont montrer que <strong>le</strong>s programmes du Collège sepaient de mots : « À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelquessituations et l’apprentissage progressif de la démonstration, <strong>le</strong>s élèves prennentconscience petit à petit de ce qu’est une véritab<strong>le</strong> activité mathématique : identifieret formu<strong>le</strong>r un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemp<strong>le</strong>s,bâtir une argumentation, contrô<strong>le</strong>r <strong>le</strong>s résultats obtenus en évaluant <strong>le</strong>ur pertinenceen fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme unesolution. » De fait la description du travail à faire contredit ces déclarationsd’intentions : « De nombreux thèmes du programme, notamment dans <strong>le</strong> domainegrandeurs et mesures, conduisent à utiliser des expressions littéra<strong>le</strong>s (formu<strong>le</strong>s) […]apprendre à choisir et interpréter l’écriture appropriée d’un nombre ou d’uneexpression littéra<strong>le</strong> suivant la situation » et voici que <strong>le</strong>s expressions littéra<strong>le</strong>s setrouvent opposées aux nombres, ayant perdu <strong>le</strong>ur force dénotative. La suite <strong>le</strong>confirme : « - apprendre à effectuer des transformations simp<strong>le</strong>s d’écriture ; - initierà la notion d’équation. » ce qui signifie : « -*Tester si une égalité comportant un oudeux nombres indéterminés est vraie lorsqu’on <strong>le</strong>ur attribue des va<strong>le</strong>urs numériques.[…]. La notion d’équation ne fait pas partie du soc<strong>le</strong> commun. »Et en Quatrième <strong>le</strong> développement suit la même logique et <strong>le</strong> commentaireinterdit de fait <strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>s dont l’intérêt est d’être paramétrées et donc, de donnerdes modè<strong>le</strong>s généraux pour de vastes catégories de problèmes, méritant ainsi d’êtreétudiées.1.2. Dans <strong>le</strong>s manuels puis <strong>le</strong>s classes, Factoriser est défini formel<strong>le</strong>ment« C’est transformer une expression, de la forme d’une somme à cel<strong>le</strong> d’unproduit » ; « C’est l’opération inverse du développement » ; « C’est écrire uneexpression sous la forme d’un produit de facteurs » écrivent <strong>le</strong>s manuels (Abou Raad& Mercier, 2004). C’est donc une opération sur une forme, dont la présentation surActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ37
des exemp<strong>le</strong>s est faite par <strong>le</strong> professeur qui ainsi « la démontre ». Cettedémonstration d’une manière conventionnel<strong>le</strong> de faire peut être répétée indéfiniment,et s’accompagne d’un commentaire qui n’arrive ni à justifier <strong>le</strong>s manipulationsréalisées ni à en donner <strong>le</strong> contrô<strong>le</strong>. En effet, la question de ce que <strong>le</strong>s expressionsexpriment (ou plutôt, dénotent) n’est pas posée et ne pourrait l’être dans <strong>le</strong>s termesqui sont proposés. Ainsi, Abou Raad et Mercier observent que <strong>le</strong>s professeursdisent : « entre <strong>le</strong>s deux on a un moins, avant et après on a un carré, on est doncarrivé à la troisième égalité remarquab<strong>le</strong> » ou « Il n’y a pas de doub<strong>le</strong> produit, alorsc’est a deux moins b deux » et encore « Il y a trois termes, c'est une des deuxpremières identités, j'écris une parenthèse et un carré à l'extérieur et pour <strong>le</strong> signe, jeregarde <strong>le</strong> terme du milieu. » On peut dire que <strong>le</strong>s professeurs inventent des discoursnon mathématiques pour nommer des pratiques supposées mathématiques. Or <strong>le</strong>ursmanières de dire devraient faire fonction de théorie pour <strong>le</strong>s formes que <strong>le</strong>s élèvesapprennent à manipu<strong>le</strong>r, d’autant plus qu’on voit là tout ce que sera, pour la majoritéde la population, l’expérience du travail algébrique. Le problème des professeursproduit <strong>le</strong> problème des élèves.Nous reconnaissons donc ici <strong>le</strong>s caractères de la transmission par l’usage desmanières de faire : « y’a rien à savoir ! » vous dit-on, puisque « il n’y a qu’à faire ! »Depuis toujours, celui qui sait « démontre » la bonne combinatoire des assemblagesen faisant <strong>le</strong> travail : il démontre <strong>le</strong> travail (ici, algébrique) comme un ensemb<strong>le</strong> demanipulations formel<strong>le</strong>s qu’il peut faire ; il montre qu’il anticipe <strong>le</strong>s effets de sonaction (ici, la forme des écritures, en traçant par avance <strong>le</strong>s parenthèses et <strong>le</strong>s signesopératoires). Nous explorons ce phénomène qui pèse sur l’enseignement tout autantque naguère l’appel systématique au travail axiomatique de la réforme de 1970. Il estmondial.Mais poursuivons l’exploration rapide engagée et son analyse. Comme personnene peut agir de manière efficace sans avoir <strong>le</strong>s moyens de par<strong>le</strong>r de ce qu’il fait,professeurs et élèves nomment <strong>le</strong>s objets sur <strong>le</strong>squels porte l’action (il y a troistermes, j’aurai un carré avec un signe), ainsi que <strong>le</strong>s relations qui sont expérimentéesdans cette action (c’est la première identité). Et pour cela ils inventent des termes etdes descriptions ad hoc (pour <strong>le</strong> signe je regarde <strong>le</strong> terme du milieu) qui peuventaugmenter <strong>le</strong>s difficultés : ainsi, la bonne gestion des signes et des termes renforce<strong>le</strong>s comportements de « conservation de l’information ostensive » dont on a montré(Tonnel<strong>le</strong>, 1979) qu’ils fondent <strong>le</strong>s erreurs de manipulation algébrique qui perdurentdes années durant. Michel Serfati (2005) décrit ainsi <strong>le</strong>s pratiques relatives auxassemblages de symbo<strong>le</strong>s algébriques : « ce que nous appelons écriture ouexpression est un assemblage symbolique ; l'assemblage bien formé de deux signeschiffrés comme 14+23 dénote un nombre, dont <strong>le</strong> signe chiffré est 37. » Et plus loin« (2p–1) + (2p+1) ne dénote aucun nombre mais peut être réduit à 4p. Cetteréduction démontre que la somme de deux impairs consécutifs (…) est multip<strong>le</strong> de4. » Un enseignement formel assumé porterait sur <strong>le</strong>s assemblages bien formés et<strong>le</strong>urs usages. Pour autant, qu’on nous comprenne bien, nous ne pensons pas que lasolution des difficultés des élèves et de <strong>le</strong>urs professeurs soit là, et nous cherchonsdonc une alternative. Le fait que <strong>le</strong> problème des élèves ait été identifié dans <strong>le</strong>38 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
monde entier, montre que la solution n’est pas évidente mais nous avons appris aminima qu’il faut interpréter un assemblage, pour dire ce qu’il dénote, ou pourcomprendre ce qu’il démontre. Étudier ce qu’un même assemblage peut dénoter, etquels sont <strong>le</strong>s systèmes de règ<strong>le</strong>s de manipulation que permettent <strong>le</strong>s notationsalgébriques (qu’on pourrait comparer par exemp<strong>le</strong> aux propriétés des notationsgéométriques), ne peut être un enjeu que dans un travail universitaire, mais ne figurepas semb<strong>le</strong>-t-il dans <strong>le</strong> formation mathématique des futurs professeurs.1.3. Ce type d’enseignement par dressage produit des idées erronées et desapprentissages <strong>le</strong>ntsDans ces conditions, <strong>le</strong>s élèves s’essaient donc à faire sans savoir, ils tâtonnent etgénéralisent sans contrô<strong>le</strong>. Les erreurs que l’on observe élèves sont <strong>le</strong>s mêmes entous pays au début du travail algébrique, comme nous l’avons noté plus haut et parexemp<strong>le</strong> ils proposent avec insistance la transformation connue : a 2 – b 2 = (a – b) 2 quiconserve toute l’information que porte l’écriture puisque l’on retrouve <strong>le</strong>s <strong>le</strong>ttres a etb, <strong>le</strong> signe –, l’exposant 2. La mise en commun de 2 entre a et b revient donc auxétourdis, comme un mauvais pli. Et pire, <strong>le</strong>s élèves peuvent bien en être persuadés,puisqu’ils y voient la transformation introduisant <strong>le</strong>s parenthèses rondes, connued’eux sous <strong>le</strong> nom de « distributivité ». Tonnel<strong>le</strong> a appelé <strong>le</strong> principe qui rendcompte de cette manière « la conservation de l’information ostensive ». Ce typed’enseignement conduit à des apprentissages si <strong>le</strong>nts qu’il est fort peu efficace : laplupart des gens s’y refusent et oublient rapidement tout cela, <strong>le</strong>s autres apprennentune mécanique formel<strong>le</strong> qu’ils ne peuvent que diffici<strong>le</strong>ment retravail<strong>le</strong>r pour en faireévoluer <strong>le</strong> sens ou <strong>le</strong>s manières, puisqu’ils n’en disposent pas comme d’un savoir(Mercier, 1992).2. PEUT-ON IMAGINER UNE AUTRE VOIE, NON FORMELLE ?Ces représentations (en mathématiques, ce sont des systèmes de notations) sontdes créations humaines sur <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s la pensée s’appuie. C’est ce qu’on appel<strong>le</strong> enmathématiques <strong>le</strong> calcul dans <strong>le</strong>s modè<strong>le</strong>s. Ainsi la pensée n’est plus en rapportimmédiat au monde, et au-delà de la langue, dont l’expérience montre <strong>le</strong>sinsuffisances, la pensée s’outil<strong>le</strong> d’artefacts, <strong>le</strong>s représentations organisées enmodè<strong>le</strong>s d’un domaine de réalité. Nous affirmons que <strong>le</strong>s représentationsreprésentent non pas <strong>le</strong> monde, mais <strong>le</strong>s idées que notre action dans <strong>le</strong> monde nousconduit à former sur <strong>le</strong> monde. Cela explique qu’on ne puisse pas enseignerefficacement la manipulation formel<strong>le</strong> des représentations.Nous allons donc imaginer la genèse artificiel<strong>le</strong> des connaissances algébriquesscolaires sur <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> générique d’un type d’objets qui a fait irruption dans laculture commune avec <strong>le</strong>s usages de l’informatique, <strong>le</strong>s jeux de conso<strong>le</strong>. Ceux-cirépondent en effet à certaines des conditions données par <strong>le</strong>s théorisations de l’actionen situation didactique, et ils fournissent donc une métaphore efficace pour <strong>le</strong>s élèvescomme pour <strong>le</strong>s professeurs :Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ39
- <strong>le</strong> joueur s'y oppose à un milieu dénué d'intentions mais organisé, dont ilapprend <strong>le</strong>s propriétés pour y agir ;- l’organisation des tab<strong>le</strong>aux construit une progression en mettant en jeu la surviedu joueur, qui en cas d’échec peut cependant rejouer du début.De ce fait, l’idée permet de réinterpréter la théorie des situations (Brousseau,,1997) en repensant <strong>le</strong>s propriétés d’une « situation d’action » comme cel<strong>le</strong>s d’un« jeu vidéo par tab<strong>le</strong>aux ». La différence tient bien sûr dans l’enjeu, qui est dans uncas la seu<strong>le</strong> réussite de l’action et dans l’autre l’apprentissage d’un savoir. C’estpourquoi <strong>le</strong>s situations didactiques ne sont pas seu<strong>le</strong>ment des jeux dans un milieumais des jeux sous contrat didactique. Cela demande l’intervention d’un professeur,dont l’action a pour objet la désignation de l’enjeu didactique de la situationd’action, ce qu’il fait à la fois en jouant sur <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s de cette situation et endésignant explicitement cet enjeu comme savoir à apprendre.2.1. La banque de problèmes permet de désigner aux élèves un type de tâche àétudierL’organisation des problèmes en « tab<strong>le</strong>aux » permet de donner aux élèves laresponsabilité de la résolution d’un type de problèmes (Chevallard, 2007), dont onorganise l’exploration en tab<strong>le</strong>aux de difficulté croissante. Pour notre premierexemp<strong>le</strong> (banque de problèmes modélisab<strong>le</strong>s par un système de deux équations àdeux inconnues) en 3ème, au début de l’année, <strong>le</strong>s élèves ne disposent queconnaissances arithmétiques et de quelques techniques relatives aux équations du 1erdegré à une inconnue.La donnée simultanée de plusieurs problèmes permet au dispositif d’engager <strong>le</strong>sélèves vers l’épreuve de <strong>le</strong>ur stratégie de première invention, <strong>le</strong> débat entre élèves estproposé à tout moment, entre élèves travaillant sur <strong>le</strong>s mêmes problèmes, et c’est lacomparaison de l’efficacité des modè<strong>le</strong>s proposés qui fera la sé<strong>le</strong>ction des modè<strong>le</strong>spertinents et des stratégies efficaces. Le professeur peut cependant intervenir sur <strong>le</strong>travail d’un élève, chaque fois qu’il <strong>le</strong> juge uti<strong>le</strong>, et organise la rencontre des élèvesavec <strong>le</strong>s situations que <strong>le</strong>s problèmes de la Banque évoquent, en proposant différentsmoments de l’étude.On peut par<strong>le</strong>r en ces termes du processus qu’il conduit :a) Pour chacun des niveaux de l’étude, <strong>le</strong> professeur organise, dans la classe, <strong>le</strong>sconditions d’un débat qui permettra à chaque élève de passer progressivement del’idée qu’il aura eue et de l’action qu’il aura mise en œuvre lors d’une phase derecherche personnel<strong>le</strong> à une manière de faire plus assurée.b) Chaque élève aura éprouvé l’efficacité de sa manière, parce qu’il l’auraconfrontée et, peut-être, partagée avec <strong>le</strong>s autres élèves d’un groupe de travail. Ilconsidérera ainsi la manière de faire qu’il se propose comme une stratégie d’action.40 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
c) Le groupe des élèves accédera ainsi à une technique - une manière efficace quisera devenue traditionnel<strong>le</strong> et qui aura été validée lors d’une présentation à toute laclasse et d’un débat entre <strong>le</strong>s groupes.d) Chaque élève pourra alors éprouver personnel<strong>le</strong>ment la pertinence de cettetechnique, dans <strong>le</strong> traitement des problèmes sur <strong>le</strong>squels lui et son groupe aurontéchoué dans un premier temps, juger de l’efficacité que procure son usage, poser <strong>le</strong>sproblèmes que pose sa mise en œuvre dans des situations nouvel<strong>le</strong>s.Le fait que <strong>le</strong>s problèmes étudiés soient linéaires garantit que <strong>le</strong> tâtonnementproduira une première connaissance du mode de vie du problème. La culturealgébrique (minima<strong>le</strong>, mais existante) des élèves et l’intervention du professeur, quioriente vers l’étude des comptes-rendus écrits de <strong>le</strong>urs stratégies en <strong>le</strong>s faisantd’abord communiquer par groupes puis, en <strong>le</strong>ur proposant la rédaction d’untransparent pour exposer à la classe, évitent cette impasse qu’est l’arithmétique : <strong>le</strong>raisonnement ne doit pas risquer de remplacer la modélisation algébrique. Noussavons que des formu<strong>le</strong>s numériques de la forme « 2 lits × 5 chambres + 8 chambres= 18 personnes logées » apparaissent d’abord comme moyen de vérifier qu’unepremière idée selon laquel<strong>le</strong> 5 chambres à deux lits et huit chambres à un litpermettent de loger 20 personnes est plausib<strong>le</strong> mais fausse. L’usage systématique deces écritures montre un format répété qui peut s’écrire 2x + y = 20 et être l’objet detentatives de traitement algébrique. Enfin, grâce à l’organisation explicite de laBanque en tab<strong>le</strong>aux, <strong>le</strong> professeur peut organiser l’étude des diverses stratégies etdes discours justificatifs qui <strong>le</strong>ur sont associés, dans <strong>le</strong>s divers temps de débat. Labanque garantit en effet que <strong>le</strong>s élèves sont en état de débattre de la validité desstratégies qu’ils proposent, parce qu’ils savent valider <strong>le</strong>urs réponses à partir de laconnaissance qu’ils ont acquise par tâtonnements. Ainsi, l’accès à la banque peut êtrelibre, et ne pas être limité au temps de classe. Voici donc <strong>le</strong> texte initial distribué auxélèves et lu col<strong>le</strong>ctivement :AvertissementLes problèmes proposés ici relèvent tous d’une même classe, ce qui signifiequ’il existe une méthode généra<strong>le</strong> de résolution de tous ces problèmes. Ils sontproposés à votre étude afin que, en cherchant une méthode pour en résoudre un,vous vous fassiez une idée des mathématiques qui sont au programme puis, encherchant à <strong>le</strong>s résoudre tous avec l’aide de vos camarades et sous la direction devotre professeur, vous puissiez découvrir par vous-même une partie desmathématiques au programme de votre classe.Ces problèmes sont choisis de tel<strong>le</strong> manière que vous puissiez résoudrecertains d’entre eux avant même de connaître une méthode mathématique valab<strong>le</strong>pour tous : pour chacun d’eux, vous pouvez vérifier par vous-même si votre réponseest juste. Cependant, <strong>le</strong>ur difficulté graduée augmente de tab<strong>le</strong>au en tab<strong>le</strong>au avecvotre expérience et vos connaissances : vous pouvez donc tenter de <strong>le</strong>s résoudretous d’emblée ou, au contraire, vous pouvez attendre que <strong>le</strong> travail col<strong>le</strong>ctif fait enclasse vous ait donné accès à des méthodes éprouvées et mathématiquementActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ41
econnues. Vous emporterez chez vous ce cahier, pour chercher une solution auxproblèmes que vous n’auriez pas résolu en classe ou pour étudier à loisir commentutiliser la méthode inventée par un autre élève ou par un autre groupe : vouspourrez ainsi vérifier si une méthode est valab<strong>le</strong> pour tous <strong>le</strong>s problèmes ou si el<strong>le</strong>échoue dans certains cas.L’annonce explicite de l’enjeu du travail proposé définit donc une situation, pour<strong>le</strong>s élèves comme pour <strong>le</strong> professeur. L’idée que <strong>le</strong>s mathématiques sont uneinvention permettant de résoudre des types de problèmes et non pas des problèmesisolés, aléatoirement rencontrés, est ici essentiel<strong>le</strong>. Le professeur doit <strong>le</strong> savoir, pour« garder <strong>le</strong> cap » et ne pas prendre de décisions contraires au mouvement engagé. Lecommentaire indique que toutes <strong>le</strong>s idées sont bonnes à suivre. Nous verrons l’effetde cette déclaration avec <strong>le</strong> travail du premier élève que nous présenterons. Laquestion de la vérification du résultat d’une stratégie personnel<strong>le</strong> est une desconditions de son existence. L’annonce de <strong>le</strong>ur graduation permet enfin à un élève des’arrêter en chemin et d’attendre, pour bénéficier des avancées des autres. Celagarantit <strong>le</strong> progrès col<strong>le</strong>ctif.Les quatre problèmes du premier tab<strong>le</strong>au sont <strong>le</strong>s suivants :Premier problème : A la clinique “la Sauvegarde”, il n’y a que deschambres à un lit et des chambres à deux lits. Aujourd’hui la clinique est complète :vingt malades occupent tous <strong>le</strong>s lits des 13 chambres. Combien de chambres à un litet de chambres à deux lits y a-t-il à la Sauvegarde ?Deuxième problème : Un grand hôtel dispose de 50 chambres et peutrecevoir 83 personnes. Il y a des chambres pour une personne et des chambres pourdeux personnes. De combien de chambres pour une personne et de combien dechambres pour deux personnes dispose cet hôtel ?Troisième problème : Dans un refuge de montagne, il n’y a que deschambres à deux lits et des chambres à 4 lits. Aujourd’hui el<strong>le</strong> affiche comp<strong>le</strong>t, 30randonneurs occupant tous <strong>le</strong>s lits des 12 chambres du refuge…Quatrième problème : Dans une colonie de vacances il y a des dortoirs de 5lits et des dortoirs de 7 lits. Il y a 79 dortoirs et 469 enfants dans la colonie, où iln’y a plus un lit libre. Dans cette colonie de vacances, combien y a-t-il de dortoirs à5 lits et de dortoirs à 7 lits ?On observe que <strong>le</strong>s élèves commencent à chercher en utilisant diversestechniques personnel<strong>le</strong>s, en recourant à des dispositifs ostensifs très variés. Noustrouvons un éventail étendu de ces objets graphiques : dessin de chambres et lits,écritures en toutes <strong>le</strong>ttres, flèches, traits, symbo<strong>le</strong>s mathématiques, etc. Certains deces ostensifs (Bosch & Chevallard, 1997) sont des symbo<strong>le</strong>s appartenant au mondedu travail algébrique et ont été précédemment introduits en classe comme <strong>le</strong>ssymbo<strong>le</strong>s d’opérations : croix + trait – étoi<strong>le</strong> × deux points : mais aussi comme <strong>le</strong>symbo<strong>le</strong> d’égalité : deux traits = et <strong>le</strong>s symbo<strong>le</strong>s d’agrégation : parenthèse ouvrante(, parenthèse fermante ), ou <strong>le</strong> trait de fraction _____ et même, l’accolade }. Les42 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
productions des élèves sont donc variées et <strong>le</strong> professeur peut suivre <strong>le</strong>ur évolution.Nous présentons ci-dessous deux exemp<strong>le</strong>s de ce que l’on rencontre.2.2. Premières productions : AlbertPour Albert, au-delà du tâtonnement, une première stratégie est portée par cettereprésentation, qui est iconique mais permet l’expérimentation : situer <strong>le</strong>s chambrespar <strong>le</strong> signe « ch » et placer sous chacune des traits représentant <strong>le</strong>s lits des malades.Nous avons vérifié que de très jeunes élèvesréussissent à résoudre <strong>le</strong> problème par cetteméthode, et notre commentaire initial aencouragé <strong>le</strong>s élèves de 3e qui n’ont pasimaginé mieux à procéder ainsi. Onremarque que cette représentation décrit « ladistribution de 20 malades dans 13chambres », et donne une formu<strong>le</strong> devérification que nous qualifierons d’autantplus aisément de « rhétorique » qu’el<strong>le</strong> nemobilise aucun symbo<strong>le</strong> algébrique maisseu<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>s nombres en symbo<strong>le</strong>s chiffrés.La technique est efficace sur <strong>le</strong>s deuxpremiers problèmes de ce premier tab<strong>le</strong>au. El<strong>le</strong> conduit Albert à développer unestratégie consistant à attribuer deux lits à chacune des chambres, avant de créer deschambres de quatre lits jusqu’à <strong>obtenir</strong> <strong>le</strong> nombre total de lits de l’énoncé. C’est unestratégie qui n’est déjà plus un tâtonnement bien qu’el<strong>le</strong> ne puisse être qualifiée defausse position. El<strong>le</strong> permet en effet un calcul direct, que nous observerons pour <strong>le</strong>problème suivant : 12 chambres à deux lits par chambre, cela fait 24 lits ; <strong>le</strong> nombrede lits restant est 30 - 24 = 6, il reste donc à fabriquer 3 chambres à 4 lits. S’il fallaitqualifier cette technique nous dirions qu’el<strong>le</strong> appartient donc plutôt au monde duraisonnement combinatoire.2.3. Premières productions : BernadettePour Bernadette, <strong>le</strong> tâtonnement est organisé par sa présentation sur la feuil<strong>le</strong>, etl’usage immédiat de la formu<strong>le</strong> numériquemobilisant <strong>le</strong>s symbo<strong>le</strong>s ×, +, =. Lesmeil<strong>le</strong>urs élèves commencent ainsi. Onremarque aussi une disposition desécritures tentant de rendre compte des deuxcontraintes de l’énoncé en utilisant <strong>le</strong>s deuxdirections du plan, ce qui sera atteint audeuxième essai. L’accolade sépare alors <strong>le</strong>sraisonnements sur <strong>le</strong>s chambres et sur <strong>le</strong>sActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ43
malades, et en montre <strong>le</strong>s liens entre <strong>le</strong>s deux énoncés qui déterminent <strong>le</strong>s contraintesdu problème.L’élève conduit l’exploration à partir de cette représentation,. La formu<strong>le</strong> enligne est donc un acquis central, que <strong>le</strong> professeur aura à faire diffuser en organisantrapidement un exposé des diverses manières de traiter <strong>le</strong> problème que porteront <strong>le</strong>sdivers groupes d’élèves. La forme rhétorique qui est utilisée pour énoncer unepremière réponse est donc liée à donc une forme de type algébrique, calculab<strong>le</strong>,permettant l’exploration : un modè<strong>le</strong> du problème. Cependant, la présentation durésultat montre l’usage rhétorique du signe =, pris comme verbe d’un énoncé.Au troisième problème, Bernadette pense <strong>le</strong>sdeux équations avec deux accoladeshorizonta<strong>le</strong> et vertica<strong>le</strong>, mais cherche à sortirde la stratégie de tâtonnement. El<strong>le</strong> imaginedonc une suite d’opérations conduisantdirectement à un résultat : un algorithme.Mais si l’idée qu’el<strong>le</strong> met en œuvre (et quiest présente chez Albert) fonctionnaitimmédiatement dans <strong>le</strong> cas précédent(distribuer <strong>le</strong>s randonneurs soit, remplir deschambres en y casant un randonneur ce quipermet de caser 12 randonneurs, et justifieune soustraction) el<strong>le</strong> doit être ici adaptée.On <strong>le</strong> comprend, <strong>le</strong> travail est toujours unraisonnement, <strong>le</strong>s écritures algébriques nesont pas manipulées formel<strong>le</strong>ment mais sous<strong>le</strong> contrô<strong>le</strong> de <strong>le</strong>ur interprétation rhétorique.Nous verrons bientôt l’importance de ceraisonnement, qui apparaît chez des élèvesfort différents.2.4. Le travail d’enseignement : <strong>le</strong> jeu sur <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s de la situationAprès la mise en commun des trouvail<strong>le</strong>s de chacun dans des groupes dontl’enjeu était la production d’un transparent et la présentation à la classe du travaildes 6 groupes de 4 élèves, <strong>le</strong>cture est donnée d’un « commentaire » qui ensemb<strong>le</strong> faitla théorie de l’activité conduite et propose un premier prolongement à l’activité.Commentaire 1, lu après <strong>le</strong> premier tab<strong>le</strong>aua) Pour vérifier vos réponses, vous avez progressivement appris à écrire desformu<strong>le</strong>s qui notent, à partir des calculs correspondant au problème, l’égalité qu’ilfaut <strong>obtenir</strong>. Ces formu<strong>le</strong>s expriment <strong>le</strong>s relations entre <strong>le</strong>s grandeurs dont par<strong>le</strong>l’énoncé du problème, que l’on appel<strong>le</strong> des variab<strong>le</strong>s. L’ensemb<strong>le</strong> des égalités quidoivent être vérifiées est un modè<strong>le</strong> de la situation que l’énoncé expose. Vous44 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
pouvez écrire un modè<strong>le</strong> de chacun des quatre problèmes du premier tab<strong>le</strong>au : pourcela vous utilisez chaque fois deux variab<strong>le</strong>s, et vous pouvez voir un phénomènenouveau pour vous : la solution d’un de ces problèmes vérifie deux formu<strong>le</strong>s à lafois.b) Pour chercher <strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs des variab<strong>le</strong>s qui vérifient ces formu<strong>le</strong>s, on peut<strong>le</strong>s considérer comme des équations : pour disposer d’une technique algébriquegénéra<strong>le</strong> de résolution de ces problèmes, vous devez donc apprendre à résoudreensemb<strong>le</strong> deux équations qui comprennent chacune deux inconnues. Or, vous saveztransformer une formu<strong>le</strong> à l’aide des règ<strong>le</strong>s du calcul algébrique, il s’agit doncmaintenant d’apprendre à faire systématiquement <strong>le</strong>s transformations quiaboutissent à la réponse.c) Vous pouvez reprendre chacun des problèmes du premier tab<strong>le</strong>au : vousavez inventé des manières de <strong>le</strong>s chercher qui peuvent vous aider à imaginer descalculs algébriques intéressants et vous pouvez vérifier vos calculs puisque vousconnaissez <strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs des variab<strong>le</strong>s qui sont <strong>le</strong>s solutions du problème. Mais vouspouvez aussi tenter de résoudre <strong>le</strong>s problèmes du deuxième tab<strong>le</strong>au par des calculset des raisonnements algébriques, puis, vérifier vos calculs après coup, en testant<strong>le</strong>s réponses auxquel<strong>le</strong>s vous aboutissez.La première partie du commentaire pose <strong>le</strong> problème nouveau de la classe :utiliser un modè<strong>le</strong> de la situation pour produire la réponse en cherchant la solution.El<strong>le</strong> engage d’abord <strong>le</strong>s élèves à reprendre <strong>le</strong>ur travail sur <strong>le</strong>s 4 problèmes de cepremier tab<strong>le</strong>au, pour tester <strong>le</strong>s nouvel<strong>le</strong>s connaissances qu’ils peuvent mobilisermaintenant, ce qui permet à tous de rattraper <strong>le</strong> mouvement. Cela suppose que <strong>le</strong>professeur et <strong>le</strong>s élèves reconnaissent comme formu<strong>le</strong> des écritures du type de cel<strong>le</strong>sque l’on peut observer : « 33×2 + 17×1 = 83 et 33 + 17 = 50 » ou « 33 chambres à 2lits et 17 chambres à 1 lit cela fait 83 lits pour 50 chambres ». L’accord des élèvesest aisé parce qu’ils ont effectivement utilisé de tel<strong>le</strong>s formes comme des formats,soit pour guider <strong>le</strong> tâtonnement soit pour énoncer la réponse.Mais <strong>le</strong> texte donné par <strong>le</strong> professeur va plus loin en nommant variab<strong>le</strong>s <strong>le</strong>sgrandeurs du modè<strong>le</strong>, qui peuvent varier pour donner selon <strong>le</strong> cas la formu<strong>le</strong>numérique répondant aux contraintes (comme pour <strong>le</strong>s exemp<strong>le</strong>s ci-dessus) ou uneformu<strong>le</strong> qui n’y répond pas (comme dans <strong>le</strong>s tâtonnements des élèves). De ce fait, lanotion de modè<strong>le</strong> peut prendre sens, à la fois comme forme générique des quatreproblèmes proposés et comme forme spécifiée de chacun de ces quatre problèmes,permettant l’exploration formel<strong>le</strong> de l’espace des réponses possib<strong>le</strong>s, exactes ouerronées. Le défi serait impossib<strong>le</strong> à tenir s’il n’engageait <strong>le</strong>s élèves à s’attaquer denouveau aux quatre problèmes dont ils connaissent une solution, avant de vérifierque la nouvel<strong>le</strong> technique qu’ils auront inventée sera efficace sur <strong>le</strong>s problèmes dudeuxième tab<strong>le</strong>au.L’enjeu n’est absolument plus <strong>le</strong> même et il n’est plus question, par exemp<strong>le</strong>, dereprésenter <strong>le</strong>s situations par un dessin : <strong>le</strong> travail est dorénavant dans <strong>le</strong> monde desreprésentations symboliques (Brousseau, 2005). La confiance des élèves en <strong>le</strong>urcapacité à produire une solution est fondée sur une propriété essentiel<strong>le</strong> desActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ45
expressions algébriques : on peut vérifier une proposition de solution en cherchant <strong>le</strong>nombre que la formu<strong>le</strong> dénote lorsque l’on attribue une va<strong>le</strong>ur numérique aux signes,et cette action est consistante avec une compréhension rhétorique des assemblagessymboliques.Les instructions de la troisième partie du commentaire ont donc pour enjeu demontrer aux élèves que <strong>le</strong> travail algébrique qu’ils peuvent engager se fera sous <strong>le</strong>contrô<strong>le</strong> des résultats qu’ils connaissent, et donc sous <strong>le</strong>ur responsabilité.2.5. Retour sur <strong>le</strong> premier tab<strong>le</strong>au : AlbertAprès une mise en commun des trouvail<strong>le</strong>s de chacun dans des groupes dontl’enjeu était la production d’un transparent et la présentation à la classe du travaildes 6 groupes de 4 élèves, <strong>le</strong> commentaire a donc été lu.On en voit <strong>le</strong>s effets : Albert s’empare de la disposition de l’énoncé inventée parBernadette et son groupe, puis il tente d’entrer dans un travail algébrique ennommant x et y <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s du problème, mais il n’arrive pas à une formu<strong>le</strong> surlaquel<strong>le</strong> il puisse calcu<strong>le</strong>r. Albert s’attaque alors aux problèmes du deuxième tab<strong>le</strong>auet là, <strong>le</strong> dessin est rendu impraticab<strong>le</strong>, non seu<strong>le</strong>ment parce que <strong>le</strong>s nombres sontgrands mais aussi parce que <strong>le</strong>s « pièces de 5 » ne peuvent être représentées comme« contenant 5 pièces de 1 », tandis que <strong>le</strong>s « chambres de 4» contenaient « 4 lits » (etdonc, pas 4 chambres de 1 lit : la forme langagière différente interdit d’énoncer laquestion des pièces pour la représenter à l’identique de la question des chambres).Deuxième tab<strong>le</strong>auPremier problème Dans mon porte-monnaie, il n’y a que des pièces à 1 euroet des pièces à 5 euros. Aujourd’hui j’ai 20 pièces et j’ai 56 euros. Combien ai-je depièces de chaque sorte ?Deuxième problèmeDans mon porte-monnaie, il n’y a que des pièces à 2 euros et des pièces à5 euros. Aujourd’hui j’ai 232 euros et j’ai compté 86 pièces. Combien ai-je depièces de chaque sorte ?Les problèmes portent sur la va<strong>le</strong>ur et <strong>le</strong> nombre de pièces de monnaie. Cela apour but de disqualifier la stratégie de distribution des malades dans <strong>le</strong>s chambres.C’est de bonne guerre dans <strong>le</strong>s jeux vidéo et cela ne devrait pas décourager Albert,qui va bientôt devoir reprendre son travail du début faute d’être entré dansl’apprentissage de la technique maintenant indispensab<strong>le</strong>.Et en effet c’est à ce moment que Albert se décide à revenir au premier problèmedu premier tab<strong>le</strong>au avec la technique des deux équations, qui a entre-temps étéprésentée publiquement dans <strong>le</strong> commentaire et montrée au moins une fois à proposd’un des problèmes du premier tab<strong>le</strong>au. Il écrira d’abord <strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>s de vérificationavant de s’essayer au traitement des formu<strong>le</strong>s génériques tel que nous l’observons46 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
ici. Le dispositif fonctionne donc et bientôt, Albert écrit (diffici<strong>le</strong>ment) <strong>le</strong>s deuxformu<strong>le</strong>s qui modélisent la situation.On <strong>le</strong> voit alors engager <strong>le</strong> travail sur ces formu<strong>le</strong>s et la stratégie est étonnante : iliso<strong>le</strong> deux fois « x+y » dans 2x+5y=232 afin de <strong>le</strong> remplacer par 86. Oublions sonerreur (c’est 2(x+y) qu’il cherchait à iso<strong>le</strong>r, et cela fait 172). Remarquons que satechnique produit en effet unetransformation radica<strong>le</strong> du problème : il n’yaplus qu’une seu<strong>le</strong> inconnue et Albert saitrésoudre ce type d’équations. Même, il endéduira la va<strong>le</strong>ur de l’autre inconnue. Nouspensons alors que ce calcul démontre que <strong>le</strong>travail algébrique de Albert est fondé sur lamanière dont il a raisonné quand il a résoluce type de problèmes sans outil algébrique.Ce travail algébrique est l’inscriptiond’un raisonnement : son écriture est sous <strong>le</strong>contrô<strong>le</strong> de ce raisonnement, qui fonctionne comme une théorie des manipulationspossib<strong>le</strong>s dans <strong>le</strong> monde dont <strong>le</strong>s équations rendent compte. C’est en ce sens quenous pouvons donc affirmer que, pour Albert, la situation que nous lui avonsproposée a fonctionné comme « une situation fondamenta<strong>le</strong> pour <strong>le</strong> travail dessystèmes d’équations », au sens de Brousseau (1997). Nous allons maintenantmontrer que nos affirmations sont fondées sur des observab<strong>le</strong>s.2.6. Du travail algébrique sur <strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>s à la résolution des équationsLe professeur va maintenant consister à orienter<strong>le</strong>s élèves vers la production de raisonnementsalgébriques capab<strong>le</strong>s d’accompagner <strong>le</strong>urtravail sur <strong>le</strong>s systèmes d’équations. On voit icila reprise du deuxième problème du premiertab<strong>le</strong>au, par Albert, dont nous suivonsl’évolution.L’élève tente une transformation formel<strong>le</strong> dusystème, mais la manière dont <strong>le</strong>s accoladessont utilisées ne porte pas l’informationostensive que portait <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> des élèves,observé chez Bernadette..Albert tente une autre transformation qui sefonde sur l’interprétation de ces écriturescomme des formu<strong>le</strong>s : il transforme la formu<strong>le</strong> 2x+4y=30 afin d’iso<strong>le</strong>r x+y, ce qui luipermet de remplacer x+y par sa va<strong>le</strong>ur, 12, et comme cela n’élimine pas x, ilrecommence ! Son calcul est exact. Que demander de mieux puisqu’il aboutit à larésolution de l’équation ?Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ47
On trouve ici enfin, sur la feuil<strong>le</strong> detravail d’Albert, <strong>le</strong>s deux formes duraisonnement qu’il a conduit, dans <strong>le</strong> casdu 4e problème du tab<strong>le</strong>au 1, qu’il reprenden fin de séquence. L’observation de cettepage permet de confirmer nosinterprétations : <strong>le</strong> raisonnement qui avaitété rédigé maladroitement pour sonquatrième emploi et formalisé comme« méthode plus simp<strong>le</strong> » pour résoudre tous<strong>le</strong>s problèmes de ce type, supporte <strong>le</strong> calculconduit sur <strong>le</strong>s deux formu<strong>le</strong>s quimodélisent <strong>le</strong> problème et qui met enévidence, justement, cette différence entrece que Albert nommait A et a.Ce que nous observons n’est plus <strong>le</strong>travail de formes pures, vides de sens, quenous avons dénoncé en introduction. L’algèbre devient pour <strong>le</strong>s élèves « La languebien formée qui permet <strong>le</strong> calcul des raisonnements », ce qu’el<strong>le</strong> était pour sesinventeurs.Cela suppose seu<strong>le</strong>ment mais c’est beaucoup, car cet exposé ne montre qu’unetoute petite partie des difficultés à surmonter, sur une question seu<strong>le</strong>ment et à un seulniveau d’enseignement au Collège, que <strong>le</strong>s élèves peuvent constituer <strong>le</strong> raisonnementsur <strong>le</strong>s catégories de problèmes qu’ils apprennent à résoudre avant d’engager <strong>le</strong>travail algébrique de production d’une technique.Les professeurs ne savent pas <strong>le</strong> chemin qui conduirait <strong>le</strong>urs élèves vers cetteproduction. Son identification complète par l’ensemb<strong>le</strong> de la profession supposeraitdes études spécialisées bien plus développées que ce que l’année de formationpermet. Car <strong>le</strong> processus est loin d’être achevé : je n’en ai décrit que <strong>le</strong>commencement, mais comment <strong>le</strong>s élèves vont-ils maintenant décrire <strong>le</strong>urs calculs ?Comment <strong>le</strong> professeur pourra-t-il nommer <strong>le</strong>s opérations qu’ils réalisent s’il nedispose que de deux propriétés axiomatiques (distributivité, conservation de l’égalitépar soustraction d’un même terme aux deux membres). Par exemp<strong>le</strong>, Albert iso<strong>le</strong>l’expression x + y dans 5x + 7y, substitue à 5(x + y) sa va<strong>le</strong>ur numérique 5×79 dansla formu<strong>le</strong>, par ce procédé, il élimine la variab<strong>le</strong> x et produit une équation à uneinconnue qu’il résout etc. Ces termes sont-ils disponib<strong>le</strong>s, normalisés, pourraient-ilsfaire l’objet d’un enseignement visant à démontrer <strong>le</strong>ur consistance ?Une des difficultés du mouvement didactique proposé, c’est par exemp<strong>le</strong> que <strong>le</strong>sélèves vont demander ce qu’il se passerait si on donnait trois équations, et il faudraalors <strong>le</strong>ur montrer que trois équations à deux inconnues ne sont pas nécessairementcompatib<strong>le</strong>s, et que l’équation qui permet de donner la réponse est stab<strong>le</strong> tant qu’el<strong>le</strong>est combinaison d’équations compatib<strong>le</strong>s aux deux premières. Or « une techniquesystématique de résolution des équations du premier degré à une inconnue ne fait pas48 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
partie des compétences exigib<strong>le</strong>s du soc<strong>le</strong> commun » et on comprend <strong>le</strong>s professeursqui renoncent à l’usage d’un outil d’enseignement efficace mais trop technique : <strong>le</strong>ssociétés inventent et utilisent <strong>le</strong>s moyens technologiques que <strong>le</strong>ur culture moyenne<strong>le</strong>ur permet.3. Discussion : ce que nous savons sur la question3.1. Imaginer des situations pour faire émerger des représentationsNous appel<strong>le</strong>rons notions des éléments de discours qui relèvent des expériencesculturel<strong>le</strong>s réalisées dans des domaines d’expérience. Les notations sont alors desobjets substitutifs des objets du domaine d’expérience étudié comme domaine deréalité. Les notations rendent compte des pratiques dans ce domaine de réalité. El<strong>le</strong>spermettent des manipulations réglées (u calcul) sous <strong>le</strong> contrô<strong>le</strong> des notions et desdiscours associés, qui proviennent de l’expérience, et donnent un sens pratique aucalcul. En ce sens, <strong>le</strong>s notations représentent <strong>le</strong>s propriétés des objets du domaine deréalité sur <strong>le</strong>squels l’action se réaliserait.En mathématiques, et surtout dans <strong>le</strong>ur enseignement, <strong>le</strong>s notations (des manièresde représenter des objets et des relations pour en faire <strong>le</strong>s objets d’un calcul) sontpresque toujours données aux élèves comme des outils tout faits, qu’il suffiraitd’apprendre à mettre en œuvre. Cela crée de nombreuses difficultés et desquiproquos dont l’exploration a été longue et diffici<strong>le</strong>, je vous en ai rapidementprésenté <strong>le</strong>s résultats <strong>le</strong>s plus significatifs.Le problème est alors <strong>le</strong> suivant : de même que <strong>le</strong>s outils mobilisés dans <strong>le</strong>spratiques quotidiennes ont une fonction de représentation de l’action, c’est <strong>le</strong>ursémioticité, ces outils désignent (à qui <strong>le</strong>s connaît) l’activité qu’ils outil<strong>le</strong>nt ; ilsdésignent (à qui en connaît par expérience l’usage) la technique mobilisée pourrésoudre <strong>le</strong> problème que l’activité rencontre, <strong>le</strong>s notations montrent donc « ce quel’on pourrait faire ». Les notations, comme <strong>le</strong>s outils, ne montrent cela qu’à quiconnaît culturel<strong>le</strong>ment et personnel<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>ur usage. C’est un cerc<strong>le</strong> vicieux commeon l’a vu pour <strong>le</strong> travail algébrique, mais il en va de même pour tous <strong>le</strong>sapprentissages si<strong>le</strong>ncieux, par dressage sur <strong>le</strong> tas ou à l’éco<strong>le</strong>.Une éco<strong>le</strong> devrait avoir d’autres ambitions que d’organiser l’apprentissage dutravail algébrique par un dressage de plusieurs années. Mais il ne suffit pas de <strong>le</strong> direet d’imaginer une voie de réponse, il faut aussi développer <strong>le</strong>s infrastructuresnécessaires à l’appropriation socia<strong>le</strong> de la technique qui résout la question : comme<strong>le</strong> transport aérien, qui suppose <strong>le</strong>s aéroports, l’enseignement proposé ici supposeune culture universitaire productrice et porteuse de ces connaissances. Laresponsabilité de la situation n’appartient plus, aujourd’hui, aux IUFM et auxformateurs qui étaient sur <strong>le</strong> point de découvrir ces phénomènes en travaillant <strong>le</strong>squestions didactiques qu’ils observaient. El<strong>le</strong> appartient aux universitaires, dont on asupposé que <strong>le</strong>ur manière de produire des mathématiques allait <strong>le</strong>s conduire à savoirActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ49
tout cela tout naturel<strong>le</strong>ment. Nous verrons bien, il suffit d’observer patiemmentcomme nous <strong>le</strong> faisons depuis quarante ans, à l’INRP et partout où des didacticienstravail<strong>le</strong>nt, et de continuer à montrer que <strong>le</strong> chemin est connu, mais qu’il faut <strong>le</strong>viabiliser.3.2. Comprendre <strong>le</strong> travail d’enseignementQuelques résultats en didactique, dont nous avons montré l’usage :1) Pour nous, il faut donc appuyer l’enseignement sur des expériences culturel<strong>le</strong>sou anthropologiques (Dewey, 1958 ; Boero et al., 1995). Nous appelons situations<strong>le</strong>s conditions de ces expériences et quand el<strong>le</strong>s sont artificiel<strong>le</strong>s scolaires nous <strong>le</strong>sappelons Situations Didactiques avec Brousseau.Le travail du professeur est alors de définir des situations permettant l’émergencede représentations, puis de faire vivre ces situations, pour que <strong>le</strong>s élèves identifient<strong>le</strong>s représentations produites et en explorent <strong>le</strong>s propriétés (Brousseau, 2005). C’estmanifestement <strong>le</strong> travail de toute une profession et non pas celui de chaqueprofesseur en particulier. Les didacticiens travail<strong>le</strong>nt sur <strong>le</strong> fait que <strong>le</strong>s élèvespeuvent produire par eux-mêmes des représentations, qu’ils peuvent faire évoluervers <strong>le</strong>s notations attendues si on <strong>le</strong>ur propose des situations adaptées. Lesdidacticiens ont vérifié que ce faisant, <strong>le</strong>s élèves produisent <strong>le</strong>s notionscorrespondantes à la condition que <strong>le</strong> professeur en observe <strong>le</strong>s prémisses et <strong>le</strong>sreçoive en <strong>le</strong>s nommant.2) Nous avons montré par ail<strong>le</strong>urs (depuis vingt ans que nous observons <strong>le</strong>sélèves de tous âges et niveaux engagés dans un processus d’apprentissage), que desexpériences culturel<strong>le</strong>s ou anthropologiques non scolaires fournissent aux élèves <strong>le</strong>smétaphores (<strong>le</strong>s éléments discursifs) pour l’interprétation des situations didactiquesqu’ils ont à affronter lorsqu’on <strong>le</strong>s enseigne. Ces métaphores sont fondatrices de<strong>le</strong>urs connaissances: nous <strong>le</strong>s qualifions pour cela de fondamenta<strong>le</strong>s. Le professeurdoit savoir y faire appel en mobilisant <strong>le</strong>s jeux de langage qui ont été formés à <strong>le</strong>uroccasion.Le travail du professeur est alors d’interpréter <strong>le</strong>s pratiques de mathématisationinitia<strong>le</strong>s des élèves. Pour enseigner, <strong>le</strong> professeur qui a organisé une situation initia<strong>le</strong>accompagne <strong>le</strong>s élèves en reconnaissant publiquement <strong>le</strong>s pratiques mathématiquesémergentes des élèves, afin qu’el<strong>le</strong>s aient un avenir et que <strong>le</strong>s élèves puissentdévelopper col<strong>le</strong>ctivement une pensée outillée et validée.3) Ce qu’il faut savoir pour accompagner <strong>le</strong>s élèves dans <strong>le</strong>s apprentissages quel’enseignement demande, c’est donc ce que sont ces expériences fondamenta<strong>le</strong>s etquel<strong>le</strong>s sont <strong>le</strong>urs conditions d’évolution. Nous cherchons maintenant à montrer quedans des conditions bien définies (des situations que <strong>le</strong>s professeurs doiventconnaître), <strong>le</strong>s élèves (qui mobilisent <strong>le</strong>s métaphores fondamenta<strong>le</strong>s que la situationévoque pour eux et que <strong>le</strong> professeur connaît) peuvent produire d’eux-mêmes <strong>le</strong>s50 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
systèmes de notations dont ils ont besoin : mieux, ces systèmes sont ceux que l’oncherche à <strong>le</strong>ur enseigner.Le professeur en organise l’exploration, il nomme <strong>le</strong>s objets ainsi produits etengage <strong>le</strong>s élèves à développer des jeux de langage stab<strong>le</strong>s à <strong>le</strong>ur propos pouraccompagner <strong>le</strong> processus dans <strong>le</strong>quel <strong>le</strong>s élèves s’engagent. Pour cela, il doit être aufait des moments nécessaires de toute situation didactique. Ces moments sont aumoins trois, comme nous avons pu <strong>le</strong> voir sur l’exemp<strong>le</strong> étudié :1) la formation d’une expérience du problème,2) la formalisation d’une représentation du problème,3) l’étude et l’épreuve des propriétés de cette représentation.En mathématiques, nos observations et nos travaux vont de la maternel<strong>le</strong> à laTermina<strong>le</strong> en passant par tous <strong>le</strong>s niveaux intermédiaires (projets Éco<strong>le</strong> K<strong>le</strong>ber,Éco<strong>le</strong> Saint Char<strong>le</strong>s, AMPERES). J’ai rapidement montré deux des moments dutravail algébrique, en Troisième autour des systèmes d’équations à deux inconnues,correspondant environ à trois heures de travail en classe. Nous avons bien d’autresexemp<strong>le</strong>s, par exemp<strong>le</strong> au début du Collège autour des premières écrituresalgébriques (Krysinska, Schneider et Mercier 2009), ou en Cinquième avec <strong>le</strong>sprogrammes de calcul comme appui à l’introduction des relatifs. Nos travauxd’ingénierie consistent donc à développer <strong>le</strong>s suites de situations 1) qu’un professeurpuisse définir pour <strong>le</strong>s élèves, 2) où un professeur puisse <strong>le</strong>s accompagner parce qu’i<strong>le</strong>n connaîtra <strong>le</strong>s moments clés, <strong>le</strong>s points d’appui et <strong>le</strong>s enjeux épistémologiques :trois dimensions à décrire pour rendre nos productions robustes et fiab<strong>le</strong>s.Les connaissances qu’un professeur doit mobiliser pour faire son travail sontmultip<strong>le</strong>s, el<strong>le</strong>s relèvent de ce qu’appel<strong>le</strong>rai, pour dire en une seu<strong>le</strong> formu<strong>le</strong> ce quej’ai tenté de montrer sur un exemp<strong>le</strong>, une analyse épistémique des domainesd’expérience culturel<strong>le</strong> et des situations didactiques que ces domaines fondent. Destravaux en ce sens se développent, dans <strong>le</strong> monde (Shulman, 1986). Les auteurs quiréfèrent à Shulman appel<strong>le</strong>nt « Pedagogical Content Know<strong>le</strong>dge » <strong>le</strong>s savoirspratiques du professeur qui résultent de ces analyses, et Shulman affirmait, lorsd’une conférence devant l’assemblée des professeurs de mathématiques des USA,que contrairement au dicton selon <strong>le</strong>quel « ceux qui savent faire font, ceux qui nesavent pas faire enseignent », il fallait bien comprendre que « ceux qui enseignentsont ceux qui ont une compréhension profonde de ce qu’il y a à faire. » J’affirmepour ma part, en complément de ce que dit Shulman, que pas plus que dans <strong>le</strong> casdes pilotes d’avion que dans celui des ingénieurs des travaux publics, « la formationde cette compréhension nécessaire ne peut être laissée aux hasards dudéveloppement de l’expérience professionnel<strong>le</strong> des professeurs. » Il y faut <strong>le</strong> travailcol<strong>le</strong>ctif d’étude de ce domaine de réalité qu’est ce que nous appelons <strong>le</strong> didactique.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ51
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Ressources numériques,pratiques enseignanteset dynamique de la sal<strong>le</strong> de classe conférence en ligne sur canal-uAna Isabel SacristánChercheuse invitée, IFÉ (mars-juil<strong>le</strong>t, 2011)Cinvestav-IPNDepto. de Matemática EducativaAv. Instituto Politécnico Nacional 2508C.P. 07360 México, D.F., Mexiqueasacrist@cinvestav.mxRÉSUMÉ : On aborde <strong>le</strong> thème de l'intégration des ressources numériques pourl'enseignement et l'apprentissage des mathématiques, et <strong>le</strong>s implications pour la pratique et<strong>le</strong> rô<strong>le</strong> des enseignants, ainsi que sur la dynamique des sal<strong>le</strong>s de classe. On analyse <strong>le</strong>spossib<strong>le</strong>s contributions des ressources numériques pour l’apprentissage mathématique etl’on présente l’idée d’utiliser ces ressources comme catalyseurs de transformation despratiques éducatives. On discute l’exemp<strong>le</strong> d’un programme d’implémentation desressources numériques aux collèges du Mexique, et <strong>le</strong>s difficultés des enseignants pourchanger <strong>le</strong>urs pratiques. Fina<strong>le</strong>ment on présente un modè<strong>le</strong> de formation professionnel<strong>le</strong>pour une intégration significative des ressources numériques aux pratiques enseignantes.ABSTRACT: Here, we examine the issue of integration of digital technologies in the teachingand <strong>le</strong>arning of mathematics, and the possib<strong>le</strong> implications for the teaching practice and inthe classroom dynamics. We analyse the possib<strong>le</strong> affordances of digital technologies andpresent the idea of using those resources as a catalysts for transforming teaching-<strong>le</strong>arningpractices. We discuss an examp<strong>le</strong> of a program for imp<strong>le</strong>menting digital technologies inMexican midd<strong>le</strong>-schools, and the chal<strong>le</strong>nges that the teachers involved faced. Finally, wepresent a model of professional development for a meaningful integration of digitaltechnologies in teaching practices.MOTS-CLÉS : Ressources numériques, pratiques éducatives, transformation, formationprofessionnel<strong>le</strong>.KEYWORDS: Digital technologies, teaching practices, transformation, professionaldevelopmentActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ53
IntroductionDans cette présentation, j'aborde <strong>le</strong> thème de l'intégration des ressourcesnumériques pour l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques, et <strong>le</strong>simplications pour la pratique et <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> des enseignants, ainsi que sur la dynamiquedes sal<strong>le</strong>s de classe. J’aborde ce thème surtout à partir de mes propres expériences etobservations, et de plusieurs recherches dans mon pays (<strong>le</strong> Mexique). Évidemment,l'intégration des ressources numériques dans <strong>le</strong>s sal<strong>le</strong>s de classe est une nécessitéinévitab<strong>le</strong> face au monde numérique dans <strong>le</strong>quel nous vivons. Il y a un discourspolitique dans cette direction, ainsi qu'un push, de plus en plus fort, de la société.Mais cette intégration, si on veut qu’el<strong>le</strong> soit effective, n'est pas simp<strong>le</strong>.1. Usages plus communs et potentialités des ressources numériquesPour commencer, regardons <strong>le</strong>s usages que l’on fait des technologies numériquesdans l’enseignement des mathématiques, ainsi que <strong>le</strong>urs potentialités (affordances)pour l’éducation. Kaput, Hegedus et Lesh (2007) décrivent <strong>le</strong>s potentialités desressources numériques en termes de cel<strong>le</strong>s qui apportent des infrastructures dereprésentation et cel<strong>le</strong>s qui supportent la communication. En termes généraux, onpeut dire que quelques apports immédiats des ressources numériques sont :- la facilitation des calculs : des simp<strong>le</strong>s calculs arithmétiques, à travers desreprésentations plus ou moins algébriques – e.g. en utilisant descalculatrices, des tab<strong>le</strong>urs numériques, jusqu’aux systèmes plus symboliqueset algébriques de calcul formel (CAS, en anglais),- la facilitation de représentations visuel<strong>le</strong>s et de <strong>le</strong>ur construction,- la facilitation de représentations dynamiques,- la possibilité d’interactivité avec l’environnement numérique,- la facilitation d’accès à l’information et à des moyens de communication,d’échanges et de connectivité.Mais ces infrastructures de représentation et de communication ont un potentielqui va plus loin de ce qui est immédiatement évident. Néanmoins l’usage que l’onfait de ces ressources reste souvent limité. Par exemp<strong>le</strong>, dans une enquête menée enAmérique latine en 2006 (Julie et al. 2010) la réponse dominante dans beaucoup depays de cette région à la question « quel<strong>le</strong>s ressources numériques on utilise pour <strong>le</strong>sclasses de mathématiques », fût des logiciels d’édition de texte (Word, LaTex, PDF)et de présentation (Powerpoint), qui sont des outils dans ces cas utilisés pour lacommunication et non pas pour faire ou explorer <strong>le</strong>s mathématiques. Dans une autreenquête récente au Mexique (voir Rodríguez-Vidal & Sacristán, 2011 ; dans cesactes) nous avons vu que la connaissance de logiciels qui peuvent êtres uti<strong>le</strong>s pour<strong>le</strong>s mathématiques, par des enseignants du second degré, est encore assez limitée(avec l’Internet étant la ressource la plus connue) et l’utilisation en classe est encorefaib<strong>le</strong> et plutôt pour faire, surtout, des graphes de fonctions. Dans ces deux enquêtes,54 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
l’utilisation d’autres ressources comme <strong>le</strong>s tab<strong>le</strong>urs numériques, <strong>le</strong>s logiciels degéométrie dynamique et CAS (utilisé surtout en enseignement supérieur) reste encoretrès faib<strong>le</strong>. Tandis que <strong>le</strong>s deux utilisations plus communes (des ressources des suitesbureautiques ; et des représentations graphiques de fonctions) représentent un emploides ressources numériques limité à présenter et visualiser, c'est-à-dire pour lacommunication.On peut même dire que certains autres types de ressources, comme <strong>le</strong>s tab<strong>le</strong>auxinteractifs, sont plutôt aussi des ressources de communication, comme <strong>le</strong> sontbeaucoup de ressources Internet (ressources de communication et d’accès àl’information). Il semb<strong>le</strong> donc que l’utilisation dominante des ressources numériquesen éducation (au moins au Mexique) est dirigée, au meil<strong>le</strong>ur des cas, pour faire ouvérifier des calculs, ou vers l’information et la communication – comme <strong>le</strong> sont <strong>le</strong>sTIC. Mais <strong>le</strong>s technologies numériques sont beaucoup plus que des « TIC » (raisonpour laquel<strong>le</strong> je préfère ne pas utiliser ce terme) et ont un potentiel, en particulierpour l’apprentissage et l’enseignement des mathématiques, plus fort. Et même quandon utilise des ressources qui ont un potentiel fort pour l’enseignement etl’apprentissage – ainsi que pour réaliser des investigations – des mathématiques,comme peut l’être un environnement de géométrie dynamique, <strong>le</strong>s principesessentiels de ces ressources sont souvent sous-utilisés ou même oubliés. Tel a été <strong>le</strong>cas d’une observation d’un groupe d’élèves au Mexique qui devaient construire untriang<strong>le</strong> avec ses bissectrices avec Cabri-géomètre (figure 1). Au début de la séancede travail, ces élèves avaient fait une construction de manière parfaitement correcte,mais soudainement, ils ont tout effacé et ils ont recommencé <strong>le</strong>ur construction ;quand on <strong>le</strong>ur a demandé pourquoi ils avaient fait ça, ils ont répondu que c’était pourfaire un triang<strong>le</strong> plus grand. Cela indique une méconnaissance de l’environnement etde la possibilité de déplacer <strong>le</strong>s points (sommets du triang<strong>le</strong>) pour faci<strong>le</strong>mentagrandir <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> ; peut-être l’enseignant n’a pas su transmettre à ses élèves un desprincipes des plus fondamentaux de la géométrie dynamique.Figure 1 : triang<strong>le</strong> et ses bissectrices en Cabri-géomètre.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ55
Un autre problème qu’on observe souvent au Mexique (voir Cabal<strong>le</strong>ro, 2009),c’est que, quand <strong>le</strong>s enseignants commencent à utiliser des ressources numériques enclasse, c’est très souvent au niveau technique de l’utilisation du logiciel, avec peu deconsidérations mathématiques et avec des méthodes traditionnel<strong>le</strong>s d’enseignement.En fait, il semb<strong>le</strong> demeurer tendance à faire avec <strong>le</strong>s technologies presqueexactement <strong>le</strong>s mêmes problèmes et activités qui étaient faits sans technologie etd’une façon très similaire, en n’utilisant souvent <strong>le</strong>s ressources numériques que pourla vérification de résultats (Sacristán, Parada, Sandoval & Gil, 2009) ou pourfaciliter <strong>le</strong>s calculs ou la construction de représentations graphiques.Mais, comme je l’ai déjà signalé, je considère que <strong>le</strong> potentiel des ressourcespeut et doit être exploité beaucoup plus. Je considère même que ces ressources ontun potentiel pour être catalyseurs de transformation de la façon dont on enseigne etapprend <strong>le</strong>s mathématiques dans <strong>le</strong>s éco<strong>le</strong>s.2. Les ressources numériques comme catalyseurs de transformationJe voudrais ici rappe<strong>le</strong>r une conception du potentiel des technologies numériquespour l’éducation mathématique qui me semb<strong>le</strong> avoir été un peu oubliée. Depuis <strong>le</strong>sannées soixante-dix, Seymour Papert (1972, 1980) a considéré que <strong>le</strong>s ordinateurspouvaient être utilisés pour que <strong>le</strong>s élèves « fassent des mathématiques » au lieud’apprendre « sur » <strong>le</strong>s mathématiques, en permettant que <strong>le</strong>s élèves s’engagent dansdes démarches d’investigation et aboutissent à <strong>le</strong>urs propres découvertesmathématiques. Il a donc proposé l’idée du « constructionisme » (Harel & Papert,1991) où l’apprentissage est facilité quand on construit quelque chose d’externe(c’est-à-dire quelque chose qui puisse être partagé et discuté) comme peut l’être <strong>le</strong>code d’un programme d’ordinateur. Dans <strong>le</strong> constructionisme, l’idée de faciliterl’expressivité des élèves est centra<strong>le</strong> ; et <strong>le</strong>s ordinateurs sont utilisés de cettemanière : pour s’exprimer et pour construire.Pendant <strong>le</strong>s années 1980 et 1990, il y a eu beaucoup d’études pourl’enseignement des mathématiques avec succès, basées sur ce paradigme éducatif duconstructionisme, surtout avec <strong>le</strong> langage de programmation Logo (Noss & Hoy<strong>le</strong>s,1996), mais la difficulté de <strong>le</strong>ur appropriation et mise en pratique par desenseignants non formés, entre autres raisons, fut que ces expériences sont restées àpetite échel<strong>le</strong> (pour une étude intéressante des problèmes sociaux d’appropriation deLogo, voir Agalianos, Noss & Whitty, 2001). En particulier, la dénomméephilosophie Logo exige une transformation des pratiques d’éducation, et cela n’estpas faci<strong>le</strong>. Mais en fait, c’est précisément ça qui peut être l’apport plus riche desressources numériques : une transformation éducative, ainsi que de la façond’aborder <strong>le</strong>s mathématiques.Plus récemment, Papert (2006) nous a défié à dédier 10 % de notre temps àréfléchir sur quel<strong>le</strong>s nouvel<strong>le</strong>s connaissances et pratiques enseignantes peuventémerger des ressources numériques. Il a critiqué <strong>le</strong> fait qu’on utilise ces ressourcespour servir des curriculums qui ont été créés sans el<strong>le</strong>s, en disant :56 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
« Nous n’aurions jamais eu des avions […] si on avait contraint <strong>le</strong>s nouveauxtransports aux horaires des bateaux et des charrettes à chevaux. Mais c’est ce quenous faisons dans nos éco<strong>le</strong>s. […] <strong>le</strong>s éco<strong>le</strong>s sont dictées par des technologies, pardes technologies obsolètes : <strong>le</strong> papier et <strong>le</strong> crayon ».Il faut donc trouver des façons pour profiter des technologies. Ce n’est passuffisant de faire la même chose que ce qu’on faisait avant, mais « embelli » ou aidépar des ressources numériques. Il faut une intégration significative des ressourcesnumériques dans <strong>le</strong>s classes de mathématiques.3. Vers une intégration significative des ressources numériques dans <strong>le</strong>s classesde mathématiquesPour vraiment profiter du potentiel des ressources numériques, et pour intégrerces ressources de manière significative dans <strong>le</strong>s sal<strong>le</strong>s de classe, il faut repenser lapratique et <strong>le</strong>s processus d’enseignement et d’apprentissage (même si ce n’est pasfaci<strong>le</strong>, comme on <strong>le</strong> discute ci-dessous). Les enseignants doivent développer denouvel<strong>le</strong>s compétences ; s'adapter aux changements apportés par ces ressources ;comprendre comment utiliser <strong>le</strong>s outils pour exploiter <strong>le</strong>ur potentiel ; modifier <strong>le</strong>urspratiques afin de promouvoir un apprentissage significatif de <strong>le</strong>urs élèves.Au Mexique, un programme national initié en 1997 et nommé Enseignement desmathématiques avec technologies (EMAT), a essayé d'incorporer dans <strong>le</strong>s collègesdes ressources numériques – en particulier des logiciels expressifs universels 1 , telsque <strong>le</strong>s tab<strong>le</strong>urs numériques, la géométrie dynamique, calculatrices graphiques, etl’environnement de programmation Logo – avec un modè<strong>le</strong> pédagogique et unmodè<strong>le</strong> d’intégration avec formation et support pour <strong>le</strong>s enseignants (Rojano, 2006).Ce programme a été conçu en prenant comme fondements <strong>le</strong>s résultatsinternationaux de recherche en éducation mathématique et sur l’utilisation deressources numériques. Une des idées derrière la conception d’EMAT, c’étaitd’utiliser <strong>le</strong>s ressources numériques et <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> pédagogique, comme moyens(catalyseurs) pour transformer <strong>le</strong>s pratiques éducatives de collège au Mexique(Rojano, 2006). Un aspect fondamental de ce programme fut donc <strong>le</strong> modè<strong>le</strong>pédagogique.Pour la conception de ce modè<strong>le</strong>, et <strong>le</strong>s recommandations (Ursini & Rojano,2000) de ce que, dans EMAT, on a appelé <strong>le</strong>s « laboratoires de mathématiques », ona utilisé beaucoup de fondements philosophiques et pédagogiques sous-jacents àl’idée de micromondes mathématiques proposés par Hoy<strong>le</strong>s et Noss (1987). C’est-àdire,on prend en compte <strong>le</strong>s aspects pédagogiques (outils pédagogiques, rô<strong>le</strong> del’enseignant, etc.), techniques (logiciels et ressources numériques, équipement), et ducontexte de travail des élèves et de la dynamique de la sal<strong>le</strong> de classe. C’est un1 ressources « universel<strong>le</strong>s » sont cel<strong>le</strong>s qui sont faci<strong>le</strong>ment disponib<strong>le</strong>s ; <strong>le</strong>s logiciels« expressifs » sont ceux qui permettent à l’utilisateur exprimer ses idées de quelque façon (parexemp<strong>le</strong> à travers des constructions, des programmes, etc.), ou de modifier <strong>le</strong>urfonctionnement.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ57
modè<strong>le</strong> où l’activité se centre autour de démarches d’investigation avec outilsnumériques, de divers thèmes ou problèmes mathématiques, par <strong>le</strong>s élèves.Il est pertinent de décrire ici sommairement ce modè<strong>le</strong> car je <strong>le</strong> considère commeun exemp<strong>le</strong> pour une intégration effective des technologies numériques dans <strong>le</strong>ssal<strong>le</strong>s de classe de mathématique. Dans <strong>le</strong>s terrains pédagogiques et du milieu detravail, <strong>le</strong>s activités sont structurées à travers des fiches de travail 2 (qui encouragentaussi la réf<strong>le</strong>xivité) et on recommande que <strong>le</strong>s démarches d’investigation soientréalisées dans un espace de travail collaboratif, avec deux ou trois élèves parordinateur ; on conseil<strong>le</strong> même de placer <strong>le</strong>s ordinateurs dans la sal<strong>le</strong> de façon tel<strong>le</strong>que la discussion et l’échange d’idées soient facilités (par exemp<strong>le</strong> en forme de Uavec un espace de rassemb<strong>le</strong>ment au centre ; figure 2). Le rô<strong>le</strong> de l’enseignant estfondamental mais très différent du rô<strong>le</strong> traditionnel : il/el<strong>le</strong> est organisateur(trice) etguide, et doit encourager un esprit d’enquête et de réf<strong>le</strong>xion parmi ses élèves ; maisil/el<strong>le</strong> doit aussi soutenir des discussions en classe pour rendre explicites <strong>le</strong>sconnections entre <strong>le</strong>s activités avec technologies et <strong>le</strong>s mathématiques formel<strong>le</strong>s duprogramme scolaire, et pour que <strong>le</strong>s élèves puissent présenter <strong>le</strong>urs idées à sescamarades.Figure 2 : recommandation pour <strong>le</strong> placement des ordinateurs (Ursini & Rojano,2000)Je considère que ce modè<strong>le</strong> a été assez bien conçu, encourageant un esprit (assezconstructioniste) d’investigation, découverte et expression d’idées mathématiques,en essayant de combiner certains principes importants de la vision de Papert, avec unprogramme d’étude formel dans un milieu institutionnel. Mais même avec une bonneconception, tant pédagogique et technique, comme du point de vue administratif etd’implémentation, son application n’est pas simp<strong>le</strong> (voir Sacristán & Rojano, 2009,pour un rapport de la mise en scène d’EMAT). En particulier (voir ci-dessous), il estclair que <strong>le</strong>s changements nécessaires pour l’implémentation d’un tel modè<strong>le</strong> ne sontpas faci<strong>le</strong>s pour <strong>le</strong>s enseignants.4. Les difficultés des enseignants de modifier <strong>le</strong>urs pratiques pédagogiquesLes résultats de plusieurs recherches (aux niveaux locaux ainsi que national) avecenseignants en service au Mexique, et en particulier de la mise en place duprogramme EMAT (par exemp<strong>le</strong> Trigueros & Sacristán, 2008) montrent que, mêmesi <strong>le</strong>s enseignants sont enthousiastes pour l’intégration des ressources numériques,2 Les <strong>fichier</strong>s de travail d’EMAT peuvent être téléchargés à partir de : .58 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
dans <strong>le</strong>ur pratique, ils doivent faire face à plusieurs difficultés. Un des problèmesprincipaux, c’est <strong>le</strong> manque d’expérience et de compétences techniques etpédagogiques de l’utilisation de ces ressources. Ces déficiences entraînent souventdes peurs et insécurités qui font que <strong>le</strong>s enseignants évitent l’usage des ressourcesnumériques dans <strong>le</strong>ur pratique ; et cela engendre un cerc<strong>le</strong> vicieux car, sans cetteutilisation, ils ne pourront pas acquérir l’expérience et <strong>le</strong>s compétences nécessairespour surmonter <strong>le</strong>urs insécurités. Je considère que <strong>le</strong>s façons limitées d’utiliser <strong>le</strong>sressources numériques discutées dans la première section de cet exposé, ainsi quel’approche traditionnel<strong>le</strong> d’enseignement qui souvent accompagne ce type d’usage,sont aussi dues à un manque d’expérience et de formation pédagogique.Dans <strong>le</strong> programme EMAT, on a essayé de mettre en scène un programme deformation des enseignants. Mais, pour des raisons administratives qui dépassent <strong>le</strong>cadre de cette présentation (voir pour cela, Sacristán & Rojano, 2009), en général <strong>le</strong>sformations furent trop courtes et insuffisantes. On a donc observé des problèmes demanque d’appropriation du modè<strong>le</strong> pédagogique (ainsi qu’un usage très inconsistant,irrégulier et discontinu des ressources numériques en classe). Par exemp<strong>le</strong>, on asouvent observé un manque de capacité des enseignants à faire des interventionsdidactiques pendant <strong>le</strong>s travaux pratiques avec technologies, ainsi qu’un manqued’activités de discussion et de réf<strong>le</strong>xion (Trigueros & Sacristán, 2008) ; tandis quequelques enseignants ne laissaient pas à <strong>le</strong>urs élèves explorer librement <strong>le</strong>s thèmesdes activités d’investigation (Sacristán, 2005).Cependant, on a aussi observé des cas de réussite ; comme celui d’un enseignantqui, graduel<strong>le</strong>ment, après plusieurs années de travail avec <strong>le</strong>s ressources et <strong>le</strong> modè<strong>le</strong>EMAT, a réussi à développer, avec ses élèves, des démarches collaborativesd’investigation à long terme, en utilisant de manière intégrée plusieurs ressources(e.g. Logo, géométrie dynamique, tab<strong>le</strong>urs numériques, ainsi que d’autres logiciels)pour, en particulier, explorer des concepts de trigonométrie : quelques-uns de cesprojets furent ceux de « Trigonométrie sans dou<strong>le</strong>ur », construction de pyramides en3D ou construction de la Tour Eiffel (voir Jiménez-M. & Sacristán, 2010).Néanmoins, nous avons vu que, même avec une formation continue desenseignants et une volonté de changer de <strong>le</strong>ur part 3 , il a fallu, à peu près, trois anspour que <strong>le</strong>s enseignants arrivent a implémenter de manière effective <strong>le</strong>s activitésavec ressources numériques, et qu’ils changent de manière significative <strong>le</strong>ursdémarches d’enseignement (Trigueros & Sacristán, 2008). À partir de ces résultats,nous avons conclu que ce qui est très important, ce sont <strong>le</strong>s programmes deformation et de soutien continus des enseignants.5. Un modè<strong>le</strong> de formation des enseignantsÀ partir du 2005, j’ai participé à un programme de trois ans de formationprofessionnel<strong>le</strong> pour enseignants de mathématiques, visant l’intégration des3 Dans Sacristán (2005) nous avons montré que l’attitude des enseignants est un facteurimportant pour une intégration effective des ressources numériques en classe.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ59
essources numériques dans <strong>le</strong>ur pratique enseignante. En prenant en compte <strong>le</strong>srésultats comme ceux exposés ci-dessus, on a conçu un modè<strong>le</strong> de formation pouraider <strong>le</strong>s enseignants-participants à développer des nouvel<strong>le</strong>s compétences ; àcomprendre comment utiliser <strong>le</strong>s outils numériques pour exploiter <strong>le</strong>ur potentiel ; àmodifier <strong>le</strong>urs pratiques afin de promouvoir un apprentissage significatif de <strong>le</strong>ursélèves ; et à s'adapter aux changements entraînés par l’introduction de ces ressourceset d’un nouveau modè<strong>le</strong> pédagogique. Pour cela on a favorisé des processus deréf<strong>le</strong>xion et d’analyse de la pratique enseignante, comme recommandé par diversexperts (voir : Godino, Rivas, Castro & Konic, 2008).Figure 3 : <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> de formation professionnel<strong>le</strong>Dans la figure 3, je présente un schéma du modè<strong>le</strong> de formation professionnel<strong>le</strong>(présenté aussi dans Sacristán, Sandoval & Gil, à paraître) que nous avons suivi avecnos enseignants-participants, et qui comprenait plusieurs activités simultanées(j’utilise <strong>le</strong> terme « simultanées » car il y a eu une constante interaction de cesactivités – <strong>le</strong>s expériences pratiques ont enrichi <strong>le</strong>s connaissances acquises dans <strong>le</strong>programme de formation à travers des réf<strong>le</strong>xions individuel<strong>le</strong>s et col<strong>le</strong>ctives 4 ) :i) Formation et développement de compétences techniques et pédagogiques pourl’intégration des ressources numériques pour l’enseignement des mathématiques.D’abord, on a voulu que <strong>le</strong>s participants connaissent, tant de façon pratique quethéorique, des ressources numériques potentiel<strong>le</strong>ment uti<strong>le</strong>s pour <strong>le</strong>urs classes demathématiques, en particulier des logiciels universels, comme <strong>le</strong>s tab<strong>le</strong>ursnumériques, la géométrie dynamique, CAS et Logo, et quelques app<strong>le</strong>ts interactifs,en analysant <strong>le</strong>s potentialités et limitations de chacune des ressources. On a aussiessayé qu’ils connaissent et comprennent un modè<strong>le</strong> pédagogique pour uneintégration significative des ressources numériques ; pour cela, nous avons suivi,dans <strong>le</strong>s activités pratiques du programme de formation des enseignants, un modè<strong>le</strong>pédagogique comme celui du programme EMAT décrit en haut, en encourageant <strong>le</strong>senseignants à participer à des démarches d’investigations collaboratives avec <strong>le</strong>s4 Pour un autre modè<strong>le</strong> intéressant pour la réf<strong>le</strong>xion des enseignants, voir Parada-Rico (2011),dans ces actes.60 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
essources numériques comme des outils pour « faire », découvrir et exprimer desidées mathématiques (comme recommandé par Papert, 1972, 1980).ii) Conception, planification et mise en scène de stratégies et activitésd’enseignement avec ressources numériques. Entre chaque séance en présence deformation, <strong>le</strong>s participants ont dû implémenter avec <strong>le</strong>urs élèves des activités avecressources numériques, même s’ils se ne sentaient pas encore compétents. Laphilosophie était que « pour apprendre à nager, il faut sauter dans l’eau ».iii) Activités d’observation et de réf<strong>le</strong>xion de <strong>le</strong>ur pratique lors del'implémentation des nouvel<strong>le</strong>s technologies. Pendant la mise en scène avec <strong>le</strong>ursélèves, on a demandé aux enseignants-participants de s’engager dans des processusdʼauto-observation et réf<strong>le</strong>xion de <strong>le</strong>urs expériences, ainsi que d’analyser <strong>le</strong>schangements qui sont survenus ou dont ils ont éprouvé un besoin, et de faire descommunications écrites de ces réf<strong>le</strong>xions. Puis, dans <strong>le</strong>s séances du programme deformation, ils ont dû discuter et analyser avec <strong>le</strong>s autres participants <strong>le</strong>ursexpériences et observations. On a aussi réfléchi col<strong>le</strong>ctivement à quel<strong>le</strong>s nouvel<strong>le</strong>sconnaissances et pratiques enseignantes pourraient émerger de l’utilisation desressources numériques, comme <strong>le</strong> demandait Papert (2006).Pour aider <strong>le</strong>s participants dans <strong>le</strong>urs réf<strong>le</strong>xions, on <strong>le</strong>ur a conseillé d’analyser <strong>le</strong>schangements, en prenant en compte différentes perspectives (Sacristán, Sandoval& Gil, 2007) :a.) La perspective de lʼenseignant et de lʼusage didactique des technologies :• Changements dans <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> de l'enseignant (d’exposant à médiateur) et <strong>le</strong>sdifficultés de ces changements ;• Changements des méthodologies/stratégies dʼenseignement ;• Changements dans <strong>le</strong>urs croyances et conceptions ;• Usage et conception dʼactivités et TP avec technologies numériques ;• Articulation des activités avec <strong>le</strong>s programmes dʼétudes ;• Conception de techniques d'évaluation pour <strong>le</strong>s activités avec technologiesnumériques ;• Complémentarité des différentes ressources numériques, entre el<strong>le</strong>s, et aveccel<strong>le</strong>s sans technologies numériques (avec papier et crayon) ;• Nouvel<strong>le</strong>s connaissances mathématiques et nouvel<strong>le</strong>s perspectives à partirde lʼusage des nouvel<strong>le</strong>s technologies.b.) La perspective des interactions dans la sal<strong>le</strong> de classe :• Changements de la structure d’enseignement ;• Changements des relations enseignant-élèves ;• Changements des relations élèves - élèves (travail collaboratif) ;• Changements de la disposition du mobilier et du milieu de travail.c.) Le possib<strong>le</strong> impact sur <strong>le</strong>s élèves :• En <strong>le</strong>ur apprentissage ;Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ61
• En <strong>le</strong>ur motivation. ;• En <strong>le</strong>urs attitudes (envers <strong>le</strong>s mathématiques), croyances et participation.d.) La perspective technique :e.)• Connaissances techniques pour lʼutilisation des ressources numériques (e.g.logiciels, ordinateurs) ;• Autres difficultés techniques.La perspective du contexte social• Changements dans la communauté scolaire ;• Le rô<strong>le</strong> des autorités scolaires ;• Impact sur, et collaboration avec, <strong>le</strong>s autres enseignants ;• Lʼinteraction avec <strong>le</strong>s parents.Ainsi, on a travaillé, de près, avec six enseignants en service avec ce modè<strong>le</strong> deformation et de réf<strong>le</strong>xion. Au bout de trois ans, tous ces participants ont changéconsidérab<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>ur pratique, tant avec technologies comme sans el<strong>le</strong>s. Et <strong>le</strong>ursconceptions des processus d’enseignement-apprentissage ont aussi été modifiées,comme dans l’exemp<strong>le</strong> ci-dessous. Il y a eu un consensus concernant l’importancedes activités pratiques ainsi qu’activités réf<strong>le</strong>xives, mais aussi sur <strong>le</strong> fait qu’il fautêtre patient car <strong>le</strong>s changements sont très graduels et prennent du temps.Figure 4 : conception de l’enseignement-apprentissage : avant (gauche), linéaire ; etaprès (droite), un système d’interactions collaboratif (Hernández-Sánchez, 2009).Comme exemp<strong>le</strong> de ces changements, il y a <strong>le</strong> cas d’une enseignante de collège(Hernández-Sánchez, 2009) qui a représenté (figure 4) comment au début (figure 4,gauche) sa conception de lʼenseignement des contenus mathématiques « était trèslinéaire » et centrée sur l’enseignant et de celui/cel<strong>le</strong>-ci vers <strong>le</strong>s élèves ; tandisqu’après (figure 4, droite), sa conception est d’un système d’interactions entreélèves, avec l’enseignant, avec <strong>le</strong>s ressources technologiques, et avec d’autres62 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
instruments pédagogiques (comme <strong>le</strong>s fiches de travail) et d’évaluation, dans unmilieu de travail collaboratif.6. Remarque fina<strong>le</strong>J’ai essayé dans cette présentation, d’initier une réf<strong>le</strong>xion sur la manière d’utiliser<strong>le</strong>s ressources numériques dans l’enseignement des mathématiques ; et de montrerdes idées et exemp<strong>le</strong>s d’utilisation de ces ressources pour transformer <strong>le</strong>s pratiquesenseignantes et pour trouver des nouvel<strong>le</strong>s façons d’aborder <strong>le</strong>s idéesmathématiques. Ce sont des implémentations et changements qui ne sont pas faci<strong>le</strong>s,mais je pense que la prise en compte de ces idées peut aider à commencer ceprocessus de transformation.7. BibliographieAgalianos, A., Noss, R. & Whitty, G. (2001). Logo in mainstream schools : The strugg<strong>le</strong> overthe soul of an educational innovation. British Journal of Sociology of Education 22(4) :p. 479-500.Cabal<strong>le</strong>ro C., A. (2009). Cambios en la ensenanza de las matematicas al incorporartecnologias digita<strong>le</strong>s al tal<strong>le</strong>r de computacion de una escuela te<strong>le</strong>secundaria. Thèse deMaster. Mexico : Cinvestav-IPN.Godino, J. D., Rivas, M., Castro, W. F. y Konic, P. (2008). Desarrollo de competencias parael análisis didáctico del profesor de matemáticas. Actas de las VI Jornadas de EducaciónMatemática Región de Murcia. Centro de Profesores y Recursos. Murcia, 17-19 Abril2008. Disponib<strong>le</strong> sur Internet : .(consulté<strong>le</strong> 10 juin 2011).Hernández-Sánchez, M. (2009). Incorporación de herramientas tecnológicas a la enseñanzade las matemáticas: Cambios en el aula y búsqueda de nuevas formas de evaluación.Thèse de Master. Mexico : Cinvestav-IPN.Hoy<strong>le</strong>s, C. & Noss, R. (1987). Synthesising mathematical conceptions and their formalisationthrough the construction of a Logo-based school mathematics curriculum. InternationalJournal of Mathematics Education in Science and Technology 18(4), p. 581-595.Jiménez-M., J. & Sacristán, A.I. (2010). Eight years of journey with Logo <strong>le</strong>ading to theEiffel tower mathematical project. Dans J. Clayson & I. Kalas (eds) Constructionistapproaches to creative <strong>le</strong>arning, thinking and education : Lessons for the 21 st century –Proceedings Constructionism 2010. Paris : AUP / Comenius University.Julie, C., Leung, A., Thanh, N.C., Posadas, L., Sacristán, A.I., Semenov, A. (2010). Someregional developments in access and imp<strong>le</strong>mentation of digital technologies and ICT.Dans C. Hoy<strong>le</strong>s and J.-B. Lagrange (éd.), Mathematics Education and Technology-Rethinking the Terrain. New ICMI Study Series, New York : Springer, vol. 13, p. 261-383.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ63
Kaput, J., Hegedus, S., & Lesh, R. (2007). Technology becoming infrastructural inmathematics education. In R. A. Lesh, E. Hamilton & J. J. Kaput (éd.), Foundations forthe future mathematics education. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, p. 173-191.Papert S. (1972). Teaching children to be mathematicians versus teaching about mathematics.International Journal of Mathematics Education in Science and Technology 3, p. 249-262.Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. New York : BasicBooks.Papert, S. (2006). From the math wars to the new new math. Adresse présentée pendant laconférence de la 17e Étude ICMI « Technology Revisited », Hanoi, Vietnam.Parada Rico, S.E. (2011). Communautés de pratique : une alternative pour encourager laréf<strong>le</strong>xion et l'apprentissage des enseignants de mathématiques. Actes des JournéesMathématiques IFÉ-ENS de Lyon 2011.Rodríguez-Vidal & Sacristán, A.I. (2011). Introducción a profesores de matemáticas denive<strong>le</strong>s de secundaria y bachil<strong>le</strong>rato a paradigmas pedagógicos digita<strong>le</strong>s. Actes desJournées Mathématiques IFÉ-ENS de Lyon 2011.Rojano, T. (éd.), (2006). Ensenanza de la fisica y las matematicas con tecnologia: Modelosde transformacion de las practicas y la interaccion social en el aula. Mexico : SEP-OEI.Sacristán (2005). Teachers’ difficulties in adapting to the use of new technologies inmathematics classrooms and the influence on student’s <strong>le</strong>arning and attitudes. DansLloyd, G. M., Wilkins, J.L., & Behm, S.L. (éd.) Proceedings of the 27th annual meetingof the North American Chapter of The International Group for the Psychology ofMathematics Education, Eugene, OR: All Academic, [Cédérom]Sacristán, A., Parada, S., Sandoval, I., Gil, N. (2009). Experiences related to the professionaldevelopment of mathematics teachers for the use of technology in their practice. InM. Tzekaki, M. Kaldrimidou, & H. Sakonidis (éd.), Proceedings of PME 33,.Thessalonique, Grèce : PME, vol. 2. p. 41-48.Sacristán, A.I. & Rojano, T. (2009). The Mexican national programs on teaching mathematicsand science with technology: the <strong>le</strong>gacy of a decade of experiences of transformation ofschool practices and interactions. In A. Tatnall and A. Jones (éd.). Education andtechnology for a better world, WCCE 2009, IFIP Advances in Information andCommunication Technology. Boston : Springer, p. 207–215. DOI : 10.1007/978-3-642-03115-1_22.Sacristán, A.I., Sandoval, I. & Gil, N. (2007). Incorporating digital technologies to themathematics classroom: In-service teachers ref<strong>le</strong>ct on the changes in their practice. DansLamberg, T., & Wiest, L. R. (éd.). Proceedings of PME-NA 29 - Exploring MathematicsEducation in Context. Stateline (Lake Tahoe), NV: University of Nevada, Reno. p. 137-144, [Cédérom].Sacristán, A.I., Sandoval, I. & Gil, N. (à paraître). Teachers engage in peer tutoring andcourse design inspired by a professional training model for incorporating technologies formathematics teaching in Mexican schools. Proceedings 10th International Conference onTechnology in Mathematics Teaching, July, 2011. University of Portsmouth.64 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Trigueros, M & Sacristán, A.I. (2008). Teachers’ practice and students’ <strong>le</strong>arning in theMexican programme for teaching mathematics with technology. International Journal ofContinuing Engineering Education and Life-Long Learning (IJCEELL), 18 (5/6),p. 678-697.Ursini, S. & Rojano, T. (2000). Guia para integrar los tal<strong>le</strong>res de capacitacion EMAT.Mexico : SEP-ILCE.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ65
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CommunicationsThème 1 :Quel<strong>le</strong>s interactions entre enseignants,mathématiciens et didacticiens ?Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ67
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Créer des mathématiquesà partir de problèmes ouvertsStéphanie de VanssayEDACentre universitaire des Saints-Pères45 rue des Saints-Pères75270 Parisstephanie.devanssay@laposte.netRÉSUMÉ : Cette communication se propose de présenter une recherche en cours sur <strong>le</strong>seffets d’un travail sur des problèmes ouverts en classe de CE1. Dans un premier temps, nousavons étudié ces effets sur des publics différents (élèves de ZEP et élèves non-ZEP) dans <strong>le</strong>sconditions d’une gestion optima<strong>le</strong> des séances par une enseignante chevronnée spécialiste dela démarche des problèmes ouverts. Nous avons observé un certain nombre de progrès dansla résolution de problèmes arithmétiques. Puis nous avons cherché à savoir comment cesrésultats résistent à la variabilité des gestions de ces situations par des enseignantsintéressés et volontaires mais non-spécialistes de cette démarche.ABSTRACT: This communication’s purpose is to present an ongoing research on the effectsof a work on open prob<strong>le</strong>ms with 7-8 years old students. The first step was to study theseeffects on different groups: “priority education zone” students and “no priority educationzone” students, in the context of optimal management of sessions by an experienced teacher,who is a specialist of the open prob<strong>le</strong>ms approach. We observed some progress in solvingarithmetic prob<strong>le</strong>ms. Then, we tried to find out how these results would vary when that sameapproach was hand<strong>le</strong>d by interested and voluntary teachers, though not specialized in thisapproach.MOTS-CLÉS : problèmes ouverts, problèmes additifs, éco<strong>le</strong> primaireKEYWORDS: open prob<strong>le</strong>ms, additive prob<strong>le</strong>ms, e<strong>le</strong>mentary schoolActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ69
IntroductionApprendre <strong>le</strong>s mathématiques, c’est <strong>le</strong>s créer pour soi. Chercher à résoudre unproblème c’est se construire une représentation, interpréter, sé<strong>le</strong>ctionner etopérationnaliser (Julo, 1995), c’est transformer pour soi un énoncé en démarchemathématique. C’est comme Régine Douady (1984) <strong>le</strong> suggère organiserl’enseignement en intégrant des moments où la classe simu<strong>le</strong> une société dechercheurs en activité, rompant ainsi avec la méthode du j’apprends, j’applique etouvrant vers une attitude active.1. Impact des problèmes ouverts sur la résolution de problèmes additifs en CE11.1. Premier dispositifAfin de tenter de vérifier si un travail sur des problèmes ouverts en CE1 peutaméliorer <strong>le</strong>s résultats des élèves sur des problèmes scolaires classiques, <strong>le</strong> dispositifretenu pour cette recherche a été <strong>le</strong> suivant : quatre classes de CE1 (deux en éco<strong>le</strong>ZEP et deux en éco<strong>le</strong> non-ZEP) ont bénéficié de dix séances de mathématiques surdes problèmes ouverts. Dans <strong>le</strong>s quatre classes, <strong>le</strong>s séances ont été menées par unemême enseignante « spécialiste » du travail sur <strong>le</strong>s problèmes ouverts avecl’assistance de l’enseignant de la classe. Les élèves de ces quatre classes ainsi queceux de quatre classes témoins (deux en éco<strong>le</strong> ZEP et deux en éco<strong>le</strong> non-ZEP) ontpassé deux évaluations équiva<strong>le</strong>ntes (pré-test et post-test) comportant quatreproblèmes scolaires classiques afin de pouvoir mesurer <strong>le</strong>s progrès des élèves dans<strong>le</strong>s différentes classes, cel<strong>le</strong>s ayant bénéficié des interventions et <strong>le</strong>s autres. Les deuxgroupes ne sont cependant pas équiva<strong>le</strong>nts car nous avons dû tenir compte de lademande institutionnel<strong>le</strong> et accepter de proposer <strong>le</strong>s interventions sur <strong>le</strong>s problèmesouverts en priorité aux éco<strong>le</strong>s où <strong>le</strong>s élèves de CE1 ont eu l’an dernier <strong>le</strong>s moinsbons résultats en mathématiques aux évaluations nationa<strong>le</strong>s. Les classes témoins sontd’un meil<strong>le</strong>ur niveau que <strong>le</strong>s classes avec interventions. Nous étudierons donc <strong>le</strong>sécarts de progression de chaque groupe.1.2. Pré-test et post-testPour observer l’impact des séances de problèmes ouverts sur la réussite des élèvesen résolution de problèmes nous avons fait <strong>le</strong>s choix suivants avec à chaque foisdeux problèmes équiva<strong>le</strong>nts (même structure et même ordre de grandeur desnombres de l’énoncé), un pour <strong>le</strong> pré-test, un pour <strong>le</strong> post-test. Nous avons choisi desproblèmes en nous appuyant sur la typologie des problèmes additifs/soustractifsselon Gérard Vergnaud (1981). Cette typologie concerne <strong>le</strong>s problèmes à deuxdonnées dont il faut trouver la troisième, dans <strong>le</strong> champ des structures additives,.70 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
- Le problème 1 est une transformation d’état, transformation positive, avecrecherche de l’état final codé selon la typologie de Vergnaud « e t+ E ».- Le problème 2 est une transformation d’état, transformation négative, avecrecherche de l’état final codé « e t- E ».- Le problème 3 est plus délicat, car statique, de composition de deux étatsavec recherche d’une partie, il est codé « e E e ».- Le problème 4 est comp<strong>le</strong>xe, il s’agit d’une transformation d’état,transformation négative, avec recherche de l’état initial codé « E t- e ».L’énoncé des deux problèmes incite à effectuer une soustraction par laprésence des verbes « recu<strong>le</strong>r » et « descendre » alors qu’il faut effectuerune addition pour <strong>le</strong>s résoudre.1.3. Les séances de problèmes ouvertsNous avons volontairement fait <strong>le</strong> choix de ne pas chercher à faire de lien entre <strong>le</strong>choix des problèmes ouverts à travail<strong>le</strong>r et <strong>le</strong>s problèmes proposés dans <strong>le</strong> pré-test et<strong>le</strong> post-test.. Les problèmes choisis sont plus comp<strong>le</strong>xes et ne sont absolument pasdes entraînements, ils ne sont même pas des problèmes additifs. Nous avons choisides problèmes variés qui semblaient intéressants du point de vue de la démarche derecherche qu’ils nécessitaient. Chaque séance a duré environ une heure et comportaitune phase d’appropriation, une phase de recherche en individuel ou en petits groupeset une mise en commun. Certains problèmes ont été travaillés durant 2 ou 3 séances 1 .1.4. RésultatsUne analyse statistique 2 des résultats aux tests des deux groupes d’élèves apermis de déterminer <strong>le</strong>s marges de progression de chaque groupe et de pouvoir <strong>le</strong>scomparer. Cela a donné <strong>le</strong>s résultats suivants :Les élèves ayant bénéficié des séances de travail sur <strong>le</strong>s problèmes ouverts ontune meil<strong>le</strong>ure représentation des trois premiers problèmes (figure 1) et ce de façonsignificative concernant <strong>le</strong>s problèmes 2 (e t- E) et 3 (e E e). Cette meil<strong>le</strong>urereprésentation se traduit essentiel<strong>le</strong>ment par la production de davantage de dessinspertinents de la situation. La représentation est considérée comme exacte, même si <strong>le</strong>résultat écrit est parfois faux (erreur de calcul, de gestion ou autre), s’il y a présenced’un dessin pertinent, d’un calcul pertinent et/ou du bon résultat montrant que l’élèves’est fait une représentation exacte du problème.1 Le détail des séances menées est disponib<strong>le</strong> en ligne à cette adresse :http://<strong>le</strong>webpedagogique.com/devanssay/2010/04/03/10-seances-de-prob<strong>le</strong>mes-ouverts-c<strong>le</strong>en-main/2 Nous avons effectué des comparaisons entre <strong>le</strong>s deux évaluations (pré-test et post-test) pourchaque groupe d’élèves (avec ou sans interventions), qui reposent sur <strong>le</strong> test du Khi-2 de McNemar avec un seuil alpha à 1 % (échantillons appariés). Les résultats significatifs sontsignalés par * quand l’écart est significatif pour <strong>le</strong>s classes avec interventions et pas pour <strong>le</strong>sclasses témoins.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ71
Figure 1. Représentations exactes, écarts entre <strong>le</strong>pré-test et <strong>le</strong> post-testFigure 2. Réponses exactes, écarts entre <strong>le</strong> pré-testet <strong>le</strong> post-testLes élèves ayant travaillé sur <strong>le</strong>s problèmes ouverts ont mieux réussi à donnerune réponse exacte pour un problème avec une structure un peu comp<strong>le</strong>xe pour desélèves de CE1 (problème 3 e E e). Les élèves témoins, d’un meil<strong>le</strong>ur niveau général,l’avaient mieux réussi au pré-test mais <strong>le</strong>s élèves bénéficiant des interventions <strong>le</strong>s ontdépassés au post-test (figure 2).On voit que ce travail a permis aux classes avec interventions, d’un niveau dedépart plus faib<strong>le</strong> que <strong>le</strong>s classes témoins, de progresser vers une meil<strong>le</strong>urereprésentation des problèmes. Les élèves des classes témoins gardent l’avantageconcernant la production de réponses exactes excepté pour <strong>le</strong> problème 3 qui est« diffici<strong>le</strong> mais pas trop » c’est-à-dire dans la zone de proche développement ouZPD (Vygotski, 1934) des élèves de CE1. On peut définir la ZPD comme étant ladistance entre ce que l’enfant peut réussir seul et ce qu’il peut réaliser avec l’aided’un plus expert que lui ; en deçà de cette zone l’enfant n’apprend pas et au-delà celaest hors de portée pour lui.2. Ces résultats résistent-ils à la variabilité des gestions ?2.1 Deuxième dispositifIl s’agit maintenant de chercher à savoir si <strong>le</strong>s premiers résultats obtenus résistentà la variabilité des gestions des situations de problèmes ouverts par <strong>le</strong>s enseignants.Des observations ont été menées dans deux classes CE1 de deux éco<strong>le</strong>s différentes.Ces deux classes sont tenues par des enseignantes qui ont bénéficié avec <strong>le</strong>urs élèvesde l’année précédente des dix séances de problèmes ouverts menées en <strong>le</strong>urprésence. Une classe est dans l’éco<strong>le</strong> ZEP, l’autre dans l’éco<strong>le</strong> non-ZEP. Cette foiscice sont <strong>le</strong>s enseignantes des classes qui ont mené <strong>le</strong>s séances, el<strong>le</strong>s sont intéresséeset volontaires mais non-spécialistes du travail sur des problèmes ouverts. Pendant <strong>le</strong>sséances, <strong>le</strong>s enseignantes portaient sur el<strong>le</strong>s un dispositif d’enregistrement audioavec un micro, el<strong>le</strong>s restaient ainsi mobi<strong>le</strong>s et enregistraient aussi <strong>le</strong>s propos desélèves aidés individuel<strong>le</strong>ment. Les élèves ont passé <strong>le</strong>s mêmes tests que <strong>le</strong>s élèves del’année précédente avant et après <strong>le</strong>s séances.72 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
2.2 Résultats aux testsPour voir si <strong>le</strong>s résultats obtenus l’année précédente résistent à la variabilité desgestions de situations problèmes dans <strong>le</strong>s classes, nous allons comparer ici <strong>le</strong>srésultats obtenus l’année précédente avec une enseignante « spécialiste » desproblèmes ouverts (gestion experte) avec ceux obtenus quand <strong>le</strong>s séances sont géréespar l’enseignante de la classe qui est volontaire pour <strong>le</strong> faire (gestion volontaire). Ils’agit des deux mêmes éco<strong>le</strong>s pour <strong>le</strong>s deux années, <strong>le</strong>s résultats sont exprimés enpourcentages pour permettre <strong>le</strong>s comparaisons. Concernant <strong>le</strong>s représentations, <strong>le</strong>sprogrès sont plus marqués en ZEP <strong>le</strong>s deux années pour <strong>le</strong>s problèmes 2 et 3 qui sontdiffici<strong>le</strong>s mais pas trop (figures 3, 4, 5 et 6). Les élèves de cette année sont d’unmeil<strong>le</strong>ur niveau au pré-test que ceux de l’an dernier. Les évolutions des classes ZEPet non-ZEP se ressemb<strong>le</strong>nt davantage pour l’année dernière que pour cette année, i<strong>le</strong>st diffici<strong>le</strong> de déterminer si cela tient aux deux gestions différentes ou s’il s’agitd’un effet de seuil dû au très bon niveau des élèves de la classe non-ZEP de cetteannée.Figure 3. Représentations exactesZEP – gestion experteFigure 4. Représentations exactesNon-ZEP – gestion experteFigure 5. Représentations exactesZEP – gestion volontaireFigure 6. Représentations exactesNon-ZEP – gestion volontaireConcernant <strong>le</strong>s réponses exactes, <strong>le</strong>s histogrammes (figures 7, 8, 9 et 10) seressemb<strong>le</strong>nt beaucoup avec <strong>le</strong>s deux types de gestion, sauf pour <strong>le</strong> problème 4 bienmieux réussi par <strong>le</strong>s élèves non-ZEP de cette année, étant donné <strong>le</strong>ur meil<strong>le</strong>ur niveaupar rapport aux élèves de l’année précédente. Ce problème semb<strong>le</strong> rentrer pour euxActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ73
dans la catégorie « diffici<strong>le</strong> mais pas trop » ce qui n’est pas <strong>le</strong> cas pour <strong>le</strong>s élèvesZEP. Les élèves non-ZEP avec une gestion volontaire ont fait de nets progrèsconcernant <strong>le</strong>s réponses exactes. Ils semb<strong>le</strong>nt donc avoir acquis des aptitudes pourune meil<strong>le</strong>ure gestion des opérations et de la mise en forme des résultats. Les élèvesZEP ont progressé sur <strong>le</strong>s deux plans avec la gestion volontaire : représentation desproblèmes et capacité à en déduire une réponse exacte.Figure 7. Réponses exactesZEP – gestion experteFigure 8. Réponses exactesNon-ZEP – gestion experteFigure 9. Réponses exactesZEP – gestion volontaireFigure 10. Réponses exactesNon-ZEP – gestion volontaireCes résultats montrent que malgré <strong>le</strong>s changements de gestion certains points deprogression semb<strong>le</strong>nt demeurer :- une meil<strong>le</strong>ure représentation des problèmes quand ils ne sont pas au-delà dela ZPD des élèves et quand il reste une marge de progression suffisante- davantage de réponses exactes, donc une meil<strong>le</strong>ure gestion des opérations etde la mise en forme des résultats, toujours pour <strong>le</strong>s problèmes n’étant pas audelàde la ZPD des élèves.On peut donc penser que ces progrès sont intrinsèquement liés à l’activité« problèmes ouverts » au-delà des différences de gestion. Nous allons maintenantvoir de plus près certains aspects des gestions des séances et tenter de voir si celaéclaire <strong>le</strong>s résultats constatés.74 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
3 En guise de conclusionCette recherche est modeste et non achevée, nous pensons néanmoins pouvoir entirer <strong>le</strong>s enseignements suivants :- travail<strong>le</strong>r sur des problèmes ouverts, avec de jeunes élèves, ouvre desperspectives intéressantes pour <strong>le</strong>s faire progresser dans la résolution deproblèmes additifs dans <strong>le</strong>ur ZPD- ces effets bénéfiques semb<strong>le</strong>nt résister à la variabilité des gestions, du moinsquand il s’agit d’enseignants volontaires ayant eu l’occasion d’observer unegestion experte de problèmes ouvertsIl nous reste à étudier plus finement comment <strong>le</strong>s enseignantes contribuent auxapprentissages de <strong>le</strong>urs élèves, comment el<strong>le</strong>s s’approprient une ingénieriedidactique en prenant en compte <strong>le</strong>s contraintes institutionnel<strong>le</strong>s, tout en développantdes pratiques individuel<strong>le</strong>s origina<strong>le</strong>s cohérentes et logiques dans la marge demanœuvre qui <strong>le</strong>ur reste (Roditi, 2005). Nous cherchons éga<strong>le</strong>ment à saisir comment<strong>le</strong>s enseignantes procèdent pour s’adapter à chaque élève et quels effets celaengendre sur l’activité de l’élève afin de mieux percevoir comment ces séances derésolution de problèmes ouverts contribuent à la construction de connaissancesmathématiques par <strong>le</strong>s élèves, autrement dit, à ce que <strong>le</strong>s élèves créent desmathématiques pour eux-mêmes.4. BibliographieDouady, R. (1984). Jeux de cadre et dia<strong>le</strong>ctique outil-objet dans l’enseignement desmathématiques. Thèse de doctorat d’état. Université Paris VII, Paris.Julo, J. (1995). Représentation des problèmes et réussite en mathématiques: un apport de lapsychologie cognitive à l’enseignement. Presses universitaires de Rennes.Roditi, É. (2005). Les pratiques enseignantes en mathématiques: entre contraintes et libertépédagogique. Editions L’Harmattan.Vergnaud, G. (1981). L’enfant, la mathématique et la réalité. Berne: Peter Lang.Vygotski, L. (1934). Pensée et langage (F. Sève, trad.) (1985 éd.). Socia<strong>le</strong>s.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ75
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La position de chercheur en didactiquedans une étude de résolution de problèmeouvert par des élèveset par un mathématicienGardes Marie-Line** S2HEP – Université Lyon 1La Pagode - 38 Bd Niels Bohr69622 Vil<strong>le</strong>urbanne cedexmarie-line.gardes@univ-lyon1.frRÉSUMÉ : De nombreux travaux, dont ceux de l’équipe DREAM, étudient la mise en œuvrede problèmes de recherche en classe de mathématiques. Dans ce cadre-là, notre étude a pourobjectif de mettre en perspective <strong>le</strong>s processus de recherche d’un mathématicien, d’élèves etd’étudiants afin de repérer l’existence d’éléments invariants dans la recherche d’unmathématicien qui pourraient favoriser l’activité de recherche mathématique des élèves etdes étudiants. En nous appuyant sur nos recherches en cours, nous montrerons comment <strong>le</strong>sinteractions entre chercheur en didactique et mathématicien ont nourri <strong>le</strong> processus deconstruction d’une situation didactique mettant l’élève en position de mathématicien.ABSTRACT: Several studies, including those of DREAM (a research team) investigate theimp<strong>le</strong>mentation of prob<strong>le</strong>m-solving in math class. In this research, we propose prob<strong>le</strong>msolving to pupils, students and researchers and we study their process of research. The aim isto identify the existence of invariant e<strong>le</strong>ments in the mathematician’s research and topromote mathematical research students. In this artic<strong>le</strong>, we show how the interactionbetween researcher in math education and mathematician helped build a <strong>le</strong>arning situation.MOTS-CLÉS : problème ouvert, conjecture d’Erdös-Straus, processus de recherche, théorieélémentaire des nombres, dimension expérimenta<strong>le</strong> en mathématiques.KEYWORDS: unsolved prob<strong>le</strong>m, the Erdös-Straus Conjecture, process of research, numbertheory, experimental approach in mathematics.IntroductionDepuis plusieurs années, de nombreuses expériences, au collège et au lycée, ontété menées sur la mise en œuvre de problèmes de recherche en classe demathématiques (Polya 1957, Schoenfeld 1985, Arsac et al. 1988, Arsac & Mante2007). Actuel<strong>le</strong>ment, ces travaux se poursuivent, notamment au sein de l’équipeActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ77
EXPRIME 3 (2006-2010) puis DREAM 4 qui pose plus particulièrement la question dela dimension expérimenta<strong>le</strong> au cœur des problèmes de recherche en mathématiques(Aldon et al. 2010). Un des enjeux majeurs de ces recherches est de mettre l’élèvedans une position de chercheur lui permettant, sous certains aspects, la reproductionde la position du mathématicien. Dans notre travail de recherche en didactique desmathématiques, nous étudions une recherche de résolution d’un même problèmeouvert (au sens non résolu) en théorie élémentaire des nombres par des élèves et desétudiants d’une part et par un mathématicien d’autre part. Notre objectif est demettre en perspective <strong>le</strong>s deux processus de recherche afin de repérer l’existenced’éléments invariants dans la recherche d’un mathématicien qui pourraient favoriserl’activité de recherche mathématique des élèves et des étudiants. Dans cette étude,nous avons eu de nombreuses interactions avec <strong>le</strong> mathématicien engagé dans larecherche du problème. En nous appuyant sur nos recherches en cours, nousmontrerons comment ces interactions ont nourri <strong>le</strong> processus de construction d’unesituation didactique mettant l’élève dans la position de mathématicien. Dans unepremière partie, nous présentons <strong>le</strong> problème mathématique que nous avons retenupour conduire cette recherche, ainsi que quelques résultats associés et dans uneseconde partie, nous détaillons <strong>le</strong>s différentes interactions que nous avons eues entant que chercheur en didactique avec <strong>le</strong> mathématicien engagé dans la recherche dela conjecture.1. Présentation du problème mathématique et de quelques résultatsErnst Straus (1922-1983) et Paul Erdös (1913-1996), tous deux mathématiciens,s’intéressent, en 1948, à la décomposition d'une fraction a/b en une somme defractions unitaires 5 et énoncent la conjecture (Erdös, 1950) selon laquel<strong>le</strong> :Pour tout n au moins égal à 2, on peut trouver des entiers x, y, z (nonnécessairement distincts) tels que : 4/n = 1/x + 1/y + 1/z.Depuis 1950 et jusqu’à aujourd’hui, plusieurs mathématiciens se sont intéressés àcette conjecture. Voici <strong>le</strong>s trois résultats majeurs actuel<strong>le</strong>ment connus :Résultat de Mordell (Mordell, 1969) : Cette équation a des solutions pour tous<strong>le</strong>s nombres non congrus à 1, 11 2 , 13 2 , 17 2 , 19 2 , 23 2 modulo 840. Ces solutions sontpolynomia<strong>le</strong>s en n. Exemp<strong>le</strong> : Si n ≡ 2[3] alorsRésultat de Schinzel (Schinzel, 2000) : Pour tous <strong>le</strong>s nombres congrus à 1, 11 2 ,13 2 , 17 2 , 19 2 , 23 2 modulo 840, il n’existe pas de formu<strong>le</strong> polynomia<strong>le</strong> globa<strong>le</strong> en ndonnant une solution.3 EXpérimenter des Problèmes Innovants en Mathématiques à l’Eco<strong>le</strong>.4 Démarche de Recherche et d’Expérience pour l’Apprentissage des Mathématiques. L’équipea écrit un artic<strong>le</strong> dans ces présents actes.5 Une fraction unitaire est une fraction où <strong>le</strong> numérateur est 1 et <strong>le</strong> dénominateur est un entierpositif.78 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Résultats de Swett (Swett, 1999) : La conjecture a été vérifiée pour tous <strong>le</strong>snombres inférieurs à 10 14 . Plus récemment, suite à notre intervention dans unséminaire en février 2009, Michel Mizony, maître de conférences à l’IREM de Lyon,s’intéresse à la résolution de cette conjecture. Les recherches qu’il a menées l’ontconduit à établir l’identité suivante :où m est un entier naturel non nul et d un diviseur de m 2 . L’intérêt principal de cetteidentité est d’<strong>obtenir</strong> une décomposition de 4/n en somme de trois fractions unitairessous la seu<strong>le</strong> condition que mn + d soit divisib<strong>le</strong> par 4m – 1. Ainsi il reformu<strong>le</strong> laconjecture d’Erdös-Straus sous la forme : pour tout nombre premier n, il existe unentier m et un diviseur d de m 2 tels que mn + d soit divisib<strong>le</strong> par 4m – 1. La validitéde cette conjecture entraîne cel<strong>le</strong> d’Erdös-Straus. Cette formulation établit de plus unlien étroit entre décompositions en somme de fractions égyptiennes 6 et une propriétédes nombres premiers. Un autre intérêt de cette identité est de produire denombreuses formu<strong>le</strong>s polynomia<strong>le</strong>s qui lui ont permis, avec un collègue 7 , enjuin 2010, d’établir des algorithmes afin de vérifier la conjecture pour tous <strong>le</strong>snombres premiers inférieurs à 10 17 (Gardes et Mizony 2011).2. Les interactions entre chercheur en didactique et mathématicienNotre étude comporte trois approches : mathématique, épistémologique etdidactique. L’approche mathématique consiste en l’étude approfondie de laconjecture d’Erdös-Straus et de quelques résultats associés. L’approcheépistémologique est dans ce cas l’étude du processus de recherche d’unmathématicien. L’approche didactique a pour objectif d’élaborer une situationdidactique à proposer à des élèves et à des étudiants. Les interactions entre chercheuren didactique et mathématicien que nous analysons sont à l’articulation de ces troisapproches. La première interaction se situe à l’articulation des approchesmathématique et épistémologique et la seconde interaction se situe à l’articulationdes approches épistémologique et didactique.6 Une fraction égyptienne est synonyme d’une fraction unitaire.7 Marc Deléglise, Maître de conférences à l’université Lyon 1.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ79
2.1. Une première interaction : entre approche mathématique et approcheépistémologique.L’étude de l’articulation des approches mathématique et épistémologique a pourobjectifs d’analyser et comparer différentes approches mathématiques de laconjecture, d’identifier <strong>le</strong>s liens entre différentes notions qui sont repérées et demettre en évidence la place prégnante de la dimension expérimenta<strong>le</strong> 8 dans larecherche mathématique. Pour conduire cette analyse, nous suivons la recherche – encours actuel<strong>le</strong>ment – d’un mathématicien, Michel Mizony, sur la conjecture d’Erdös-Straus 9 en l’analysant mathématiquement et épistémologiquement. Nos interactionsavec <strong>le</strong> mathématicien comportent deux vo<strong>le</strong>ts : l’analyse des contenusmathématiques de sa recherche et l’analyse de son processus de recherche.2.1.1. Interactions lors de l’analyse des contenus mathématiques de la recherche.Le suivi mathématique de la recherche en cours du mathématicien consiste enl’analyse mathématique du contenu de ses résultats : appropriation, réécrituredétaillée et articulation avec d’autres résultats (notamment ceux de Mordell, Schinze<strong>le</strong>t Swett). Cela donne lieu à des entretiens ou des correspondances où nous luiposons des questions mathématiques relatives à ses recherches. Ces interactions nousont permis de comprendre ses résultats et de <strong>le</strong>s articu<strong>le</strong>r avec <strong>le</strong>s résultats existantsde Mordell, Swett et Schinzel. Ainsi nous avons pu établir que ces différentsrésultats, utilisant des outils et concepts mathématiques différents, étaientéquiva<strong>le</strong>nts. Par exemp<strong>le</strong>, suite à la remarque d’un collègue, Michel Mizony amontré que l’on peut <strong>obtenir</strong> son identité [1] à partir de la décomposition obtenueavec un théorème de Mordell 10 : Pour cela, posons m =ABD et d = B 2 D qui divise m 2 dans l’équation ci-dessus. Exprimons A et D enfonction de m, d, B et C : qui se réduit à . Or B divise d =B 2 D, donc (mn + d)/(4m – 1) est un entier. Par suite, on obtient l’identité [1]. Nousnous sommes ensuite posé la question de la réciproque afin d’<strong>obtenir</strong> uneéquiva<strong>le</strong>nce entre ces deux résultats. Nous avons ainsi montré que l’identité [1] deMichel Mizony était équiva<strong>le</strong>nte à la décomposition [2] de Mordell en montrant qu’i<strong>le</strong>xiste trois entiers A, B et D tels que d = B 2 D et m = ABD et en posant C = (An + B) /(4m – 1).Nos interactions avec <strong>le</strong> mathématicien nous ont éga<strong>le</strong>ment permis de produire nousmêmesun résultat partiel sur cette conjecture. Nous avons ainsi établi une identité du8 La définition que nous utilisons pour la dimension expérimenta<strong>le</strong> est la suivante : « c’est <strong>le</strong>va-et-vient entre un travail avec <strong>le</strong>s objets que l’on essaye de définir et de délimiter etl’élaboration et/ou la mise à l’épreuve d’une théorie, <strong>le</strong> plus souvent loca<strong>le</strong>, visant à rendrecompte des propriétés de ces objets ». (Durand-Guerrier 2006, p.17)9 Présentée au paragraphe précédent. Pour en savoir plus, consulter <strong>le</strong> site Internet de MichelMizony http://math.univ-lyon1.fr/~mizony/ ou (Gardes et Mizony 2011).10 Pour n premier, si 4/n = 1/x + 1/y + 1/z, alors il existe 4 entiers A, B, C et D, avec A, B et Cpremiers entre eux deux à deux tels que x = BCD, y = ABD et z = ACD.80 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
même type que cel<strong>le</strong> de Michel Mizony, mais dans <strong>le</strong> cas où n est de la forme 4k + 1avec k entier :où a et c sont des entiers. On obtient une décomposition de 4/n en somme de troisfractions unitaires si c divise (k + a)² et pgcd(k + a , c)×(4a – 1) divise k + a + c(4k +1). Cette identité complète <strong>le</strong> résultat de Michel Mizony car el<strong>le</strong> permet d’écrire denouvel<strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>s polynomia<strong>le</strong>s.2.1.2. Interactions lors de l’analyse du processus de recherche.Le suivi épistémologique de la recherche en cours du mathématicien consiste enl’étude de son processus de recherche. Lors d’entretiens, nous lui posons desquestions sur <strong>le</strong>s pistes de recherche suivies, cel<strong>le</strong>s abandonnées, sur l’utilisation del’ordinateur et des concepts, sur <strong>le</strong>s liens entre ses différentes approches, commel’illustre l’extrait suivant :MLG : Et euh, enfin, j'ai pris deux trois notes. Est- ce que, euh, au départ, vous avez cherchédéjà à vous séparer du modulo 840 parce qu'il n'y avait pas de…MM : Parce que pour moi ça me choquait,MLG : Oui c'est çaMM : Ce n'était pas naturelMLG : Oui voilà, c'était pas naturelMM : Pour moi il y avait <strong>le</strong> modulo 24 […]MLG : D'accord, donc en fait c'est ce que j'avais écrit, que, donc euh, il y avait cette premièrepartie modulo 24, après la réduction modulo 12 […]MM : Oui ça a été une astuce pour moi pour synthétiser […]MLG : Et il y a eu un moment donné quand même <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> des pythago, enfin des nombres de laforme 4m - 1MM : OuiMLG : Enfin ça a joué à un moment donnéMM : Ah ça a joué un rô<strong>le</strong> énormeMLG : Oui et à ce moment-là, c'est là où vous avez donné un résultat pour <strong>le</strong>s nombres de laforme 4m - 1 et vous avez remarqué que x n'était plus une partie entière mais que c'était unmultip<strong>le</strong> de n et après on peut dire que c'est à partir de, et du résultat intermédiaire où vous avezvoulu en<strong>le</strong>ver la partie entièreMM : Hum humMLG : Que fina<strong>le</strong>ment avec des tas d'algorithmes derrrière, cette formu<strong>le</strong> estMM : Est apparueCes interactions nous ont permis de mettre en évidence la richesse du problème sur<strong>le</strong>s concepts et notions utilisées (nombres premiers, nombres pythagoriciens,diviseurs, congruences…) d’une part, et la richesse de la recherche de ce problèmepour mettre en œuvre une dimension expérimenta<strong>le</strong> (essais pour différentes va<strong>le</strong>ursde n, utilisation d’algorithmes…) d’autre part. El<strong>le</strong>s nous ont permis éga<strong>le</strong>ment derepérer et identifier des gestes mathématiques invariants lors de la recherche(présentés au paragraphe 2.3).Ces interactions chercheur en didactique/mathématicien nous ont éga<strong>le</strong>mentpermis d’affiner et de compléter <strong>le</strong>s critères pour <strong>le</strong> choix d’un problèmeActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ81
mathématique répondant à notre question didactique, à savoir, comment mettrel’élève en position de chercher. Ainsi, aux critères qui caractérisent <strong>le</strong>s problèmesouverts– énoncé court n’induisant ni la méthode, ni la solution et se trouvant dans undomaine conceptuel familier des élèves (Arsac et Mante 2007), nous ajoutonsl’importance de l’aspect expérimental, déjà soulignée dans un autre cadre (lagéométrie dans l’espace) par Dias et Durand-Guerrier (2005).2.2. Une deuxième interaction : entre approche épistémologique et approchedidactiqueCette étude, à l’interface des approches épistémologique et didactique, a pourobjectif de nous appuyer sur <strong>le</strong>s résultats de l’étude épistémologique : gestesmathématiques invariants identifiés 11 et importance de la démarche expérimenta<strong>le</strong>,pour conduire notre étude didactique, visant à mettre l’élève en position dechercheur. Nos entretiens avec <strong>le</strong> mathématicien sur son processus de recherche ainsique quelques expérimentations avec des élèves nous ont alors permis, d’une part dedéterminer quatre gestes qui sont potentiel<strong>le</strong>ment des gestes invariants dans larecherche mathématique et d’autre part de repérer la mise en œuvre d’une dimensionexpérimenta<strong>le</strong> dans la recherche mathématique.2.2.1. Gestes invariants de la recherche mathématique.En analysant la recherche du mathématicien, nous avons identifié quatre gestesmathématiques susceptib<strong>le</strong>s d’être invariants au cours de l’activité de recherchemathématique chez un chercheur. Tout d’abord, nous avons repéré la réduction duproblème à un problème équiva<strong>le</strong>nt. Dans <strong>le</strong> cas de la conjecture d’Erdös-Straus, ils’agit de la réduction de la recherche de solutions pour tout entier naturel n à toutnombre premier n. C’est la première étape effectuée chez <strong>le</strong> mathématicien alors quechez <strong>le</strong>s élèves, el<strong>le</strong> n’apparait que dans certains groupes et après un certain tempsde recherche col<strong>le</strong>ctive sur <strong>le</strong> problème. Ainsi nous pensons que la réduction d’unproblème à un problème équiva<strong>le</strong>nt à traiter peut être un invariant dans la recherchemathématique. Le second invariant qui est identifié est <strong>le</strong> questionnement desexemp<strong>le</strong>s. Un chercheur examinera particulièrement un exemp<strong>le</strong> afin d’en tirer desinformations, par exemp<strong>le</strong> déterminer s’il peut être un exemp<strong>le</strong> générique ou non.Les élèves se sont rarement autorisés à questionner <strong>le</strong>s exemp<strong>le</strong>s comme l’illustrecette réplique : « avec 2 ? » […] « ouais mais après il faut <strong>le</strong> prouver dans <strong>le</strong> casgénéral, tu ne vas pas <strong>le</strong> faire pour chaque ». Une des raisons que nous avançonspour l’expliquer est l’utilisation peu présente du raisonnement inductif (preuve pargénéralisation) dans l’enseignement secondaire. Le troisième geste potentiel<strong>le</strong>mentinvariant que nous avons repéré est de faire des liens entre différentes notionsmathématiques qui peuvent être en jeu dans <strong>le</strong> problème. Le lien établi par <strong>le</strong>mathématicien entre la conjecture d’Erdös-Straus et <strong>le</strong>s nombres premiers illustrebien l’importance de ce geste, très souvent absent dans la recherche des élèves.Enfin, la collaboration entre pairs est <strong>le</strong> quatrième geste invariant que nous avons11 Présentés au paragraphe 2.3.82 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
identifié. La recherche de Michel Mizony s’est conduite en interactions avecplusieurs chercheurs, notamment pour établir la vérification de la conjecture pourtout n inférieur à 10 17 (Gardes et Mizony 2011). Il précise d’ail<strong>le</strong>urs que « <strong>le</strong> travai<strong>le</strong>n groupe chez <strong>le</strong> chercheur, disons l'échange d'informations est quelque chosed'important ». Nous pensons que ce geste pourrait être reproduit, d’une certainemanière au niveau scolaire lors de recherches col<strong>le</strong>ctives.2.2.2. Mise en œuvre d’une dimension expérimenta<strong>le</strong>.Nous avons caractérisé la dimension expérimenta<strong>le</strong> par des al<strong>le</strong>rs-retours entrethéorie et expérience et plus précisément par un « va-et-vient entre un travail avec <strong>le</strong>sobjets que l’on essaye de définir et de délimiter et l’élaboration et/ou la mise àl’épreuve d’une théorie, <strong>le</strong> plus souvent loca<strong>le</strong>, visant à rendre compte des propriétésde ces objets » (Durand-Guerrier 2006). En étudiant <strong>le</strong> processus de recherche dumathématicien, nous nous sommes attachés à repérer ces va-et-vient entre lamanipulation d’objets et l’élaboration d’une théorie. Nous avons ainsi pu remarquerque ce sont <strong>le</strong>s al<strong>le</strong>rs-retours entre la construction de nombreux algorithmes et latentative d’élaboration d’une preuve papier-crayon qui l’ont conduit au résultat pharede sa recherche, l’identité [1]. La mise en œuvre d’une dimension expérimenta<strong>le</strong>dans sa recherche lui a permis d’avancer et de produire ce résultat partiel. Nouspouvons avancer cette même conclusion pour la recherche des élèves puisque nousavons observé que <strong>le</strong> va-et-vient entre théorie (recherche de preuves des conjecturesémises) et expérience (essai pour différentes va<strong>le</strong>urs de n, formulation de conjecture)<strong>le</strong>ur a permis d’établir et de démontrer deux résultats intermédiaires : si n est pair ousi n est multip<strong>le</strong> de 3, la conjecture est vraie (Gardes, 2010).ConclusionLes interactions entre chercheur en didactique et mathématicien à l’articulationdes trois approches mathématique, épistémologique et didactique nous ont permis dedéterminer et d’identifier plusieurs éléments afin de construire une situationdidactique. Notre travail de recherche se poursuit avec l’ambition d’élaborer uneingénierie didactique qui permettrait à l’élève, sous certains aspects, la reproductiondu travail du mathématicien. Actuel<strong>le</strong>ment, nous construisons un milieu permettantde mettre en place une activité de recherche mathématique en classe. Dans ce but,nous avons commencé à définir un « contrat de recherche », inséré dans <strong>le</strong> contratdidactique de la classe, qui comprendrait, entre autre, l’apprentissage et l’usage d’unvocabulaire spécifique à la recherche (conjecture, contre-exemp<strong>le</strong>, validation…)ainsi qu’une représentation particulière de l’activité de recherche mathématique(savoir qu’un problème peut se chercher avec plusieurs méthodes, qu’il peut sechercher plusieurs heures…). Nos recherches se centrent sur la caractérisation de cecontrat de recherche ainsi que sur la construction du milieu. Une nouvel<strong>le</strong> séanceavec des étudiants est prévue afin d’expérimenter notre situation didactique.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ83
BibliographieAldon, G., Cahuet, P.-Y., Durand-Guerrier, V., Front, M., Krieger, D., Mizony, M., &Tardy, C. (2010). Expérimenter des problèmes de recherche innovants en mathématiquesà l'éco<strong>le</strong>. Cédérom INRP.Arsac, G., Germain, G., & Mante, M. (1988). Problème ouvert et Situation-problème, IREMde Lyon, université Claude-Bernard, Lyon 1, 117p.Arsac, G., & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert, IREM de Lyon, SCEREN-CRDP Académie de Lyon.Dias, T, & Durand-Guerrier, V. (2005). Expérimenter pour apprendre en mathématiques,Repères IREM 60, pp. 61-78.Durand-Guerrier, V. (2006). La résolution de problèmes, d'un point de vue didactique etépistémologique, in L. Trouche, V. Durand-Guerrier, C. Margolinas & Mercier A. (eds),Actes des journées mathématiques de l'INRP, 17-23, INRP.Erdös, P. (1950). On a Diophantine equation. (Hungarian. Russian, English summaries), Mat.Lapok1, 192-210.Gardes, M.-L. (2009). Étude du processus de recherche d'élèves de termina<strong>le</strong> scientifiqueconfrontés à la résolution d'un problème en arithmétique. Mémoire de Master 2 HPDS,Université Lyon 1.Gardes, ML. (2010). Investigations arithmétiques en termina<strong>le</strong>: entre essais et conjectures.Revue Petit x83, Ed. IREM de Grenob<strong>le</strong>, 51-78.Gardes, ML., Mizony, M. (2011). La conjecture d’Erdös-Straus: expérimentation en classe ettravail du chercheur. Repères IREM 85. A paraitre.Mizony, M. (2009). Sur la conjecture d’Erdös-Straus : une identité. Disponib<strong>le</strong> sur Internet : (consulté <strong>le</strong> 30 juin 2011).Mordell, L.J (1969). Diophantine equation. London, New York, Academic press 1969,chapter 30.Polya, G. (1957). How to solve it: a new aspect of mathematical method. Garden City N.Y :Doub<strong>le</strong>day.Schinzel, A. (2000). On sums of three unit fractions with polynomial denominators. Funct.Approx.Comment. Math. 28 : 187-194, 2000.Schoenfeld, A.H. (1985). Mathematical Prob<strong>le</strong>m Solving. New York: Academic Press.Swett, A. (1999). The Erdös-Strauss Conjecture. Disponib<strong>le</strong> sur Internet :http://math.uindy.edu/swett/esc.htm (consulté <strong>le</strong> 30 juin 2011).84 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Un point de rencontre entre recherche mathématiqueet recherche didactiqueBenoît RITTAUD*, Laurent VIVIER*** LAGA & Institut Galilée, université Paris 13rittaud@math.univ-paris13.fr** LDAR, université Paris Diderotlaurent.vivier@paris7.jussieu.frRÉSUMÉ : Nous exposons <strong>le</strong>s interactions entre deux chercheurs, un mathématicien et undidacticien, lors d’une recherche commune sur un codage des nombres en base deFibonacci. D’abord mathématique, cette recherche a donné lieu à des investigations endidactique. Le texte tente de pointer <strong>le</strong>s apports de chacun des deux chercheurs, avec <strong>le</strong>urscaractéristiques propres, même s’il est bien diffici<strong>le</strong> dans une collaboration aussi étroite defaire une distinction. Nous précisons <strong>le</strong>s différents points de vue abordés tout en expliquant<strong>le</strong> cheminement des recherches mathématique et didactique.ABSTRACT: We present interactions between two researchers, the first one in mathematicsand the second one in didactic, that occurred during a common work about codage ofnumbers in the Fibonacci numeration system. Purely mathematical in the beginning, thisresearch <strong>le</strong>d to didactic investigations. This paper tries to stress the contributions of each ofthe two researchers, even though it is hard in such a closed collaboration to make adistinction. We specify different points of view whi<strong>le</strong> showing the progress of bothmathematical and didactical researches.MOTS-CLÉS : nombres rationnels, développement périodique, écriture décima<strong>le</strong>, suite deFibonacci, praxéologie mathématique.KEYWORDS: rational numbers, periodical expansion, decimal expansion, Fibonacci’ssequence, mathematical praxeology.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ85
IntroductionL’objet de ce texte est de rendre compte d’un travail collaboratif entre deuxchercheurs : Benoît Rittaud est un mathématicien qui s’intéresse à la suite deFibonacci et aux codages symboliques des nombres et Laurent Vivier est undidacticien qui s’intéresse à la didactique du nombre et plus spécifiquement auxaspects praxéologique et sémiotique du cadre numérique. Précisons que ladistinction mathématicien / didacticien que nous utilisons est un peu caricatura<strong>le</strong> : B.Rittaud s’intéresse à l’enseignement des mathématiques (premier et second degrés)et a publié de nombreux ouvrages de vulgarisation des mathématiques et L. Vivier aune formation doctora<strong>le</strong> de mathématicien. En outre, la recherche dont il est iciquestion ne constitue pas la première collaboration « Rittaud & Vivier ».Dans <strong>le</strong> chapitre 8 d’un livre de vulgarisation de Rittaud (2006) on trouve uneextension infinie du codage des nombres entiers qui permet une représentation desnombres p-adiques. Le didacticien, très intéressé par la <strong>le</strong>cture de cette partie, se voitproposer par <strong>le</strong> mathématicien une recherche commune en mathématiques (cf.section 1). Nous exposons en sections 2 et 3 <strong>le</strong>s points importants de cette rechercheen pointant <strong>le</strong>s apports du mathématicien et du didacticien ainsi que, en section 4,<strong>le</strong>s recherches en didactiques que <strong>le</strong>s résultats mathématiques ont permises.1. Le cadre de la recherche mathématiqueLe système d'écriture des entiers que nous utilisons s’appuie sur la suite despuissances de dix. Ce système se généralise en remplaçant dix par un entier B>1 : onchoisit alors la suite des puissances (B n ). D’autres suites sont utilisab<strong>le</strong>s pour coder<strong>le</strong>s entiers et nous nous intéressons ici au système de numération de Zeckendorf(1972) défini par la suite de Fibonacci (cf. annexe). Dans ce système, tout entierpositif s’écrit de manière unique comme une suite finie de 0 et de 1 ne montrantjamais deux 1 consécutifs. Ainsi, par exemp<strong>le</strong>, <strong>le</strong>s nombres entiers de un à onze sont12: 1, 01, 001, 101, 0001, 1001, 0101, 00001, 10001, 01001 et 00101. Le nombrecent s’écrit 3 + 8 + 89 = F 2 + F 4 + F 9 soit 0010100001.Dans ce texte, nous nous focalisons sur la somme. En base de Fibonacci, uneaddition de deux entiers peut faire apparaître soit 11 soit 2 qu’il faut alors réduirepour avoir une forme admissib<strong>le</strong>. On utilise pour cela <strong>le</strong>s deux réductions suivantes(on souligne <strong>le</strong>s chiffres pour marquer <strong>le</strong>s rangs identiques avant et après réduction) :11 001 provenant de la définition de la suite de Fibonacci et 2 1001 car pourn ≥ 2 on a 2 × F n = F n-2 + F n+1 (on traite <strong>le</strong>s cas n=0 et n=1 à part). Par exemp<strong>le</strong> : 7 +4 = 0101 + 101 = 1111 = 00101 et 5 + 6 = 0001 + 1001 = 1002 = 11001 = 00101.12 Les nombres sont écrits ici de gauche à droite pour avoir une bonne congruence entre <strong>le</strong>sécritures chiffrées et la décomposition additive comme 100101 = F 0 + F 3 + F 5.86 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Les nombres F-adiques sont obtenus en considérant une série infinie de 0 et de 1sans jamais avoir deux 1 consécutifs. Cela revient à considérer des séries Σ ε i F i oùε i =0 ou 1 avec (ε i ,ε i+1 ) ≠ (1,1). L’ensemb<strong>le</strong> obtenu possède une structure de groupetopologique abélien tota<strong>le</strong>ment ordonné (Rittaud & Vivier, 2011a). Deux sériesjouent un rô<strong>le</strong> fondamental : 010101… = 01 et 101010… = 10 (<strong>le</strong> cadre sert àmarquer une période) puisque si l’on ajoute 1 (ou 1000…) alors, par un jeu dedominos reproduisant successivement la réduction 110001, on trouve 000….Nous nous sommes tout d’abord attachés à prouver la conjecture suivante relativeaux nombres rationnels : <strong>le</strong>s éléments périodiques (sous-entendu périodiques à partird’un certain rang) s’identifient avec <strong>le</strong>s fractions d’entiers (c’est-à-dire une solutiond’une équation D × x = N où D et N sont deux entiers naturels, D est non nul).La détermination chiffrée de fractions simp<strong>le</strong>s a permis d’affiner la conjecture.Avec un travail à la main, il n’est pas trop diffici<strong>le</strong> de déterminer certaines fractionset de constater qu’el<strong>le</strong>s sont périodiques. Par exemp<strong>le</strong>, <strong>le</strong>s solutions de 2 × x = 1 sont0010100100 et 010100100 et <strong>le</strong>s solutions de 3 × x = 1sont 100010100000, 01000010100000 et 001000010100000. Ainsi, avec quelquesautres exemp<strong>le</strong>s, nous avons conjecturé qu’une équation D × x = N possèdeexactement D solutions F-adiques. Pour tester cette conjecture, nous nous sommesattachés à déterminer <strong>le</strong>s solutions de 5 × x = 1 en nous répartissant la tâche : <strong>le</strong>mathématicien cherchait une solution commençant par 10 et <strong>le</strong> didacticien unesolution commençant par 010. Une minute plus tard, une solution était trouvée,, alors que l’autre résistait aux tentatives de recherche à la main par <strong>le</strong>didacticien. Cette répartition aléatoire du travail a peut-être joué un rô<strong>le</strong> important(cf. section 2.1 ci-dessous).2. Les deux moments clésDans cette section, nous exposons <strong>le</strong>s deux moments clés de la recherche : <strong>le</strong>premier, lié à la didactique, a initié <strong>le</strong> travail notamment par l’utilisation del’informatique et <strong>le</strong> second, essentiel<strong>le</strong>ment mathématique, a permis de débloquerune situation qui semblait dans l’impasse.2.1. Abaque et go !Pour la recherche d’une solution de 5 × x = 1 commençant par 010, <strong>le</strong>didacticien a développé plusieurs dispositifs dont l’idée provenait directement desconnaissances didactiques sur l’enseignement des nombres à l’éco<strong>le</strong> primaire commel’utilisation de feuil<strong>le</strong>s à carreaux (pour placer un chiffre par case) ou des essais decompteurs découpés dans du papier à carreaux (pour gérer <strong>le</strong>s réductions). Bref, <strong>le</strong>didacticien s’attachait à trouver un bon artefact pour traiter <strong>le</strong> problème. Bienentendu, et dès <strong>le</strong> début de la recherche, <strong>le</strong> mathématicien avait mentionné lapossibilité d’une programmation informatique qui permettrait de faire des recherchesActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ87
systématiques. Mais cette idée a été repoussée à cause de l’investissement importantque demandait la programmation.L’idée est alors venue d’utiliser un jeu de go comme abaque : <strong>le</strong>s casesreprésentent <strong>le</strong>s rangs d’un nombre F-adique (<strong>le</strong> nombre de cases est conséquent) et<strong>le</strong>s jetons blancs permettent de signa<strong>le</strong>r l’emplacement d’un 1. Les jetons noirs ontchangé de statut dans <strong>le</strong> processus d’instrumentalisation : d’abord marquant laprésence d’un 0, ils ont fina<strong>le</strong>ment marqué un chiffre inconnu, un 0 ou un 1. Les 0effectifs sont alors marqués par une absence de jeton sur une case. Nous présentonsen figure 1 une reconstitution du résultat obtenu sur <strong>le</strong> jeu de go (sans jetons noirs).Figure 1. Le jeu de go – abaque.Aux trois premières lignes on trouve <strong>le</strong> début du codage du nombre cherché quimultiplié par 5 donne 1. Ainsi, il faut considérer que chaque jeton blanc devient un 5après multiplication (<strong>le</strong>s « . » marquent <strong>le</strong>s changements de ligne) :050500000050050050.505005000000500500.505050050000005005Il faut alors réduire ces 5 et c’est précisément <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> des quatre lignes du dessous(<strong>le</strong>s réductions font apparaître d’autres nombres que des 1 qui sont codés par desjetons blancs placés à la vertica<strong>le</strong> ; cf. annexe pour la manière de réduire un 5) :111010200200211121.030111002002002111.210301110020020021.001qui se réduit, par <strong>le</strong> jeu de dominos utilisant 11 001, en 10…01 (avec 56 zéros).Les trois lignes du haut gardent en mémoire <strong>le</strong> nombre initial et <strong>le</strong>s lignes du dessoussont <strong>le</strong> lieu des manipulations des jetons c’est-à-dire des transformations desécritures chiffrées. Par des al<strong>le</strong>rs-retours entre ces deux parties, l’abaque permet unerecherche dynamique d’une va<strong>le</strong>ur approchée de la solution. Cette techniqued’approximation est identique à cel<strong>le</strong> qui est couramment utilisée pour effectuer dessommes de deux rationnels en écriture décima<strong>le</strong> (cf. figure 2).Figure 2. Somme effectuée par un étudiant professeur en mathématiques.88 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Comme en écriture décima<strong>le</strong>, la va<strong>le</strong>ur approchée, ici trouvée après denombreuses heures de recherche avec <strong>le</strong> jeu de go, permet de déterminer la solutionqui est. La période est de 20 chiffres, ce quiimplique un travail sur l’abaque avec une quarantaine de chiffres. Une vérificationsur papier est bien entendu effectuée, mais c’est surtout la nécessité del’informatique qui s’est naturel<strong>le</strong>ment imposée. Ainsi, un programme informatique,qui a été affiné au fur et à mesure des résultats, a été écrit.2.2. Une idée fondamenta<strong>le</strong>Avec l’informatique, la recherche mathématique sur <strong>le</strong>s rationnels a trouvé unnouveau souff<strong>le</strong> : des listings de nombres ont été produits, des périodes sont trouvées(la conjecture est toujours vérifiée) et de nouvel<strong>le</strong>s conjectures ont vu <strong>le</strong> jour. Malgrétout cela, la recherche stagne et <strong>le</strong>s règ<strong>le</strong>s de formation des rationnels restentparticulièrement opaques : nous sommes face à des données brutes provenant desrecherches informatiques dont on ne sait que faire. C’est l’impasse !Nous avions compris que, pour trouver une solution de D × x = N, qui seraitpériodique d’après la conjecture, il nous faudrait d’abord trouver la période π. Nousrecherchions π par la propriété : D × (πππ…) est de période 01 (tout simp<strong>le</strong>mentparce que 1+010101…=000000… par <strong>le</strong> jeu de dominos). Mais hormis desrecherches informatiques systématiques basées sur la technique d’approximation,nous ne savions pas comment utiliser cette propriété puisque <strong>le</strong>s retenues peuvent serépercuter sur plusieurs périodes (par exemp<strong>le</strong> pour D = 5, la réduction d’un 5 pour<strong>le</strong> calcul de 5 × x déborde de 3 rangs à droite et de 4 rangs à gauche). La situationsemblait inextricab<strong>le</strong>. C’est alors que, lors d’une de nos réunions hebdomadaires, <strong>le</strong>mathématicien a eu une idée qui a tout débloqué. Au lieu de prendre <strong>le</strong> nombre xdans sa totalité, il suffit de prendre une période et de compter sur el<strong>le</strong>-même <strong>le</strong>sretenues produites. La simplicité de cette idée est frappante car on simu<strong>le</strong> ainsi <strong>le</strong>sretenues provenant des autres périodes. Le travail de recherche est relancé. Enparticulier nous définissons un algorithme de somme pour <strong>le</strong>s éléments périodiquesen traitant de manière séparée <strong>le</strong> début du nombre et la partie périodique. Vérifierqu’une séquence est une période d’un dénominateur D devient simp<strong>le</strong> puisqu’il suffitde ne considérer qu’une période sans faire appel à un argument du type va<strong>le</strong>urapprochée. Prenons par exemp<strong>le</strong> <strong>le</strong> cas de la période trouvée par <strong>le</strong> jeu de go :5×10000001001001010100 = 50000005005005050500= 10020020021112103011 (réduction de tous 13 <strong>le</strong>s 5 en 10010001)= 20020020010102001010 (réduction de tous <strong>le</strong>s 11 en partant de la gauche)= …= 10101010101010101010 (il faut réduire <strong>le</strong>s 2 un à un)Sans entrer dans <strong>le</strong>s détails, signalons que <strong>le</strong>s conjectures s’affinent, des résultatsimportants sont prouvés, <strong>le</strong> programme informatique est réécrit pour être plusefficace, de nouvel<strong>le</strong>s conjectures sont avancées et prouvées, etc.13 L’algorithme général demande de réduire <strong>le</strong>s 5 un à un et <strong>le</strong>s 11 qui apparaissent alors.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ89
3. Avancement des recherches en mathématiques : analogies avec la base dixDès lors, <strong>le</strong>s choses s’embal<strong>le</strong>nt. Le didacticien se demande si cette idée peuts’appliquer aux écritures illimitées périodiques en base de numération usuel<strong>le</strong> (enbase dix ou autres). La réponse est positive et débouche sur une construction ducorps Q uniquement à partir des écritures à virgu<strong>le</strong> périodiques pour <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s nousobtenons des algorithmes pour <strong>le</strong>s quatre opérations usuel<strong>le</strong>s (Rittaud & Vivier,2011b). La simplicité de l’algorithme de somme est particulièrement frappante. Parexemp<strong>le</strong>, pour effectuer 0,5+0,7 la somme des périodes fait 3 (2 plus 1 deretenue) et il y a un 1 de retenue à comptabiliser tout à gauche, soit 1,3.Les analogies vont bon train, et dans <strong>le</strong>s deux sens. Par exemp<strong>le</strong>, en base usuel<strong>le</strong>,pour <strong>obtenir</strong> <strong>le</strong>s périodes d’un dénominateur D, il suffit de trouver <strong>le</strong> nombre l telque 10 l – 1 soit divisib<strong>le</strong> par D : l est la tail<strong>le</strong> des périodes cherchées qui s’obtiennenttoutes à partir du quotient de 10 l – 1 par D (voir Rittaud & Vivier 2011b pour desexemp<strong>le</strong>s et un exposé comp<strong>le</strong>t). La forte similitude algébrique entre <strong>le</strong>s nombres9…9 en base dix (en base B, il faut remplacer 9 par B – 1) et 01…01 et 10…10 enbase de Fibonacci amène rapidement à la conjecture suivante : pour avoir, dansl’ensemb<strong>le</strong> des nombres F-adiques, <strong>le</strong>s périodes de dénominateur D, il faut trouverun entier l tel que F l–1 – 1 et F l – 1 soient tous deux divisib<strong>le</strong>s par D et <strong>le</strong> quotientpermet de déterminer <strong>le</strong>s périodes qui sont alors de tail<strong>le</strong> l (l est toujours un nombrepair). La conjecture est prouvée (Rittaud & Vivier, 2011a). Pour chercher, parexemp<strong>le</strong>, <strong>le</strong>s périodes de dénominateur 5 on voit que la condition est remplie pourF 19 – 1 et F 20 – 1 qui sont tous deux divisib<strong>le</strong>s par 5 (cf. annexe). Ainsi, <strong>le</strong>s périodesde dénominateur 5 sont de tail<strong>le</strong> 20 et on <strong>le</strong>s obtient en calculant 17710 / 5 = 3542.Ce nombre s’écrit dans la base de Fibonacci : 3542 = F 3 + F 6 + F 9 + F 11 + F 13 + F 16soit 00010010010101001 c’est-à-dire, pour avoir vingt chiffres,00010010010101001000 qui est la période 14 obtenue par <strong>le</strong> jeu de go.4. Des recherches en didactiqueL’algorithme de somme de rationnels en écriture décima<strong>le</strong> a donné naissance àdes recherches en didactique. Cet algorithme a été testé en classe de seconde et depremière année d’université (Vivier, 2011a). Il se révè<strong>le</strong> faci<strong>le</strong> à utiliser pour desélèves de seconde (grade 10) même si <strong>le</strong>s justifications font défaut, notamment àcause d’un manque de compréhension du système décimal. La compréhension del’algorithme ne semb<strong>le</strong> plus poser de problème en première année d’université.Une expérimentation a éga<strong>le</strong>ment été menée en formation d’enseignant : unesituation a été proposée à des étudiants-professeurs du second degré (la figure 2 estextraite de cette expérimentation) qui <strong>le</strong>ur a permis de produire un algorithme desomme (Vivier, 2011b). En outre, la possibilité de faire des sommes de périodes est14 Toutes <strong>le</strong>s périodes de dénominateur 5 s’obtiennent en combinant, par des sommes, cettepériode avec cel<strong>le</strong> provenant de (F 19 – 1) / 5 = 2189 = 00100100101010010000.90 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
apparue comme on peut <strong>le</strong> voir à la figure 3 où l’on note l’interrogation liée à lagestion de la retenue :Figure 3. Introduction des sommes de périodes par des étudiants-professeurs.Dans toutes ces expérimentations, on étudie de fait une praxéologie ponctuel<strong>le</strong>(Chevallard, 1999) liée au type de tâches somme de deux rationnels dans <strong>le</strong> registrede l’écriture décima<strong>le</strong>. Nous référons à (Vivier 2011a) pour des détails.D’autres recherches en didactique, toujours en collaboration entre Benoît Rittaudet Laurent Vivier, sont actuel<strong>le</strong>ment en cours, notamment sur l’égalité 0,999… = 1.En effet, l’algorithme de somme devrait permettre de faire comprendre la nécessiténumérique de cette égalité comme dans l’expérimentation de Wel<strong>le</strong>r, Arnon etDubinsky (2009). Leur recherche s’appuie sur un logiciel informatique qui effectue<strong>le</strong>s sommes dans <strong>le</strong> registre fractionnaire avec une doub<strong>le</strong> conversion masquée pourl’utilisateur. Notre algorithme de somme permet d’éviter cette utilisation opaque del’informatique et de travail<strong>le</strong>r directement sur <strong>le</strong> nombre.ConclusionÉvidemment, il a été décisif d’avoir un mathématicien dans l’équipe derecherche. A-t-il été important d’avoir eu un didacticien ? Un programmeur quiaurait dès <strong>le</strong> début utilisé l’informatique aurait évité <strong>le</strong> problème sou<strong>le</strong>vé en section2.1. Y aurait-il eu la recherche plus modeste liée aux mathématiques del’enseignement secondaire ? Peut-être, et ce point est important si l’on pense auxanalogies entre <strong>le</strong>s deux systèmes d’écriture des nombres qui ont été très productivesen conjectures et résultats. Y aurait-il eu des recherches en didactique ? On peutfortement en douter et la recherche mathématique sur <strong>le</strong>s nombres F-adiques auraitpu rester dans <strong>le</strong> strict domaine des mathématiques universitaires. Fina<strong>le</strong>ment, c’est<strong>le</strong> tandem mathématicien / didacticien, qui a fonctionné en symbiose et qui a étéparticulièrement fructueux.Du côté des ressources, deux points de vue sont à discuter. La ressourceessentiel<strong>le</strong> pour la recherche mathématique est <strong>le</strong> langage de programmationinformatique. Bien sûr, cette ressource est modelab<strong>le</strong> dans sa constitution mêmepuisque l’on se fabrique soi-même l’instrument avec des modifications parfoisprofondes au fil des résultats mathématiques. En particulier il a été complètementremodelé avec l’idée fondamenta<strong>le</strong> de travail<strong>le</strong>r sur <strong>le</strong>s périodes (cf. section 2.2).Plus important peut-être, ces recherches fournissent une ressource nouvel<strong>le</strong>constituée par l’algorithme de somme pour <strong>le</strong>s rationnels en écriture décima<strong>le</strong>. CetteActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ91
essource est utilisab<strong>le</strong> dans l’enseignement secondaire que ce soit en classe, pouréclaircir certains points liés aux développements décimaux, ou en formationd’enseignant, pour appuyer <strong>le</strong>s professeurs du second degré dans <strong>le</strong>s calculstraditionnels permettant de montrer que tout développement décimal périodiquereprésente une fraction. Toutefois, il est à signa<strong>le</strong>r que <strong>le</strong> curriculum français actuelne laisse que peu de place à ce type de question sur <strong>le</strong>s nombres.BibliographieChevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique dudidactique, Recherches en Didactique des Mathématiques 19.2, 222-265.Rittaud, B. (2006). Le fabu<strong>le</strong>ux destin de √2, éditions Le pommier.Rittaud, B. & Vivier, L. (2011a). Circular words, F-adic numbers and the sequence 1, 5, 16,45, 121, 320,…, Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici (accepté).Rittaud, B. & Vivier, L. (2011b). The fields Q from the standpoint of circular words, enpreparation. Une version simplifiée en français est disponib<strong>le</strong> sur Internet :).Vivier, L. (2011a). El registro semiótico de los Desarrollos Decima<strong>le</strong>s Ilimitados. (Soumis àEl cálculo y su enseñanza, México, ).Vivier, L. (2011b). Construction d’une ressource pour l’enseignant : un algorithme de sommede deux rationnels en écriture décima<strong>le</strong>. (Accepté au GT6 de EMF 2012.)Wel<strong>le</strong>r, K., Arnon, I. & Dubinsky, E. (2009). Preservice Teachers’ Understanding of theRelation Between a Fraction or Integer and Its Decimal Expansion, Canadian Journal ofScience, Mathematics and Technology Education, 9(1), Route<strong>le</strong>dge.Zeckendorf, E. (1972). Représentation des nombres naturels par une somme de nombres deFibonacci ou de nombres de Lucas, Bull. de la Société Roya<strong>le</strong> des Sciences de Liège, 41.Annexe : la suite de FibonacciLa suite de Fibonacci est la suite (F n ) définie par F 0 = 1, F 1 = 2 et pour tout nentier par la relation de récurrence F n+2 = F n+1 + F n . Les premiers termes sont :n F n n F n n F n n F n n F n1 2 6 21 11 233 16 2584 21 286572 3 7 34 12 377 17 4181 22 463683 5 8 55 13 610 18 6765 23 750254 8 9 89 14 987 19 1094 24 1213935 13 10 144 15 1597 20 6177125 1964181À partir des réductions de base 11001 et 21001, on en déduit <strong>le</strong>s autres enajoutant 1 au rang souligné : 310001 ; 410101 ; 510010001 ; 610000101 ;7100000001 ; 8100010001 ; 9101001001 ; …92 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Modélisation instrumentée et conceptionsa priori dans un espace de travailgéométrique en évolutionUn tour en géométrie dynamique tridimensionnel<strong>le</strong>Mathieu Blossier*, Philippe R. Richard*** Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de RouenAvenue de Broglie B.P. 13876821 Mont-Saint-Aignanmathieu.blossier@ac-rouen.fr** Université de Montréal et Universitat Autònoma de BarcelonaC.P. 6128, succursa<strong>le</strong> Centre-vil<strong>le</strong>Montréal (Québec) H3C 3J7philippe.r.richard@umontreal.caRÉSUMÉ : Afin de soutenir <strong>le</strong> développement d’une compétence de modélisation au début dulycée, nous analysons brièvement deux situations-problèmes à l’aide du logicielGeoGebra3D. Le premier problème débouche sur <strong>le</strong>s coniques d’Apollonius et <strong>le</strong> secondsoulève quelques considérations sur <strong>le</strong>s nids d’abeil<strong>le</strong>. Notre propos vise à montrer l’effet dela modélisation instrumentée sur <strong>le</strong>s conceptions a priori en considérant la coordination desopérateurs mis en œuvre, des systèmes de représentation employés et des structures decontrô<strong>le</strong>s mobilisées dans l’interaction entre l’élève et <strong>le</strong> milieu informatique.ABSTRACT: In order to support the development of a competence of modelling at thebeginning of the high school, we briefly analyze two situation-prob<strong>le</strong>ms using the softwareGeoGebra3D. The first prob<strong>le</strong>m <strong>le</strong>ads to the Apollonius conical and the second raises someconsiderations on the honeycombs. Our matter aims at showing the effect of the instrumentedmodelling on the conceptions a priori by considering the coordination of the operatorsimp<strong>le</strong>mented, the systems of representation employed and the structures of controls mobilizedin the interaction between the student and the computer (informatic) milieu.MOTS-CLÉS : didactique des mathématiques, modélisation instrumentée, représentation,conception, espace de travail géométrique, géométrie dynamique tridimensionnel<strong>le</strong>.KEYWORDS: didactic of mathematics, instrumented modelling, representation, conception,geometrical workspace, three-dimensional dynamic geometry.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ93
IntroductionLa notion de modè<strong>le</strong> en mathématique est probab<strong>le</strong>ment aussi ancienne que lascience géométrique. Alors que l’on cherchait à représenter toutes sortes desituations, d’objets et de structures du monde réel, <strong>le</strong>s Anciens purent simu<strong>le</strong>r laréalité du monde de l’espace et des formes et ainsi anticiper sur ses propriétés. Maisqui dit modélisation dit aussi simplification, ce qui donne au modè<strong>le</strong> descaractéristiques qui lui sont propres, en toute indépendance de réalité originel<strong>le</strong>.C’est-à-dire que la géométrie, dans son interprétation et ses traitements, se comportecomme une nouvel<strong>le</strong> réalité, à la fois abstraite dans sa logique et concrète dans sesmodes de représentation. Et depuis l’avènement des logiciels de géométriedynamique, <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> géométrique semb<strong>le</strong> se réinventer, offrant même un espace desimulation au sein du modè<strong>le</strong> qui devient une autre réalité.Dans notre texte nous commençons avec des acceptions classiques des processusde représentation de modélisation (section 1.1) afin de <strong>le</strong>s appliquer à la constitutiond’un logiciel de géométrie dynamique tridimensionnel, <strong>le</strong> GeoGebra3D, pour <strong>le</strong>quel<strong>le</strong> développement informatique cherche à rapprocher <strong>le</strong>s modè<strong>le</strong>s géométriques à laréalité de l’institution scolaire (section 1.2). Nous introduisons ensuite trois notionsc<strong>le</strong>fs, issues de la didactique des mathématiques (section 1.3), de façon à soutenirl’exploration de deux situations d’interaction entre <strong>le</strong>s mathématiques et sadidactique (section 2). Nous terminons sur quelques considérations généra<strong>le</strong>s pourl’enseignement des mathématiques (section 3).1 Quelques références théoriques1.1. Représentation et modélisation : deux processus charnières aux cœur del’apprentissage de la géométrieDans un même contexte géométrique, <strong>le</strong>s notions de représentation et demodélisation peuvent prendre des sens forts différents. Du point de vue de la théoriedes signes (perspective sémiotique), <strong>le</strong> dessin est un modè<strong>le</strong> de la figure (au sens dereprésentation sémiotique), cette dernière étant un objet mathématique issu dumodè<strong>le</strong> euclidien (au sens de théorie représentante). Ce doub<strong>le</strong> jeu autorise lamultiplicité des processus de représentation et de signification du registre figural(Richard, 2004a). C’est-à-dire que si un même objet géométrique peut êtrereprésenté par des unités figura<strong>le</strong>s différentes, un même support peut être utilisé pourdifférents modè<strong>le</strong>s. Ainsi, on peut «voir» qu’un dessin est effectivement un carré àcause de son apparence visuel<strong>le</strong> (approche synthétique) ou parce que l’on peut enétablir la nature par <strong>le</strong> raisonnement (approche analytique). À l’inverse, qu’il soitdessiné sur papier ou visib<strong>le</strong> par l’activation de pixels à l’écran d’un ordinateur, cemême carré peut en représenter un en géométrie euclidienne ou bien représenter uncerc<strong>le</strong> en géométrie du chauffeur de taxi (Krause, 1986) – sur <strong>le</strong>s nœuds d’un94 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
quadrillage par exemp<strong>le</strong>, où <strong>le</strong>s déplacements en diagona<strong>le</strong> à travers <strong>le</strong>s édifices sontimpossib<strong>le</strong>s, l’ensemb<strong>le</strong> des points équidistants d’un même centre sont sur un carré.La distinction entre «matérialisation» et «modè<strong>le</strong>» de la figure permet notammentde souligner l’autonomie de l’ordre symbolique constitué par <strong>le</strong> dessin de ce qu’il estcensé signifier, en ce sens qu’un dessin géométrique étant lui-même constitué deformes, il peut être son propre modè<strong>le</strong>, tel un fait donné. Avant d’illustrer dans unesituation d’apprentissage <strong>le</strong>s effets producteurs et réducteurs dans la représentationfigura<strong>le</strong>, nous introduisons la modélisation du point de vue de la formation dessciences (perspective épistémologique). Selon Delahaye (2008), lorsqu’on utilise <strong>le</strong>smathématiques pour modéliser <strong>le</strong> monde ou certains de ses aspects particuliers :Le mot «modè<strong>le</strong>» est alors pris dans <strong>le</strong> sens de représentation : <strong>le</strong>s objets mathématiquesjouent <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> des objets réels, et de <strong>le</strong>ur connaissance on espère tirer une compréhensiondu monde réel lui-même. Lorsque la modélisation est correcte, l’étude du modè<strong>le</strong>mathématique donne des informations sur la situation, l’objet ou <strong>le</strong>s structures que vise <strong>le</strong>modè<strong>le</strong>. Ces informations peuvent provenir de l’étude mathématique du modè<strong>le</strong>, ou biende son utilisation pour mettre au point des programmes informatiques qui, lorsqu’ilsfonctionnent, simu<strong>le</strong>nt la situation, l’objet ou la structure modélisée.La superposition des deux jeux de la représentation a beau être cohérente, laprédominance d’un jeu sur l’autre est susceptib<strong>le</strong> d’engendrer des effetsdiamétra<strong>le</strong>ment opposés dans une situation de modélisation. C’est ce qui se produiten classe lorsque des élèves fondent un raisonnement à partir des propriétés spatia<strong>le</strong>sdu dessin au lieu des propriétés géométriques de l’objet représenté, même s’ilstravail<strong>le</strong>nt déjà sur une réalité modélisée (Richard, 2010a et b).1.2. GeoGebra3D : un outil en évolutionLe développement de GeoGebra3D en tant que logiciel de géométrie dynamiquetridimensionnel<strong>le</strong> s’inscrit dans la foulée du gratuiciel libre GeoGebra (GGB). Enbout de piste, il s’intégrera à la version 5.0 du logiciel source 15 , ce qui permettra entoute transparence la mise en œuvre de situations géométriques qui réunissentsimultanément la représentation figura<strong>le</strong> dans <strong>le</strong> plan, la modélisation numériqued’objets géométriques en déplacement (fenêtres «algèbre» et «tab<strong>le</strong>ur»), <strong>le</strong> calculformel et la représentation dynamique dans l’espace, dont l’opportunité de montrerdes coupes transversa<strong>le</strong>s. Dans notre propos, nous n’entrons pas en amont dans lasubtilité des modè<strong>le</strong>s mathématiques nécessaires à l’exercice de programmationinformatique ni dans cel<strong>le</strong> des modè<strong>le</strong>s discrets de la représentation d’objetsgéométriques à l’interface de l’ordinateur. Nous restons en aval pour constater l’effetdu logiciel lorsqu’il est en interaction avec un individu, que ce soit en vue desituations didactiques ou d’activité de résolution de problème. En revanche, cetteinteraction présumée dans un contexte scolaire est à l’origine des choixinformatiques pour <strong>le</strong> perfectionnement de GeoGebra3D.15 Pour connaître l’état actuel, voir .Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ95
1.3. Les interactions a priori entre l’élève et <strong>le</strong> milieuSi <strong>le</strong>s connaissances mathématiques ne sont pas innées, l’élève possède tout aumoins une capacité à analyser, raisonner et communiquer des idées qui se rapportentfondamenta<strong>le</strong>ment à la culture mathématique (PISA, 2006), que ce soit au regard dela quantité, l’incertitude, <strong>le</strong>s variations et <strong>le</strong>s relations, ou l’espace et <strong>le</strong>s formes.Mais l’élève a été engagé très tôt dans sa scolarité à poser, formu<strong>le</strong>r ou résoudre desproblèmes au sein de modè<strong>le</strong>s mathématiques pour <strong>le</strong>squels il a dû en interpréter <strong>le</strong>ssolutions. Qu’il s’agisse d’une réponse à une intention d’enseignement ou d’unquestionnement personnel, c’est donc en interaction avec un milieu porteur deconnaissances mathématiques que l’élève a pu animer <strong>le</strong>s siennes.Dans ce qui suit, nous utilisons la notion de milieu en tant que conceptunificateur de l’ensemb<strong>le</strong> des supports qui véhicu<strong>le</strong>nt des connaissancesmathématiques lorsque ceux-ci sont en interaction avec un élève, qu’il s’agisse desystèmes de signes, d’outils, de mises en scène ou de tout autre matériel à usagedidactique, depuis <strong>le</strong>s documents papiers jusqu’aux médias é<strong>le</strong>ctroniques, en autantque ce soit en réaction aux propositions de l’élève dans une perspectived’apprentissage (Richard, 2011). Dans cette perspective, <strong>le</strong> milieu se considère horsdes situations proprement didactiques (Brousseau, 1998) et c’est l’élève qui souhaitefaire évoluer la connaissance de son propre chef.Figure 1. Deux éclairages du système élève-milieu.Puisque <strong>le</strong>s connaissances mathématiques opératoires émergent de l’interactionentre l’élève et <strong>le</strong> milieu, la littérature didactique offre un doub<strong>le</strong> éclairage sur cesinteractions (figure 1). En regardant l’élève au premier plan, la notion de conceptionpermet de rendre compte d’une instance de la connaissance de l’élève, qui sedistingue par la représentation et <strong>le</strong>s traitements qu’el<strong>le</strong> met en œuvre et <strong>le</strong>s contrô<strong>le</strong>squ’el<strong>le</strong> mobilise, et dont la portée est loca<strong>le</strong>, attestée sur un domaine de validité etd’efficacité particulier (Balacheff et Margolinas, 2005). Par ail<strong>le</strong>urs, lorsque c’est <strong>le</strong>milieu qu’on regarde au premier plan, la notion d’espace de travail mathématiquepermet de rendre compte de l’environnement qui amorce la genèse desconnaissances mathématiques à partir d’une articulation entre un référentielthéorique, des objets géométriques et un milieu matériel (Kuzniak, 2009). Alors quela notion d’espace de travail se structure d’abord selon trois composantes (ensemb<strong>le</strong>96 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
d’objets, ensemb<strong>le</strong> d’artéfacts et référentiel théorique), nous y intégrons la démarchede l’élève en instance de réalisation (Coutat et Richard, 2011).2 Exemp<strong>le</strong>s d’interactions possib<strong>le</strong>s dans <strong>le</strong> traitement de deux problèmes2.1. Les jardins de MadridLe problème de départ consiste àsituer un lampadaire pour éclairer aumieux un jardin triangulaire (Richard,2010a). Selon un point de vue aérien, <strong>le</strong>pied du lampadaire pourrait conduire à lanotion de cerc<strong>le</strong> circonscrit au triang<strong>le</strong>.Mais lorsqu’on tient compte desimmeub<strong>le</strong>s environnants, <strong>le</strong> faisceaulumineux projeté sur <strong>le</strong> toit ou <strong>le</strong>sfaçades permet de signifier etd’approfondir <strong>le</strong>s coniques d’Apolloniusdans une réalité prémodélisée (figure 2).Figure 2. Zones d’intersection du cônelumineux au delà du jardin.L’espace occupé par <strong>le</strong>s solides et la forme des coniques relèvent de la géométriesynthétique, mais <strong>le</strong>ur représentation demeure dans <strong>le</strong> plan. Bien que la 3 e dimensionest déjà visib<strong>le</strong> par <strong>le</strong>s jeux d’ombre, de lumière et de texture, c’est surtout par <strong>le</strong>déplacement, donc dans l’interaction avec <strong>le</strong> sujet, qu’el<strong>le</strong> révè<strong>le</strong> son amp<strong>le</strong>ur. Lescoupes transversa<strong>le</strong>s interactives selon <strong>le</strong>s plans directeurs (figures 3a, b et c) et <strong>le</strong>sreprésentations analytiques des coniques (ib. d) participent éga<strong>le</strong>ment à l’exerciceconceptuel, en ajoutant cette fois un point de vue issu de la géométrie analytique. Sila représentation se gère d’abord par <strong>le</strong> milieu, celui-ci réagit à l’action de l’élève quidoit coordonner son expérience sur <strong>le</strong>s réalités et <strong>le</strong>s modè<strong>le</strong>s géométriques.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ97
Figure 3a, b, c et d. Vues interactives des coniques dans <strong>le</strong>s plans directeurs etfenêtre d’équations correspondantes.2.2. Le travail des abeil<strong>le</strong>s2.2.1. La géométrie du gâteau de cireUn gâteau de cire présente deux côtés parallè<strong>le</strong>s, constitués d’un faisceau de«tubes» prismatiques dont <strong>le</strong>s ouvertures forment un pavage hexagonal. Ces tubessont <strong>le</strong>s alvéo<strong>le</strong>s au fond desquels l’abeil<strong>le</strong> dépose ses œufs et son miel. L’interfaceentre ces deux côtés n’est pas plane : chaque tube se termine par trois losanges,comme <strong>le</strong> fond d’un dodécaèdre rhombique. Cette configuration semb<strong>le</strong> nonseu<strong>le</strong>ment optimiser la quantité de cire utilisée (Ha<strong>le</strong>s, 2001), mais el<strong>le</strong> permetéga<strong>le</strong>ment une meil<strong>le</strong>ure proximité des œufs, réduisant ainsi <strong>le</strong>s déperditions decha<strong>le</strong>ur (Richard, 2006). Nous posons alors la question suivante : étant donnée unesphère tangente aux parois d’un prisme droit et régulier à base hexagona<strong>le</strong>, la«fermeture» du prisme en dodécaèdre rhombique est-el<strong>le</strong> optima<strong>le</strong> ? En guised’exploration, nous commençons par considérer la situation d’un fond pyramidal etnous poursuivons avec l’intuition du fond rhombique.2.2.2. Première situation : refermer <strong>le</strong> prisme à l’aide d’une pyramideL’enjeu du problème consiste à concevoir une pyramide afin que ses paroissoient tangentes à une sphère (figure 4a). La situation se laisse ramener à laconstruction du sommet S d’un côté de la pyramide dans <strong>le</strong> plan médiateur de sabase [GH] (figure 4b). Si P est <strong>le</strong> point de tangence de l’apothème [MS], alors <strong>le</strong>triang<strong>le</strong> MOP est rectang<strong>le</strong> en P. Sous ces contraintes, la variation de la hauteur TMdu prisme, pour OO’ < TM ≤ 2·OO’, engendre un ajustement conséquent de laposition du point S. Comme dans la situation des jardins de Madrid, l’interactioncognitive entre l’élève et <strong>le</strong> milieu doit coordonner plusieurs réalités et modè<strong>le</strong>sgéométriques. Mais en posant un problème d’aire maxima<strong>le</strong>, <strong>le</strong> traitement dominantintègre des processus de variation (réalité sous-jacente) et de modélisation enanalyse fonctionnel<strong>le</strong>, par exemp<strong>le</strong> avec la représentation graphique dynamique quis’obtient par un lieu géométrique de points ou par une trace numérique (figure 4c).Lorsque l’élève expérimente sur <strong>le</strong>s figures (ib. 4a ou b), il fait bien plus qu’unerésolution instrumentée dans un espace de travail. Il agit directement sur lareprésentation figura<strong>le</strong> en tant que système sémiotique, donc sur <strong>le</strong>s conceptions.98 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Figures 4a, b et c. Construction du point S dans l’espace et dans <strong>le</strong> plan médiateuret modélisation de la quantité de cire nécessaire pour recouvrir la demi-sphère.2.2.3. Deuxième situation : refermer comme <strong>le</strong>s abeil<strong>le</strong>sLa figure cherchée repose sur un postulat de symétrie. Il s’agit de construire troislosanges ayant un sommet commun situé dans l’axe central du prisme et dont <strong>le</strong>sautres sommets sont situés sur ses arêtes latéra<strong>le</strong>s. Les sommets H, J et L d’une part,et G, I et K d’autre part se trouvent alternativement dans deux plans parallè<strong>le</strong>s à labase hexagona<strong>le</strong> du prisme. La position de l’un de ces six sommets détermine tous<strong>le</strong>s autres, y compris S, mais <strong>le</strong> dynamisme est plus comp<strong>le</strong>xe et l’interactioncognitive exige un effort de contrô<strong>le</strong> ajouté entre <strong>le</strong>s conceptions en jeu (figure 5).Figure 5. Étude du fond rhombique d’une alvéo<strong>le</strong>.Puisque <strong>le</strong> point de tangence P est dans <strong>le</strong> même plan que <strong>le</strong> point H et l’axecentral du prisme, <strong>le</strong>s considérations dans ce plan sont similaires à cel<strong>le</strong>s de lasituation 1, mais l’approche analytique de la fonction d’aire est plus diffici<strong>le</strong> à traiter.S’il est remarquab<strong>le</strong> que l’optimisation de la quantité de cire coïncide avec <strong>le</strong>dodécaèdre rhombique, la configuration satisfaisante <strong>le</strong> fait apparaître sur la réalitéprémodélisée (vue tridimensionnel<strong>le</strong> à la figure 5).Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ99
3 ConclusionMalgré son enracinement plus qu’évident dans la vie de l’élève et son pouvoir demodélisation éprouvé dans l’histoire, la géométrie tridimensionnel<strong>le</strong> ne reçoit pasl’attention qu’el<strong>le</strong> mérite. Pourtant, <strong>le</strong>s possibilités de représentation interactivess’ouvrent sur des situations autrefois peu accessib<strong>le</strong>s à la réalité scolaire. L’usaged’un logiciel de géométrie dynamique, fut-il en trois dimensions, n’est certes pas unepanacée. Mais il rapproche la logique de l’expérimentation scientifique auxprocessus de découverte mathématique. Avec l’aide d’enseignants sensib<strong>le</strong>s auxenjeux de l’apprentissage instrumenté, on peut créer des activés dans <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s lamotivation principa<strong>le</strong> réside dans la compréhension de concepts mathématiques.Même si <strong>le</strong>s contraintes du texte ne nous ont pas permis de détail<strong>le</strong>r davantage<strong>le</strong>s activités de modélisation instrumentée, <strong>le</strong> doub<strong>le</strong> éclairage apporté par <strong>le</strong>s notionsde conception et d’espace de travail géométrique demeure uti<strong>le</strong> pour l’anticipationdes interactions entre l’élève et <strong>le</strong> milieu. On sait d’abord que la mise au point desituations-problèmes ou de matériel pédagogique est une activité quotidienne desenseignants. On sait aussi que cette activité procède souvent de manière intuitive etartisana<strong>le</strong>, parant au plus pressé et sans grande planification. Bien qu’il s’agissesouvent de moyens ad hoc qui prétend concilier <strong>le</strong>s demandes paradoxa<strong>le</strong>s del’institution ou soulager <strong>le</strong> frottement entre des connaissances préalab<strong>le</strong>s, laproduction est efficace pour <strong>le</strong> <strong>le</strong>ndemain, son usage reste local et temporaire. Pourl’enseignant qui veut aiguiser son intuition fondée ou qui souhaite réaliser uneproduction ou une intervention dont l’usage serait plus large, <strong>le</strong>s notions précédentesconstituent un système de référence susceptib<strong>le</strong> d’orienter sa démarche, jusqu’àl’évaluation même des compétences mathématiques des élèves.Références bibliographiquesBalacheff, N., & Margolinas, C. (2005). Ck¢, modè<strong>le</strong> de connaissances pour <strong>le</strong> calcul desituations didactiques. In A. Mercier & C. Margolinas (Eds.), Balises pour la didactiquedes mathématiques (pp. 75-106). Grenob<strong>le</strong>: La Pensée Sauvage.Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenob<strong>le</strong> : La Pensée Sauvage.Coutat, S. & Richard, P.R. (2011). Les figures dynamiques dans un espace de travailmathématique pour l’apprentissage des propriétés géométriques, Anna<strong>le</strong>s de didactique etde sciences cognitives, 16, 97-126.Delahaye, J.P. (2008). Modélisation, mathématique. Encyclopædia Universalis France.Ha<strong>le</strong>s, T. (2001). The Honeycomb Conjecture. Discrete & Computational Geometry, 25, 1-22.Krause, E.F. (1986). Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry. Mineola,New York : Dover Publications.Kuzniak, A. (2009). Un essai sur la nature du travail géométrique en fin de la scolaritéobligatoire en France. Dans Gagatsis, Kuzniak, Deliyianni & Vivier (Éds) PremierColloque Franco-Chypriote de Didactique des Mathématiques, 71-89.PISA (2006). Cadre d’évaluation de PISA 2006. Connaissances et compétences enmathématiques, <strong>le</strong>cture, science et résolution de problèmes. Les publications de l’OCDE.100 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Richard, P.R. (2004a). L’inférence figura<strong>le</strong>: Un pas de raisonnement discursivo-graphique.Educational Studies in Mathematics, 57(2), 229-263.Richard, P.R. (2004b). Raisonnement et stratégies de preuve dans l’enseignement desmathématiques. Berne: Peter Lang.Richard, P.R. (2006). Quand <strong>le</strong>s abeil<strong>le</strong>s font de la géométrie. In Pallascio, R. et Doddridge,É. (Dir.) Montrez cette mathématique que je ne saurais voir!, 57-63. Montréal: LesÉditions nouvel<strong>le</strong>s.Richard, P.R. (2010a). La geometría dinámica como herramienta para desarrollarcompetencias de modelización en el bachil<strong>le</strong>rato. (2010b). La evaluación de competenciasmatemáticas: una apuesta de aprendizaje desde la e<strong>le</strong>cción de situaciones-prob<strong>le</strong>mas.Competencias matemáticas. Instrumentos para las ciencias socia<strong>le</strong>s y natura<strong>le</strong>s, 89-115et 180-198. Ministerio de Educación et IFIIE.Richard, P.R. (2011). La interacción con app<strong>le</strong>ts Java para el aprendizaje de las matemáticas.UNO - Revista de Didáctica de las Matemáticas, 58, 8-24.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ101
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CommunicationsThème 2 :Le travail collaboratif des enseignants :conception de ressources et formationActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ103
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Représentationsdes enseignants de mathématiqueset de sciences expérimenta<strong>le</strong>ssur quelques concepts épistémologiquesdes démarches d’investigation :expliciter pour mieux interagirRéjane Monod-Ansaldi* / ** / ***, Jacques Vince* / ****, Michè<strong>le</strong>Prieur* / *** et Valérie Fontanieu** IFé ; **ACCES, ***EducTice - S2HEP ; ****ICAR ; jvince@ac-lyon.frrejane.monod-ansaldi; michel.prieur ; va<strong>le</strong>rie.fontanieu@ens-lyon.fr ;RÉSUMÉ : Les instructions officiel<strong>le</strong>s pour l’enseignement des sciences dans <strong>le</strong> secondairedécrivent une Démarche d’Investigation (DI) prototypique et soulignent sans <strong>le</strong>s expliciter, laproximité et <strong>le</strong>s spécificités de cette démarche entre <strong>le</strong>s disciplines. Mais quel<strong>le</strong>sreprésentations de ces démarches sont construites par <strong>le</strong>s enseignants à l’intérieur de <strong>le</strong>urdiscipline et d’une discipline vers l’autre ? L’enquête nationa<strong>le</strong> que nous avons menée sur<strong>le</strong>s représentations des enseignants de mathématiques, SPC et SVT au sujet des DI montreque : <strong>le</strong>s postures épistémologiques des enseignants de mathématiques et de sciencesexpérimenta<strong>le</strong>s sont assez divergentes ; <strong>le</strong>s représentations de certains conceptsépistémologiques sont fortement dépendantes des disciplines.MOTS-CLÉS : démarche d'investigation, pluridisciplinarité, épistémologie, instructionsofficiel<strong>le</strong>s, représentations enseignantes.ABSTRACT: Official instructions for science teaching in French secondary schools describea prototypical inquiry with proximity and specificity across topics, but without indicatingwhat is common and what is specific of each topic. To explore teachers’ understanding ofinquiry on their own topic and on the others, we design a national survey about the inquiryfor mathematics, physic-chemistry, and biology-geology teachers. Our results show that theunderstanding of the nature of science is quite different for mathematics teachers andexperimental science teachers and that the perceptions of epistemological concepts arestrongly topics dependent.KEYWORDS: inquiry based science teaching, codisciplinarity, epistemology, officialinstructions, teachers’ perceptionActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ105
IntroductionLe soc<strong>le</strong> commun de connaissances et de compétences 1 , l’introduction communeaux programmes de mathématiques, sciences et technologie de collège 2 , et dans <strong>le</strong>urcontinuité, <strong>le</strong>s programmes de la classe de seconde en particulier pourl’enseignement d’exploration « Méthodes et pratiques scientifiques » 3 visentl’initiation des élèves aux démarches d’investigation (DI) en interaction entre <strong>le</strong>sdisciplines. Ces instructions officiel<strong>le</strong>s décrivent une DI prototypique et soulignentsans <strong>le</strong>s expliciter, la proximité et <strong>le</strong>s spécificités de cette démarche dans <strong>le</strong>sdifférentes disciplines. La DI constitue donc un objet pluriel à décliner dans chaquediscipline, à articu<strong>le</strong>r entre <strong>le</strong>s disciplines, à construire et évaluer col<strong>le</strong>ctivement.Mais quel<strong>le</strong>s sont effectivement <strong>le</strong>s convergences et <strong>le</strong>s spécificités des DIenvisagées dans <strong>le</strong>s différentes disciplines scientifiques ? Quel<strong>le</strong>s représentations <strong>le</strong>senseignants ont-ils construit de ces démarches, à l’intérieur de <strong>le</strong>ur discipline etd’une discipline vers l’autre ? Pour mieux comprendre <strong>le</strong>s difficultés potentiel<strong>le</strong>s sur<strong>le</strong> terrain et faciliter dialogue et collaboration entre disciplines lors de la mise enœuvre de DI, nous avons réalisé une enquête nationa<strong>le</strong> auprès des enseignants demathématiques, sciences physiques et chimiques (SPC), sciences de la vie et de laTerre (SVT) et technologie, dont nous présentons ici une partie des résultatsconcernant <strong>le</strong>s représentations des répondants de mathématiques, SPC et SVT, ausujet des savoirs scientifiques et des concepts épistémologiques de problème,hypothèse, expérience et modè<strong>le</strong> envisagés dans <strong>le</strong> cadre des DI.1. Cadre théoriqueLes directives officiel<strong>le</strong>s sur <strong>le</strong>s DI dans la classe, relèvent de la transpositiondidactique des démarches des experts (Coquidé et al., 2009) et des conceptsépistémologiques mobilisés en référence à la démarche hypothético-déductive telsque problème, hypothèse, expérience, et modè<strong>le</strong> (Dar<strong>le</strong>y, 2007). Généra<strong>le</strong>ment, <strong>le</strong>sreprésentations des démarches des chercheurs et cel<strong>le</strong>s des DI à mener en classeoscil<strong>le</strong>nt entre une méthode scientifique rigoureuse et normée et <strong>le</strong> cheminementd’une pensée plus divergente ou vagabonde (Develay 1989). Les représentations desDI en classe sont éga<strong>le</strong>ment influencées par la posture épistémologique desenseignants (Gandit et al, 2010). Porlan-Ariza et ses collaborateurs (1998)distinguent différentes postures chez des enseignants du primaire : <strong>le</strong> rationalisme,attaché à la cohérence interne des savoirs ; l’empirisme, donnant à l’induction uneplace prioritaire souvent modérée par une expérimentation falsifiante ; et une posturealternative intégrant une construction socia<strong>le</strong> de savoirs en constante évolution.Favre et Joly (2001) pour <strong>le</strong>ur part, modélisent <strong>le</strong>s « postures épistémiques » sur unaxe entre traitement dogmatique et non dogmatique de l’information. Comment se1 Décret n° 2006-830 du 11 juil<strong>le</strong>t 20062 Bul<strong>le</strong>tin officiel spécial n° 6, 28 août 20083 Bul<strong>le</strong>tin officiel spécial n° 4 du 29 avril 2010106 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
situent <strong>le</strong>s postures des enseignants de mathématiques, SPC et SVT sur cet axe ?Quel<strong>le</strong> position adoptent <strong>le</strong>urs représentations des DI entre méthodologie rigoureuseet cheminement ouvert ? Quel<strong>le</strong>s convergences et quel<strong>le</strong>s spécificités s’exprimententre <strong>le</strong>s trois disciplines scientifiques au niveau de ces représentations ?Pour aborder ces questions, nous avons réalisé une enquête sur <strong>le</strong>sreprésentations des enseignants de SVT, SPC et mathématiques concernant <strong>le</strong>ssavoirs de <strong>le</strong>ur discipline et <strong>le</strong>s concepts épistémologiques liés aux DI.2. Méthodologie2.1. Construction et diffusion du questionnaire en ligneL’enquête visait <strong>le</strong>s enseignants de collège et lycée, de mathématiques, SPC,SVT et technologie. Notre équipe, issue des sciences expérimenta<strong>le</strong>s (SVT et SPC),a collaboré avec des chercheurs en didactique des autres disciplines pour élaborer <strong>le</strong>questionnaire. Celui-ci a été construit suite à des entretiens semi-dirigés, puis testéauprès d’enseignants des quatre disciplines. Le formulaire proposé du 11 janvier au15 mars 2011 sur un serveur d’enquête (LimeSurvey), a permis aux enseignants derépondre de manière anonyme. La diffusion du questionnaire a été assurée sur <strong>le</strong>territoire national par des listes de diffusion des académies, des associationsprofessionnel<strong>le</strong>s, des formateurs IUFM, etc. Le réseau des corps d’inspection n’a pasété directement sollicité pour la diffusion, dans <strong>le</strong> but de minimiser l’influence desprescriptions institutionnel<strong>le</strong>s sur <strong>le</strong>s réponses.2.2. Représentativité de l’échantillon de répondantsLa population visée par l’enquête est constituée de l’ensemb<strong>le</strong> des enseignants demathématiques, SPC, SVT et technologie du secondaire de France métropolitaine etdes DOM-TOM. La population des répondants prise en compte dans cet artic<strong>le</strong>représente 478 enseignants de mathématiques, 771 de SPC et 702 de SVT. Lesmodalités de passation de l’enquête ne permettaient pas de recueillir un échantillonreprésentatif de la population étudiée selon des critères socio-démographiques. Unecomparaison a posteriori de la population des répondants avec la population deréférence à l’aide de données fournies par la DEPP 4 montre une sous-représentationdes enseignants de mathématiques par rapport aux autres disciplines.Indépendamment de cela, la possibilité de comparer <strong>le</strong>s disciplines entre el<strong>le</strong>s estconfortée par des effectifs de réponses importants pour chacune d’entre el<strong>le</strong>s. Unesurreprésentation des enseignants de collège en SPC (52 % en collège contre 37 %attendus) et une faib<strong>le</strong> surreprésentation des enseignants agrégés de chaquediscipline sont éga<strong>le</strong>ment observées dans l’échantillon. Les autres caractéristiques4 Direction de l’Evaluation, de la Prospective et du Pilotage (DEPP) du Ministère del’Education Nationa<strong>le</strong>Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ107
combinées sont proches de cel<strong>le</strong>s de la population cib<strong>le</strong>. Le mode de diffusion del’enquête laisse penser que <strong>le</strong>s répondants constituent une population plusparticulièrement interpellée par la problématique des DI.3. Résultats3.1. Des représentations épistémologiques contrastées entre <strong>le</strong>s mathématiqueset <strong>le</strong>s sciences expérimenta<strong>le</strong>sMathématiquesTout à fait d’accord Plutôt d’accord Plutôt pas d’accord Pas du tout d’accord Ne sais pasdes vérités universel<strong>le</strong>s4934845des certitudes40401055des constructions humaines33381568des modè<strong>le</strong>s explicatifs29491254des consensus admis par la communauté des chercheurs252722233des solutions techniques133926157Sciences physiques et chimiquesSciences de la vie et de la Terredes modè<strong>le</strong>s explicatifsdes consensus admis par lacommunauté des chercheurs365652427des consensus admis par lacommunauté des chercheursdes modè<strong>le</strong>s explicatifs35415461des constructions humaines28421569des constructions humaines1541221111des solutions techniques134525116des solutions techniques737281315des vérités universel<strong>le</strong>s73429255des vérités universel<strong>le</strong>s 2213935des certitudes244031des certitudes204532Figure 1 : Opinion des enseignants de mathématiques, SPC et SVT en réponse à laquestion « Les savoirs de vos disciplines sont… ».Les représentations des enseignants de mathématiques et de sciencesexpérimenta<strong>le</strong>s concernant <strong>le</strong>s savoirs scientifiques de <strong>le</strong>ur discipline sont trèscontrastées (figure 1). Les répondants de mathématiques retiennent « <strong>le</strong>s véritésuniversel<strong>le</strong>s » (83 % d’accord) et « <strong>le</strong>s certitudes » (80 % d’accord), alors que cesdeux propositions sont <strong>le</strong>s plus rejetées en sciences expérimenta<strong>le</strong>s (1/2 à ¾ dedésaccord) où <strong>le</strong>s « modè<strong>le</strong>s » remportent un fort accord (plus de 96 %). Il peutparaître surprenant qu’une forte proportion d’enseignants de mathématiquessé<strong>le</strong>ctionne <strong>le</strong>s « modè<strong>le</strong>s explicatifs » (80 %) et <strong>le</strong>s « certitudes » (78 %) pourdéfinir <strong>le</strong>s savoirs de <strong>le</strong>ur discipline, si l’on considère la dimension évolutive desmodè<strong>le</strong>s scientifiques. L’accord <strong>le</strong> plus faib<strong>le</strong> va aux « consensus admis dans la108 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
communauté des chercheurs ». Ces réponses font apparaître une représentationgloba<strong>le</strong> plutôt dogmatique des savoirs. Cependant, ces postures épistémologiques nesont que des représentations moyennes, des tendances pour chaque discipline. Unerecherche de profils à l’intérieur des disciplines fait émerger des sous-populationsayant des représentations différentes. Pour <strong>le</strong>s mathématiques, on peut différencier<strong>le</strong>s répondants « dogmatiques » (33 %) très attachés aux savoirs certitudes et véritésuniversel<strong>le</strong>s, <strong>le</strong>s « non dogmatiques » (33 %), qui au contraire insistent sur lamodélisation et la construction socia<strong>le</strong> des savoirs et <strong>le</strong>s « indécis » (27 %) qui sontassez d’accord avec toutes <strong>le</strong>s propositions.3.2. Approche comparative des concepts méthodologiques associés aux DIInvités à comparer <strong>le</strong> sens des termes problème, hypothèse, expérience et modè<strong>le</strong>dans <strong>le</strong>ur propre discipline avec <strong>le</strong> sens qu’ils prennent dans <strong>le</strong>s autres disciplines,une part non négligeab<strong>le</strong> des enseignants affirme que la signification est la même(8 à 78 % selon <strong>le</strong>s termes et <strong>le</strong>s disciplines), ou indiquent qu’ils ne savent pasrépondre (6 à 30 %). En particulier, 1/5 des répondants de mathématiques et de SVTet plus d’un 1/3 en SPC ne sont pas conscients de la polysémie du terme hypothèseentre mathématiques et disciplines expérimenta<strong>le</strong>s. L’analyse des convergences etdes spécificités des trois disciplines paraît donc nécessaire.3.2.1. ProblèmeUn consensus se dégage entre <strong>le</strong>s disciplines pour placer <strong>le</strong> problème à l’origined’une démarche de résolution. Près des 2/3 (64 à 72 %) des enseignants retiennentpour sa définition « une question permettant la formulation de propositions,d’hypothèses ou de conjectures », « une question qui débouche sur une démarcheexplicative » ou « une question qui débouche sur une recherche de solution ». Pourplus de 90 % des répondants, <strong>le</strong> problème « mobilise différentes compétences » et« peut être résolu de différentes façons », ce qui intègre une certaine comp<strong>le</strong>xité ets’oppose à l’idée d’une DI linéaire et guidée. Près des 2/3 des répondants des troisdisciplines rejettent l’idée qu’un problème « concerne un sujet tota<strong>le</strong>ment nouveau »(64 à 71 %). Une grande part d’entre eux (72 à 85 %) s’accorde éga<strong>le</strong>ment sur <strong>le</strong> faitque <strong>le</strong> problème « doit être formulé ou reformulé par <strong>le</strong>s élèves ».Des différences s’expriment cependant entre <strong>le</strong>s disciplines. Les définitions « unexercice permettant de réinvestir des connaissances » et « une succession dequestions articulées entre el<strong>le</strong>s » sont un peu plus spécifiquement retenues enmathématiques, où <strong>le</strong>s 2/3 des répondants pensent que <strong>le</strong> problème « nécessite desacquis antérieurs ». En sciences expérimenta<strong>le</strong>s, <strong>le</strong> problème se caractérise par sonarticulation avec l’observation pour 83 % (SPC) et 95 % (SVT) des répondants,l’expérimentation (79 % en SPC et 59 % en SVT) et la vie quotidienne ou l’actualité(64 % en SVT et 73 % en SPC).Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ109
3.2.2. HypothèseEn première analyse, une représentation consensuel<strong>le</strong> du concept d’hypothèse sedégage des réponses. Quand la question est posée sans référence explicite à uncontexte ou une discipline, la définition « une proposition provisoire destinée à êtreéprouvée » est la plus choisie dans toutes <strong>le</strong>s disciplines (40 à 84 %). Enmathématiques, la définition correspondant au postulat « une supposition nondémontrée sur laquel<strong>le</strong> on s’appuie pour résoudre un problème » est éga<strong>le</strong>mentfortement sé<strong>le</strong>ctionnée (40 %). Quand il s’agit de caractériser <strong>le</strong>s hypothèsesexplicatives ou conjectures, la majorité des répondants indique que <strong>le</strong>ur formulationimplique « une observation du réel » (59 à 75 % selon <strong>le</strong>s disciplines), « desconnaissances préalab<strong>le</strong>s » (48 à 58 %) et « la prise en compte des représentationsinitia<strong>le</strong>s des élèves » (76 à 83 %). L’hypothèse mobilise à la fois pensée divergenteet pensée convergente puisque plus de 7/10 répondants sé<strong>le</strong>ctionnent au moins unadjectif relatif à chacun de ces modes de pensée, comme qualité nécessaire à saformulation. Enfin, el<strong>le</strong> implique « des conséquences ou implications vérifiab<strong>le</strong>s »pour 69 % (mathématiques) à 85 % (SVT) des enseignants. Cette représentationconsensuel<strong>le</strong> est donc très proche de l’hypothèse initiant une démarche hypothéticodéductive,décrite dans la DI prototypique des instructions officiel<strong>le</strong>s .Une analyse multidimensionnel<strong>le</strong> des réponses à ces questions a toutefois permisde révé<strong>le</strong>r une typologie plus fine des représentations de l’hypothèse (Prieur et al.,2011) avec 4 classes qui sont très liées aux disciplines des répondants. Lesreprésentations associées aux sciences expérimenta<strong>le</strong>s s’attachent à éprouverl’hypothèse. Les répondants de SVT inscrivent plus spécifiquement l’hypothèse dansune démarche hypothético-déductive rigoureuse, alors que <strong>le</strong>s enseignants de SPC lamobilisent dans une démarche inductive moins contrainte, mue par un souci demotivation des élèves. Dans la représentation associée aux mathématiques, laformulation de conjecture est reconnue comme audacieuse et s’appuie sur <strong>le</strong>sconnaissances des élèves et sur un tâtonnement exploratoire.3.2.3. ExpérienceLes éléments de consensus autour du concept d’expérience concernent safonction de mise à l’épreuve : <strong>le</strong>s définitions <strong>le</strong>s plus sé<strong>le</strong>ctionnées sont « un testconçu pour éprouver une hypothèse » (59% en SVT, 33 % en SPC, 24 % en maths)et « une mise en œuvre de stratégies pour résoudre un problème » (30% en maths,25 % en SVT et 24 % en SPC). Les autres définitions retenues font apparaître desspécificités. En mathématiques, l’« exploration par tâtonnement » et l'« explorationd’exemp<strong>le</strong>s » choisies par 3/10 enseignants, font ressortir <strong>le</strong> caractère exploratoire del'expérience, souvent située en amont de la conjecture. Les enseignants de SPCretiennent plus spécifiquement « une activité pendant laquel<strong>le</strong> <strong>le</strong>s élèves manipu<strong>le</strong>ntdu matériel » (26%) et « une observation précise du réel » (6%), montrant <strong>le</strong>urattachement à l’ancrage dans <strong>le</strong> réel matériel par l’activité manipulatoire etl’observation. Les répondants de SVT attachés à une méthode scientifique norméearticu<strong>le</strong>nt l’expérience à l’hypothèse.110 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
3.2.4. Modè<strong>le</strong>Le questionnaire demandait de classer 13 fonctions possib<strong>le</strong>s du modè<strong>le</strong> dans ladiscipline enseignée. Dans <strong>le</strong>s trois disciplines, la fonction « représenter » est choisiedans une des trois premières positions par presqu’un enseignant sur deux, <strong>le</strong>sfonctions « expliquer » et « comprendre » étant éga<strong>le</strong>ment retenues par près d’unenseignant sur trois. D’autres fonctions du modè<strong>le</strong> sont préférées dans certainesdisciplines, tel<strong>le</strong>s que « servir de référence » en mathématiques, « interpréter » enSPC et « permettre des analogies » en SVT. Concernant la forme des modè<strong>le</strong>s, si <strong>le</strong>« schéma » est retenu par <strong>le</strong>s trois disciplines, <strong>le</strong>s réponses des enseignants de SPCs’approchent plus de cel<strong>le</strong>s des répondants de mathématiques qui retiennent« formu<strong>le</strong> mathématique » et « construction menta<strong>le</strong> » que de cel<strong>le</strong>s des professeursde SVT préférant « maquettes », « simulation » et « animation ».4. DiscussionNotre étude montre que <strong>le</strong>s postures épistémologiques des enseignants demathématiques et de sciences expérimenta<strong>le</strong>s sont assez divergentes. Les premiersréfèrent à des savoirs démontrés formel<strong>le</strong>ment ayant un caractère modélisant, maiséga<strong>le</strong>ment une portée universel<strong>le</strong> et une va<strong>le</strong>ur de certitude. Les seconds considèrent<strong>le</strong>s savoirs de <strong>le</strong>urs disciplines comme des modè<strong>le</strong>s du réel, évolutifs, issus d’uneconstruction col<strong>le</strong>ctive, et sans doute moins définitifs. Est-ce parce que <strong>le</strong>s savoirsenseignés en mathématiques sont très robustes et davantage stabilisés qu’ils prennentcette force ? Se pose éga<strong>le</strong>ment la question des connaissances épistémologiques desenseignants des trois disciplines, et du traitement de ces questions au cours de <strong>le</strong>urformation. Si <strong>le</strong>s enseignants de sciences expérimenta<strong>le</strong>s semb<strong>le</strong>nt adopter uneposture moins dogmatique, c’est peut-être que l’épistémologie des sciences s’estbeaucoup construite autour des SPC et des SVT. Cela peut aussi s’expliquer par unemeil<strong>le</strong>ure médiatisation des nouveaux savoirs produits par <strong>le</strong>s sciencesexpérimenta<strong>le</strong>s contemporaines, ou par une plus grande diffusion des controversesscientifiques historiques <strong>le</strong>s concernant. Le positionnement épistémologique desenseignants de SVT peut éga<strong>le</strong>ment être induit par l’évolution des programmesd’enseignement de <strong>le</strong>urs disciplines qui incluent fréquemment des actualisations.Si certains consensus, d’ail<strong>le</strong>urs en lien avec <strong>le</strong>s instructions officiel<strong>le</strong>s, sedégagent des réponses à l’enquête concernant <strong>le</strong>s concepts épistémologiques deproblème, hypothèse, expérience et modè<strong>le</strong>, <strong>le</strong>urs représentations semb<strong>le</strong>nt toutefoisêtre fortement dépendantes des disciplines. Restent à identifier <strong>le</strong>s relations entre cesdifférentes représentations et <strong>le</strong>s spécificités épistémologiques des disciplines deréférence, <strong>le</strong>s coutumes d’enseignement de chaque discipline ou encore la formationdes enseignants. L’explicitation par chacun de sa vision de la science, des savoirs desa discipline et des DI paraît en tout cas nécessaire, car <strong>le</strong>s significations desconcepts abordés semb<strong>le</strong>nt rester implicites au sein même de chaque discipline pourde nombreux enseignants. Le travail co-disciplinaire, aboutissant à la co-constructionde sens à propos d'un même objet d'étude (Blanchard-Lavil<strong>le</strong>, 2000), qui respecte etActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ111
articu<strong>le</strong> <strong>le</strong>s positions épistémologiques de chacune des disciplines (Chevallard 2004)est peut-être une voie dans ce sens. Il nécessite en effet la confrontation desreprésentations des enseignants, pour mieux appréhender la polysémie des termescouramment usités dans <strong>le</strong> cadre des DI et pour mieux identifier <strong>le</strong>s concepts qu’ilsrecouvrent dans chacune des disciplines. Des ressources et des formations àdestination des enseignants prenant en charge ces questions pourraient êtreenvisagées dans <strong>le</strong> but de minimiser <strong>le</strong>s risques de quiproquo dans la collaborationentre enseignants et avec <strong>le</strong>s élèves et pour outil<strong>le</strong>r la mise en œuvre de DI donnantvéritab<strong>le</strong>ment du sens à chacune des disciplines.RemerciementsLes auteurs remercient tous ceux qui ont répondu à l’enquête et/ou facilité sadiffusion, ainsi que Gil<strong>le</strong>s Aldon, Martine Paindorge, Jean-Philippe Perret et Anne-Marie Rossetto qui ont participé à son élaboration et à l’analyse des résultats.BibliographieBlanchard-Lavil<strong>le</strong>, C. (2000). De la co-disciplinarité en sciences de l'éducation. RevueFrançaise de Pédagogie, 132, p. 55-66.Chevalard, Y. (2004). Vers une didactique de la codisciplinarité - Notes sur une nouvel<strong>le</strong>épistémologie scolaire. Communication aux Journées de didactique comparée 2004(Lyon, 3-4 mai 2004). Version retouchée du 19 mai 2004. Disponib<strong>le</strong> sur Internet :http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/recherche.php3?recherche=codisciplinarit%E9(consulté <strong>le</strong> 24 août 2011).Coquidé, M., Fortin, M., Rumelhard, G. (2009). L’investigation : fondements et démarches,intérêts et limite. Aster, 49, p. 51-78.Dar<strong>le</strong>y, B. (2007). La démarche d’investigation et son vocabulaire. Grand N , 79, p. 99-111.Develay, M. (1989). Sur la méthode expérimenta<strong>le</strong>. Aster, 8, p. 83–15.Favre, D. et Joly, J. (2001). Évaluation des postures cognitives et épistémiques associées auxmodes de traitement dogmatique et non-dogmatique des informations. Revue Psychologieet Psychométrie, 3-4(22), p. 115–151.Gandit, M., Triquet, E., Guillaud, JC. (2010). Démarches scientifiques, démarchesd’investigation en sciences expérimenta<strong>le</strong>s et en mathématiques : représentationsd’enseignants stagiaires de l’IUFM. Actes du Congrès AREF. Disponib<strong>le</strong> sur Internethttps://plone2.unige.ch/aref2010 (consulté <strong>le</strong> 24 août 2011).Porlan-Ariza, R., Garcia-Garcia, E., Rivero-Garcia, A. et del Pozo, R. M. (1998). Lesobstac<strong>le</strong>s à la formation professionnel<strong>le</strong> des professeurs en rapport avec <strong>le</strong>urs idées sur lascience, l’enseignement et l’apprentissage. Aster, 26, p. 207–235.Prieur, M., Monod-Ansaldi, R., Fontanieu V. (2011) L’hypothèse dans <strong>le</strong>s démarchesd’investigation en sciences, mathématiques et technologie : convergences et spécificitésdisciplinaires des représentations des enseignants. Communication S-TEAM 2011,Grenob<strong>le</strong>.112 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Communautés de pratique :une alternative pour encouragerla réf<strong>le</strong>xion et l'apprentissagedes enseignants de mathématiquesSandra E. ParadaCentro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav) del IPNAv. Instituto Politécnico Nacional 2508, Col. San Pedro ZacatencoMéxico, 07360 DFsparada@cinvestav.mxRÉSUMÉ : On montre dans ce document des résultats d'une recherche qui a pour objectifd’analyser quel impact sur <strong>le</strong>ur activité professionnel<strong>le</strong> on peut observer chez desprofesseurs de mathématiques constituant une communauté de pratique (CoP) où l’onréfléchit à l'activité mathématique développée dans <strong>le</strong>s classes. Ces réf<strong>le</strong>xions s’appuient surun modè<strong>le</strong> théorique qui prend en compte <strong>le</strong>s processus de réf<strong>le</strong>xion avant, pendant et aprèsla classe, par rapport à des aspects spécifiques du travail d'enseignement. Nous montrons iciquelques processus de réf<strong>le</strong>xion réalisés dans l'une des CoP.MOTS-CLÉS : communauté de pratique; processus de réf<strong>le</strong>xion; modè<strong>le</strong> théorique;développement professionnel; collège.ABSTRACT: In this document are displayed findings of an investigation that aims to analyzethe teaching work of mathematics teachers that make a community of practice (CoP) andwho ref<strong>le</strong>ct on mathematical activity that they promote in their classrooms. These ref<strong>le</strong>ctionsare permeated by a theoretical model, which favors the processes of ref<strong>le</strong>ction before, duringand after class, in relation to specific aspects of teaching work. Here are some ref<strong>le</strong>ctionsprocesses carried out by one of the CoP.KEYWORDS: community of practice; processes of ref<strong>le</strong>ction; theoretical model; professionaldevelopment; basic secondary education.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ113
IntroductionDans des rapports de recherche sur la formation des professeurs, on voitmentionner la nécessité que ceux-ci s’impliquent dans des processus de réf<strong>le</strong>xion sur<strong>le</strong>ur propre pratique. Nous présentons ici un modè<strong>le</strong> théorique, que nous avonsproposé (Parada, 2010) pour favoriser chez <strong>le</strong>s enseignants <strong>le</strong> dérou<strong>le</strong>ment de telsprocessus de manière critique au sein de communautés de pratique (CoP) (Wenger,1998). Ce modè<strong>le</strong> est sous-tendu par l’hypothèse que <strong>le</strong>s réf<strong>le</strong>xions individuel<strong>le</strong>svont être enrichies grâce à la communication et au partage d’expériences.C’est pourquoi nous avons proposé la constitution de CoP comme des espaces deformation pour <strong>le</strong>s enseignants, car si <strong>le</strong>s professeurs restent isolés dans <strong>le</strong>ur pratiqueenseignante, il y a un risque qu’ils perdent un sens critique face aux programmesscolaires en vigueur.1 Un modè<strong>le</strong> pour la réf<strong>le</strong>xionUn objectif de notre recherche était l’apport de quelques éléments théoriquespour construire un modè<strong>le</strong> qui aide <strong>le</strong> professeur de mathématiques à réfléchir surl’activité mathématique (AM) qu’il permet à ses élèves. Nous décrivons brièvementdans ce paragraphe <strong>le</strong>s constituants de ce modè<strong>le</strong>.En accord avec Chevallard et al. (1997), nous considèrerons l’AM comme <strong>le</strong>travail de la pensée qui construit des concepts pour résoudre des problèmes, pose denouveaux problèmes à partir des concepts introduits, modifie <strong>le</strong>s concepts pourrésoudre de nouveaux problèmes, généralise et unifie des concepts mathématiquesarticulés avec d’autres.1.1. Trois aspects de la réf<strong>le</strong>xionLe modè<strong>le</strong> propose une réf<strong>le</strong>xion qui porte sur trois aspects considérés commegénérateurs de l’AM développée en classe, caractérisés comme suit.ι) Les connaissances des mathématiques enseignées (CME) qui renvoient auxcontenus mathématiques que <strong>le</strong> professeur dispense au niveau et dans <strong>le</strong>sconditions de son enseignement, conformément aux programmes scolaires.ιι) Les connaissances pédagogiques et didactiques (CPD) sur la mathématiqueenseignée qui sont relatives aux manières d’approcher <strong>le</strong>s CME avec <strong>le</strong>sélèves, en cherchant <strong>le</strong>s formes <strong>le</strong>s plus uti<strong>le</strong>s pour <strong>le</strong>s représenter et <strong>le</strong>s fairecomprendre. Dans cet aspect nous incluons la nécessité de réfléchir surl'évaluation formative de l’activité mathématique attendue, en conformité à cequ’avance Abrantes (1990) au sujet de l’évaluation, dont il considèrel’existence nécessaire au service des apprentissages.114 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
ιιι)Usage et choix des ressources pédagogiques, <strong>le</strong>s ressources désignant toutmatériel et outil d’enseignement à disposition du professeur pour <strong>le</strong>fonctionnement de sa classe : problèmes, questions, feuil<strong>le</strong>s de travail, objetsmanipulab<strong>le</strong>s, ressources informatiques, manuels, et tout particulièrement <strong>le</strong>langage mathématique.1.2. Processus réf<strong>le</strong>xifs des professeursLa réf<strong>le</strong>xion est un processus de résolution de conflits, de doutes, en même tempsqu’une disposition à revoir sa façon de faire (Dewey,2004). La réf<strong>le</strong>xion desprofesseurs commence au moment où la pratique amène à rencontrer des difficultésou à voir surgir des problèmes dont la solution n’est pas immédiate.Au centre du modè<strong>le</strong> que nous présentons se trouve la préoccupation de favoriser<strong>le</strong>s processus de réf<strong>le</strong>xion sur l’AM. L’élaboration du modè<strong>le</strong> a résulté de la prise encompte de quelques idées exposées par Dewey (2004) et Schön (1994). Troispériodes sont proposées pour la réf<strong>le</strong>xion, comme suit :a. réf<strong>le</strong>xion pour l’action, qui a lieu lors de la préparation de la classe et quidemande l’analyse par <strong>le</strong> maître de ses CME et CPD sur <strong>le</strong> thème en étude ;b. réf<strong>le</strong>xion dans l’action, dont <strong>le</strong> maître a besoin pour sa conduite de classedans <strong>le</strong> sens de l’AM prévue et sa capacité à réagir aux différentes situationsqui se présentent ;c. réf<strong>le</strong>xion sur l’action, où il s’agit pour <strong>le</strong> maître de comparer l’AM qui a étéréalisée par l’élève avec l’AM que lui-même attendait.1.3. Communautés de pratiqueSur <strong>le</strong>s communautés de pratique (CoP), nous sommes en accord avec ladéfinition et la caractérisation de Wenger (1998), lorsqu’il dit que dans <strong>le</strong>s CoP : a)on partage et enrichit la connaissance partiel<strong>le</strong> de chaque participant, b) on poursuitdes intérêts communs et, même si <strong>le</strong>s besoins peuvent différer, une négociation desens pour la construction col<strong>le</strong>ctive de savoir est favorisée, c) on acquiert un langagepropre produit de la pratique ou adopté lors de la pratique. Est éga<strong>le</strong>ment à mettre enavant la figure d’un modérateur, en tant qu’animateur et dynamiseur pourl’enrichissement mutuel et l’échange d’expériences.Le modè<strong>le</strong> se veut une alternative pour <strong>le</strong> développement professionnelscientifique et technique des enseignants de mathématiques. Les pratiquesconcernées sont cel<strong>le</strong>s que Ponte & Serrazina (2004) signa<strong>le</strong>nt comme l’exerciceproprement dit de l’activité enseignante et qui sont : i) la promotion de l’AM dans laclasse, ii) <strong>le</strong> choix, l’usage et l’élaboration de ressources d’enseignement, iii) lacommunication dans la classe, iv) la prise en compte des programmes, v)l’évaluation, vi) la participation à la communauté éducative, vii) sa propreprofessionnalisation.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ115
2. Processus de participation et réf<strong>le</strong>xion à l’intérieur d’une CoPLes résultats que nous rapportons ici proviennent de l’application de notremodè<strong>le</strong> à une CoP constituée depuis 2007 dans la vil<strong>le</strong> de Ciudad Juárez (Mexique,État de Chihuahua). La mise en place de la CoP a été due à l’initiative d’un groupede professeurs intéressés par l’introduction des techniques informatiques dans <strong>le</strong>ursclasses. La tâche de modérateur de cette CoP incombe à l’auteur de ces lignes depuisjanvier 2009, et la CoP bénéficie de la collaboration de chercheurs des départementsde Mathématique Éducative de l’Université autonome de Ciudad Juárez et duCinvestav-IPN.2.1. Élaboration du travail en communautéLe programme de travail propose d’une part des sessions en ligne, d’autre partdes séances regroupant <strong>le</strong>s participants. Une plateforme collaborative a été mise enplace sur <strong>le</strong> site web du Cinvestav pour <strong>le</strong>s activités en ligne. Les outils qu’el<strong>le</strong> offresont de deux types : i) outils de développement professionnel (artic<strong>le</strong>s, activités,compte rendu des sessions de travail, liens vers d’autres sites), ii) outils decommunication, tels que forums de discussion et blogs.Les activités à distance se sont plus particulièrement focalisées sur l’étude decontenus mathématiques pointés au sein de la CoP comme des sources depréoccupation et de difficultés. Ces activités ont été pensées pour favoriser laréf<strong>le</strong>xion du professeur sur ses CME et CPD du thème étudié. El<strong>le</strong>s sont de deuxgrands types, d’une part la résolution de problèmes, d’autre part des propositionspour la construction (ou la reconstruction) d’activités d’apprentissage. Cespropositions prennent la forme d’activités préparées pour <strong>le</strong>s élèves et accompagnéesde documents pour <strong>le</strong> professeur. Les activités destinées aux élèves se présententsous forme de feuil<strong>le</strong>s de travail, de <strong>fichier</strong>s et d’app<strong>le</strong>ts, la pratique proposées’appuyant sur la méthodologie ACODESA (Apprentissage collaboratif, débatscientifique et autoréf<strong>le</strong>xion) (Hitt, 2007).Les séances ont été organisées à raison d’une par mois, d’une durée de troisheures. El<strong>le</strong>s ont proposé des conférences de chercheurs, des discussions sur <strong>le</strong>sprocessus de réf<strong>le</strong>xion de professeurs, des ateliers organisés par degréd’enseignement, des sessions de planification de groupe et la mise en commund’expériences de classes.2.2. Quelques résultats des processus de participation et réf<strong>le</strong>xionUne première expérience de réf<strong>le</strong>xion de la CoP a impliqué 15 professeursenseignant au niveau du second degré dans différents établissements scolaires deCiudad Juárez et a été consacrée à l’analyse du thème : aire et périmètre depolygones. Nous présentons <strong>le</strong>s résultats selon <strong>le</strong>s trois périodes de réf<strong>le</strong>xion, en116 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
signalant quelques occasions de renforcement ou de correction des CME ou CPD quise dégagèrent du travail collaboratif de la communauté.2.2.1. Processus de réf<strong>le</strong>xion pour l’actionNous extrayons de la première activité de planification en groupe un exemp<strong>le</strong> deréf<strong>le</strong>xion pour l’action. Pour l’équipe des professeurs de première année secondaire(élèves de 12-13ans) il s’agissait de préparer l’enseignement du thème : ajouter,mesurer et calcu<strong>le</strong>r des aires et des périmètres de polygones. Les enseignantscommencèrent par opposer une certaine résistance à l’idée même de planificationdans ce cas. Un commentaire fut : Mais <strong>le</strong> travail est déjà fait, nos plans de classesont préconstruits… Nous avons déjà l’activité, <strong>le</strong> problème à résoudre et <strong>le</strong>ssuggestions méthodologiques.Suite à ce commentaire, il <strong>le</strong>ur fut proposé de préparer la clase en observant <strong>le</strong>ssuggestions que <strong>le</strong>s textes officiels donnent pour l’étude du thème. Il apparut que <strong>le</strong>senseignants ne voyaient pas bien comment répondre et en conséquence il fallutintervenir pour guider col<strong>le</strong>ctivement <strong>le</strong> travail.Figure 1. Un problèmeUne enseignante commença à lire <strong>le</strong>problème présenté sur la figure 1, tiré dulivre du professeur (SEP, 2004, p. 223),pour aborder <strong>le</strong> contenu à étudier. Par lasuite, on <strong>le</strong>s incita à discuter des manièresselon <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s eux-mêmes enc<strong>le</strong>ncheraientl’AM à partir de ce problème.Au cours des échanges qui résultèrent de l’essai de repenser <strong>le</strong>s activitésproposées dans <strong>le</strong>s lignes de travail données par la SEP (<strong>le</strong> ministère mexicain del’Enseignement Public, il apparut que la planification d’une classe ne fait pas partiedes pratiques habituel<strong>le</strong>s des enseignants. Voici des extraits de ces échanges :Professeur 1 – Nous pensons qu’ils doivent <strong>obtenir</strong> la longueur uniquement enajoutant des quantités. Sur <strong>le</strong> dessin, seu<strong>le</strong>s <strong>le</strong>s mesures de trois arêtesapparaissent. En <strong>le</strong>ur montrant physiquement la boîte, ils vont voir qu’il y en ad’autres.Professeur 2 – Ce serait bien d’utiliser Cabri. Mais <strong>le</strong>s consignes sontaccompagnées d’indications de durées et si nous <strong>le</strong>s changeons, nous allonsprendre du retard.Peut-être <strong>le</strong>s professeurs ont-ils pu discuter sur la manière d’étudier avec <strong>le</strong>sélèves la caractérisation géométrique de la boîte représentée sur la figure 1. Il y alieu de préciser qu’il s’agit d’un parallélépipède rectang<strong>le</strong>, dont <strong>le</strong>s faces opposéessont congruentes. En entrant dans cette caractérisation, on peut remarquer qu’il y adeux façons de résoudre <strong>le</strong> problème, une seu<strong>le</strong> faisant intervenir <strong>le</strong> périmètre deActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ117
ectang<strong>le</strong>s d’une manière probab<strong>le</strong>ment trop subti<strong>le</strong> pour des élèves : puisquechaque arête appartient à deux faces, on obtient, en calculant la somme despérimètres des faces de la boîte, <strong>le</strong> doub<strong>le</strong> de la somme des arêtes de la boîte ; maiscomme chaque face rectangulaire visib<strong>le</strong> sur la figure est accompagnée de sonopposée, en effectuant seu<strong>le</strong>ment la somme des périmètres des trois rectang<strong>le</strong>svisib<strong>le</strong>s, on obtient fina<strong>le</strong>ment la somme de toutes <strong>le</strong>s arêtes. Au terme de laplanification en groupe, certains professeurs firent la remarque qu’eux-mêmes nesont pas habitués à préparer ainsi <strong>le</strong>urs classes ou à mener une réf<strong>le</strong>xion sur <strong>le</strong>sthèmes à enseigner.A la suite de l’observation de faib<strong>le</strong>sses conceptuel<strong>le</strong>s ou pédagogiques chez <strong>le</strong>smaîtres sur ce thème, une série d’activités guidées a été proposée sur <strong>le</strong> forum, afinde déc<strong>le</strong>ncher des réf<strong>le</strong>xions sur <strong>le</strong> sujet. Les discussions furent distillées à raisond’une activité par semaine de manière à ce que <strong>le</strong>s maîtres, s’appuyant sur <strong>le</strong>urpropre expérience, puissent voir de quel<strong>le</strong>s manières il est possib<strong>le</strong> d’explorer et deconstruire <strong>le</strong>s objets mathématiques d’étude spécifiques au thème, en ayant recours àdifférentes acceptions et ressources.De la même manière dans la poursuite du thème, une proposition d’activitépratique fut de planifier une classe en s’appuyant sur <strong>le</strong>s activités qui apparaissent enfigure 2 : Aire et périmètres de triang<strong>le</strong>s. Il s’agissait de réaliser la séquence declasse, puis de mettre en commun <strong>le</strong>s résultats atteints lors de son expérimentation.Trois des professeurs se lancèrent, introduisirent sur <strong>le</strong> site Internet <strong>le</strong>ur planificationde séquence en spécifiant <strong>le</strong>s adaptations faites en conformité avec <strong>le</strong>s programmesde chaque niveau scolaire intéressé.118 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Figura 2. Feuil<strong>le</strong> de travail proposée sur <strong>le</strong> forum2.2.2. Processus de réf<strong>le</strong>xion dans l’actionLes professeurs qui adaptèrent la feuil<strong>le</strong> de travail l’utilisèrent dans <strong>le</strong>urs groupeset deux d’entre eux réalisèrent des enregistrements vidéo de <strong>le</strong>urs classes. Par lasuite, ils mirent en ligne <strong>le</strong>urs réf<strong>le</strong>xions, qu’ils présentèrent aussi en séance detravail. Ainsi, une enseignante de troisième année (élèves de 14-15 ans), que nousnommerons Nancy, montre dans la vidéo de sa classe sa manière de guider <strong>le</strong>s élèvesdans <strong>le</strong>s activités prévues. Dans <strong>le</strong>s deux premiers exercices (cf. figure 2), el<strong>le</strong> <strong>le</strong>sconduit à utiliser la formu<strong>le</strong> de l’aire du triang<strong>le</strong> et à interpréter <strong>le</strong>s représentationsgéométriques. Dans la troisième activité, el<strong>le</strong> <strong>le</strong>s amène à distinguer <strong>le</strong> triang<strong>le</strong>représenté de ceux déjà vus et <strong>le</strong>ur propose un découpage du triang<strong>le</strong> isocè<strong>le</strong> entriang<strong>le</strong>s rectang<strong>le</strong>s pour appliquer la formu<strong>le</strong> de Pythagore.On peut voir sur <strong>le</strong>s enregistrements la manifestation des réf<strong>le</strong>xions préalab<strong>le</strong>s deNancy sur l’AM qu’el<strong>le</strong> cherchait à susciter chez ses élèves. Sont éga<strong>le</strong>ment mises enlumière <strong>le</strong>s difficultés éprouvées par <strong>le</strong>s élèves qui n’ont pas assimilé certains desconcepts nécessaires au dérou<strong>le</strong>ment de l’activité. Nous présenterons dans d’autrestextes une analyse plus détaillée des classes observées, analyse qui demande decoucher sur <strong>le</strong> papier des scripts de <strong>le</strong>ur dérou<strong>le</strong>ment.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ119
2.2.3. Processus de réf<strong>le</strong>xion sur l’actionIl nous paraît intéressant de rapporter ici <strong>le</strong>s réf<strong>le</strong>xions de deux enseignantes,Nancy que nous avons déjà rencontrée (cf. 2.2.2.), et Isabel qui enseigne au premierniveau scolaire du second degré (élèves de 12-13 ans). Toutes deux se lancèrent dansl’expérience d’adapter <strong>le</strong>s activités à <strong>le</strong>ur niveau d’enseignement et communiquèrent<strong>le</strong>urs observations. Voici quelques unes des remarques d’Isabel à propos desréactions de ses élèves.… Ils n’ont vu <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> que comme il se présente sur la feuil<strong>le</strong>, ils ont dûbatail<strong>le</strong>r pour reconnaître la base et la hauteur. J’ai pensé à <strong>le</strong>ur dessiner un autretriang<strong>le</strong> que j’ai découpé et que je <strong>le</strong>ur ai donné…… Certains n’utilisèrent que la formu<strong>le</strong>, d’autres quadrillèrent <strong>le</strong> triang<strong>le</strong>,complétèrent des carrés et divisèrent par 2…… Ils ont demandé <strong>le</strong> sens des traits qui barrent certains côtés et du petit carréplacé dans l’ang<strong>le</strong> droit…Il est fort possib<strong>le</strong> que l’usage de la formu<strong>le</strong> par la majorité des élèves soit dû aurespect scrupu<strong>le</strong>ux par <strong>le</strong>s enseignants des suggestions méthodologiques de <strong>le</strong>ur livredu maître (SEP, 2004), dans <strong>le</strong>quel <strong>le</strong>s propositions d’exercices conduisentgénéra<strong>le</strong>ment à l’application directe d’algorithmes. Suite à la présentation de classede Nancy, dont nous avons indiqué quelques éléments en , la CoP dégagea <strong>le</strong>saspects suivants. a) Dans l’enseignement du second degré, <strong>le</strong>s élèves continuent àutiliser <strong>le</strong>s méthodes du primaire ; b) C’est l’obtention du résultat qui anime <strong>le</strong>sélèves ; c) Ce n’est pas la feuil<strong>le</strong> de travail qui à el<strong>le</strong> seu<strong>le</strong> fait la classe; d) Dans <strong>le</strong>type d’exercices proposés (ceux des figures 1 et 2), <strong>le</strong>s technologies digita<strong>le</strong>sseraient uti<strong>le</strong>s.2.3. Quelques points d’accord de la CoPÀ l’issue des réf<strong>le</strong>xions conduites selon <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> que nous avons présenté, lacommunauté s’est accordée sur un certain nombre de points, notamment :i) valoriser la planification comme une pratique nécessaire et mettre enlumière la nécessité de prévoir <strong>le</strong>s difficultés des élèves pour pouvoirintroduire des alternatives dans la conduite de la classe ;ii)iii)reconnaître que la réf<strong>le</strong>xion sur <strong>le</strong>s CME et CPD personnels permet quesoient identifiés des points forts et des opportunités d’apprentissage ;faire sienne l’idée que ce qui importe pour l’enseignement n’est pas tant lacréation de nouveau matériel, que la planification de l’usage de l’existantpour en tirer <strong>le</strong> meil<strong>le</strong>ur parti.120 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
RemerciementsL’auteur remercie François Pluvinage pour avoir traduit de l’espagnol <strong>le</strong> texteoriginal et <strong>le</strong>s documents de travail de la communauté présentés dans <strong>le</strong>s figures 1 et 2.BibliographieAbrantes, P. (1990). Diz-me como avalias, dir-te-ei como ensinas… Educação e Matemática.,16, p. 1.Chevallard, Y., Bosch, M. , Gascón, J.. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdidoentre la enseñanza y el aprendizaje, Barcelona: ICE/Horsori.Dewey, J. (2004). Comment nous pensons. Paris : La découverteHitt, F. (2007). Utilisation de calculatrices symboliques dans <strong>le</strong> cadre d’une méthoded’apprentissage collaboratif, de débat scientifique et d’autoréf<strong>le</strong>xion. In M. Baron,D. Guin et L. Trouche (éd.) Environnements informatisés pour l’éducation et laformation scientifique et technique : modè<strong>le</strong>s, dispositifs et pratiques. Paris: HermesParada, S. (2010). Conformación de comunidades de práctica de profesores de matemáticaspara la ref<strong>le</strong>xión sobre su práctica profesional. Documento predoctoral no publicado.Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados del IPN, México.Ponte, J.P. & Serrazina, L. (2004). Práticas profissionais dos professores de Matemática.Quadrante, 13 (2), p. 51-74Schön, D. (1994). Le praticien réf<strong>le</strong>xif. A la recherche du savoir caché dans l’agirprofessionnel. Montréal : editions LogiquesSecretaría de Educación Pública (2004) Libro para el maestro matemáticas secundaria.México, D.F.: Dirección General de Materia<strong>le</strong>s y Métodos Educativos de la Subsecretaríade la Educación Básica y Normal, SEP.Wenger, E. (1998). Communities of practice: <strong>le</strong>arning, meaning and identity. Cambridge :University Press.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ121
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Une ingénierie didactique dedéveloppement sur la numération décima<strong>le</strong>Présentation de choix de conception d’une ressourceet de difficultés rencontrées par <strong>le</strong>s enseignantslors de son utilisation.Frédérick TEMPIERDoctorant au LDAR, Université de Paris 7Formateur 1 er degré à l’Université de Poitiersfrederick.tempier@univ-poitiers.frRÉSUMÉ : Suite à un constat sur l’enseignement de la numération décima<strong>le</strong> à l’éco<strong>le</strong>primaire en France qui ne prend pas suffisamment en compte l’aspect décimal de lanumération, nous avons mis en place une ingénierie didactique de développement. Nousdécrivons nos principaux choix pour la conception d’une ressource pour <strong>le</strong>s enseignants,puis nous présentons certaines difficultés qu’ils ont rencontrées lors de son utilisation.ABSTRACT:. After presenting the fact, about the teaching of place value at school in France,that it is doesn’t take enough account of base-10 system, we construct a didactical design.We describe the methodology used and our main choices for the conception of a resource forteachers, we present some difficulties encountered by the teachersMOTS-CLÉS : Ingénierie didactique, développement, numération décima<strong>le</strong>, ressource,enseignantKEYWORDS: didactical design, place value, resource, teacherActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ123
IntroductionDans un travail précédent (Tempier 2009, 2010), nous avons fait un constatconcernant <strong>le</strong>s contraintes institutionnel<strong>le</strong>s pesant sur l’enseignement de lanumération en France. Notre système de numération est à la fois positionnel (<strong>le</strong>premier rang à partir de la droite correspond aux unités, <strong>le</strong> deuxième rang auxdizaines, etc.) et décimal (10 unités = 1 dizaine, 10 dizaines = 1 centaine, etc.). Maisil apparaît principa<strong>le</strong>ment sous son aspect positionnel dans <strong>le</strong>s manuels du niveauconcerné (CE2, 3 ème primaire) ainsi que dans <strong>le</strong>s programmes et évaluationsnationa<strong>le</strong>s. Les unités de la numération (unités, dizaines, centaines, milliers)apparaissent alors uniquement pour nommer <strong>le</strong>s rangs dans l’écriture en chiffres desnombres mais <strong>le</strong>s relations entre ces unités ne sont pas un enjeu pour l’enseignement.Nous avons éga<strong>le</strong>ment pu constater que <strong>le</strong>s guides du maître associés à ces manuelsoffrent peu d’apports à ce sujet pour permettre aux enseignants de prendreconscience des savoirs en jeu dans <strong>le</strong>s tâches proposées. Pourtant la connaissance del’aspect décimal de la numération est nécessaire dans <strong>le</strong>s mathématiques de l’éco<strong>le</strong>primaire puisqu’el<strong>le</strong> est notamment en jeu dans la compréhension des techniquesopératoires des quatre opérations. Cet apprentissage tient une place importante àl’éco<strong>le</strong> primaire dans <strong>le</strong>s programmes officiels français.Notre travail de thèse est une recherche développement qui consiste à chercher àaméliorer cet état de fait à travers la conception d’une ressource destinée auxenseignants. Cette ressource se limitera à l’apprentissage de la numération en CE2pour l’introduction des nombres à 4 chiffres. A la suite de Ball et Cohen (1996) nouspensons qu’une ressource doit permettre à la fois l’apprentissage des élèves et laformation des enseignants sur la numération. Plus précisément, du côté des élèvesnotre objectif est une compréhension de l’écriture chiffrée d’un nombre sous sesdeux aspects (position et décimalité). En particulier nous voulons <strong>le</strong>s amener às’approprier des techniques mettant en jeu l’aspect décimal de la numération. Parexemp<strong>le</strong> nous viserons la résolution de problèmes de recherche de « nombre de »dans des contextes varié, comme : quel est <strong>le</strong> nombre maximum de bil<strong>le</strong>ts de 100 €que l’on peut utiliser pour payer une somme de 2378 € ? Du côté des enseignants,notre objectif est principa<strong>le</strong>ment de <strong>le</strong>ur permettre à la fois d’élaborer une séquence(un projet local) permettant la construction de ces savoirs et de mettre en œuvre dessituations (action didactique, en classe) avec une gestion adaptée (dévoluer lasituation, régu<strong>le</strong>r l’activité des élèves et institutionnaliser <strong>le</strong>s savoirs visés).1. Les cadres théoriques et la méthodologieNous nous inscrivons dans <strong>le</strong> cadre de l’ingénierie de développement dont <strong>le</strong>scaractéristiques sont définies par Perrin-Glorian (2010). Ce type de recherchedemande de « prévoir plusieurs niveaux d’ingénierie (au moins deux mais peut-êtreplus) avec des objectifs différents » (Perrin-Glorian, 2010). Un premier niveau pourdéfinir <strong>le</strong>s choix fondamentaux de l’ingénierie (<strong>le</strong>s situations-clés en lien avec124 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
l’organisation mathématique visée) et étudier <strong>le</strong>ur validité. Un deuxième niveau pourdéfinir des choix de conception pour la ressource (pour communiquer avec <strong>le</strong>senseignants : description des situations, apports mathématiques …) et étudier <strong>le</strong>urvalidité. Nous nous appuyons sur différents cadres théoriques issus de la didactiquedes mathématiques auxquels nous empruntons des « outils de conception » (Ruthven,Laborde, Leach, Tiberghien, 2009) : la théorie des situations didactiques (Brousseau,1998) pour la notion de milieu, d’adidacticité, de variab<strong>le</strong> didactique et la théorieanthropologique du didactique (Chevallard, 1999) pour la notion d’organisationmathématique (ou praxéologie) et d’ostensif. Ces outils permettent la conception del’ingénierie de premier niveau.Notre méthodologie consiste à faire des choix a priori de conception pour laressource (aux deux niveaux d’ingénierie) et à tester <strong>le</strong>ur validité lors de l’utilisationde la ressource par des enseignants ordinaires (d’au moins cinq annéesd’expérience). Pour cela nous avons constitué deux groupes d’enseignants qui vontutiliser la ressource : un groupe « de travail » pour <strong>le</strong>quel nous observons <strong>le</strong>senseignants lors de la mise en œuvre de quelques séances dans <strong>le</strong>ur classe. Ce groupeparticipe aussi à la conception de la ressource lors de deux réunions de travailcollaboratif. Un groupe « libre » pour <strong>le</strong>quel nous n’intervenons pas du tout au coursde <strong>le</strong>ur utilisation de la ressource. Pour <strong>le</strong>s enseignants de ces deux groupes nousréalisons des entretiens individuels avant et après la séquence et nous faisons passerdeux évaluations aux élèves (avant et après la séquence éga<strong>le</strong>ment). Pour évaluerl’utilisation généra<strong>le</strong> de la ressource par <strong>le</strong>s enseignants nous utilisons <strong>le</strong>s conceptsissus de l’ergonomie des EIAH : utilité, utilisabilité et acceptabilité (Tricot etal. 2003, Georget 2010).Ce que nous proposons dans cet artic<strong>le</strong> concerne un seul cyc<strong>le</strong>d’expérimentation : nous allons présenter la ressource tel<strong>le</strong> qu’el<strong>le</strong> a été proposéeaux enseignants cette année et certaines difficultés qui ont été rencontrées. Il s’agitd’un travail en cours. Toutes <strong>le</strong>s analyses n’étant pas terminées, nous indiqueronsseu<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>s premiers résultats obtenus.2. Présentation de la ressource et de certains choix de conceptionPour permettre aux enseignants de s’approprier <strong>le</strong>s choix « fondamentaux » dupremier niveau d’ingénierie (non présentés dans cet artic<strong>le</strong>) et pour atteindre nosobjectifs de départ nous avons fait des choix pour la conception de la ressource.Nous sommes partis de l’hypothèse suivante : une bonne appropriation desenjeux mathématiques de la séquence devrait aider <strong>le</strong>s enseignants à la fois à avoirune gestion adaptée des situations en classe (dévolution et institutionnalisation) et àconstruire une séquence permettant aux élèves de s’approprier ces savoirs. Nousfaisons alors <strong>le</strong> choix de laisser des marges de manœuvre pour <strong>le</strong>s enseignants dansla description des situations et de la séquence mais nous proposons une descriptionfine des mathématiques en jeu pour chaque situation. Par exemp<strong>le</strong>, pour laconstruction des séances et pour <strong>le</strong>ur mise en œuvre dans la classe, nous ne donnonsActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ125
pas de prescription concernant <strong>le</strong> temps ou l’organisation de la classe (travailindividuel, de groupe …). Pour la construction de la séquence, l’enseignant a pourseu<strong>le</strong> contrainte de mettre en œuvre <strong>le</strong>s cinq situations principa<strong>le</strong>s, mais il reste à sacharge de construire sa séquence par <strong>le</strong> choix de situations complémentaires, laconception d’exercices d'entraînement, de traces écrites, d’évaluations ...Nous ne nous sommes pas imposé a priori de support particulier pour cetteressource. El<strong>le</strong> prend pour <strong>le</strong> moment, la forme d’un site web 5 . Le choix de cesupport est lié aux facilités de diffusion qu’il propose (un objectif à moyen termeétant une diffusion plus large) ainsi qu’aux possibilités de proposer une quantitéimportante d’informations, liberté étant laissée aux enseignants d’y accéder ou pas,par une organisation en menus et lien hypertextes.Le site est organisé en trois parties. La première partie (« la numérationdécima<strong>le</strong> ») consiste en des apports mathématiques, épistémologiques et didactiquespour l’enseignant. Les deux aspects de la numération sont présentés. Cela permet depointer tout de suite l’aspect décimal comme enjeu essentiel. Pour appuyer cela,nous indiquons certaines difficultés dans l’apprentissage de la numération liées à lamobilisation de ce savoir. Ensuite, nous faisons <strong>le</strong> constat que l’aspect décimal n’estpas un enjeu dans <strong>le</strong>s activités courantes des manuels et nous présentons quelquesconsidérations didactiques relatives à l’utilisation du matériel de numération, desunités de numération et du tab<strong>le</strong>au de numération. Enfin nous montrons commentl’aspect décimal intervient dans <strong>le</strong> calcul posé (en revenant sur <strong>le</strong>s quatre opérations)et <strong>le</strong> lien avec <strong>le</strong>s conversions de mesures de grandeurs (longueurs en particulier).La deuxième partie (« <strong>le</strong>s situations ») contient <strong>le</strong>s situations principa<strong>le</strong>s quiconstituent un passage obligé. Il est d’abord proposé un tab<strong>le</strong>au récapitulatif de cessituations principa<strong>le</strong>s en tenant compte, à la fois, des types de tâches en jeu et descontextes utilisés. Quelques situations complémentaires sont éga<strong>le</strong>ment proposées :el<strong>le</strong>s permettent de travail<strong>le</strong>r <strong>le</strong>s mêmes types de tâches (ou d’autres) dans descontextes différents.La description des cinq situations est faite selon <strong>le</strong> même modè<strong>le</strong> :• une description rapide du problème posé aux élèves ;• une description des savoirs en jeu pour l’enseignant : identifier <strong>le</strong> typede tâche, <strong>le</strong>s techniques et <strong>le</strong>s technologies en jeu ;• une description de la situation : l’enjeu pour l’enseignant, <strong>le</strong> problèmepour <strong>le</strong>s élèves, <strong>le</strong> matériel nécessaire, une description rapide de la miseen œuvre : description du problème avec un ou plusieurs exemp<strong>le</strong>s deva<strong>le</strong>urs numériques associées, <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s, des éléments pour la gestionde la phase col<strong>le</strong>ctive de validation et une indication de conclusion de lasituation par une phase de synthèse ;5 Ce site est consultab<strong>le</strong> à l’adresse suivante : http://numerationdecima<strong>le</strong>.free.fr mais il seramodifié pour <strong>le</strong> prochain cyc<strong>le</strong> de conception à partir de septembre 2011.126 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
• des éléments de synthèse pour permettre à l’enseignant de pointer avecses élèves <strong>le</strong>s savoirs en jeu dans la situation (ici dans <strong>le</strong> contexte de lasituation) ;• des compléments qui portent sur des précisions pour la mise en œuvrede la situation dans la classe, sur des variantes ou prolongementspossib<strong>le</strong>s.La troisième partie (« la séquence ») expose <strong>le</strong>s contenus des programmesofficiels sur la numération en lien avec <strong>le</strong>s tâches travaillées dans <strong>le</strong>s situations. El<strong>le</strong>recense éga<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>s autres tâches qu’il est nécessaire de travail<strong>le</strong>r dans <strong>le</strong> cadred’une séquence sur la numération (avec des exemp<strong>le</strong>s mais pas ici sous forme desituation pour la classe). Enfin <strong>le</strong>s liens avec <strong>le</strong> calcul posé et <strong>le</strong>s conversions demesure sont rappelés pour aider l’enseignant à identifier <strong>le</strong>s savoirs de numération enjeu lors du travail sur d’autres notions. Nous allons maintenant présenter certainesdifficultés rencontrées par <strong>le</strong>s enseignants au cours de cette deuxième annéed’expérimentation.3. Quelques difficultés rencontrées par <strong>le</strong>s enseignants lors de <strong>le</strong>ur utilisationde la ressourcePour <strong>le</strong>s enseignants dont l’aspect décimal n’était pas un enjeu pour <strong>le</strong>urenseignement de la numération <strong>le</strong>s années précédentes, l’utilisation du site a permisde changer <strong>le</strong>ur façon de voir et de travail<strong>le</strong>r la numération : ils ont pris consciencequ’ils ne travaillaient qu’un seul aspect de la numération. Pour ceux qui travaillaientdéjà l’aspect décimal, l’intérêt semb<strong>le</strong> beaucoup plus limité (apport de situationsnouvel<strong>le</strong>s principa<strong>le</strong>ment). De manière unanime <strong>le</strong>s enseignants souhaitent réutiliserla ressource l’année prochaine, mais pour des raisons variées. Voici ce qu’ils citent :intérêt du matériel (à la fois du point de vue pratique et pour l’apprentissage), dessituations nouvel<strong>le</strong>s, travail sur l’aspect décimal, des situations motivantes pour <strong>le</strong>sélèves ou qui apparaissent comme de petits défis… Cependant, du côté des élèvescertaines difficultés persistent : <strong>le</strong>s enseignants ont pu <strong>le</strong> constater dans l’évaluationproposée en fin de séquence. Pourtant aucun ne remet en cause l’intérêt del’utilisation de la ressource. Mais cela est peut-être lié à notre présence dansl’entretien.L’attention portée, dans la ressource, à la description des enjeux de savoirs, adonné lieu à des institutionnalisations différentes par <strong>le</strong>s enseignants lors des séancesobservées. En particulier, <strong>le</strong>s synthèses de fin de séances, quand el<strong>le</strong>s ont lieu,peuvent avoir des orientations différentes : un simp<strong>le</strong> rappel de la tâche travaillée, unbilan sur la (ou <strong>le</strong>s) technique(s) émergente(s) mais sans éléments technologiquespermettant de la (ou <strong>le</strong>s) justifier ou encore un bilan des éléments technologiques enjeu mais sans formulation de la technique qui <strong>le</strong>s met en jeu. Nous n’avons donc pasobservé de description d’une organisation mathématique ponctuel<strong>le</strong> complète (avectype de tâche/technique/technologie) comme cela apparait dans la ressource. Il y aActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ127
aussi des variations pour un même enseignant, d’une situation à l’autre : par exemp<strong>le</strong>dans une situation, un enseignant va faire une synthèse sur une technique associée àun type de tâche mais dans une autre juste rappe<strong>le</strong>r <strong>le</strong> type de tâche travaillé. Deplus, souvent il n’y a pas de décontextualisation amorcée lors de ces moments desynthèse : <strong>le</strong>s techniques sont décrites dans <strong>le</strong> contexte de la situation.Tous <strong>le</strong>s enseignants ont mis en œuvre <strong>le</strong>s cinq situations principa<strong>le</strong>s (qui étaientprésentées comme des passages obligés) mais pour la construction de <strong>le</strong>ur séquencenous avons pu éga<strong>le</strong>ment observer des différences entre <strong>le</strong>s enseignants. Concernant<strong>le</strong>s exercices d’entraînement tout d’abord, nous avons observé des enseignants quiproposent des exercices d’entraînement seu<strong>le</strong>ment après avoir enchaîner <strong>le</strong>s quatrepremières situations à la suite. Du coup des techniques ne sont pas suffisammentmaîtrisées par <strong>le</strong>s élèves quand ils abordent certaines situations. Cependant, suite àce problème d’utilisabilité de la ressource (qui est parfois lié à des contraintes detemps de préparation trop court), ces enseignants ont pris conscience de l’importancede petits exercices réguliers d’entraînement et signa<strong>le</strong>nt qu’ils en proposeront l’annéeprochaine. Pour <strong>le</strong>s enseignants qui ont créé des exercices entre <strong>le</strong>s situations, <strong>le</strong>travail proposé se situe presque exclusivement dans <strong>le</strong> contexte de la situation. Ainsi<strong>le</strong>s enseignants utilisent très peu <strong>le</strong>s situations complémentaires qui permettent detravail<strong>le</strong>r une technique dans un contexte différent de celui dans <strong>le</strong>quel el<strong>le</strong> a émergé.Les enseignants (en particulier ceux qui ne travaillaient déjà pas l’aspect décimalpour <strong>le</strong>s nombres à trois chiffres) nous font éga<strong>le</strong>ment part du fait que pour cettepremière année d’utilisation de la ressource ils ont plutôt cherché à faire ce qui étaitproposé en essayant de se laisser guider. Ainsi maintenant qu’ils ont essayé et vucomment cela se passait, ils se sentiront plus à même de proposer des adaptationspour l’année prochaine, comme l’explique Fabrice : « La première fois tu découvres.[…] Cette année j’ai suivi alors que maintenant je vais plus m’en détacher ». Ilssigna<strong>le</strong>nt éga<strong>le</strong>ment ne pas avoir utilisé la troisième partie sur « la séquence ».Enfin, du côté des élèves, dans l’évaluation fina<strong>le</strong>, nous avons pu re<strong>le</strong>ver desdifficultés liées aux constats précédents : ils ont eu du mal à utiliser <strong>le</strong>ursconnaissances dans un problème de monnaie (contexte qui n’apparait pas dans <strong>le</strong>ssituations principa<strong>le</strong>s). Ils ont éga<strong>le</strong>ment rencontrées des difficultés dans <strong>le</strong>s tâchesdécontextualisée de recherche du « nombre de » (centaines ou dizaines) ou deconversions entre unités. Cela nous semb<strong>le</strong> être une conséquence d’un manqued’entraînement sur des exercices décontextualisés de ce type au cours de laséquence.4. Conclusion et poursuite du travailCette ingénierie didactique de développement nous a amené à faire certains choixpour l’enseignement de la numération (1 er niveau d’ingénierie) et à concevoir uneressource pour <strong>le</strong>s enseignants dans laquel<strong>le</strong> nous proposons des situations à mettreen œuvre dans <strong>le</strong>s classes ainsi que des apports mathématiques, épistémologiques etdidactiques (2 ème niveau). Nous avons montré ici quelques résultats concernant128 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
l’utilisation de la ressource par <strong>le</strong>s enseignants : même si <strong>le</strong>s enseignants se sontapproprié l’enjeu mathématique, cela ne suffit pas à avoir des pratiques harmoniséesau niveau de l’institutionnalisation des savoirs en jeu (séance), à proposer un travaild’entraînement des techniques rencontrées dans <strong>le</strong>s situations principa<strong>le</strong>s et àconstruire une séquence prenant en compte la nécessaire décontextualisation desconnaissances (2 ème niveau).Ces difficultés rencontrées par <strong>le</strong>s enseignants ont des conséquences sur <strong>le</strong>sapprentissages des élèves (ce que l’évaluation fina<strong>le</strong> met en évidence).Dans <strong>le</strong>s modifications à apporter, il semb<strong>le</strong> donc nécessaire de travail<strong>le</strong>r sur laquestion d’un « scénario » à proposer aux enseignants pour <strong>le</strong>s aider à construire uneséquence (projet local). Mais des questions se posent alors sur la manière de décrirece scénario, des marges de manœuvre à laisser aux enseignants … ou encore sur <strong>le</strong>sapports didactiques qui doivent accompagner cette description. Tout cela devra doncs’accompagner d’un travail au premier niveau d’ingénierie qui ne se limitera plus àla conception de situations, mais qui devra prendre en compte <strong>le</strong> travail destechniques et la décontextualisation des connaissances. Nous pourrons pour celanous appuyer sur des travaux de recherche en didactique des mathématiques comme<strong>le</strong>s assortiments didactiques (Genestoux, 2002), <strong>le</strong> processus d’institutionnalisationavec ses deux niveaux (Perrin-Glorian, 1993), <strong>le</strong>s bilans de savoir (But<strong>le</strong>n, Pézard,2003), etc.BibliographieBall, D., Cohen, D. (1996). Reform by the Book : What Is - Or Might Be - The Ro<strong>le</strong> ofCurriculum Materials in Teacher Learning and Instructional Reform? EducationalResearcher, 25-9, p. 6-14.Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenob<strong>le</strong> : La Pensée Sauvage.But<strong>le</strong>n, D., Pezard, M. (2003). Étapes intermédiaires dans <strong>le</strong> processus de conceptualisationen mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques, 23/1, p. 41-78.Chevallard, Y. (1999). L'analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique dudidactique. Recherches en didactique des mathématiques, 19/2, p. 221-266.Chevallard, Y. (2007). Passé et présent de la théorie anthropologique du didactique. Actes dupremier congrès international sur la théorie anthropologique du didactique, p. 705-746.Genestoux, F. (2002). Les assortiments didactiques. In J.L. Dorier., M. Artaud., M. Artigue,R. Berthelot., R. Floris (éd.) Actes de la 11e Eco<strong>le</strong> d'Eté de Didactique desMathématiques. Grenob<strong>le</strong> : La Pensée Sauvage.Georget, J-P. (2010). Apport de l'ergonomie des EIAH pour l'analyse et la conception deressources. Enseignement des mathématiques et développement : enjeux de société et deformation. Actes du colloque international de l'Espace Mathématiques Francophone(EMF), Dakar, Sénégal, 6-10 avril 2009.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ129
Perrin-Glorian, M.J. (1993). Questions didactiques sou<strong>le</strong>vées à partir de l'enseignement desmathématiques dans des classes faib<strong>le</strong>s. Recherches en didactique des mathématiques,13 n° 1/2, p. 5-118.Perrin-Glorian, M.J. (2011). L’ingénierie didactique à l’interface de la recherche avecl’enseignement. Développement de ressources et formation des enseignants. In C.Margolinas et al. (éd.) En amont et en aval des ingénieries didactiques. Grenob<strong>le</strong> :La Pensée sauvage.Ruthven, K., Leach, J., Laborde, C., & Tiberghien, A. (2009). Design Tools in DidacticalResearch: Instrumenting the Epistemological and Cognitive Aspects of the Design ofTeaching Sequences. Educational Researcher, 38(5), p. 329-342.Tempier, F. (2009). L’enseignement de la numération décima<strong>le</strong> de position au CE2 : étudedes relations entre contraintes et libertés institutionnel<strong>le</strong>s et pratiques des enseignants,Cahier Didirem, 60. Paris : IREM Paris 7.Tempier, F. (2010). Une étude des programmes et manuels sur la numération décima<strong>le</strong> auCE2. Grand N, 86, p. 59-90Tricot, A., Plégat-Soutjis, F., Camps, J-F., Amiel, A., Lutz, G., et Morcillo, A. (2003). Utilité,utilisabilité, acceptabilité : interpréter <strong>le</strong>s relations entre trois dimensions de l’évaluationdes EIAH. Environnements informatiques pour l’apprentissage humain. ATIEF INRP.391–402.130 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Evaluation de la qualité des ressourcesde géométrie dynamiqueUn outil pour <strong>le</strong> développement de compétencesprofessionnel<strong>le</strong>s des enseignants de mathématiquesJana Trgalová*, Philippe R. Richard**, Sophie Soury-Lavergne** S2HEP-IFE-ENSL19, Allée de Fontenay69007 Lyon{jana.trgalova, sophie.soury-lavergne}@inrp.fr** Université de Montréal et Universitat Autònoma de BarcelonaC.P. 6128, succursa<strong>le</strong> Centre-vil<strong>le</strong>Montréal (Québec) H3C 3J7philippe.r.richard@umontreal.caRÉSUMÉ : Cette contribution explore l’implication des enseignants de mathématiques dansl’analyse de ressources de géométrie dynamique (GD) à l’aide d’un questionnaire qui se veutun moyen de <strong>le</strong>ur développement professionnel quant à l’intégration de la GD dans <strong>le</strong>ursclasses. Ce questionnaire a pour but de permettre l’évaluation de la qualité mathématique,didactique, pédagogique et ergonomique des ressources déposées sur la plateforme i2geopar ses utilisateurs. Dans cette contribution, nous présentons deux expérimentationsd’utilisation du questionnaire par des enseignants et en tirons des conclusions sur sonpotentiel dans <strong>le</strong> développement de compétences requises pour un usage efficace de la GD.ABSTRACT: This contribution explores the involvement of mathematics teachers in theanalysis of dynamic geometry (DG) resources using a questionnaire as a means of theirprofessional development aiming at the DG integration in classrooms. This questionnaireaims at enabling an assessment of mathematical, didactical, pedagogical and ergonomicquality of resources deposited on the platform i2geo by its users. In this contribution, wepresent two experiments of the use of the questionnaire by teachers and draw conclusions onits potential in the development of skills necessary for an effective usage of DG inclassrooms.MOTS-CLÉS : géométrie dynamique, ressource, qualité, genèse instrumenta<strong>le</strong>, travaildocumentaire.KEYWORDS: dynamic geometry, resource, quality, instrumental genesis, documentationalwork.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ131
IntroductionL’utilisation efficace d’un outil technologique exige l’élaboration de nouvel<strong>le</strong>stâches qui donnent du sens aux concepts mathématiques (Laborde 2001). Cependant,la conception de tâches réel<strong>le</strong>ment nouvel<strong>le</strong>s est plutôt rare ; <strong>le</strong>s enseignantspréfèrent modifier et adapter des tâches existantes (Laborde, 2008). Les enseignantsdoivent renforcer <strong>le</strong>urs compétences d’analyse de tâches, ce qui demeure une activitécomp<strong>le</strong>xe. En effet, il faut non seu<strong>le</strong>ment être capab<strong>le</strong> de résoudre la tâche avecl’outil technologique, mais aussi d’analyser son rô<strong>le</strong> dans la définition de la tâche etdans <strong>le</strong> processus de résolution, ainsi que la pertinence pour l’apprentissage et lanécessité, ou <strong>le</strong> coût, d’introduction de nouvel<strong>le</strong>s techniques instrumentées (ibid.).Pour la mise en œuvre de ces tâches en classe, <strong>le</strong>s enseignants doivent pouvoiranticiper <strong>le</strong>s techniques de résolution possib<strong>le</strong>s, <strong>le</strong>s apprentissages potentiels, ainsique <strong>le</strong>s orchestrations favorisant <strong>le</strong>s apprentissages visés (Trouche et Drijvers 2010).Ils doivent encore pouvoir gérer <strong>le</strong>s relations entre <strong>le</strong>s techniques instrumentées et<strong>le</strong>s techniques traditionnel<strong>le</strong>s (Guin et Trouche 1999).Un des moyens de soutenir l’intégration des technologies est alors de mettre àdisposition des enseignants des ressources proposant des activités avec des outilstechnologiques. Cependant, l’accessibilité des ressources n’est pas suffisante. SelonRobertson (2006), <strong>le</strong> manque de métadonnées décrivant précisément <strong>le</strong>ur contenu,l’absence d’indications sur <strong>le</strong>ur qualité et la difficulté de <strong>le</strong>ur appropriation sont <strong>le</strong>sprincipaux obstac<strong>le</strong>s à la réutilisation de ressources existantes et, par conséquent, àl’intégration des technologies dans <strong>le</strong>s pratiques des enseignants.Dans cette communication, nous exploitons l’implication d’enseignants dansl’évaluation de la qualité de ressources de la géométrie dynamique (GD) comme unmoyen d’atténuer <strong>le</strong>s difficultés précédentes.1. Démarche qualité pour des ressources de géométrie dynamiqueLa plateforme i2geo s’est constituée au cours du projet Intergeo (Kortenkamp etal., 2009) afin de mettre à la disposition des enseignants des ressources de GD. Laplateforme est fondée sur <strong>le</strong> principe du développement communautaire : c’est unenvironnement ouvert où tout utilisateur peut déposer des ressources pour <strong>le</strong>smutualiser avec d’autres utilisateurs, il peut réutiliser <strong>le</strong>s ressources disponib<strong>le</strong>s, <strong>le</strong>scommenter, partager ses expériences avec l’usage de ces ressources dans sa classe.Afin de permettre l’amélioration de la qualité des ressources d’i2geo, nous avons misen place une démarche qualité qui s’appuie sur un questionnaire organisé autour deneuf dimensions de ressources de GD que nous jugeons pertinentes pour évaluer saqualité mathématique, didactique, pédagogique, technique et ergonomique (Trgalováet al., 2011). Ces dimensions se résument en (1) métadonnées, (2) aspect technique,(3) validité mathématique, (4) dimension instrumenta<strong>le</strong>, (5) va<strong>le</strong>ur ajoutée de la GD,(6) implémentation didactique, (7) implémentation pédagogique, (8) intégration dans132 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
une progression et (9) aspect ergonomique. Un item général (en gras dans la Figure1) et un ensemb<strong>le</strong> de critères plus détaillés sont associés à chaque dimension.Figure 1. Questionnaire de qualitéLes items et <strong>le</strong>s critères sont des affirmations où <strong>le</strong>s utilisateurs expriment <strong>le</strong>urdegré de satisfaction sur une échel<strong>le</strong> quaternaire (de « tout à fait d’accord » à « pasdu tout d’accord »). Ces réponses qualitatives peuvent être complétées par descommentaires rédigés librement dans des champs prévus à cet effet. Ces dernierssont importants pour l’évolution de la ressource évaluée puisqu’ils doivent permettred’en identifier <strong>le</strong>s faib<strong>le</strong>sses et indiquer des pistes d’amélioration.2. Cadrage théoriquePour étudier la manière dont <strong>le</strong>s enseignants s’approprient <strong>le</strong> questionnairecomme outil d’analyse de ressources de GD et la manière dont cette analyse peutcontribuer au développement de <strong>le</strong>urs compétences professionnel<strong>le</strong>s, nous nousappuyons sur <strong>le</strong>s approches instrumenta<strong>le</strong> et documentaire.L’approche instrumenta<strong>le</strong> (Rabardel, 1995) est fondée sur la distinction entre unartefact, disponib<strong>le</strong> pour un utilisateur, et un instrument que cet utilisateur construità partir de cet artefact, ou d’une partie de celui-ci, au cours de l’action qui mobiliseson utilisation. Un artefact devient ainsi un instrument pour cet utilisateur dans unprocessus, appelé genèse instrumenta<strong>le</strong>, qui articu<strong>le</strong> deux processus imbriqués :- <strong>le</strong>s processus d’instrumentalisation qui concernent l’émergence et l’évolutiondes composantes artefact de l’instrument : sé<strong>le</strong>ction, regroupement, production etinstitution de fonctions, détournements et catachrèses, attribution de propriétés,transformation de l’artefact ;Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ133
- <strong>le</strong>s processus d’instrumentation qui sont relatifs à l’émergence et à l’évolutiondes schèmes d'utilisation et d’action instrumentée : <strong>le</strong>ur constitution, <strong>le</strong>urfonctionnement, <strong>le</strong>ur évolution par accommodation, coordination combinaison,inclusion et assimilation réciproque, l’assimilation d’artefacts nouveaux à desschèmes déjà constitués, etc. (ibid., p. 111)Le schème est défini comme une organisation invariante de l’activité et de laconduite pour une classe de situations donnée, composée de buts, de règ<strong>le</strong>s d’action,d’invariants opératoires ou théorèmes en acte. Un instrument est donc une entitécomposée de l’artefact (ou d’une partie) et de schèmes d’utilisation.Nous nous appuyons sur cette approche pour étudier <strong>le</strong> processus par <strong>le</strong>quel unenseignant transforme <strong>le</strong> questionnaire, que nous considérons comme un artefact, enun instrument pour l’analyse de ressources.Les principes fondateurs de l’approche instrumenta<strong>le</strong> ont été repris etapprofondis par Gueudet et Trouche (2008) pour étudier <strong>le</strong> travail documentaire desenseignants qui consiste à exploiter un ensemb<strong>le</strong> de ressources données, <strong>le</strong>ssé<strong>le</strong>ctionner, adapter et recombiner pour concevoir de nouvel<strong>le</strong>s ressources.L’approche documentaire propose la distinction entre ressource, disponib<strong>le</strong> pourl’enseignant, et document construit par l’enseignant dans un objectif précis. Ledocument résulte donc d’un processus, appelé genèse documentaire (figure 2).Cette approche nous semb<strong>le</strong> pertinente pour étudier <strong>le</strong> travail documentaire desenseignants concerné par <strong>le</strong> choix, l’analyse et l’adaptation de ressources de GD.Figure 2. Genèse documentaire (Gueudet et Trouche, 2008, p. 10).2.1. Expérimentation avec des enseignants françaisCette expérimentation, faisant partie du cyc<strong>le</strong> conception-test du questionnaired’analyse de ressources, avait un trip<strong>le</strong> objectif : (1) analyser la pertinence et laclarté des critères de qualité dans <strong>le</strong> questionnaire pour des enseignants, (2) étudier134 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
<strong>le</strong>s premiers usages du questionnaire pour l’analyse de ressources, et (3) identifier <strong>le</strong>sreprésentations des enseignants sur <strong>le</strong>s ressources de « qualité », en particulier quelsaspects des ressources déterminent <strong>le</strong>ur sé<strong>le</strong>ction et <strong>le</strong>squels facilitent <strong>le</strong>urappropriation pour un usage en classe. Les deux premiers objectifs concernent <strong>le</strong>sgenèses instrumenta<strong>le</strong>s relatives au questionnaire considéré comme un artefact,tandis que <strong>le</strong> troisième concerne <strong>le</strong>s genèses documentaires relatives aux ressources.Trois ressources ont été proposées aux enseignants, portant sur un même conceptmathématique. Les trois ressources étaient composées d’un <strong>fichier</strong> de GDaccompagné d’un <strong>fichier</strong> texte s’adressant soit à l’enseignant, soit aux élèves, soitaux deux. De plus, <strong>le</strong>s trois ressources suggéraient l’usage de la GD en sal<strong>le</strong>informatique où <strong>le</strong>s élèves manipu<strong>le</strong>raient eux-mêmes <strong>le</strong>s figures.Six enseignants, ayant une expérience professionnel<strong>le</strong> plus ou moins longue(entre 5 et 15 ans) et un niveau d’intégration technologique assez hétérogène, ontparticipé à cette expérimentation. Le travail documentaire des enseignants consistaità (1) prendre connaissance, individuel<strong>le</strong>ment, des contenus des trois ressources, (2)<strong>le</strong>s analyser ensuite en binômes avec <strong>le</strong> questionnaire et (3) décider,individuel<strong>le</strong>ment, s’ils auraient choisi ces ressources pour <strong>le</strong>s utiliser en classe, avecou sans modifications, puis éventuel<strong>le</strong>ment en suggérer des pistes d’amélioration.Les résultats de l’expérimentation montrent que certains enseignants éprouvaientdes difficultés à se concentrer précisément sur <strong>le</strong> contenu des ressources dans <strong>le</strong>uranalyse. Leurs réponses à certains items ne correspondaient pas aux informationsfournies par la ressource, mais témoignaient plutôt d’un effort de <strong>le</strong>ur interprétation àla lumière de <strong>le</strong>urs propres expériences. Par exemp<strong>le</strong>, la question « Les élémentspermettant la prise en charge du problème par l’apprenant sont-ils explicites ? » a étéinterprétée comme « Les élèves peuvent-ils faci<strong>le</strong>ment comprendre ce qu’il faut faireet s’engager dans la résolution du problème ? ». Les enseignants ont ainsi anticipé lamanière dont la dévolution de l’activité pouvait être assurée en classe au lieu dechercher simp<strong>le</strong>ment la présence d’indications à ce sujet dans la ressource, demandeeffective dans la question. Du point de vue de l’approche instrumenta<strong>le</strong>, il s’agitd’une catachrèse de la question, écart entre <strong>le</strong> prévu et <strong>le</strong> réel dans l’utilisation del’artefact (Rabardel, 1995, p. 99). Il ne s’agit cependant pas d’un détournement del’artefact par rapport aux fonctions prévues, mais plutôt d’un indice du processusd’attribution à l’artefact « de fonctions non anticipées ou prévues par <strong>le</strong>sconcepteurs » (ibid., p. 101). Il s’agit donc d’un processus d’instrumentalisation dela question. Cette interprétation particulière se traduit éga<strong>le</strong>ment par la mise enœuvre de schèmes d’exploration nouveaux amenant l’enseignant à interroger <strong>le</strong>contenu de la ressource d’une certaine manière, portant davantage sur son usagepotentiel en classe que sur <strong>le</strong>s informations fournies, ce qui témoigne d’un processusd’instrumentation.Le questionnaire lui-même a été utilisé différemment par <strong>le</strong>s binômes. Un binômel’a utilisé dès <strong>le</strong> départ pour éliminer <strong>le</strong>s ressources <strong>le</strong>s moins pertinentes. Leuranalyse avait ainsi pour but d’identifier <strong>le</strong>s défauts rédhibitoires des ressources. Unefois déterminés pour une ressource donnée, <strong>le</strong>s enseignants en ont arrêté l’analyse,Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ135
sans essayer de vérifier si <strong>le</strong>s autres aspects constituent ou non sa force. Les deuxautres binômes ont, en revanche, réalisé une analyse détaillée de toutes <strong>le</strong>sdimensions de la ressource. A la question « auriez-vous choisi ces ressources pourune éventuel<strong>le</strong> utilisation dans votre classe ? », certains enseignants de ces binômesont pu envisager <strong>le</strong>ur utilisation, à condition d’y apporter des modificationspermettant d’améliorer <strong>le</strong>s aspects considérés comme faib<strong>le</strong>s. Ainsi, même si tous <strong>le</strong>sbinômes ont trouvé certaines faib<strong>le</strong>sses identifiées inacceptab<strong>le</strong>s, cel<strong>le</strong>s-ci n’ont pasempêché certains de continuer l’analyse pour identifier des points forts desressources. Ces résultats permettent d’anticiper différents usages possib<strong>le</strong>s duquestionnaire qui correspondent à différentes genèses instrumenta<strong>le</strong>s conduisant audéveloppement de différents instruments d’analyse de ressources.Parmi <strong>le</strong>s critères de choix de ressources pour une éventuel<strong>le</strong> utilisation en classe,il apparaît que <strong>le</strong> contenu mathématique valide intervient en condition nécessaire. Deplus, <strong>le</strong>s enseignants accordent une grande importance à la va<strong>le</strong>ur ajoutée de la GDdans <strong>le</strong>s activités proposées. D’autres dimensions sont plus ou moins importantes enfonction de l’expérience des enseignants. Ainsi, <strong>le</strong>s enseignants peu familiers avecl’usage des technologies en classe jugent la dimension relative à l’implémentationdidactique de la ressource, c'est-à-dire présence d’indications sur la gestion parl’enseignant des apprentissages des élèves, comme l’une des plus importantes.2.2. Expérimentation avec des futurs enseignants québécoisCette expérimentation a eu lieu pendant 2 mois lors d’un cours en formationinitia<strong>le</strong> des enseignants de mathématiques dans une université québécoise. El<strong>le</strong> visaitl’étude de la manière dont <strong>le</strong>s ressources et <strong>le</strong>s outils d’i2geo peuvent être mis àprofit pour <strong>le</strong> développement professionnel des enseignants du point de vue de lacapacité à porter un regard critique sur <strong>le</strong>s ressources existantes, à adapter aucontexte québécois des ressources conçues pour un système d’enseignementétranger, à concevoir de nouvel<strong>le</strong>s ressources ou encore à améliorer des activitéssuite à l’évaluation par <strong>le</strong>s pairs.Trente quatre étudiants, groupés en binômes, ont participé à cetteexpérimentation. Leur travail consistait en l’analyse, avec <strong>le</strong> questionnaire, de deuxressources disponib<strong>le</strong>s sur la plateforme i2geo correspondant à un thèmemathématique au choix, l’adaptation de deux ressources au contexte québécois, laconception de trois ressources et <strong>le</strong>ur amélioration suite au retour critique des pairs.De plus, ils devaient argumenter <strong>le</strong>ur point de vue sur l’utilité du questionnaired’analyse de ressources.Même si <strong>le</strong>s données recueillies sont en cours d’analyse, nous pouvons présenterquelques traits saillants sur <strong>le</strong> regard critique des étudiants face au questionnaire.Treize binômes sur dix-sept ont donné <strong>le</strong>ur avis sur l’utilité du questionnaire ensoulignant ses points forts et ses points faib<strong>le</strong>s. Parmi ces binômes, onze considèrent<strong>le</strong> questionnaire d’une grande utilité, permettant de réaliser une analyse approfondiede ressources de GD. Huit binômes indiquent que grâce au questionnaire, ils ont pu136 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
considérer des aspects des ressources auxquels ils n’auraient pas pensé sans celui-ci.Parmi <strong>le</strong>s points forts du questionnaire, <strong>le</strong>s étudiants relèvent <strong>le</strong>s questions bienélaborées, faci<strong>le</strong>s à comprendre, bien structurées dans de grandes catégoriespermettant ainsi une analyse rapide et complète des ressources. Certains binômesaffirment que <strong>le</strong> questionnaire <strong>le</strong>ur a éga<strong>le</strong>ment été uti<strong>le</strong> pour concevoir de nouvel<strong>le</strong>sressources, d’autres mettent en relief son utilité pour l’amélioration des ressourcesexistantes, suite aux avis des évaluateurs. Quelques points faib<strong>le</strong>s ont éga<strong>le</strong>ment étére<strong>le</strong>vés, comme la redondance de certains critères ou <strong>le</strong> fait que certains critères nes’appliquent pas à toutes <strong>le</strong>s ressources et qu’il n’y ait pas la possibilité de <strong>le</strong>signifier. Enfin, quatre binômes trouvent que <strong>le</strong> résultat de l’évaluation faite avec <strong>le</strong>questionnaire ne correspond pas toujours à <strong>le</strong>ur avis a priori sur la ressource. Enrevanche, la plupart des étudiants estiment que <strong>le</strong> questionnaire mène à une meil<strong>le</strong>ureévaluation de la ressource que s’ils ne pouvaient pas en disposer.ConclusionUne des conclusions concerne l'imbrication de genèses instrumenta<strong>le</strong>s etdocumentaires chez <strong>le</strong>s enseignants dans l’analyse des ressources qui s’appuie sur <strong>le</strong>questionnaire. Ainsi, la genèse instrumenta<strong>le</strong> du questionnaire soutient <strong>le</strong> travaildocumentaire. Pourtant, <strong>le</strong> questionnaire a été utilisé de manière différente, ce qui aconduit au développement de différents instruments menant à diverses analyses deressources. Ainsi, l'analyse des ressources et ses différentes finalités ont façonnél'utilisation du questionnaire et, par conséquent, l'instrument qui en résulte pourl'analyse des ressources. La genèse documentaire influence donc la genèseinstrumenta<strong>le</strong> du questionnaire. Cette interconnexion des deux genèses est l'une desclés du développement professionnel, mais en même temps el<strong>le</strong> présente une grandecomp<strong>le</strong>xité pour <strong>le</strong>s enseignants.L’analyse du travail documentaire des enseignants et de <strong>le</strong>urs genèsesinstrumenta<strong>le</strong>s relatives à l’usage du questionnaire tend à montrer un impact positifde l’implication des enseignants dans l’analyse des ressources sur <strong>le</strong> développementde <strong>le</strong>urs compétences professionnel<strong>le</strong>s. Nous avons observé entre autres que l'analysedes ressources passe par une vérification explicite de la va<strong>le</strong>ur ajoutée de la GD encomparaison avec l’environnement papier-crayon et qu’une attention particulière estaccordée au rô<strong>le</strong> du déplacement. Il s'agit d'une compétence nécessaire pour uneanalyse efficace des ressources de GD. Le développement de cette compétence a étévisé dès la conception du questionnaire et <strong>le</strong>s résultats des expériences montrent que<strong>le</strong> questionnaire permet en effet d'atteindre cet objectif.Les résultats montrent que <strong>le</strong>s enseignants apprécient <strong>le</strong> questionnaire car ilpermet d’effectuer une analyse détaillée des ressources. Toutefois, il faudrareprendre <strong>le</strong>s points critiqués afin de repenser certains items qui apparaissentredondants et surtout, sur <strong>le</strong>s raisons pour <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s l’évaluation de la qualité de laressource ne traduit pas toujours correctement l’avis global des évaluateurs.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ137
Même si notre étude montre que l'évaluation de la qualité des ressources de GDpeut soutenir <strong>le</strong> développement professionnel des enseignants, il apparaît éga<strong>le</strong>mentque la comp<strong>le</strong>xité d'une tel<strong>le</strong> activité pour <strong>le</strong>s enseignants nécessite un soutienspécifique. De nouveaux moyens et outils d'accompagnement des utilisateurs de laplateforme doivent donc être conçus, ce qui ouvre la voie à d'autres projets.RemerciementsLa recherche présentée dans cette communication a été financée en partie par laCommunauté européenne dans <strong>le</strong> cadre du programme ContentPlus.BibliographieGueudet, G., Trouche, L. (2008). Du travail documentaire des enseignants : genèses,col<strong>le</strong>ctifs, communautés. Le cas des mathématiques. Education et didactique, 2(3), p. 7-33.Guin, D., Trouche, L. (1999). The comp<strong>le</strong>x process of converting tools into mathematicalinstruments. The case of calculators. IJCML, 3(3), p. 195-227.Kortenkamp, U., B<strong>le</strong>ssing, A.M., Dohrmann, C., Kreis, Y., Libbrecht, P., Mercat, C. (2009),Interoperab<strong>le</strong> interactive geometry for Europe – First technological and educationalresults and future chal<strong>le</strong>nges of the Intergeo project. In V. Durrand-Guerrier et al. (éd.),Proceedings of the CERME6 conference (pp. 1150-1160), Lyon, France. disponib<strong>le</strong> surinternet http://www.inrp.fr/publications/edition-e<strong>le</strong>ctronique/cerme6/wg7-11-kortenkamp.pdf (consulté <strong>le</strong> 29 août 2011).Laborde, C. (2001). Integration of technology in the design of geometry tasks with Cabrigeometry.IJCML, 6(3), p. 283–317.Laborde, C. (2008). Multip<strong>le</strong> dimensions involved in the design of tasks taking full advantageof dynamic interactive geometry. In A. P. Canavarro et al. (éd.) Tecnologias e EducaçãoMatemática (pp. 29-43). Lisboa: SEM/SPCE.Rabardel, P. (1995). Les hommes et <strong>le</strong>s technologies : Approche cognitive des instrumentscontemporains. Paris : Armand Colin.Richard, P.R. (2010). La evaluación de competencias matemáticas: una apuesta deaprendizaje desde la e<strong>le</strong>cción de situaciones-prob<strong>le</strong>mas. Competencias matemáticas.Instrumentos para las ciencias socia<strong>le</strong>s y natura<strong>le</strong>s, 180-198. Ministerio de Educación etInstituto de Formación del Profesorado, Investigación e Innovación Educativa.Robertson, A. (2006). Introduction aux banques d’objets d’apprentissage en français auCanada, Rapport pour <strong>le</strong> Réseau d’enseignement francophone à distance du Canada.disponib<strong>le</strong> sur internet http://www.refad.ca/ (consulté <strong>le</strong> 23 août 2011).Trgalová, J., Soury-Lavergne, S., Jahn, A. P. (2011). Quality assessment process for dynamicgeometry resources in Intergeo project. ZDM, 43(3), p. 337-351.Trouche, L., Drijvers, P. (2010). Handheld technology for mathematics education, flashbackto the future. ZDM, 42(7), p. 667-681.138 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
CommunicationsThème 3 :Comment rendre <strong>le</strong>s élèves créateursde mathématiques dans la sal<strong>le</strong> de classe ?Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ139
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Situation de recherche en classeet productions mathématiques des élèvesMathias FRONTIREM et IUFM de LyonS2HEP – Université Lyon 1mathias.front@univ-lyon1.frRÉSUMÉ : La question de la production de mathématiques par <strong>le</strong>s élèves est au cœur dutravail du groupe DREAM. Nous cherchons à montrer en quoi et comment certainessituations de recherche en classe permettent d’envisager un travail sur <strong>le</strong>s concepts. Aprèsune réf<strong>le</strong>xion sur ce que l’on peut entendre par activité mathématique dans <strong>le</strong> cadre d’unesituation de recherche, nous chercherons à montrer des élèves, qui en explorant despossib<strong>le</strong>s, naturalisent de l’abstrait et/ou structurent de nouveaux objets mathématiques.ABSTRACT: The question of the production of mathematic by the pupils is in the heart of thework of the group "DREAM". We try to show how situations of research in class allowenvisaging a work on the concepts. After a ref<strong>le</strong>ction on what we can hear by mathematicalactivity within the framework of a situation of search, we shall try to show how pupils, byexploring the possib<strong>le</strong>, can naturalize abstract and organize new mathematical objects.MOTS-CLÉS : situation de recherche en classe, naturalisation d’objets, production,élaboration, pavages.KEYWORDS: research situation in classroom, naturalization of objects, production,elaboration, tilings.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ141
IntroductionDepuis de nombreuses années déjà, <strong>le</strong>s travaux de l’IREM de Lyon ont sumontrer l’intérêt du dispositif « problème ouvert » qui favorise une modification ducontrat didactique dans la classe de mathématiques. Plus récemment, <strong>le</strong>s travaux deséquipes EXPRIME (2006-2010) et DREAM se sont éga<strong>le</strong>ment intéressés auxpossibilités d’un tel dispositif en termes de travail des concepts mathématiques.Dans cette optique nous allons tout d’abord présenter quelques réf<strong>le</strong>xions surl’activité de l’élève dans une situation de recherche en classe. Cette activité estenvisagée sous l’hypothèse que <strong>le</strong>s apprentissages se réalisent dans <strong>le</strong> cadre d’unerelation bien spécifique aux objets mathématiques en jeu, relation que nous pouvonsenvisager de favoriser par <strong>le</strong>s explorations que permet la part expérimenta<strong>le</strong> dutravail mathématique. Pour l’élaboration de situations spécifiques de cetteproblématique, c’est alors <strong>le</strong> cadre de la théorie des situations didactiques(Brousseau, 1998) qui s’impose à nous. Pour autant, dans l’approche choisie, il vas’avérer nécessaire d’affiner l’étude du mode de relations aux objets que met enœuvre tout chercheur engagé dans la recherche proposée, et c’est pourquoi l’étudeépistémologique est un autre aspect fort des situations élaborées. Nous illustreronsici, avec deux exemp<strong>le</strong>s de situations, la pertinence de cette approche centrée sur <strong>le</strong>sactions sur <strong>le</strong>s objets. Le premier exemp<strong>le</strong> mettra en évidence <strong>le</strong> fait quel’exploration des possib<strong>le</strong>s par <strong>le</strong>s élèves participe de la naturalisation d’objetsmathématiques et <strong>le</strong> deuxième qu’en appui sur ces naturalisations <strong>le</strong>s élèves sontproducteurs de mathématiques.1. L’activité de l’élève dans une situation de recherche en classeNous débutons cette partie en empruntant à G. Longo (Longo, 1997) unquestionnement qui permet dans <strong>le</strong> cadre géométrique d’interroger la notiond’activité mathématique : « Les calamars font-ils de la géométrie 1 ? » Longorépond : « Si la géométrie est une de nos constructions conceptuel<strong>le</strong>s qui émergentdans la praxis, [...], et que nous la construisons dans notre rapport aux régularitésdu monde (ses symétries, ses homogénéités ...), [...], dans sa simulation-prévisionmenta<strong>le</strong>, ainsi que dans l’appréciation de certains invariants spatiaux (<strong>le</strong>s formes),alors <strong>le</strong>s calamars « font » un embryon de cette géométrie qui sera la nôtre. »Alors, en imaginant nos élèves entre calamars et mathématiciens, il nous semb<strong>le</strong>possib<strong>le</strong> de provoquer une activité géométrique issue de la praxis, de l’action soustenduepar une idée vers un résultat. Pour ce qui concerne l’observation d’une tel<strong>le</strong>activité géométrique mise en œuvre par <strong>le</strong>s élèves, nous chercherons alors àidentifier :des projections, simulations, prévisions, des manipulations d’objetsmathématiques ou de certaines de <strong>le</strong>urs représentations (matériel<strong>le</strong>s ou non), desinterprétations de perceptions, des appréciations de certains invariants, desformulations de conjectures, des élaborations de raisonnements, de démonstrations,d’algorithmes (Euclide, Pythagore, ...), des définitions, structurations « d’objets àsavoir 2 ». Et il se trouve que <strong>le</strong>s travaux de l’IREM de Lyon ont montré que <strong>le</strong>dispositif « problème ouvert » favorise une part de cette activité en particulier parcequ’il incite aux essais, aux conjectures, à l’élaboration de processus et de1 Il est clair que <strong>le</strong> type d’action que nous identifions ici s’entend au-delà du domainegéométrique et fondent une grande partie de l’activité mathématique tel<strong>le</strong> que nous souhaitonsla mettre en évidence.142 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
aisonnements. Nous pouvons ainsi imaginer nous appuyer sur ce dispositif pourenvisager des situations dont l’un des objectifs est de permettre aux élèves d’êtreproducteurs de mathématiques 3 . Toutefois il est alors nécessaire de <strong>le</strong> compléter pourprendre en compte l’aspect action et travail sur <strong>le</strong>s objets mathématiques qui n’étaitpas jusqu’alors problématisé. Nous formulons dans ce cadre plusieurs hypothèses :- Lors de la recherche de problèmes en classe, dans <strong>le</strong> cadre de situationsspécifiques, se produit une activité permettant la construction de connaissancesmathématiques,- Ainsi, ce ne sont pas uniquement des compétences transversa<strong>le</strong>s quipeuvent être travaillées mais éga<strong>le</strong>ment des concepts de mathématiques,- Si on ne peut soumettre <strong>le</strong>s objets mathématiques à aucune expérience... !!(au sens des sciences expérimenta<strong>le</strong>s), en considérant a minima quel’expérimentation en mathématiques consiste à explorer et développer <strong>le</strong>spossib<strong>le</strong>s, cela se produit lors de manipulations qui agissent sur du concret, c’està-dire« de l’abstrait rendu familier par l’usage » 4 ,- La recherche de problèmes en classe de mathématiques est fondamenta<strong>le</strong>dans la construction des connaissances des élèves en ce sens qu’el<strong>le</strong> <strong>le</strong>ur permetde faire fonctionner des notions, de naturaliser <strong>le</strong>s objets manipulés, d’élargir <strong>le</strong>champ d’expériences, de produire des élaborations théoriques, des connaissancesnouvel<strong>le</strong>s.Nous allons par la suite illustrer sur deux exemp<strong>le</strong>s ces différents aspects. Maisrevenons tout d’abord sur la nécessaire démarche d’étude épistémologiqueapprofondie que l’on doit mener pour construire des situations didactiquesfavorab<strong>le</strong>s.2. Elaboration de situations favorab<strong>le</strong>sLà encore nous nous sommes appuyés, pour débuter nos travaux, sur <strong>le</strong>sressources de l’IREM de Lyon et sur des situations mathématiques déjà repéréescomme « résistantes » 5 . La nécessité de porter notre intérêt sur <strong>le</strong>s objetsmathématiques en jeu nous amène ensuite à questionner de manière encore plusapprofondie la consistance épistémologique des situations que nous voulonsproposer. Marie-Line Gardes (Gardes, 2009) a récemment abordé l’étude de laconsistance par l’observation d’une recherche contemporaine autour de la conjectured’Erdös-Straus 6 , et Mathias Front (Front, 2010) par une enquête historique autour dela recherche de Kep<strong>le</strong>r des pavages semi-réguliers du plan 7 .Un cadre théorique pour ces élaborations nous est fourni par <strong>le</strong>s travaux2 Suivant une expression de Pierre Duchet (Association MATh.en.JEANS) qui introduit, dans<strong>le</strong> cadre des situations-recherche, un objet de recherche, objet d’étude, objet « à » savoir etnon objet « de » savoir ».3 Comme ce que nous proposons s’inscrit clairement dans un processus globald’enseignement/apprentissage pour <strong>le</strong>s classes du secondaire nous rappelons que nospréoccupations intégrent bien évidemment l’acquisition des connaissances et compétences desprogrammes de mathématiques du collège et du lycée.4 Langevin, P. (1950). La pensée et l'action, textes recueillis et présentés par Paul Larenne,préfaces de Frédéric Joliot-Curie et Georges Gniot. Paris : Les Editeurs Français Réunis.5 Une situation résistante est une situation mathématique qui peut être abordée en utilisant desconcepts mathématiques élémentaires, et qui permet des recherches n’aboutissant pas à unesolution globa<strong>le</strong> et définitive rapidement. Un grand nombre de ces situations sont disponib<strong>le</strong>sdans (Arsac & Mante, 2007) et (Aldon et al., 2010).6 Cette étude fait l’objet d’un artic<strong>le</strong> dans ces présents actes.7 La situation adossée à cette dernière étude sera évoquée plus loin dans <strong>le</strong> texte.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ143
d’Isabel<strong>le</strong> Bloch (Bloch, 2002) : ils permettent la théorisation du va et vient entre <strong>le</strong>milieu épistémologique, <strong>le</strong> milieu expérimental a priori et la confrontation à lacontingence pour l’élaboration des situations. Dans ce cadre, nous étudions dans unpremier temps <strong>le</strong>s conditions nécessaires à l’élaboration de la situation du point devue « théorique » par une analyse de la structure mathématique de l’objet à savoir(manifestations anciennes ou contemporaines de ce savoir, environnementmathématique, culturel et social, place dans <strong>le</strong>s mathématiques actuel<strong>le</strong>s, obstac<strong>le</strong>sépistémologiques relatifs à cet objet).Puis nous envisageons l’élaboration d’un jeu relatif à l’objet à savoir mettant enprésence un acteur ou des acteurs et un milieu matériel susceptib<strong>le</strong> de rétroactions,avec une composante adidactique importante. Nous étudions des conditionssuffisantes pour qu’un jeu existe avec une première analyse de la pertinence de lasituation didactique envisagée par rapport au savoir mathématique et au savoirantérieur requis, une recherche des variab<strong>le</strong>s de cette situation, une analyse de laconsistance de la situation (il s’agit de vérifier que <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s retenues ne sont pascontradictoires c’est-à-dire ne conduisent pas à des connaissances incompatib<strong>le</strong>s,même provisoirement, pour l’actant).Une troisième étape permet de construire l’ingénierie didactique effective,relative à l’objet à savoir, de fixer <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s, de définir <strong>le</strong> milieu avec exactitude,d’anticiper, de prévoir des comportements, <strong>le</strong>s jeux possib<strong>le</strong>s de l’élève et <strong>le</strong>s jeuxdu professeur, de prévoir de recueillir des observab<strong>le</strong>s, de <strong>le</strong>s organiser, de <strong>le</strong>sinterpréter dans <strong>le</strong> cadre défini.Suivent des confrontations à la contingence, indispensab<strong>le</strong>s pour juger de lapertinence des analyses précédentes et <strong>le</strong>s affiner. Lors de ces confrontations à lacontingence, nous sommes, pour ce qui nous préoccupe ici, particulièrement attentifsà l’engagement des élèves dans un processus de va et vient entre l’exploration duproblème, en appui sur <strong>le</strong>s manipulations d’objets, et <strong>le</strong>s élaborations théoriques.Concernant <strong>le</strong>s actions et <strong>le</strong>s élaborations dans l’action, nous pouvons préciserqu’il s’agit bien d’identifier des instants constitutifs de l’élaboration conceptuel<strong>le</strong> oude processus, au-delà de l’action sur <strong>le</strong>s objets. Car rappelons-<strong>le</strong>, si <strong>le</strong>s objets« délimitent a priori l’espace discursif dans <strong>le</strong>quel n’importe quoi ne peut pas êtredit » (Durand-Guerrier & Dias, 2008), <strong>le</strong>ur prégnance empêche parfois <strong>le</strong>sconstructions conceptuel<strong>le</strong>s attendues. Ces identifications se font essentiel<strong>le</strong>ment par<strong>le</strong>s analyses des échanges, lors du travail en groupes ou lors des débats sur la validitédes résultats présentés. Nous présentons maintenant deux illustrations de la mise enœuvre de situations didactiques élaborées dans ce contexte.3. Deux illustrations3.1. La rivière : des élèves qui explorent des possib<strong>le</strong>s et naturalisent de l’abstraitLes éléments que nous présentons ici sont issus d’une expérimentation defévrier 2011, en classe de Termina<strong>le</strong> scientifique, dans <strong>le</strong> cadre d’une étude dutransfert de notre ressource documentaire à des collègues du secondaire.144 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Le professeur de la classe s’étantapproprié efficacement <strong>le</strong> dispositif, la séanceobservée laisse la place à 10 minutes derecherche individuel<strong>le</strong> puis aux actions libresdes élèves lors d’un travail par groupe dequatre d’environ 50 minutes. Les élèvesdisposent, pendant ce temps, d’ordinateurssur <strong>le</strong>s bords de la sal<strong>le</strong> et ont en particulier àdisposition un logiciel de géométriedynamique familier. A l’issue, chaque groupeproduit un transparent qui est présenté àl’ensemb<strong>le</strong> de la classe par un rapporteur.Les observations confirment qu’il y a une infinité de manières d’objectiver undomaine de la réalité empirique (qui peut être soumis à l’expérimentation) et qu’iln’y a pas une seu<strong>le</strong> manière de résoudre un problème 8 ! Lors de l’expérimentation,nous avons pu identifier une activité mathématique correspondant à cel<strong>le</strong> attendue etplus précisément ici, des élèves qui essayent, conjecturent, réalisent desmanipulations de concepts (barycentres, symétries, optimisation numérique,analytique, ...) ce qui participent de <strong>le</strong>ur naturalisation. Si nous examinons <strong>le</strong>s écritsfigurant en annexe 1, on peut observer :– une première recherche qui propose une conjecture s’appuyant sur <strong>le</strong>sprojections orthogona<strong>le</strong>s. Cette conjecture est éprouvée et rapidementrejetée. A l’issue de cette première phase la recherche se trouve réduite ;– une nouvel<strong>le</strong> approche utilisant un cerc<strong>le</strong> de diamètre fixé. Laconjecture sous-jacente est là partiel<strong>le</strong>ment rejetée, en particulier parl’usage du logiciel de géométrie dynamique. L’absence de raisonnementassocié à cette approche est re<strong>le</strong>vée.D’autres propositions sont faites, utilisant par exemp<strong>le</strong> <strong>le</strong>s notions de tangente àun cerc<strong>le</strong>, de tangentes communes à deux cerc<strong>le</strong>s, de barycentre 9 , et éga<strong>le</strong>ment uneapproche analytique (cf. annexe 2). Le débat sur <strong>le</strong>s procédures, engagé à l’issue dechaque présentation, participe de la naturalisation des différents objets introduits etla séance d’institutionnalisation pourra se conclure sur des preuves 10 possib<strong>le</strong>s,s’appuyant sur des objets désormais plus familiers.3.2. Pavages semi-réguliers du plan : des élèves qui explorent des possib<strong>le</strong>s etstructurent un nouvel objet mathématiqueLa situation proposée maintenant s’appuie sur la détermination de tous <strong>le</strong>spavages semi-réguliers du plan, c’est-à-dire des pavages stricts du plan à l’aide depolygones réguliers convexes, et présentant certaines régularités autour d’un nœud 11 .La planche ci-dessous montre en L, M, N, P, R, S, V des pavages semi-réguliersidentifiés par Kep<strong>le</strong>r. Les écrits de l’Harmonices Mundi (Kep<strong>le</strong>r, 1619/1980),particulièrement détaillés, mais aussi ceux de ses successeurs Badoureau, Lévy, ontpermis une étude épistémologique approfondie. Il a alors été possib<strong>le</strong> :8 Ce dont il faut se convaincre avant d’observer l’activité des élèves pour rester ouvert àdémarche même surprenante a priori.9 Il est à noter que plusieurs de ces propositions portent en el<strong>le</strong>s des approches pertinentespour la résolution du problème.10 Sans perdre de vue que la création d’un processus est aussi importante que l’établissementd’une preuve.11 Cf. Front, M. (2010), déjà cité.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ145
– d’identifier des objets potentiel<strong>le</strong>ment travaillés,– d’identifier des démarches possib<strong>le</strong>s,– d’identifier des obstac<strong>le</strong>s, des erreurs,– de percevoir l’influence des relations spécifiques aux objets 12 ,– d’envisager <strong>le</strong>s limites de l’action sur <strong>le</strong>s objets.Sur ce dernier point, nous pouvonspar exemp<strong>le</strong> suspecter que, quand Kep<strong>le</strong>récrit « nous affirmons à juste titre que <strong>le</strong>côté de l’heptagone fait partie des nonêtres; j’entends connaissab<strong>le</strong>s », <strong>le</strong>polygone à sept côtés va avoir une placebien particulière dans <strong>le</strong> milieu objectifde la recherche.Sans al<strong>le</strong>r ici plus avant dans cetteanalyse historique et épistémologique,nous pouvons affirmer que la situation serévè<strong>le</strong> propice aux actions sur denombreux objets, que des élaborationsthéoriques sont possib<strong>le</strong>s et que larelation que chacun entretient avec <strong>le</strong>s objets mathématiques a une influencefondamenta<strong>le</strong>, particulièrement pour ce qui concerne la dimension expérimenta<strong>le</strong> dela recherche. Montrons sur trois extraits, issus d’expérimentations en Termina<strong>le</strong>scientifique (TS) et en formation continue du second degré, la forme que peuventprendre <strong>le</strong>s actions sur <strong>le</strong>s objets et <strong>le</strong>s productions.Après un premier travail numérique, un groupe en TS s’engage dans lamanipulation de représentations de certains polygones réguliers, découpées dans dupapier de cou<strong>le</strong>ur (annexe 3). Cette manipulation engendre un questionnement sur lacongruence des longueurs.« - tu veux dire si on en prend un de c’te longueur là et ben ça marche ?- mais on peut pas !- et pourquoi ?- ben parce que <strong>le</strong> coin de là il est dans la longueur là et c’est dit...- ah ouais c’est vrai- on exclut de ce problème <strong>le</strong>s pavages tels que <strong>le</strong> sommet d’un polygoneappartienne au côté ...- on aurait du y penser tout de suite alors ».Cette congruence, dont <strong>le</strong> questionnement n’est pas fréquent, se déduit ici d’uneinteraction entre la manipulation et <strong>le</strong>s données du problème. Le même groupe aproduit l’affiche reprise en annexe 4 qui montre un début de structuration del’ensemb<strong>le</strong> des pavages semi-réguliers du plan :– avec la représentation de certains éléments de cet ensemb<strong>le</strong> (dont uncandidat invalidé lors du débat) ;– avec l’élaboration de conditions nécessaires, sur la congruence descôtés, sur la somme des ang<strong>le</strong>s autour d’un nœud ;– avec la reconnaissance de l’aspect non suffisant de cette dernièrecondition dans une considération globa<strong>le</strong>.12 La recherche de Kep<strong>le</strong>r sur <strong>le</strong>s pavages, qui s’inscrit dans une recherche globa<strong>le</strong> del’Harmonie du monde, s’appuie sur une relation aux objets et une représentation du mondetrès personnel<strong>le</strong> et spécifique (on pourra consulter sur cet aspect Simon (1979)). L’étuded’autres auteurs confirme que chacun entretient une relation particulière au monde et auxobjets mathématiques, relation qui induit des pratiques spécifiques et des élaborationsnécessairement différentes.146 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Suite à une expérimentation en formation continue, l’étude d’un échange permetd’identifier un retour aux actions sur <strong>le</strong>s objets, lors de l’analyse problématiqued’une relation obtenue dans l’étude des pavages réguliers. Mis en difficulté par larelation 180 ×n − 2n= 360p, des collègues du second degré s’interpel<strong>le</strong>nt :« Non mais c’est des trucs que tu vois en termina<strong>le</strong> »... (en référence à des équationsdiophantiennes). Mais si on en met plus de 6 on va peut-être trouver un ang<strong>le</strong> trop aigu. Sisi on va s’en sortir parce que là on essaie d’en mettre <strong>le</strong> plus possib<strong>le</strong> à un moment donné€on arrive à des ang<strong>le</strong>s aigus plus petits que l’ang<strong>le</strong> du triang<strong>le</strong> ça marche plus ben toutsimp<strong>le</strong>ment, on peut pas faire moins que 60 ... et oui oui ... n il est forcément plus grandou égal à 60 euh… Non pas n, p »Et c’est ainsi, par la manipulation d’images menta<strong>le</strong>s des polygones réguliers,que ces collègues trouvent une piste qui <strong>le</strong>ur permettra ultérieurement, ladétermination de tous <strong>le</strong>s candidats pavages. Ces extraits illustrent ainsi que lasituation proposée permet, en appui sur des connaissances déjà naturalisées ounaturalisées pendant la séance, de produire :– des éléments de l’ensemb<strong>le</strong> des pavages archimédiens,– des conditions nécessaires (pour l’existence d’un pavage strict, pourl’assemblage autour d’un nœud),– des caractérisations (aspect global, travail sur <strong>le</strong> type d’un nœud, ...),– des preuves, dans certains cas particuliers,– des processus de constructions.ConclusionDans l’étude des productions mathématiques des élèves, élaborées lors desituation de recherche en classe, il apparait indispensab<strong>le</strong> de prendre enconsidération <strong>le</strong>s objets disponib<strong>le</strong>s dans <strong>le</strong> milieu de la recherche, <strong>le</strong>s actionsengagées sur ces objets, <strong>le</strong>s relations que <strong>le</strong>s individus entretiennent avec <strong>le</strong>s objets.Les illustrations présentées ici permettent de montrer des élèves qui, dans <strong>le</strong> cadredes situations proposées, se familiarisent avec des concepts, structurent des objetsmathématiques, produisent des processus qui conduisent à des élaborationsthéoriques. Les pistes proposées par <strong>le</strong> travail du groupe DREAM autour de cessituations permettent ainsi d’envisager des apprentissages conceptuels dans ce cadre,<strong>le</strong>s modalités du dispositif garantissant par ail<strong>le</strong>urs que chaque élève peut s’engagerdans <strong>le</strong>s élaborations mathématiques.Cette réf<strong>le</strong>xion sur <strong>le</strong>s investigations mathématiques possib<strong>le</strong>s autour d’unesituation construite dans ce paradigme se doit d’être poursuivie à l’heure où lademande institutionnel<strong>le</strong> oriente l’activité attendue des élèves dans cette direction.BibliographieAldon, G., Cahuet, P.-Y., Durand-Guerrier, V., Front, M., Krieger, D., Mizony, M. & Tardy,C. (2010). Expérimenter des problèmes de recherche innovants en mathématiques à l’éco<strong>le</strong>.Cédérom INRP.Arsac, G. & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert, IREM de Lyon, SCEREN-CRDP Académie de Lyon.Bloch, I. (2002). Différents niveaux de modè<strong>le</strong>s de milieu dans la théorie des situations. Actesde la 11ème éco<strong>le</strong> d’été de Didactique des Mathématiques. Grenob<strong>le</strong> : La Pensée Sauvage.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ147
Brousseau, G. (1998). Théorie des Situations Didactiques. Grenob<strong>le</strong> : La Pensée Sauvage.Durand-Guerrier, V. & Dias, T., (2008). Faire l’épreuve des objets en mathématiques. Le casdes polyèdres réguliers, Actes du colloque international, efficacité et équité en éducation.Front, M. & Legrand, P. (2010). Pavages semi-réguliers du plan. Bul<strong>le</strong>tin de l’APMEP,n° 486, 60-66Front, M. (2010). Pavages semi-réguliers du plan. Élaboration d’une situation favorab<strong>le</strong> à ladia<strong>le</strong>ctique théorie-objets. Mémoire de master HPDS de l’Université Lyon 1.Gardes, ML. (2009). Étude du processus de recherche d’élèves de termina<strong>le</strong> scientifiqueconfrontés à la résolution d’un problème en cours en arithmétique. Mémoire de master HPDSde l’Université Lyon 1.Kep<strong>le</strong>r, J. (1980). Harmonie du monde. Harmonices Mundi. Traduit du latin avec unavertissement et des notes par Jean Peyroux. Paris : Blanchard.Longo, G. (1997). De la cognition à la géométrie.http ://www.di.ens.fr/~longo/download.htmlSimon, G. (1979). Kep<strong>le</strong>r astronome astrologue. Paris : Gallimard, Bibliothèque des scienceshumaines.148 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
ANNEXESAnnexe 1 Annexe 2Annexe 3 Annexe 4Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ149
150 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Des Situations de Recherche pour la ClasseQuels apports en terme d’« autonomie mathématique » del’élève ? Quels types de ressources pour <strong>le</strong>s enseignants ?Simon MODESTEInstitut Fourier100 rue des Maths, BP 7438402 St Martin d’Hères cedex, (France)simon.modeste@ujf-grenob<strong>le</strong>.frRÉSUMÉ : On s’intéresse ici aux Situations de Recherche pour Classe (SiRC), qui sont unetransposition à la classe de l’activité du chercheur professionnel. On présentera <strong>le</strong>urs apportsen terme de créativité mathématique de l’élève. Puis, en se basant sur deux travaux précédentsde l’équipe ‘Maths à Mode<strong>le</strong>r’, on amorcera une réf<strong>le</strong>xion sur la transmission de ces SiRC.ABSTRACT: We are interested here in Research Situations for the Classroom (RSC), which area transposition in the classroom of the activity of the professional researcher. We will showhow RSC contribute to the development of pupils’ mathematical creativity. Then, we willdiscuss the transmission of those RSC, on the basis of two previous artic<strong>le</strong>s from the ‘Maths àMode<strong>le</strong>r’ team.MOTS-CLÉS : Situation de Recherche pour la Classe, SiRC, transmission, ressources,créativité mathématique, activité de rechercheKEYWORDS: Research Situation for the Classroom, RSC, transmission, ressources,mathematical creativity, research activityActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ151
IntroductionLes Situations de Recherche pour la Classe (SiRC) sont développées par l’équipeMaths à Mode<strong>le</strong>r depuis plusieurs années. El<strong>le</strong>s sont une transposition dans la classede l’activité du chercheur en mathématiques. Une spécificité des SiRC tient au fait que<strong>le</strong>ur objectif principal n’est pas la découverte ou l’apprentissage d’un conceptmathématique désigné par <strong>le</strong> curriculum, ni la mise en place ou <strong>le</strong> travail d’unetechnique spécifique, mais bien la pratique de la démarche de recherche en el<strong>le</strong>-même.Dans une première partie nous présenterons <strong>le</strong>s SiRC et quelques exemp<strong>le</strong>s.Lors d’une SiRC, une forte responsabilité est laissée à l’élève, notamment autravers de variab<strong>le</strong>s didactiques particulières, laissées à sa disposition, <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s derecherche. Dans ces situations, l’élève a à sa charge de répondre à une questionmathématique initia<strong>le</strong>, mais aussi de formu<strong>le</strong>r ses propres questions, de définir <strong>le</strong>sobjets qu’il manipu<strong>le</strong>, de formu<strong>le</strong>r ses propres conjectures, de <strong>le</strong>s prouver etc. L’élèvese retrouve donc en position de chercheur, et en ce sens de créateur de mathématiques.Dans la deuxième partie, nous verrons en quoi <strong>le</strong>s SiRC permettent la mise en placed’un tel processus et analyserons <strong>le</strong>s types de savoirs en jeu.Par ail<strong>le</strong>urs, la réussite d’une SiRC est conditionnée par une rupture spécifique ducontrat didactique, demandant une gestion particulière de la classe, souvent aidée parla présence d’un chercheur auprès de l’enseignant. La gestion de ces situations par unenseignant seul est souvent diffici<strong>le</strong>. Des propositions de formation existent, et desressources, à destination des enseignants et des formateurs, ont été développées encollaboration avec des enseignants. Ce sera l’objet de la troisième partie de ce texte.1. Des situations de recherche pour la classe1.1. Exemp<strong>le</strong>sVoici trois exemp<strong>le</strong>s, que nous ne développerons pas, mais qui montrent quelstypes de problèmes sont proposés pour une SiRC. Ils ne sont pas nécessairementprésentés tels que nous <strong>le</strong>s proposons à la classe.La chasse à la bête :Dans une gril<strong>le</strong> 5 × 5 (<strong>le</strong> « jardin »), des « bêtes » (3 casesalignées vertica<strong>le</strong>ment ou horizonta<strong>le</strong>ment) peuvent entrer. On peut<strong>le</strong>s en empêcher en disposant des pièges dans <strong>le</strong> jardin :lorsqu’une case contient un piège, une bête ne peut plus s’instal<strong>le</strong>rdessus. On peut, par exemp<strong>le</strong>, empêcher toute bête d’entrer endisposant 12 pièges de comme ci-contre. La question se pose alors : Peut-on fairemieux ? Quand est-on sur d’avoir la meil<strong>le</strong>ure solution ?Les pièces d’échiquier :Sur un échiquier (8 × 8), on veut placer unepièce d’échec (un fou par exemp<strong>le</strong>) <strong>le</strong> plusgrand nombre de fois sans qu’aucune ne soit enposition de manger une autre. Combien aumaximum peut-on mettre de fous surl’échiquier ? Comment être sur que l’on aatteint <strong>le</strong> maximum ? Ci-contre : <strong>le</strong>déplacement du fou et une solution avec 8 fous : on ne peut pas en ajouter d’autresmais est-ce la meil<strong>le</strong>ure solution ?152 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Pavage par <strong>le</strong>s dominos :On souhaite paver un carré avecdes dominos. Pour un 6 × 6, il estfaci<strong>le</strong> de trouver une solution. Maispour un 7 × 7, il reste toujours unecase libre. La case libre peut-el<strong>le</strong>occuper la place que l’on veut dans <strong>le</strong>carré ?1.0. Une caractérisation :Grenier & Payan (2003) donnent la caractérisation suivante des SiRC :1. Une SiRC est proche de questions de recherche actuel<strong>le</strong>s.2. La question initia<strong>le</strong> est faci<strong>le</strong> d’accès.3. Des stratégies initia<strong>le</strong>s simp<strong>le</strong>s existent.4. Plusieurs développements et stratégies d’avancée sont possib<strong>le</strong>s.5. Une question résolue doit pouvoir amener à de nouvel<strong>le</strong>s questions.1.2. Un format : <strong>le</strong>s ateliers Maths à Mode<strong>le</strong>rDans <strong>le</strong>s classes, généra<strong>le</strong>ment, une SiRC est présentée en tant qu’atelier Maths àMode<strong>le</strong>r, dont la forme est inspirée de l’expérience MATh.en.JEANS. L’atelier sedérou<strong>le</strong> sur 6 à 8 semaines, à raison d’une séance d’une heure environ par semaine.Les élèves cherchent par groupes de 3 ou 4. Un bilan est fait en fin de chaque séance.Les 2 dernières séances sont souvent consacrées à la préparation d’un exposé pour unséminaire junior où plusieurs classes présentent <strong>le</strong>urs recherches.2. L’élève créateur de mathématiques2.1. Variab<strong>le</strong>s de rechercheLors d’une SiRC une forte responsabilité est déléguée à l’élève. En effet, à partirde la question initia<strong>le</strong>, il a <strong>le</strong> choix de ses questions et donne une direction de sonchoix à ses recherches. Certaines variab<strong>le</strong>s de la situation (didactiques ou non) sontlaissées à la disposition de l’élève pour organiser son travail de recherche.Par exemp<strong>le</strong>, lors du problème de pavage par des dominos, lorsque l’élèvechercheurtrouve un pavage de tout carré pair, il peut vouloir généraliser en sedemandant si l’on peut paver un rectang<strong>le</strong> pair. Mais il peut aussi se poser la questionpour des carrés impairs ou encore essayer de changer la forme du « pavé ». Cesvariab<strong>le</strong>s sont appelées <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s de recherche de la situation. « El<strong>le</strong>s déterminentla compréhension et l’intérêt de la question, son ouverture à de nouvel<strong>le</strong>s questions,l’élargissement des stratégies de recherche, <strong>le</strong>s possibilités de transformation duproblème (modélisation). » (Grenier & Payan, 2003)En ce sens, l’élève devient acteur de sa recherche et peut s’atte<strong>le</strong>r à la résolutionde ses propres questions. « L’élève se retrouve en effet en position de « chercheur »mais aussi en situation de « gestionnaire » de sa propre recherche : c’est lui qui choisitet modifie <strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs des variab<strong>le</strong>s de recherche. » (Cartier et al., 2006)2.2. Activité mathématiqueL’objectif principal d’une SiRC est la transposition dans la classe de l’activité duchercheur. Cette activité peut être appelée activité mathématique, démarche derecherche mathématique, démarche de preuve, raisonnement mathématique ou penséeActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ153
mathématique. Ces terminologies sont équiva<strong>le</strong>ntes dès qu’on <strong>le</strong>s considère dans unsens global. El<strong>le</strong>s diffèrent uniquement par <strong>le</strong> fait qu’el<strong>le</strong>s mettent chacune l’accentsur un aspect spécifique de la démarche, selon <strong>le</strong> point de vue adopté.Nous écartons cependant <strong>le</strong> terme de démarche d’investigation, qui fait référence àun type de contrat ou une méthode d’enseignement. Une démarche d’investigationpeut, a priori, n’avoir aucun lien avec l’activité du chercheur. Les SiRC entrenteffectivement dans <strong>le</strong> cadre d’une démarche d’investigation, mais ce cadre ne permetpas d’analyser <strong>le</strong>s situations et problèmes mathématiques ainsi que l’activité derecherche, vue comme transposition de l’activité du chercheur.Les SiRC permettent à l’élève-chercheur d’entrer dans une démarche de recherche,cela a été largement montré dans <strong>le</strong>s travaux de l’équipe Maths à Mode<strong>le</strong>r. Citonsentre autres, <strong>le</strong>s travaux de Giroud (2008) sur <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> de l’expérimental dans l’activitémathématique et notamment lors des SiRC, ceux de Cartier (2008) concernantnotamment l’activité de modélisation dans <strong>le</strong> cadre de la théorie des graphes, ou ceuxde Ouvrier-Buffet (2007) concernant la définition et qui fournissent un cadre pouranalyser cette activité dans <strong>le</strong>s cadre des SiRC.Les SiRC permettent à l’élève d’expérimenter, conjecturer, prouver, rejeter uneconjecture par un contre-exemp<strong>le</strong>, modéliser, définir <strong>le</strong>s objets manipulés, généraliserou particulariser, etc. Ces phases font partie intégrante de l’activité du chercheur.Lorsqu’il entre dans cette démarche, l’élève-chercheur est alors en position decréateur de mathématiques. La preuve est au cœur de l’activité mathématique, el<strong>le</strong> est<strong>le</strong> but principal de la recherche (professionnel<strong>le</strong> ou en SiRC). El<strong>le</strong> est structurée pardes raisonnements, qui sont un objectif d’apprentissage central des SiRC. Citons <strong>le</strong>snotions de conditions nécessaire et suffisante, <strong>le</strong> raisonnement par l’absurde, parinduction, l’utilisation de contre-exemp<strong>le</strong>s, la preuve par forçage, la recherched’invariants, l’activité de définition, etc, comme raisonnements pouvant intervenirdans <strong>le</strong>s SiRC.Tous ces savoirs et savoir-faire en jeu sont particuliers, nous <strong>le</strong>s appelons savoirstransversaux. Ils sont transversaux en deux sens. D’abord, ils sont transversaux auxmathématiques : ils ne sont pas spécifiques à une branche ou une autre et font partied’une culture commune à tous <strong>le</strong>s mathématiciens. Ensuite, ils ne font pas l’objetd’une partie ou d’un chapitre spécifiques des programmes. D’ail<strong>le</strong>urs, <strong>le</strong>s nouveauxprogrammes du lycée (2009) contiennent une rubrique Notations et raisonnementmathématiques, « consacrée à l’apprentissage des notations mathématiques et à lalogique [et qui] ne doit pas faire l’objet de séances de cours spécifiques mais doit êtrerépartie sur toute l’année scolaire ».3. Ressources et formations pour <strong>le</strong>s SiRCLe contrat didactique lors d’une SiRC est en rupture forte avec <strong>le</strong> contrat usuel dela classe. Notamment, on peut re<strong>le</strong>ver <strong>le</strong>s contrastes suivants :154 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Contrat« usuel »Contrat SiRCDémarcheLinéaire,déterminéepar une suitede questionspréparées parl’enseignantNon-linéaire, al<strong>le</strong>rs-retours entre <strong>le</strong>s différentsmoments, EC 13 peut explorer plusieurs pistes ; EGveil<strong>le</strong> à ce que ces choix ne mènent passystématiquement à des impassesQuestionsPosées parl’enseignantSou<strong>le</strong>vées par EC ; EG est garant qu’el<strong>le</strong>s relèventdes mathématiquesDéfinitionsFixées par <strong>le</strong>professeur,déjà adaptéesaux besoinsde la classeÀ construire, peuvent évoluer selon <strong>le</strong>s besoins ;la nécessité de communication, par exemp<strong>le</strong>, peutcréer un besoin de poser une définitionValidationL’enseignantvalide ouinvalide <strong>le</strong>résultat del’élèveL’élève est responsab<strong>le</strong> de la validation de sesconjectures, l’enseignant veil<strong>le</strong> à la validité desraisonnements en <strong>le</strong>s requestionnantFinL’activités’arrêtelorsque toutes<strong>le</strong>s questionssont traitéesL’activité n’a qu’une fin dans <strong>le</strong> temps, certainesquestions restent sans réponse, ou avec uneréponse partiel<strong>le</strong>Généra<strong>le</strong>ment, cette rupture de contrat est aidée par la présence dans la classe d’unchercheur. Cependant, pour que la pratique des SiRC se généralise, il faut sedemander comment l’enseignant peut gérer seul de tel<strong>le</strong>s situations et quels typesd’accompagnements et de documentations pourraient être mis en place.D’autre part, comme <strong>le</strong> notent Gandit et Giroud (2009), « <strong>le</strong>s enseignants peuventêtre réticents à s’engager dans une pratique qui met en jeu des savoirs qui ne <strong>le</strong>ur sontpas familiers ou qu’ils n’ont peut-être jamais fréquentés ». Chez <strong>le</strong>s enseignants dusecondaire, s’ajoute généra<strong>le</strong>ment une réticence à engager la classe sur un temps aussilong, d’autant plus qu’une SiRC ne traite aucun chapitre du programme. Cependant, larubrique notations et raisonnement mathématiques des programmes de lycée pourraitdorénavant fournir une réponse à cette préoccupation. Chez <strong>le</strong>s enseignants duprimaire, il semb<strong>le</strong> que ce soit plutôt des craintes concernant la gestion mathématiquede la situation qui prédominent.3.1. Formations et ressourcesLa construction de ressources pour l’enseignant, ainsi que la formation desenseignants aux SiRC se révè<strong>le</strong>nt comp<strong>le</strong>xes. Nous allons étudier deux propositions detransmission des SiRC, l’une sous forme de fiche à destination des enseignants, l’autresous forme d’une proposition de formation aux SiRC en formation initia<strong>le</strong>.3.1.1. Une fiche Maths à Mode<strong>le</strong>rGravier, Payan et Colliard (2008), deux mathématiciens et une professeur des13 EC = élève-chercheur ; EG = enseignant-gestionnaireActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ155
éco<strong>le</strong>s proposent de réaliser des fiches pour « mettre à disposition des enseignantscertaines de ces situations ». Ils proposent ensuite une fiche pour la situation depavage par des dominos. La structure de cette fiche est la suivante :– Présentation des caractéristiques des SiRC– Chronologie globa<strong>le</strong> d’un atelier– Compétences en jeu (en lien avec <strong>le</strong>s programmes de 2005)– Présentation du problème et organisation d’un atelier sur la base de septséances où chaque séance est détaillée en « Objectifs », « Matériel »,« Dérou<strong>le</strong>ment et durée de la séance » et « Avertissements »– Récapitulatifs des apprentissages transversaux et notionnelsLes auteurs insistent aussi sur <strong>le</strong> fait que l’enseignant doit chercher seul sur <strong>le</strong>problème avant toute <strong>le</strong>cture de la fiche.Une tel<strong>le</strong> fiche donne un bon aperçu du dérou<strong>le</strong>ment d’une SiRC, et permet à unenseignant de se convaincre de la possibilité de sa mise en œuvre. El<strong>le</strong> fournit enquelque sorte, à la fois un mode d’emploi et une analyse a priori de la situation.L’inconvénient est que la démarche de recherche est rendue plus linéaire, et chaqueséance est destinée à l’étude d’un point précis du problème. Cependant, <strong>le</strong>s al<strong>le</strong>rsretoursentre conjecture et preuve peuvent encore vivre au cours d’une séance. Ce typede fiche permet, en théorie, à un enseignant de mettre en place effectivement uneSiRC dans sa classe. Cependant, il serait à tester si la démarche de recherche vitréel<strong>le</strong>ment après une tel<strong>le</strong> transmission, notamment en fonction de l’expériencepersonnel<strong>le</strong> qu’a l’enseignant de la recherche de problèmes. Notons aussi qu’une tel<strong>le</strong>fiche est parfaitement adaptée pour un enseignant ayant déjà une expérience degestion des SiRC mais désirant proposer un nouveau problème.3.1.2. SiRC et formation initia<strong>le</strong>Giroud et Gandit (2009) font une proposition de formation aux SiRC, à destinationd’enseignants en formation initia<strong>le</strong> qui seraient intéressés par « la pratique en classedes SiRC – pratique dans <strong>le</strong> quotidien de la classe – sans aide extérieure de la part dechercheurs ». Après avoir présenté <strong>le</strong>s SiRC via <strong>le</strong> problème des pièces d’échiquier, etl’intérêt de travail<strong>le</strong>r la démarche scientifique en classe, ils se posent la question detransmettre <strong>le</strong>s SiRC : « Les enseignants concernés doivent être persuadés que <strong>le</strong>sapprentissages réalisés à l’aide des SiRC sont suffisamment importants pour qu’il soitlégitime d’y consacrer des heures du temps scolaire. Comment amener <strong>le</strong>s enseignantsà cette conviction [...] ? » (op. cit.) Pour répondre à cette question, ils font laproposition suivante :– Mettre <strong>le</strong>s stagiaires en situation de recherche sur un temps court (1heure) sur <strong>le</strong> mode du débat scientifique, plusieurs variab<strong>le</strong>s de la situationétant fixées,– Montrer aux stagiaires une vidéo d’un séminaire junior ou <strong>le</strong>s faireassister à un tel séminaire pendant <strong>le</strong> reste de la séance. « Cette premièrepartie de la formation permet d’établir un lien direct entre <strong>le</strong>s SiRC et <strong>le</strong>sélèves et montre la faisabilité de cette pratique. » (op. cit.),– Mettre <strong>le</strong>s stagiaires en situation de recherche, par petits groupes, sur untemps plus long (2 à 3 séances) avec des variab<strong>le</strong>s de recherches plus libres.Les séances se concluant sur une présentation des résultats de chaquegroupe. La fin de la dernière séance pouvant être consacrée à unediscussion sur <strong>le</strong>s connaissances en jeu,– Faire vivre aux stagiaires une SiRC complète, sur quatre séances, suivied’une discussion sur la position de l’enseignant et la rupture du contratdidactique.Une autre modalité évoquée est un accompagnement personnalisé du stagiaire.156 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Cette proposition, relativement longue, paraît adaptée à une appropriation descaractéristiques des SiRC par <strong>le</strong>s stagiaires. A priori, <strong>le</strong>s stagiaires auront un vécu fortd’une démarche de recherche dans toute sa comp<strong>le</strong>xité. On peut imaginer que desenseignants seront tentés de mettre en place des SiRC dans <strong>le</strong>ur classe. Là aussi, ilfaudrait tester si la démarche de recherche survit aux contraintes de l’enseignant.3.2. ComplémentaritéDans <strong>le</strong>s deux propositions, certains aspects communs sont à souligner. Uneexpérience de recherche sur un temps long pour l’enseignant semb<strong>le</strong> primordia<strong>le</strong>, ainsiqu’une recherche suffisante sur <strong>le</strong> problème proposé à la classe. Cela a uneimplication directe sur la capacité de l’enseignant à reconnaître la validité ou non desarguments des élèves-chercheurs. En effet, l’enseignant doit « être capab<strong>le</strong> de repérer<strong>le</strong>s résultats valides, <strong>le</strong>s conjectures erronées avec un contre-exemp<strong>le</strong> (ce qui peuts’avérer diffici<strong>le</strong> à expliciter), <strong>le</strong>s stratégies pertinentes qu’il peut inciter à poursuivreen cas de découragement des élèves... Ce qu’il pourra ainsi repérer ne doit pas être ditaux élèves pendant <strong>le</strong>ur recherche, mais permet <strong>le</strong>s relances et sera uti<strong>le</strong> à certainsmoments d’institutionnalisation, prévus à l’avance » (Gandit & Giroud, 2009). Lesdeux propositions mettent aussi en avant la faisabilité de tels ateliers malgré <strong>le</strong>scontraintes, en montrant que <strong>le</strong>s SiRC sont réel<strong>le</strong>ment utilisées.Dans la proposition de fiche, la démarche devient plus linéaire, au profit d’unetransmission plus guidée de l’activité de l’enseignant. Cela a l’avantage de fournir uneactivité clé en main qui permet à l’enseignant de se lancer dans <strong>le</strong>s SiRC. Cependant,dans un second temps une documentation plus détaillée sur la démarche de rechercheou un accompagnement sur une SiRC moins guidée serait à envisager.À l’inverse, dans la proposition de Gandit et Giroud, on note une volonté forte dene pas dénaturer l’activité de recherche. Les stagiaires seront plus préparés à la gestionde SiRC dans <strong>le</strong>ur classe mais un gros travail de préparation de ces séances reste àfaire pour <strong>le</strong> futur enseignant. Giroud et Gandit (2009) notent tout de même que « sicette formation n’aboutit pas à une pratique effective des SiRC en classe de la part desenseignants impliqués dans la formation, on peut tout de même s’attendre à desretombées bénéfiques pour la classe ».ConclusionL’objectif de ce travail étant avant tout de sou<strong>le</strong>ver la question de la transmissiondes SiRC, nous conclurons sous forme de questions. Comment permettre aux futursenseignants d’avoir l’expérience de recherche nécessaire à la gestion des SiRC ? Parquels moyens peut-on convaincre <strong>le</strong>s enseignants que la mise en place de SiRC estpossib<strong>le</strong> et bénéfique ? Fiche d’atelier et formation pratique, sont complémentaires.Comment articu<strong>le</strong>r ces approches pour concevoir une formation des enseignants à lagestion des SiRC ? Quels peuvent être <strong>le</strong>s apports de ressources en ligne, permettantde produire des fiches moins linéaires et d’utiliser des supports vidéos ? Commentformer <strong>le</strong>s chercheurs aux SiRC pour qu’ils participent à <strong>le</strong>ur transmission ?La construction de ressources pour <strong>le</strong>s enseignants ou <strong>le</strong>s institutions, et <strong>le</strong> choixde la forme de ses ressources sont des questions fondamenta<strong>le</strong>s pour la diffusion destravaux sur <strong>le</strong>s SiRC et il semb<strong>le</strong> diffici<strong>le</strong> de se passer d’une formation en pratique desenseignants pour une bonne dévolution de la démarche.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ157
BibliographieCartier L. (2008), Le graphe comme outil pour enseigner la preuve et la modélisation, Thèse del’Université Joseph Fourier, http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00416598/fr/.Cartier L., Godot K., Knoll E., Ouvrier-Buffet C. (2006) Les situations-recherche : Apprendre àchercher en mathématiques. Colloques EMF et AMQ, Université de Sherbrooke, Canada.Gandit M., Giroud N. (2009) Un modè<strong>le</strong> de situations pour travail<strong>le</strong>r la démarche scientifiqueen mathématiques : <strong>le</strong>s Situations de Recherche en Classe. Actes des Journées S-TEAM.Giroud N. (2008) Learning the experimental approach by a discrete mathematics prob<strong>le</strong>m.ICME 11, http://tsg.icme11.org/document/get/760.Gravier S., Payan C., Colliard M.-N. (2008) Maths à Mode<strong>le</strong>r : pavages par des dominos.Grand N, n° 82, 53-68.Grenier D., Payan C. (2003) Situations de recherche en « classe » essai de caractérisation etproposition de modélisation. Les cahiers du laboratoire Leibniz, 92, http://www<strong>le</strong>ibniz.imag.fr/LesCahiers/2003/Cahier92/ResumCahier92.html.Ouvrier-Buffet C. (2007) Des définitions pour quoi faire ? Analyse épistémologique etutilisation didactique. Col<strong>le</strong>ction « Éducation et sciences », Éditions Fabert.158 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
La correspondance mathématique :une activité mathématique « créative »,quels apprentissages ?Mireil<strong>le</strong> GENIN*, Magali HERSANT*** Institut Supérieur Ozanam et Lycée F. D’Ambroise, IREM de Nantesmireil<strong>le</strong>.genin@ec44.scolanet.org** IUFM des Pays de la Loire, CREN, IREM de Nantes, Université deNantes4 chemin de Launay Vio<strong>le</strong>tte44300 NANTESmagali.hersant@univ-nantes.frRÉSUMÉ : Nous indiquons d’abord brièvement <strong>le</strong>s caractéristiques de la correspondancemathématique tel<strong>le</strong> que nous l’avons proposée. Puis, nous présentons son intérêt du point devue des apprentissages mathématiques des élèves. Pour cela nous nous appuyons sur desproductions d’élèves.ABSTRACT: We point out at first briefly the characteristics of the mathematicalcorrespondence such as we proposed it. Then, we present its interest from the point of view ofthe mathematical <strong>le</strong>arnings of the pupils. For this we <strong>le</strong>an on pupils' productions.MOTS-CLÉS : correspondance mathématique, activité mathématique « créative », résolutionde problèmesKEYWORDS: mathematical correspondence, creative activity, prob<strong>le</strong>me solvingActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ159
Depuis plusieurs années, nous étudions la résolution de problèmes mathématiquesdans <strong>le</strong> secondaire (ECCEmaths, 2009). Nos travaux nous ont conduits à imaginer <strong>le</strong>dispositif de « correspondance mathématique » qui permet une activité mathématique« créative » et problématisée (Hersant, 2011). Après la présentation de sescaractéristiques, nous indiquerons ici <strong>le</strong>s apprentissages qu’il nous semb<strong>le</strong> susceptib<strong>le</strong>de générer d’après <strong>le</strong>s différentes expérimentations effectuées. Sur cette base, nousémettrons aussi des suggestions pour son utilisation.1. La correspondance mathématique comme dispositif pédagogiqueEn France, plusieurs dispositifs pédagogiques ont été développés pour permettreun engagement « plus authentique » des élèves dans une activité mathématique(Artigue & Houdement, 2007) en référence à un type de problème particulier, <strong>le</strong>« problème ouvert » (Arsac & Mante, 2007). La correspondance mathématiqueprésente des spécificités par rapport à ces dispositifs. En particulier, c’est un échangeépistolaire entre deux élèves presque pairs, mais non pairs (par exemp<strong>le</strong> Termina<strong>le</strong> –étudiants de L1 ou L2 ; 3 e – 2 de ; 2 de -Termina<strong>le</strong>) à propos d’un problème que l’un peutrésoudre avec une solution « experte » et l’autre non. Précisons ces caractéristiques et<strong>le</strong>ur motivation.1.1. Un échange entre élèves 14La narration de recherche (Chevallier, 1992 ; Sauter, 2000) est un écrit individuel àpropos de la résolution d'un problème-ouvert : l’élève retrace l’histoire de sarésolution, faisant part, entre autres, de ses impasses. La narration est réalisée <strong>le</strong> plussouvent en dehors de la classe et un travail col<strong>le</strong>ctif est ensuite organisé parl’enseignant. Dans ce dispositif, <strong>le</strong>s caractéristiques du problème ouvert et la régularitéde la pratique de narrations qui instaure un contrat didactique particulier permettent àl’élève de s’engager dans l’activité mathématique. La narration est adressée àl’enseignant et <strong>le</strong>s élèves risquent de ne pas se livrer tota<strong>le</strong>ment. C’est pourquoi nousécartons l’enseignant en lui attribuant <strong>le</strong> simp<strong>le</strong> rô<strong>le</strong> de « facteur ». Cependant, nousretenons l’idée de narration pour <strong>obtenir</strong> un écrit différent d’une solution.La recherche collaborative (Sauter et al., 2008) permet une résolution col<strong>le</strong>ctived’un problème. Les problèmes choisis sont de « véritab<strong>le</strong>s problèmes de recherche » etnécessitent des échanges entre pairs. La collaboration est une richesse mais ne permetpas d’accéder, comme souhaité, à l’activité individuel<strong>le</strong> de résolution de problèmes.Nous retenons cependant de ce dispositif l’idée d’échanges qui permet une évolutionde la recherche.Ainsi, <strong>le</strong> dispositif de correspondance mathématique s’apparente par certainsaspects à la narration de recherche et à la recherche collaborative, mais il en diffèreaussi fondamenta<strong>le</strong>ment par <strong>le</strong> choix du destinataire de l’écrit : ce n’est pas <strong>le</strong>professeur. Nous pensons qu’ainsi l’élève livre sans censure son activité, cela permetune sincérité des correspondants dont témoignent <strong>le</strong>s retours de certains élèves à la finde la correspondance. Ainsi, un lycéen déclare : « Les rapports étaient plus prochesque lorsqu’on fait un devoir pour notre prof, on était entre collègues ». Mais, commentalors motiver un échange épistolaire entre élèves si <strong>le</strong> but n’est pas la résolutioncollaborative d’un problème ?1.2. Une dissymétrie de connaissances entre <strong>le</strong>s correspondantsLe dispositif repose sur une étude de l’activité du mathématicien et du rô<strong>le</strong> des14 Par élèves nous entendons, à la fois écoliers, collégiens, lycéens, étudiants.160 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
correspondances mathématiques dans l’histoire de la discipline. El<strong>le</strong>s rapportent <strong>le</strong>savancées, doutes, questions des mathématiciens à propos de la résolution d'un ouplusieurs problèmes (Peiffer, 1998).Dans cette pratique, <strong>le</strong>s deux correspondants ne travail<strong>le</strong>nt pas forcément deconcert à la résolution d’un même problème, il y a souvent une dissymétrie entre eux.De plus, <strong>le</strong> mathématicien raconte comment il travail<strong>le</strong> un problème de la manièrequ’il a choisie, et de façon probab<strong>le</strong>ment très authentique, puisqu’une correspondancen’a pas pour vocation première d’être publiée.La <strong>le</strong>cture de ces correspondances révè<strong>le</strong> l’importance du destinataire. Cela estfrappant dans la correspondance de Sophie Germain que nous avons étudiée. Deuxéléments importants concernant la variab<strong>le</strong> destinataire de l’écrit ressortent. D’abord,si <strong>le</strong> destinataire de la <strong>le</strong>ttre est un peu plus avancé en mathématiques, l’auteur livreplus faci<strong>le</strong>ment ses pistes de recherches, doutes, questions et impasses. Ensuite,lorsque <strong>le</strong> destinataire est plus avancé en mathématiques, il apporte un regard critiqueet constructif sur <strong>le</strong> travail de son collègue, sans toutefois lui donner la solution. Ainsi,la dissymétrie entre <strong>le</strong>s correspondants sur l’objet de l’étude apparaît, historiquement,comme un des moteurs d’une correspondance mathématique, un autre est bien entendula publicité des recherches. Cette caractéristique nous semb<strong>le</strong> constituer unemotivation pour une correspondance mathématique entre élèves, c’est pourquoi lacorrespondance est réalisée entre deux élèves qui ne se situent pas au même niveau descolarité.1.3. Une dissymétrie de buts entre <strong>le</strong>s correspondants : une dynamique de rechercheet d’aideEtant donnée la dissymétrie de connaissances entre <strong>le</strong>s élèves et <strong>le</strong> projet decontribuer aux apprentissages mathématiques de chacun des élèves qui participe audispositif, il convient de donner aux deux correspondants des consignes différentes.Pour l’élève moins avancé en mathématiques, il s’agit d’adresser en détails à son(sa)correspondant(e) <strong>le</strong>s étapes de sa recherche, ses essais, réf<strong>le</strong>xions, pistes de recherche,résultats, même s’ils sont intermédiaires ou partiels. Tandis que <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> de l’élève plusavancé en mathématiques est d’aider son correspondant à progresser dans sa rechercheen n’hésitant pas à demander des précisions, mais toutefois sans fournir la réponse.Cette dissymétrie inscrit l’échange dans une relation recherche – aide qui génèreun processus dynamique. Cela incite en particulier l’élève qui cherche <strong>le</strong> problème àformu<strong>le</strong>r ses doutes et questions ce qui, d’une part, participe certainement à saconstruction du problème et, d’autre part, apporte des informations intéressantes àl’enseignant.1.4. Un problème qui ouvre des perspectives nouvel<strong>le</strong>s en mathématiquesCette relation d’aide est une occasion intéressante de faire des mathématiquesautrement pour l’élève <strong>le</strong> plus avancé à condition que <strong>le</strong> problème choisi puisse serésoudre, d’une part, avec une procédure « experte » qu’il maîtrise ou qui est en coursd’apprentissage et, d’autre part, avec des connaissances plus anciennes pour lui etqu’il ne mobilise plus aussi instantanément car il dispose d’outils plus puissants. Enquelque sorte, la correspondance mathématique est intéressante pour l’élève <strong>le</strong> plusavancé en mathématiques si el<strong>le</strong> l’amène à revisiter des savoirs anciens. Nous pensonsen effet que dans ce cas, c’est une occasion pour lui de construire ou redécouvrir desrelations entre des connaissances relativement anciennes et des connaissances plusnouvel<strong>le</strong>s. Evidemment, il faut que l’élève <strong>le</strong> moins avancé ait à sa disposition desconnaissances qui lui permettent d’aboutir. Pour cet élève, la procédure « experte »,sans être disponib<strong>le</strong>, se situera alors dans la filiation de ses connaissances au momentActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ161
de la correspondance. Cette condition permet de proposer des problèmes qui résistentet place l’élève <strong>le</strong> moins avancé dans un avenir mathématique qu’il est, <strong>le</strong> plussouvent, loin d’imaginer.1.5. Un dispositif en deux temps : recherche et « restitution »Qui dit dispositif pédagogique dit objectif d’apprentissage. Au cours de lacorrespondance mathématique, <strong>le</strong>s enseignants n’interviennent pas. Cependant, pourpermettre aux élèves d’identifier <strong>le</strong>s connaissances, parfois implicites, qu’ilsconstruisent et <strong>le</strong>s stabiliser il est nécessaire d’organiser un moment de « restitution »à l’issue de la correspondance. Il s’agira alors de désigner, commenter et situer cesconnaissances dans <strong>le</strong> champ des mathématiques. Ce moment mathématique qui réunitpour la première fois physiquement <strong>le</strong>s correspondants, peut prendre différentesformes.Il peut s’agir d’un travail sur des extraits de correspondances choisis par <strong>le</strong>senseignants : <strong>le</strong>s élèves analysent <strong>le</strong>s différentes procédures de résolution proposées,commentent <strong>le</strong>ur intérêt, <strong>le</strong>urs limites voire <strong>le</strong>ur invalidité. Puis <strong>le</strong>s enseignantspointent <strong>le</strong>s savoirs notionnels nouveaux pour <strong>le</strong>s élèves <strong>le</strong>s moins avancés et connuspour <strong>le</strong>s plus avancés mais aussi des savoirs relatifs à la résolution de problèmes enmathématiques. Par exemp<strong>le</strong>, ils montrent l’intérêt au cours d’une recherche des’arrêter pour faire un point sur <strong>le</strong>s résultats obtenus et organiser la suite du travail. Ilpeut aussi s’agir d’un exposé plus magistral des enseignants avec <strong>le</strong>s mêmes objectifs.2. Quels apprentissages ce dispositif engendre t-il ?Le contexte inhabituel permet à l’élève d’avoir une attitude différente devant larecherche d’un problème, susceptib<strong>le</strong> d’enc<strong>le</strong>ncher des apprentissages spécifiques.Nous illustrons ici cet aspect à partir d’extraits de deux correspondances sur un mêmeproblème réalisées à l’articulation secondaire-supérieur. Le problème est la suivant :x + yL’expression1 + x 2 + y 2 admet-el<strong>le</strong> un maximum lorsque <strong>le</strong> point de coordonnées(x, y) décrit <strong>le</strong> premier quadrant (x ≥ 0 et y ≥ 0) ? Si oui, <strong>le</strong> déterminer.Il s’inspire largement d’un problème de la brochure APMEP n°154 « Pour unenseignement € problématisé des mathématiques au lycée », tome 2. Aucune indicationde méthode n’est proposée, néanmoins un élève de termina<strong>le</strong> ou de L1 doit pouvoirdémarrer une réf<strong>le</strong>xion, <strong>le</strong>s termes de l’énoncé étant de ceux qu’il a l’habitude derencontrer. Pour un élève de termina<strong>le</strong> la difficulté va venir de la présence de deuxvariab<strong>le</strong>s mais la symétrie de l’expression peut donner des idées.Le texte du problème est identique pour l’élève de Termina<strong>le</strong> et pour l’étudiantmais <strong>le</strong>s consignes l’accompagnant sont différentes. Le lycéen initie la correspondanceà partir de la consigne suivante : « écrire en détails vos essais, tentatives, pistes derecherche et résultats (partiels ou intermédiaires) ». L’étudiant a pour tâche d’aider <strong>le</strong>lycéen, pour lui la consigne est : « aider <strong>le</strong> lycéen à avancer dans sa recherche, <strong>le</strong> butn'est pas de lui fournir une réponse, ne pas hésiter à lui demander des précisions ».Pour plus de détails sur <strong>le</strong> problème et l’activité des élèves dans unecorrespondance mathématique nous renvoyons à (Aubry et al, à paraître ; Hersant,2009 et 2011).2.1. Structurer, faire <strong>le</strong> pointL’éloignement avec <strong>le</strong> correspondant oblige <strong>le</strong> lycéen à faire périodiquement un162 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
point organisé et par écrit sur l’état de sa recherche. Il se rend alors compte que cettefaçon de procéder est très constructive lorsqu’on fait des mathématiques. Ainsi, ilpeut, par exemp<strong>le</strong>, poser au correspondant, donc aussi à lui-même, la question du sensde ce qu’il vient de faire et de la validité des résultats trouvés. Par exemp<strong>le</strong> unelycéenne écrit :Je suis bloquée ici. Je pense que j’ai dû faire une erreur mais je ne sais pas où.C’était ce qu’il fallait faire ou il faut passer par d’autres calculs ??Le dispositif s’avère particulièrement intéressant pour <strong>le</strong>s élèves qui se fientbeaucoup à <strong>le</strong>ur intuition et ne prennent pas la peine d’écrire. Ainsi l’un d’eux aimechercher, y passe du temps, mais n’aime pas rédiger. Il manque parfois de recul etd’esprit critique d’après son enseignant, <strong>le</strong> dispositif l’y contraint et lui permet dedistinguer ce qui relève de la conjecture. Voici ce qu’il écrit à différents moments desa recherche :j’ai tout d’abord expérimenté sur Excel (…) Le cadrant étant <strong>le</strong> premier, je restaisdans un cas particulier si je prenais <strong>le</strong>s nombres de 0 à 100 pour x et y. J’ai doncchoisi une va<strong>le</strong>ur aléatoire comprise entre 0 et 10…Les plus grandes va<strong>le</strong>urs sont atteintes lorsque x et y sont compris entre 0 et 1 etplus <strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs prises pour x et y sont grandes, plus f(x,y) devient petit.J’ai fait quelques tests [ndl : une centaine !] avec x et y compris entre certainsnombres…A ce stade de sa recherche, il est convaincu de l’existence d’un maximum pour lafonction à deux variab<strong>le</strong>s, que ce maximum « se situe » pour x et y entre 0 et 1, et ilsait que ce n’est qu’une conjecture.2.2. Etudier et s’approprier <strong>le</strong> raisonnement d’un autreL’étude des écrits du correspondant est importante pour avancer dans la résolutiondu problème. El<strong>le</strong> n’est cependant pas toujours aisée. On peut penser que ce travaildéveloppe l’autonomie par rapport à un texte mathématique.2.3. Accepter de se tromper pour progresserLe fait que l’étudiant soit à la fois un interlocuteur proche, un peu plus avancé enmathématiques mais dont <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> n’est pas de sanctionner, permet d’accepter que l’idéede se tromper est importante pour progresser.Merci beaucoup pour tes réponses et tes corrections. [...] Cette partie meparaissait valab<strong>le</strong> puisqu'el<strong>le</strong> semb<strong>le</strong> bien mener au maximum. Or, pour utiliser cettefonction, il fallait avant tout prouver rigoureusement que <strong>le</strong> maximum ne pouvait êtreatteint que pour x = y. Comme tu l'as démontré, mon argument à propos du plan desymétrie n'était en fait pas valab<strong>le</strong>, à moins de prouver éga<strong>le</strong>ment l'unicité dumaximum.2.4. Apprendre de façon autonome à mobiliser ses connaissancesPar ail<strong>le</strong>urs, <strong>le</strong> dispositif oblige <strong>le</strong>s élèves à mobiliser, seuls, <strong>le</strong>s connaissancesadaptées et <strong>le</strong>ur permet ainsi de mieux cerner l’utilisation de certains outils.Il semb<strong>le</strong> que nous ayons bien cerné <strong>le</strong> problème. Nous avons aussi <strong>le</strong>s outils pour<strong>le</strong> résoudre. Je résume <strong>le</strong>s différentes étapes.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ163
2.5. Se projeter dans un avenir mathématiqueLe lycéen va pouvoir se projeter dans un « avenir mathématique » en réalisant,grâce à cet échange, que cet avenir est à sa portée, comme en témoignent <strong>le</strong>sremarques de lycéens (classe de Termina<strong>le</strong>) lors de la restitution :Les dérivées partiel<strong>le</strong>s, on commence à voir ce que c’est.L’exercice de recherche avec la fac a permis de donner une autre dimension auxmaths car cette fois, on n'a plus à suivre <strong>le</strong>s idées des autres et à <strong>le</strong>s réemployer, c'estnous qui construisons à partir de ce que l'on sait.3. Suggestions pour mettre en place une correspondance mathématiqueLes correspondances réalisées nous permettent aussi de dégager des suggestionspour faire vivre une correspondance dans sa classe.3.1. Choisir des problèmes qui répondent à certains critèresNous souhaitons que <strong>le</strong>s élèves cherchent, émettent des conjectures, prouvent etéchangent. Certaines formulations d’énoncés peuvent favoriser la recherche deconjectures, d’autres, la preuve. Pour préserver l’importance de l’échange nousconseillons de sé<strong>le</strong>ctionner des problèmes où <strong>le</strong>s outils entre <strong>le</strong>s différents niveaux nesont pas trop éloignés. Nous voulons aussi que <strong>le</strong>s élèves se rendent compte que <strong>le</strong>soutils mathématiques évoluent ainsi que <strong>le</strong>ur domaine de validité. Cela nous conduitaux critères suivants pour <strong>le</strong> choix d’un problème :– <strong>le</strong> problème est abordab<strong>le</strong> aux deux niveaux d’étude des correspondantsavec des outils différents,– il ouvre des perspectives de nouveaux apprentissages en mathématiques,au-delà du niveau scolaire des élèves <strong>le</strong>s moins avancés,– il y a plusieurs façons de résoudre <strong>le</strong> problème choisi,– la solution ne va pas de soi et doit passer par la réappropriation duproblème à l’aide de questions du sty<strong>le</strong> : « quand est-ce que ça marche ? »,« quand est-ce que ça ne marche pas ? »,– la recherche du problème doit conduire <strong>le</strong>s élèves à produire despreuves.3.2. Tenir compte de la période de l’année et des élèves concernésPour permettre aux correspondants d’avoir un nombre satisfaisant d’échanges il estpréférab<strong>le</strong> de débuter la correspondance assez tôt dans l’année mais aussi assez tardpour que <strong>le</strong>s connaissances nécessaires à la résolution du problème aient, à la fois étéréactivées, si on <strong>le</strong> pense nécessaire, et aient eu <strong>le</strong> temps d’être un peu oubliées pourque <strong>le</strong> problème ne soit pas un problème de réinvestissement…ConclusionNous avons ici brièvement présenté <strong>le</strong> dispositif de correspondance mathématiquequi permet aux élèves de « vivre » une expérience mathématique riche et ses intérêtspour <strong>le</strong>s élèves et l’enseignant. Nous travaillons actuel<strong>le</strong>ment à étoffer <strong>le</strong> corpus desproblèmes adaptés à une tel<strong>le</strong> correspondance (voir Aubry et al, à paraître).164 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
BibliographieArsac, G. & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert (Scéren.). Lyon: CRDPArtigue, M., & Houdement, C. (2007). Prob<strong>le</strong>m solving in France: didactic and curricularperspectives. ZDM, 39(5), 365-382. doi:10.1007/s11858-007-0048-xAubry, S., Boyé A., Comairas, M.-C., Genin, M., Hersant, M., Moulin S. (à paraître) Lacorrespondance mathématique : d’un dispositif de recherche à un dispositif pédagogique,Repères IREMECCEmaths. (2009). Qu'est-ce que chercher un problème de mathématiques pour <strong>le</strong>s élèves àla fin du lycée et au début du supérieur ? Nantes : IREM de Nantes.Brousseau, G. (1998) La théorie des situations didactiques. Grenob<strong>le</strong> : La Pensée sauvageChevalier, A. (1992). Narration de recherche : un nouveau type d'exercice scolaire. Petit x, 33,71-79.Hersant, M. (2009). Etude de l’activité mathématique de lycéens dans une correspondancemathématique à propos d’un problème de maximum. Dans Actes du Séminaire national dedidactique des mathématiques (p. 351-374). Paris: IREM Paris 7.Hersant, M. (2011). Correspondance entre élèves : conditions d’une activité mathématique« créative » et problématisée à la fin du lycée. Eductional Studies in Mathematics.Peiffer, J. (1998). Faire des mathématiques par <strong>le</strong>ttres. Revue d'Histoire des Mathématiques, 4,143-157.Sauter, M. (2000). Formation de l’esprit scientifique avec <strong>le</strong>s narrations de recherche au cyc<strong>le</strong>central du collège. Repères IREM, 39, 7-20.Sauter, M., Combes, C., De Crozals, A., Droniou, J., Lacage, M., Saumade, H., & Theret, D.(2008). Une communauté d’enseignants pour une recherche collaborative de problèmes.Repères IREM, 72, 25-45.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ165
166 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
La résolution collaborative de problèmesRendre visib<strong>le</strong>s <strong>le</strong>s mathématiques où on ne <strong>le</strong>s attend pasBenoît RAY *, Saïd AZZIZ **, Geneviève COUDERC**** Lycée Docteur LacroixRue Gay-Lussac11100 Narbonnebenoit.ray@ac-montpellier.fr** Collège Pierre Mendès-FranceRue Henri Moynier34 830 JACOUsaid.azziz@ac-montpellier.fr*** Collège JoffreAllée Henri II de Montmorency34000 Montpelliergenevieve.couderc@ac-montpellier.frRÉSUMÉ : Le travail de notre groupe consiste à favoriser <strong>le</strong>s changements de postures desenseignants et de <strong>le</strong>urs élèves par l'intermédiaire d'une pratique origina<strong>le</strong> : la résolutioncollaborative d'un problème. Ce dispositif de résolution de problème permet de faire intervenir<strong>le</strong>s mathématiques dans des situations a priori non mathématiques, de responsabiliser <strong>le</strong>sélèves et de modifier <strong>le</strong>ur perception des mathématiques. En nous basant sur plusieursexemp<strong>le</strong>s de problèmes proposés ces dernières années, nous montrerons comment <strong>le</strong>s élèves sequestionnent et revisitent des concepts mathématiques et en quoi <strong>le</strong> dispositif de résolutioncollaborative favorise ces attitudes.ABSTRACT: In our research group, we intend promoting changes in the postures of teachersand their students through an original practice : the collaborative resolution of a prob<strong>le</strong>m. Thiskind of prob<strong>le</strong>m-solving technique makes it possib<strong>le</strong> to involve mathematics in a priori nonmathematicalsituations, to empower students and change their perception of mathematics. Inthis paper, we present examp<strong>le</strong>s of prob<strong>le</strong>ms given in recent years, in order to show howstudents work out and revisit mathematical concepts and how this system of collaborativeresolution promotes these attitudes.MOTS-CLÉS : démarche d’investigation en mathématiques, résolution collaborative deproblèmes, problèmes de recherche, communication mathématique, débat scientifique.KEYWORDS: Inquiry based <strong>le</strong>arning in mathematics, collaborative prob<strong>le</strong>m solving, researchprob<strong>le</strong>ms, mathematical communication, scientific debate.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ167
IntroductionLes programmes officiels de l’éco<strong>le</strong> primaire, du collège et du lycée mettent enavant l’importance de la démarche d’investigation, qui a cependant du mal à trouversa place dans <strong>le</strong>s pratiques ordinaires. Au sein du groupe ResCo de l’IREM deMontpellier, nous avons choisi d’intégrer ces démarches ainsi que des démarchesexpérimenta<strong>le</strong>s dans un travail collaboratif, autour de problèmes mathématiquesancrés dans <strong>le</strong> réel. Nos recherches portent sur des problématiques diverses, comme <strong>le</strong>choix des problèmes mathématiques et des situations associées, <strong>le</strong>s conditions de larecherche et l’organisation des échanges. Nous nous intéressons éga<strong>le</strong>ment auxchangements de postures des élèves et des enseignants induits par ce dispositif, ainsiqu’aux apports potentiels de cette démarche col<strong>le</strong>ctive pour <strong>le</strong>s différents acteursimpliqués.1. MotivationL’idée selon laquel<strong>le</strong> « <strong>le</strong>s mathématiques sont présentes partout dans la société »est très répandue dans <strong>le</strong> monde scientifique et el<strong>le</strong> apparaît éga<strong>le</strong>ment dans <strong>le</strong>sinstructions officiel<strong>le</strong>s des programmes de mathématiques de collège et de lycée. Cetteidée ne remporte pas l’adhésion du plus grand nombre et <strong>le</strong>s mathématiques restentinvisib<strong>le</strong>s pour la majorité des citoyens, a fortiori pour nos élèves. Une desmotivations de notre travail est de donner plus de visibilité aux relationsqu’entretiennent <strong>le</strong>s mathématiques avec <strong>le</strong>s autres domaines de la connaissancehumaine.Au-delà des objectifs classiques des dispositifs de résolution de problème derecherche (prise d’initiative, autonomie, responsabilisation des élèves, développementde compétences heuristiques), nous mettons en avant l’aspect expérimental desmathématiques, la démarche scientifique et <strong>le</strong> travail de mathématisation : l’objectifest de donner aux élèves une meil<strong>le</strong>ure perception des mathématiques et de montrer<strong>le</strong>ur lien avec la réalité. Nous nous appuyons pour cela sur une ingénierie de recherchecollaborative de problèmes mise au point à l’IREM de Montpellier, qui induit uneorganisation sur plusieurs semaines, de tels objectifs ne pouvant être atteints dans <strong>le</strong>temps contraint d’une ou deux séances de classe. Ce dispositif est mis en place àl’occasion d’une formation continue sur la démarche d’investigation.2. Le dispositif de résolution collaborativeLa résolution collaborative de problèmes est une ingénierie didactique fondée surdes échanges entre des classes de la 6 e à la Termina<strong>le</strong>, en groupes de trois classes deniveaux voisins, cherchant à résoudre un problème commun. Le choix de constituerdes groupes de trois classes est lié à la gestion des échanges : techniquement, <strong>le</strong> tempsmanquerait s’il fallait échanger avec plus de trois classes. Par ail<strong>le</strong>urs, des groupes dedeux classes seraient plus soup<strong>le</strong>s mais aussi plus fragi<strong>le</strong>s : que faire en cas dedésistement d’une classe du groupe ? Les classes d’un même groupe sont de niveauxvoisins (pas plus de deux années d’écart), ce qui ne crée pas de trop grands écartsentre <strong>le</strong>s connaissances mathématiques et évite de positionner certains élèves comme« experts » et d’autres comme « moins savants », ce qui pourrait décourager <strong>le</strong>s élèvesdu niveau d’enseignement <strong>le</strong> plus bas et réduire la motivation des autres àcommuniquer.Les échanges de textes, figures, schémas, s’effectuent sur une plateforme Internetet sont pris en charge par l’enseignant. Celui-ci n’intervient que comme facilitateur et168 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
este très en retrait pendant <strong>le</strong>s phases de recherche : il y a là une rupture du contratdidactique usuel qui nécessite un changement de posture de la part des élèves et duprofesseur. De plus <strong>le</strong> problème, posé dans un contexte non mathématique, très ouvert,requiert une mathématisation qui nécessite des choix pour s’engager dans unerecherche.Une communauté d’élèves est créée. El<strong>le</strong> <strong>le</strong>s place dans une position qui <strong>le</strong>srapproche de cel<strong>le</strong> d’un chercheur (qui travail<strong>le</strong> souvent seul, mais échange avec <strong>le</strong>scollègues de son laboratoire et avec d’autres laboratoires). Pendant 5 semaines, <strong>le</strong>sélèves vont alors s’échanger des questions sur la situation, des réponses, des idées, desprocédures et des conjectures. Les deux premières semaines sont consacrées àl’exploration du problème et aux premières pistes vers une mathématisation. Unerelance engage ensuite <strong>le</strong>s élèves vers la résolution d’un problème mathématiquecommun sur <strong>le</strong>quel ils vont travail<strong>le</strong>r pendant <strong>le</strong>s deux semaines suivantes. La sessionse termine par la rédaction d’un compte-rendu individuel de la recherche (rédigé horsclasse) qui va alimenter <strong>le</strong> débat de clôture de la cinquième semaine. Un bilan desmathématiques travaillées est ensuite fait par l’enseignant et sa classe. Ce tempspermet de montrer la richesse des domaines mathématiques rencontrés, et peut donnerl’occasion d’institutionnaliser des méthodes.3. Caractéristiques des problèmesLes problèmes proposés pour une résolution collaborative ont des caractéristiquesspécifiques, dont certaines sont communes à d’autres dispositifs de recherche(notamment aux problèmes ouverts au sens d’Arsac & Mante, 2007) :– ils sont suffisamment riches et robustes pour être abordés à tous <strong>le</strong>sniveaux, et présentent un véritab<strong>le</strong> enjeu mathématique à chaque niveau,– tous <strong>le</strong>s élèves peuvent faci<strong>le</strong>ment s’engager dans des essais, émettredes conjectures,– la dimension expérimenta<strong>le</strong> est favorisée et enrichit la recherche,– <strong>le</strong>s solutions trouvées peuvent n’être que partiel<strong>le</strong>s (limitées à certainscas particuliers, ou aux choix de mathématisation), et des solutions de sousproblèmespeuvent émerger,– <strong>le</strong> contexte est non mathématique a priori.C’est cette dernière caractéristique que nous allons maintenant développer.4. Contextualisation d’un problèmeNous précisons ici ce que nous entendons par « contextualisation » d’un problème,<strong>le</strong> sens n’étant pas <strong>le</strong> sens habituel. La plupart du temps, <strong>le</strong> problème choisi est à labase un problème posé dans <strong>le</strong> champ mathématique. Il est alors « contextualisé »dans <strong>le</strong> sens suivant :– nous construisons un contexte de façon à proposer une situation fictivemais réaliste,– la recherche demande une mathématisation, ce qui permet de montrerun usage particulier des mathématiques rarement travaillé en classe,– la mathématisation peut renvoyer au problème mathématique initial,mais d’autres choix sont possib<strong>le</strong>s, car la situation n’étant pas forcémentbalisée, des variantes du problème initial peuvent émerger,– la relance prend en compte <strong>le</strong>s questions et réponses des élèves etoriente la recherche vers <strong>le</strong> problème mathématique choisi initia<strong>le</strong>ment ouvers <strong>le</strong> problème issu des échanges des élèves.Sur ces deux derniers points, <strong>le</strong>s recherches menées en classe sur <strong>le</strong> « problème desActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ169
monnaies » sont caractéristiques.Problème des monnaies : Serait-il possib<strong>le</strong> d’utiliser un système de monnaie où iln’existerait que des pièces de va<strong>le</strong>urs 9 et 11 ? (IREM de Montpellier, GroupeResCo, 2003-2004, d’après <strong>le</strong>s exercices d’évaluation PISA, 2003)Ce problème demande l’étude d’équations du type ax + by = c dans , mais sous laforme du problème des monnaies, <strong>le</strong>s élèves ayant décidé en très grande majorité qu’ildevait être possib<strong>le</strong> de rendre la monnaie, <strong>le</strong> problème s’est ramené à la résolution del’équation de Bézout dans l’ensemb<strong>le</strong> des entiers relatifs. La relance a alors orienté <strong>le</strong>travail en suivant <strong>le</strong>s choix faits par <strong>le</strong>s élèves, vers <strong>le</strong>s équations du type ax + by = cadmettant ou non des solutions et en incitant <strong>le</strong>s élèves à s’interroger sur la faisabilitéde ces solutions (la possibilité de payer toute somme avec des pièces de va<strong>le</strong>urspremières entre el<strong>le</strong>s est théorique : dans la réalité, il faut non seu<strong>le</strong>ment trouver unesolution, mais s’assurer qu’el<strong>le</strong> est réalisab<strong>le</strong> en minimisant <strong>le</strong> nombre de pièceséchangées).5. Pourquoi contextualiser un problème ?Ce choix est lié à nos hypothèses d’enseignement :– un problème posé dans <strong>le</strong> cadre d’une situation réaliste favorise sadévolution ; cette hypothèse est étayée par l’observation du travail desélèves en classe et par la teneur des échanges entre <strong>le</strong>s classes, qui montrentque <strong>le</strong>s élèves s’approprient <strong>le</strong> problème,– <strong>le</strong> travail de mathématisation permet l’émergence de questions sur <strong>le</strong>srelations entre mathématiques et « réalité », qui sont peu traitéestraditionnel<strong>le</strong>ment dans l’enseignement ; on assiste à des al<strong>le</strong>rs-retourspermanents entre objets réels et objets mathématiques,– de ce fait, <strong>le</strong> travail de mathématisation participe à un changement deperception des mathématiques.Ce choix est aussi lié à une question de confidentialité : <strong>le</strong>s solutions de nombreuxproblèmes ouverts classiques sont disponib<strong>le</strong>s sur Internet avec des ressourcescomplètes. Avec un sujet posé dans un contexte original, <strong>le</strong>s recherches qui s’éta<strong>le</strong>ntsur 5 semaines ne devraient pas être parasitées par des solutions artificiel<strong>le</strong>s trouvéessur Internet.6. Un exemp<strong>le</strong> de contextualisationPour détail<strong>le</strong>r <strong>le</strong> travail que permet la contextualisation, nous nous appuyons sur unexemp<strong>le</strong>, qui a fait l’objet de deux sessions de résolution collaborative en 2009 et2010 dans une cinquantaine de classes de la 6 e à la Termina<strong>le</strong>.Le problème des régions dans un disque : On place n points sur un cerc<strong>le</strong>.Combien de régions détermine-t-on à l'intérieur de ce cerc<strong>le</strong> en joignant <strong>le</strong>s pointsdeux à deux ? (La feuil<strong>le</strong> à problèmes, version é<strong>le</strong>ctronique, IREM de Lyon, n°12)Après avoir envisagé plusieurs situations réalistes différentes, nous avonscontextualisé ce problème de la manière suivante :Le problème de l’artiste : Un artiste contemporain veut réaliser une œuvre sur unsupport rond, en plantant des clous sur <strong>le</strong> pourtour et en tendant des fils entre <strong>le</strong>sclous. Il se propose de peindre chaque zone d’une cou<strong>le</strong>ur différente. De combiende cou<strong>le</strong>urs aura-t-il besoin ?(IREM de Montpellier, Groupe ResCo, 2009-2010)Ce problème présente <strong>le</strong>s caractéristiques précitées : il est mathématiquementrobuste à tous <strong>le</strong>s niveaux de l’enseignement secondaire (voire à l’université),170 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
plusieurs méthodes de résolution sont envisageab<strong>le</strong>s, il contient des sous-problèmesintéressants, chaque élève peut s’engager dans la recherche, la démarcheexpérimenta<strong>le</strong> est nécessaire à la recherche, <strong>le</strong>s solutions trouvées sont souventpartiel<strong>le</strong>s. Par ail<strong>le</strong>urs, <strong>le</strong> contexte est non mathématique et la contextualisation peutrenvoyer à plusieurs problèmes mathématiques selon <strong>le</strong>s représentations des objetschoisis, ce que l’on verra plus loin.Le problème de l’artiste n’est pas immédiatement mathématisé, ni par <strong>le</strong>s élèves dusecondaire, ni par <strong>le</strong>s enseignants, comme nous avons pu l’observer à plusieursreprises en formation continue. Quel que soit <strong>le</strong> niveau, <strong>le</strong>s mêmes questions sur <strong>le</strong>sobjets surgissent.Voici par exemp<strong>le</strong> des questions posées par <strong>le</strong>s élèves de la 3 e D du collège deJacou :• Cette œuvre peut el<strong>le</strong> exister ?• Quel<strong>le</strong> est la tail<strong>le</strong> du support ? Quel<strong>le</strong> est la superficie du cerc<strong>le</strong> ? Sondiamètre ? Est-ce un disque ? En quel<strong>le</strong> matière est-il fait ?• Quel<strong>le</strong> est la grosseur des clous ? Combien y a-t-il de clous ? Combien y a-tilde place entre <strong>le</strong>s clous ?• Combien y a-t-il de fils ? Comment sont disposés <strong>le</strong>s fils ? Est ce que <strong>le</strong>s filssont tendus ? Est-ce qu'il y a plusieurs fils qui partent d'un même clou ?Ces questions sont envoyées aux deux autres classes du groupe de recherche. Lasemaine suivante, chaque classe reçoit <strong>le</strong>s questions des autres classes et tentent d’yapporter des réponses. Les élèves délaissent alors rapidement la situation concrètepour mathématiser <strong>le</strong>s objets, commencer à construire un problème mathématique etentrer dans des processus de résolution. A propos de la tail<strong>le</strong> du support, <strong>le</strong>s élèves dela TS1 du lycée Stanislas (Montréal) répondent :• C’est une variab<strong>le</strong> ; on souhaite étudier son influence sur <strong>le</strong> problème.• Il n’est pas nécessaire de connaître <strong>le</strong>s dimensions du support : en effet, nouscherchons à connaître <strong>le</strong> nombre de zones et non la superficie de chaque zone.• En augmentant la superficie du support, on augmente la superficie des zonesmais <strong>le</strong> nombre de zones reste inchangé. Dans ce problème, <strong>le</strong>s dimensions dusupport n’ont pas d’influence sur la donnée recherchée 15 .On assiste là à la création d’un problème mathématique à partir de la situationinitia<strong>le</strong> proposée. A tous <strong>le</strong>s niveaux, parfois à la suite de longs débats en début derecherche, <strong>le</strong>s élèves se sont accordés sur la même mathématisation des objets(d’autres mathématisations sont possib<strong>le</strong>s, voir 7., mais n’ont pas été retenues par <strong>le</strong>sélèves). La relance a essentiel<strong>le</strong>ment consisté à valider ces choix et à statuer sur <strong>le</strong> faitqu’il fallait chercher <strong>le</strong> nombre maximal de cou<strong>le</strong>urs (faute de quoi il n’y a pas derelation fonctionnel<strong>le</strong> entre <strong>le</strong> nombre de clous et <strong>le</strong> nombre de cou<strong>le</strong>urs).Dès que <strong>le</strong>s élèves entrent dans la recherche du problème mathématiqueproprement dit, <strong>le</strong>s objets concrets sont abandonnés ; malgré tout, dans <strong>le</strong>s échanges<strong>le</strong>s noms restent ceux des objets « réels ». Dans toutes <strong>le</strong>s classes, <strong>le</strong>s clous sontassimilés à des points, <strong>le</strong>s fils tendus sont des segments de droite, <strong>le</strong> support est undisque, sa dimension n’est plus un paramètre, <strong>le</strong> dénombrement se fait sur <strong>le</strong>s régionset il n’est plus question de cou<strong>le</strong>urs.15Noter à ce propos un travail autour de notions topologiques, domaine rarement rencontré dans <strong>le</strong>sproblèmes abordés classiquement.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ171
Figure 1. Dessin réalisé par des élèves de 6 eCe dessin, réalisé par des élèves de 6 e , montre certes plusieurs cou<strong>le</strong>urs différentes,mais en moins grand nombre que <strong>le</strong>s zones colorées : plusieurs zones sont de cou<strong>le</strong>ursidentiques. Ce n’est donc pas une question de cou<strong>le</strong>urs, mais une question de nombrede zones.Nous avons constaté à plusieurs reprises qu’une durée minima<strong>le</strong> doit être accordéeau questionnement sur la mathématisation des objets et sur <strong>le</strong>s choix à faire. C’est unecondition nécessaire pour que ces questionnements ne viennent pas parasiter la suitede la recherche du problème mathématique.7. Décontextualisation : vers un problème ou vers des problèmes ?Selon <strong>le</strong>s choix qui sont faits, la phase de mathématisation peut mener à desproblèmes différents. Dans <strong>le</strong> cas du problème de l’artiste, selon que la position desclous est régulière ou non, que l’on néglige ou pas la tail<strong>le</strong> des objets (clous, support,fils), <strong>le</strong> problème de l’artiste peut générer au moins 3 problèmes mathématiquesdifférents (fig. 2). On voit là l’importance du questionnement initial des objets (fairedes mathématiques, c’est aussi faire des choix) et la place crucia<strong>le</strong> de la relance.Figure 2. Trois mathématisations du problème de l’artiste8. Contextualisation versus habillageLes problèmes ouverts rencontrés dans certains manuels ou sur des forums Internetsont souvent habillés d’un accoutrement rendant parfois la situation tota<strong>le</strong>mentirréaliste, ce qui peut contribuer à renforcer l’idée que <strong>le</strong>s mathématiques sontdéconnectées de la réalité puisqu’el<strong>le</strong>s s’intéressent à des problèmes irréels ! C’est <strong>le</strong>cas du problème suivant.Le problème des bananes : Un éléphant a pour mission d'amener <strong>le</strong> plus debananes possib<strong>le</strong>s de l'oasis A à l'oasis B. 1000 km séparent ces 2 oasis et il y a3 000 bananes à l’oasis A. Le problème est qu'il ne peut pas en prendre plus de172 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
1 000 à la fois et qu'à p<strong>le</strong>in ou à vide, il doit absolument manger une banane parkilomètre parcouru pour survivre... Combien de bananes peut-il amener à l'oasisB ? (Pyramide 2 nde , Hachette, 2000) 16C’est la raison pour laquel<strong>le</strong> nous préférons <strong>le</strong> terme de « contextualisation » àcelui d’habillage. Concernant <strong>le</strong> problème ci-dessus, nous avons éprouvé beaucoup dedifficultés à envisager un contexte réaliste. Nous avons fina<strong>le</strong>ment retenu la versionsuivante du même problème mathématique pour la session 2010-2011.Le problème de la banquise : En Antarctique, une base de scientifiques est enpanne de carburant. La base la plus proche est située à 1 000 km et peut sepermettre de <strong>le</strong>ur céder 3 000 litres de carburant pour <strong>le</strong>s dépanner. Dans cettedeuxième base, ils disposent d’un véhicu<strong>le</strong> pouvant transporter au maximum 1 000litres. Du carburant peut être déposé en chemin. Ce véhicu<strong>le</strong> consomme 1 litre parkilomètre parcouru sur la banquise. Quel<strong>le</strong> quantité de carburant ce véhicu<strong>le</strong>pourra-t-il acheminer à la base scientifique ? (IREM de Montpellier, GroupeResCo, 2010-2011)ConclusionDans <strong>le</strong> cadre du dispositif de résolution collaborative, en partant d’une situationposée dans un contexte non mathématique, <strong>le</strong>s échanges de questions-réponsespermettent aux élèves de faire des choix et de créer des problèmes mathématiques. Ilssont amenés à résoudre des sous-problèmes. Les solutions trouvées sont liées auxchoix initiaux ; el<strong>le</strong>s peuvent être partiel<strong>le</strong>s ou incomplètes, mais valorisent <strong>le</strong>ursdémarches. Les élèves sont <strong>le</strong>s seuls responsab<strong>le</strong>s de ce qu’ils produisent, <strong>le</strong>professeur ayant la responsabilité de garantir (au final seu<strong>le</strong>ment) la validité dessolutions proposées, ou de relancer la recherche si <strong>le</strong>s élèves se sont mis d’accord surdes solutions incorrectes du point de vue mathématique.Au cours de la recherche, des al<strong>le</strong>rs-retours entre objets réels et objetsmathématiques sont l’occasion d’aborder un autre aspect de la discipline et demodifier sa représentation chez <strong>le</strong>s élèves.La recherche collaborative s’achève souvent sur <strong>le</strong>s solutions du problèmemathématique ; il serait intéressant de confronter ces solutions à la réalité (ce qui n’apas été possib<strong>le</strong> dans <strong>le</strong> temps imparti pour <strong>le</strong>s problèmes de l’artiste ou de labanquise), mais cela engendrerait une comp<strong>le</strong>xification de l’organisation etcontribuerait à <strong>le</strong> rendre plus chronophage. Cet aspect du travail est donc laissé à ladiscrétion du professeur. Une classe de Rouen ayant participé à la recherche en 2009-2010 a par exemp<strong>le</strong> produit un « Cahier de l’artiste » (dont est extraite la figure 2).Lors de la rencontre du 14 juin 2011, il a été dit que « <strong>le</strong> professeur doit réfléchiraux problèmes posés par la modélisation des situations ». Nous ajoutons qu’il doitéga<strong>le</strong>ment penser à mettre en place des dispositifs qui offrent des conditionsfavorab<strong>le</strong>s au travail de mathématisation.Éléments de bibliographieArsac, G. & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert. Lyon : Scéren CRDP deLyonRay, B. (2009). La résolution collaborative de problèmes au collège et au lycée, une initiation àla recherche dynamique, col<strong>le</strong>ctive et origina<strong>le</strong>. Mathématice n° 14. Disponib<strong>le</strong> surInternet : http://revue.sesamath.net/spip.php?artic<strong>le</strong>206 (consulté <strong>le</strong> 10 juin 2011).16L’un des très rares manuels proposant de véritab<strong>le</strong>s problèmes ouvertsActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ173
Sauter, M. (2008). Une communauté d’enseignants pour une recherche collaborative deproblèmes. REPERES IREM n° 72. Disponib<strong>le</strong> sur Internet : http://www.univirem.fr/reperes/artic<strong>le</strong>s/72_artic<strong>le</strong>_487.pdf(consulté <strong>le</strong> 10 juin 2011).CD-Rom Conception collaborative de ressources pour l’enseignement des mathématiques,l’expérience du SFoDEM. Disponib<strong>le</strong> sur Internet : http://eductice.inrp.fr/EducTice/allparutions/conception-collaborative-de-ressources-pour-<strong>le</strong>nseignement-des-mathematiques<strong>le</strong>xperience-du-sfodem(consulté <strong>le</strong> 10 juin 2011).La feuil<strong>le</strong> à problèmes, IREM de Lyon http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/feuil<strong>le</strong>sprob<strong>le</strong>me/Site de résolution collaborative : http://www.irem.univ-montp2.fr/SPIP/Resolutioncollaborative-de,96174 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
CommunicationsThème 4 :Quels outils technologiques pour appuyer<strong>le</strong>s processus d’enrichissement des ressources ?Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ175
176 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Le traitement des expressionsmathématiques dans tous <strong>le</strong>s contextesavec epsilonwriterJean-François Nicaud, Christophe ViudezARISTOD217 rue de Paris91120 Palaiseaujeanfrancois.nicaud@laposte.netcviudez@free.frRÉSUMÉ : Nous présentons <strong>le</strong>s principa<strong>le</strong>s fonctionnalités de l’application epsilonwriter quiest utilisab<strong>le</strong> sur <strong>le</strong> portail http://epsilonwriter.com. C’est un éditeur de texte et de formu<strong>le</strong>squi a été développé en premier lieu pour faciliter la saisie et la modification des formu<strong>le</strong>s ausein d’un document. Il permet de rédiger des notes de cours, des fiches d’exercices, des pagesweb, des messages é<strong>le</strong>ctroniques et des sujets de forums. epsilonwriter comporte aussi desfonctionnalités de questionnaires (mode auteur et mode élève) : des QCM avec de bel<strong>le</strong>sformu<strong>le</strong>s ; des questions à réponses mathématiques ouvertes évaluées par un mécanismemathématique paramétré par l’auteur. Les questionnaires peuvent être produits pourl’autoformation ou pour la formation tutorée à distance.ABSTRACT: We present the main functionalities of the epsilonwriter application which canbe used on the portal http://epsilonwriter.com. It is a text and formulae editor which has beenfirstly developed in order to facilitate the input and the modification of formulae inside adocument. It allows writing class notes, exercise sheets, web pages, emails and forumsubjects. epsilonwriter also contains questionnaire functionalities (author mode and studentmode): multip<strong>le</strong> choices with pretty formulae and questions with open mathematical answerswhich are evaluated by a mathematical mechanism chosen by the author. Questionnaires canbe produced for self-training or tutored and distance training.MOTS-CLÉS : formu<strong>le</strong>, équation, éditeur, questionnaire, email, forum, QCM, réponsemathématique ouverte.KEYWORDS: formula, equation, editor, questionnaire, email, forum, multip<strong>le</strong> choices, openmathematical answer.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ177
IntroductionLe traitement informatique des formu<strong>le</strong>s mathématiques est très en retard parrapport aux autres objets fondamentaux de l’informatique que sont <strong>le</strong> texte et <strong>le</strong>simages. Contrairement à eux, en dehors des traitements de texte, la plupart deslogiciels généraux (navigateurs, logiciels d’email, de forum, de chat) <strong>le</strong>s affichentseu<strong>le</strong>ment après qu’el<strong>le</strong>s aient été transformées en images. La qualité n’est pas trèsbonne et <strong>le</strong> résultat n’est plus éditab<strong>le</strong>. Quelques navigateurs sont toutefois capab<strong>le</strong>sde <strong>le</strong>s afficher à partir de représentations MathML, ce qui fournit une présentationde bonne qualité. Les logiciels de traitement de texte, quant à eux, <strong>le</strong>s traitent, pourcertains, de façon non WYSIWYG (What You See Is What You Get) et, pour <strong>le</strong>sautres, de façon peu fluide. Dans [Nicaud 2007], <strong>le</strong> <strong>le</strong>cteur trouvera des principespour une édition fluide dite « naturel<strong>le</strong> » des formu<strong>le</strong>s.Le projet epsilonwriter de la société Aristod (start-up de l’Université Joseph-Fourier) a porté initia<strong>le</strong>ment sur un éditeur fluide de texte et de formu<strong>le</strong>s [Nicaud &Viudez 2009] pour différents contextes, dont <strong>le</strong> courrier é<strong>le</strong>ctronique. Il s’estcomplété ensuite par <strong>le</strong> traitement de questionnaires en mode auteur et en modeélève : des QCM, comme on en rencontre beaucoup, mais avec une grande facilitépour y insérer des formu<strong>le</strong>s bien présentées ; des questions à réponsesmathématiques ouvertes avec un contrô<strong>le</strong> mathématique, comme on en rencontretrès peu.Le logiciel epsilonwriter et <strong>le</strong> portail http://epsilonwriter.com, qui sont <strong>le</strong>s misesen œuvre actuel<strong>le</strong>s du projet, sont décrits brièvement ci-dessous. Les prochainsdéveloppements du projet sont indiqués ensuite.1. Un éditeur « math & formu<strong>le</strong>s » intuitif et soup<strong>le</strong>epsilonwriter permet de saisir et modifier de façon fluide <strong>le</strong> texte et <strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>s.La frappe de « 2/3 » produit directement une fraction par défaut, il n’y a pas besoind’ouvrir une fenêtre auxiliaire pour saisir ou modifier une formu<strong>le</strong>.Les actions dans epsilonwriter (frappe d’une touche, clic sur un bouton, col<strong>le</strong>r,etc.) conduisent souvent à des propositions multip<strong>le</strong>s qui sont présentées dans unpopup (menu surgissant).Les opérateurs (racine carrée, vecteur, intégra<strong>le</strong>, etc.) peuvent être entrés de troisfaçons : (1) avec un bouton, (2) en frappant une suite de caractères qui <strong>le</strong>s représente(par exemp<strong>le</strong> : « vect » pour vecteur, « -> » pour une flèche, « ( » pour parenthèses,coefficient du binôme et matrice), (3) en frappant <strong>le</strong> début du nom Latex del’opérateur, cf. figure 1.178 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Figure 1. A gauche, <strong>le</strong>s propositions après la frappe de « ( ». Au milieu, <strong>le</strong>spropositions pour la frappe de \f devant x dans x∈Z(début des commandes Latex\forall et de \f). A droite, <strong>le</strong>s propositions pour la frappe de « / » après x dans 3xyz.La soup<strong>le</strong>sse d’epsilonwriter se décline de plusieurs façons. C’est, par exemp<strong>le</strong>,la possibilité de supprimer <strong>le</strong> dénominateur d’une fraction en conservant <strong>le</strong>numérateur, ou encore d’ajouter ou d’en<strong>le</strong>ver une partie haute ou basse à ∫ ou ∑, ceque <strong>le</strong>s éditeurs d’équations ne permettent pas.Col<strong>le</strong>r ou déposer une formu<strong>le</strong> dans une autre se fait avec un opérateur choisi parl’utilisateur dans un popup. Le glisser-déposer permet de faire des petits calculs.Ainsi, si dans 5x=2x-4 on fait un glisser-déposer de 2x vers la gauche de « = » et sil’on dépose avec « - » (choix dans <strong>le</strong> popup), on obtient 5x-2x=-4. Col<strong>le</strong>r sur unesous-formu<strong>le</strong> sé<strong>le</strong>ctionnée est réalisé comme une substitution mathématique. Dansun système d’équations contenant x=y-2z+5, on peut copier y-2z+5 puis sé<strong>le</strong>ctionnerx dans <strong>le</strong>s autres équations et « col<strong>le</strong>r » pour faire <strong>le</strong>s substitutions de x par y-2z+5(des parenthèses apparaissent autour de y-2z+5 quand cela est nécessaire). Cesmanipulations peuvent en particulier servir à rédiger des corrections.2. Des remplacements mathématiques et des calculsChercher-remplacer dans epsilonwriter permet aussi de faire des substitutionsmathématiques. Ainsi, la substitution x=y-2z+5 peut s’appliquer à un système (ou àtoute autre formu<strong>le</strong>) en entrant x dans la fenêtre « Rechercher », y-2z+5 dans lafenêtre « Remplacer par » et en utilisant <strong>le</strong>s boutons « Chercher » et « Remplacer ».Chercher-remplacer fonctionne aussi « avec modè<strong>le</strong> » : des variab<strong>le</strong>s dites demodè<strong>le</strong> ou d’unification, représentées dans un cerc<strong>le</strong>, permettent de demander uneunification avec une sous-expression au lieu d’une correspondance directe, voirfigure 2.Figure 2. Trois remplacements de u+u par 2u, u étant une variab<strong>le</strong> d’unificationdans un chercher-remplacer aussi « avec modè<strong>le</strong> »Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ179
Des fonctions de calcul numérique ont été implantées dans <strong>le</strong> logiciel. El<strong>le</strong>spermettent actuel<strong>le</strong>ment d’effectuer des calculs numériques exacts sur <strong>le</strong>s entiers, <strong>le</strong>sdécimaux, ou <strong>le</strong>s rationnels pour certains opérateurs et des calculs approchés, voirfigure 3. Ces calculs seront étendus dans <strong>le</strong>s prochaines versions.Figure 3. Exemp<strong>le</strong> de calcul approché. La fraction a été sé<strong>le</strong>ctionnée puis <strong>le</strong>calcul approché a été demandé.3. Les questionnairesLes questionnaires ont fait l’objet de soins particuliers dans epsilonwriter.L’objectif a été de mettre à la disposition des auteurs un outil simp<strong>le</strong> pour rédigeraussi bien des QCM que des questions à réponses mathématiques ouvertes. Lesfigures 4 et 5 fournissent des exemp<strong>le</strong>s de ces deux types de questions en modeélève.Figure 4. Exemp<strong>le</strong> de QCM avec cases à cocher.180 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Figure 5. Exemp<strong>le</strong> comportant deux réponses mathématiques ouvertes et unQCM avec boutons radio vrai-faux. L’élève est ici on mode auto-formation, <strong>le</strong>sboutons « + » lui permettant de passer en évaluation de sa réponse pour voir si saréponse est correcte et lire <strong>le</strong> corrigé si l’auteur en a rédigé un.Les questions à réponses mathématiques ouvertes sont des objets assez peutraités actuel<strong>le</strong>ment. Quand el<strong>le</strong>s <strong>le</strong> sont, c’est souvent de façon trop syntaxique(seu<strong>le</strong> la forme exacte de la réponse attendue est acceptée) ou à l’inverse tropsémantique (n’importe quel<strong>le</strong> expression équiva<strong>le</strong>nte à la réponse attendue estacceptée). Dans epsilonwriter, l’auteur fournit la réponse attendue et choisit unmode de comparaison entre la réponse de l’élève et la réponse attendue. Il y aactuel<strong>le</strong>ment 7 modes de comparaison qui permettent de mettre ou non en jeul’associativité, la commutativité, <strong>le</strong>s calculs sur <strong>le</strong>s entiers, décimaux ou rationnels.Ces modes seront étendus dans <strong>le</strong>s versions ultérieures. Epsilonwriter permet ausside fournir plusieurs réponses attendues. Ainsi, on peut fournir la réponse ,,-2.-2.avec <strong>le</strong> score 2 et la réponse ,1-,-2.. avec <strong>le</strong> score 1,5.Les questionnaires peuvent être conçu pour de l’autoformation ou de laformation tutorée. Dans <strong>le</strong> cas de l’autoformation, l’auteur rédige des éléments decorrection qui apparaissent lorsque l’élève passe en évaluation de la question, voirfigure 6. L’élève qui ne sait pas traiter la question peut ainsi s’efforcer decomprendre <strong>le</strong> corrigé. Il peut refaire <strong>le</strong> questionnaire ultérieurement pour vérifierqu’il a bien assimilé <strong>le</strong>s connaissances ou savoir-faire concernés.Figure 6. Après avoir répondu à la question, l’élève a cliqué sur <strong>le</strong> bouton« + ». Il voit alors sa réponse, son évaluation (symbo<strong>le</strong> pour correct ou erreur), laréponse attendue et son score. Les éléments de correction sont affichés en dessous.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ181
Dans <strong>le</strong> cas de la formation tutorée, l’élève ne peut pas passer en correction.Après avoir rempli <strong>le</strong> questionnaire, il doit l’envoyer à son tuteur qui va mettre desannotations et éventuel<strong>le</strong>ment modifier <strong>le</strong>s scores automatiques des questions àréponses mathématiques ouvertes.Figure 7. Le tuteur a reçu <strong>le</strong> questionnaire rempli par l’élève. Il a modifié <strong>le</strong>score de la question et a écrit un commentaire (en rouge). Il a renvoyé <strong>le</strong>questionnaire à l’élève qui est ici en train de <strong>le</strong> lire.C’est la même application qui permet aux auteurs de rédiger des questionnaireset aux élèves d’y répondre. Quand l’auteur a terminé la rédaction de sonquestionnaire, il l’enregistre en code source pour pouvoir <strong>le</strong> reprendreultérieurement puis il l’enregistre en mode « question » pour l’autoformation ou enmode « test » avec mot de passe pour la formation tutorée.4. Les contextes d’utilisationLe portail http://epsilonwriter.com permet d’utiliser librement, pour usage noncommercial, l’app<strong>le</strong>t epsilonwriter dans différents contextes. Outre un manueld’utilisation, il comporte des tutoriels interactifs permettant d’avoir un aperçurapide « dans l’action » des principa<strong>le</strong>s fonctionnalités d’epsilonwriter.Il est d’abord possib<strong>le</strong> d’utiliser l’app<strong>le</strong>t comme une application qui lit etenregistre des <strong>fichier</strong>s sur l’ordinateur. On peut rédiger des notes de cours, des<strong>fichier</strong>s d’exercices, des questionnaires. Ces <strong>fichier</strong>s peuvent être échangés commetous <strong>le</strong>s autres <strong>fichier</strong>s. Il est possib<strong>le</strong> d’imprimer <strong>le</strong>s documents et de <strong>le</strong>s exporter enHTML avec des images remplaçant <strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>s ou en XHTML avec <strong>le</strong>s formu<strong>le</strong>sreprésentées en MathML (<strong>le</strong>s exports ne conviennent pas pour <strong>le</strong>s questionnaires car<strong>le</strong>s documents obtenus ne sont pas interactifs).Le portail permet aussi de rédiger des emails. Depuis l’éditeur, il suffit de choisir<strong>le</strong> menu « Envoyer » et d’entrer ou de col<strong>le</strong>r <strong>le</strong>s adresses é<strong>le</strong>ctroniques dedestinataires pour <strong>le</strong>ur envoyer un message qui est reçu dans une bel<strong>le</strong> présentation,voir figure 8. Le portail permet aussi de discuter dans des forums.182 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Figure 8. Message reçu dans un logiciel de courrier é<strong>le</strong>ctronique.Le portail permet enfin de stocker des documents epsilonwriter et d’<strong>obtenir</strong> desliens à placer dans des documents, des pages web ou des emails.5. Les prochains développementsDe nombreux développements sont prévus pour enrichir l’outil epsilonwriter etses usages.Une application epsilonwriter sera disponib<strong>le</strong> à l’été 2011. El<strong>le</strong> aura <strong>le</strong>s mêmesfonctionnalités que l’app<strong>le</strong>t et l’avantage de fonctionner hors-ligne. El<strong>le</strong> sera plusconfortab<strong>le</strong>, n’ayant pas une fenêtre dans une fenêtre. Cette application sera payante.Un « chat » sera aussi disponib<strong>le</strong> vers l’été 2011. Il sera gratuit.Un site web pour permettre aux auteurs de déposer <strong>le</strong>ur questionnaires, afinqu’ils soient accessib<strong>le</strong>s gratuitement, sera mis en place vers la fin 2011.Pour ce qui concerne <strong>le</strong>s évolutions de l’éditeur :• Des questions sans notation seront ajoutées pour <strong>le</strong>s situations où il n’y apas de réponse attendue• Des arbres et des représentations graphiques de fonctions seront ajoutés• Les calculs internes seront étendus : calculs polynomiaux, résolutions decertaines équations et de certains systèmes• Une connexion à un calcul formel sera réalisée• Il est prévu de mettre en œuvre la rédaction simultanée de documents parplusieurs utilisateurs.• Enfin un fonctionnement par entrées voca<strong>le</strong>s devrait être ajouté.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ183
BibliographieNicaud, J.F. (2007). Natural Editing of Algebraic Expressions. In proceedings of the MathUIworkshop, Linz, Austria, 2007. http://www.activemath.org/workshops/MathUI/07/Nicaud, J.F., Viudez, C. (2009). epsilonwriter: imp<strong>le</strong>menting new ideas for typing text andmath. The MathUI workshop 2009. Grand Bend, Ontario, Canada.http://www.activemath.org/workshops/MathUI/09/proc/Nicaud-Vuidez-EpsilonWriter-MathUI09.pdf184 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
AlNuSetUn système pour l’approche de l’algèbrePedemonte BettinaDiDiMa srl – ITD (CNR)6, Via De Marini16149 Genovapedemonte@itd.cnr.itRÉSUMÉ : De nombreuses recherches montrent que la didactique actuel<strong>le</strong> de l’algèbre dansl’enseignement secondaire n’est pas complètement capab<strong>le</strong> de développer <strong>le</strong>s compétencesnécessaires pour maitriser cette discipline. Les significations des concepts algébriques(variab<strong>le</strong>, paramètre, expressions, etc.) ainsi que la signification des techniques utilisées dansla transformation algébrique restent souvent cachées aux élèves. Cet artic<strong>le</strong> présente unlogiciel didactique, AlNuSet (Algebra of Numerical Sets), développé pour améliorerl’apprentissage de l’algèbre dans l’enseignement secondaire. AlNuSet peut être utilisé pourtravail<strong>le</strong>r des notions d’algèbre et plus spécifiquement des notions para-mathématiques etproto-mathématiques dans l’enseignement traditionnel de l’algèbre. Dans cet artic<strong>le</strong>,AlNuSet est analysé selon ce point de vue.ABSTRACT: There are a meny researches studies showing that the current didactics ofalgebra in the secondary school is not ab<strong>le</strong> to develop the necessary skills to manage thisdiscipline. The meanings of algebraic concepts (variab<strong>le</strong>, parameter, expression, etc.) and oftechniques used in the algebraic transformation are often hidden to students. This artic<strong>le</strong>presents an educational software, AlNuSet (Algebra of Numerical Sets), developed to improvethe teaching and <strong>le</strong>arning of Algebra at secondary school. AlNuSet can be used to perform aspecific didactic based on mathematical notions but also on proto-mathematics and paramathematicsnotions of Algebra. In this artic<strong>le</strong> AlNuSet is analyzed from this point of view.MOTS-CLÉS : AlNuSet, algèbre, notions para-mathématiques et proto-mathématiquesKEYWORDS: AlNuSet, Algebra, proto-mathematics and para-mathematics notionsActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ185
IntroductionComme <strong>le</strong> montrent <strong>le</strong>s erreurs commises par une majorité d’élèves, il estdésormais bien établi que la didactique actuel<strong>le</strong> de l’algèbre dans l’enseignementsecondaire n’est pas complètement capab<strong>le</strong> de développer <strong>le</strong>s compétences et <strong>le</strong>sformes de contrô<strong>le</strong>s nécessaires pour maitriser ce domaine mathématique.L’algèbre n’est pas traitée dans la classe comme une théorie mathématiquecapab<strong>le</strong> d’exprimer des relations comp<strong>le</strong>xes qui sont ensuite utilisées dans d’autresdomaines mathématiques (Analytique, Trigonométrie, Analyse, etc.). L’algèbre estsouvent considérée comme un corpus de règ<strong>le</strong>s et procédures pour manipu<strong>le</strong>r dessymbo<strong>le</strong>s. El<strong>le</strong> est enseignée et apprise comme un langage en mettant en avant <strong>le</strong>saspects syntaxiques. La signification des objets algébriques (variab<strong>le</strong>, paramètre...)reste cachée aux élèves ainsi que la connexion entre l’application d’une règ<strong>le</strong> et sasignification dans une transformation algébrique. En général, <strong>le</strong>s élèves sontcapab<strong>le</strong>s de développer des expressions ou de résoudre des équations comp<strong>le</strong>xes,ainsi que d’effectuer des algorithmes pour <strong>le</strong> calcul avec <strong>le</strong>s techniques demanipulation algébrique. Cependant, ils ne sont pas capab<strong>le</strong>s de justifier <strong>le</strong>stechniques qu’ils utilisent dans la manipulation ou de comprendre ce qu’ils fontquand ils traitent avec <strong>le</strong>s symbo<strong>le</strong>s algébriques. Par exemp<strong>le</strong>, il y a un grandnombre d’élèves qui ne savent pas que la va<strong>le</strong>ur de x que l’on trouve en résolvantune équation rend vraie l’égalité de départ.Dans cet artic<strong>le</strong> nous présentons un logiciel, AlNuSet, qui a été développé pourrénover la didactique de l’algèbre. AlNuSet permet de donner des significations auxsymbo<strong>le</strong>s algébriques et aux techniques de manipulation algébriques. C’est un outilpour l’enseignant parce qu’il permet de proposer aux élèves des activités nouvel<strong>le</strong>set non répétitives où <strong>le</strong>s notions algébriques sont abordées de façon complètementdifférente par rapport à la didactique usuel<strong>le</strong>. L’objectif de cet artic<strong>le</strong> est de montrer,à travers des exemp<strong>le</strong>s d’utilisation d’AlNuSet, une approche nouvel<strong>le</strong> de l’algèbre.1. Une nouvel<strong>le</strong> approche de l’algèbre à travers l’enseignement des notionspara-mathématiques et proto-mathématiquesPour expliquer <strong>le</strong>s difficultés auxquel<strong>le</strong>s <strong>le</strong>s élèves doivent faire face quand ilsapprochent l’algèbre dans la didactique usuel<strong>le</strong>, nous utilisons la terminologie deChevallard (1985). Nous observons que seu<strong>le</strong>ment une partie des notions enseignéesen algèbre sont des notions mathématiques. On peut effectuer des enseignementsspécifiques sur ces notions parce qu’el<strong>le</strong>s ont des définitions précises accessib<strong>le</strong>saux élèves, dont on peut démontrer <strong>le</strong>s propriétés et préciser <strong>le</strong>s modalitésd’utilisation.Cependant, dans l’enseignement de l’algèbre, on identifie éga<strong>le</strong>ment des notionspara-mathématiques et proto-mathématiques. Les notions para-mathématiques ontdes noms spécifiques que <strong>le</strong>s élèves doivent apprendre pendant l’activité186 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
d’enseignement mais une didactique spécifique sur ces notions n’est pas effectuée(ex. variab<strong>le</strong>, paramètre, inconnue, quantificateurs universel et existentiel,expression algébrique, va<strong>le</strong>ur de vérité d’une proposition…). Les notions protomathématiques,par contre, n’ont pas un nom ou une définition ; el<strong>le</strong>s vivent dans lapratique, et souvent ne sont même pas perçues pendant l’activité mathématique del’élève (ex. comprendre ce qu’il faut faire et ce qu’il convient faire dans unemanipulation…). Le développement des notions para-mathématiques et protomathématiquespeut être très important pour pouvoir contrô<strong>le</strong>r complètementl’activité algébrique car c’est peut-être à travers ces notions que <strong>le</strong>s élèves peuventconstruire des signifiés aux concepts et aux règ<strong>le</strong>s algébriques.2. AlNuSet et ses environnementsUn grand nombre d’outils technologiques ont été proposés pour supporter unedidactique de l’algèbre à l’éco<strong>le</strong>. Cependant, <strong>le</strong>s outils actuel<strong>le</strong>ment commercialiséssont essentiel<strong>le</strong>ment des CAS ou des tutoriels, développés pour supporter descompétences formel<strong>le</strong>s dans <strong>le</strong> domaine algébrique. Ils sont très uti<strong>le</strong>s pourl’apprentissage des techniques de manipulation mais peu efficaces pour supporterune didactique orientée vers la compréhension des signifiés des symbo<strong>le</strong>salgébriques.Le système AlNuSet, (www.alnuset.com) réalisé dans <strong>le</strong> cadre du projeteuropéen ReMath (IST-4-26751), est un logiciel qui peut être utilisé pour effectuerune didactique directe et spécifique sur des notions qui vivent comme des notionspara-mathématiques et proto-mathématiques dans l’enseignement traditionnel del’algèbre. Pour cette raison AlNuSet peut rénover profondément la pratiquedidactique de l’algèbre.Il est composé de trois environnements interdépendants: la Droite Algébrique, <strong>le</strong>Manipulateur Algébrique, <strong>le</strong>s Fonctions. Dans la suite nous montrerons à travers desexemp<strong>le</strong>s certaines fonctionnalités didactiques de ces trois environnements pourmontrer comment ils peuvent être exploités pour <strong>le</strong> développement de notions paramathématiqueset proto-mathématiques de l’algèbre.2.1. La Droite AlgébriqueLa Droite Algébrique d’AlNuSet permet d’opérer avec des expressions,polynômes et propositions algébriques à travers une approche dynamique. Dans cetenvironnement, une <strong>le</strong>ttre, par exemp<strong>le</strong> la <strong>le</strong>ttre x, est un objet concret ; une foisqu’el<strong>le</strong> est éditée el<strong>le</strong> est associée à un point (une va<strong>le</strong>ur) qui peut être déplacé sur ladroite.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ187
Toute expression algébrique éditée dans cet environnement (et définie dansl’ensemb<strong>le</strong> numérique où l’on est en train de travail<strong>le</strong>r) est associéeautomatiquement à un point sur la droite dont la position change par rapport à laposition de la variab<strong>le</strong> indépendante. Il est important de souligner que l’expressionne peut pas être déplacée directement sur la droite par la souris. Son déplacement estdéterminé par celui de la variab<strong>le</strong> indépendante. Cette caractéristique peut êtrefaci<strong>le</strong>ment exploitée pour donner du sens à la notion para-mathématique de« variab<strong>le</strong> ».En déplaçant x sur la droite l’élève fait expérience de ce que signifie variab<strong>le</strong> etexpression algébrique car <strong>le</strong> mouvement de x détermine aussi <strong>le</strong> mouvement desexpressions qui sont associés à x.Figure 1. L’expression 2x+1 dépend de la va<strong>le</strong>ur de x. Le déplacement de x sur ladroite détermine <strong>le</strong> déplacement de l’expression associée.Sur la Droite Algébrique, il est aussi possib<strong>le</strong> de traiter <strong>le</strong>s propositionsalgébriques et en particulier <strong>le</strong>s notions d’identité et d’équation, à travers unedidactique complètement nouvel<strong>le</strong>.Sur la droite, deux expressions sont équiva<strong>le</strong>ntes si el<strong>le</strong>s sont associées à unmême point au cours du déplacement de la variab<strong>le</strong> dont el<strong>le</strong>s dépendent. Imaginonsd’éditer sur la droite <strong>le</strong>s expressions 2x+3x, 5x et 2x+3. En déplaçant la variab<strong>le</strong> xsur la droite on peut observer que <strong>le</strong>s expressions algébriques qui composentl'identité (2x+3x=5x) sont toujours associées à un même point pendant <strong>le</strong>déplacement de la variab<strong>le</strong> x sur la droite. Au contraire, <strong>le</strong>s expressions quicomposent l’équation (2x+3=5x) sont associées à un même point sur la droitealgébrique seu<strong>le</strong>ment pour certaines va<strong>le</strong>urs de la variab<strong>le</strong> (<strong>le</strong>s solutions del’équation).188 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
En outre, chaque égalité, dès qu’el<strong>le</strong> est éditée, est associée à une marque coloréecorrespondant à sa va<strong>le</strong>ur de vérité. La cou<strong>le</strong>ur de cette marque met en évidence lavérité de l’identité pour toutes <strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs de la variab<strong>le</strong> pendant <strong>le</strong> déplacement ;el<strong>le</strong> met en évidence la vérité de l’équation seu<strong>le</strong>ment pour certaines va<strong>le</strong>urs de lavariab<strong>le</strong>.Figure 2. Les expressions 2x+3x et 5x sont équiva<strong>le</strong>nts comme <strong>le</strong> montre par <strong>le</strong>post-it jaune et la cou<strong>le</strong>ur verte associée à l’identité 2x+3x=5x. Les expressions2x+3x et 5x sont éga<strong>le</strong>s pour certaines va<strong>le</strong>urs de x. Seu<strong>le</strong>ment quand x est placésur 1 la cou<strong>le</strong>ur associée à l’égalité 2x+3=5x devient verte.A travers la droite algébrique, il est donc possib<strong>le</strong> d’effectuer une didactiquesur des notions qui habituel<strong>le</strong>ment sont considérées comme para-mathématiques,(par exemp<strong>le</strong> variab<strong>le</strong>, expression, équation et identité).2.2. FonctionDans l’environnement Fonction d’AlNuSet, <strong>le</strong> lien fonctionnel à une dimensionsur la droite algébrique entre variab<strong>le</strong> et expression est mis en relation avec celui àdeux dimensions dans <strong>le</strong> plan Cartésien. Ici, de façon automatique, <strong>le</strong> graphe del’expression est représenté par rapport à la va<strong>le</strong>ur de la variab<strong>le</strong>. En déplaçant lavariab<strong>le</strong> sur la droite algébrique, on peut observer que l’expression associée estdéplacée sur la droite et, en même temps, <strong>le</strong> point correspondant au graphe del’expression dans <strong>le</strong> plan cartésien est déplacé sur la fonction associée..Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ189
Ces phénomènes peuvent être mis en relation entre eux et ils peuvent améliorerla <strong>le</strong>cture et l’interprétation des graphes dans <strong>le</strong> plan cartésien ainsi que développerde nombreuses notions concernant <strong>le</strong>s fonctions algébriques.Considérons par exemp<strong>le</strong> l’expression ax 2 . Si on construit la fonction ayant xcomme variab<strong>le</strong> on obtient une parabo<strong>le</strong>. En déplaçant x sur la droite on observe que<strong>le</strong> point sur <strong>le</strong> graphe associé à la variab<strong>le</strong> est déplacé sur la fonction de façoncorrespondante. Par contre, si on déplace la <strong>le</strong>ttre a sur la droite, on observe que laconcavité de la parabo<strong>le</strong> change. Cela permet de faire une expérience directe sur ladifférence entre variab<strong>le</strong> et paramètre.Figure 3. La fonction ax 2 selon la va<strong>le</strong>ur du paramètre a.Nous invitons <strong>le</strong> <strong>le</strong>cteur à imaginer de construire <strong>le</strong> graphe de l’expression ax 2 enconsidérant a comme variab<strong>le</strong> et x comme paramètre. La notion para-mathématique« paramètre » si diffici<strong>le</strong> à faire comprendre aux élèves peut être expérimentée par<strong>le</strong>s élèves en rendant visib<strong>le</strong> et palpab<strong>le</strong> la différence entre variab<strong>le</strong> et paramètre.2.3. Le Manipulateur AlgébriqueLe Manipulateur Algébrique d’AlNuSet a été conçu pour aborder <strong>le</strong> traitementalgébrique en suivant une prospective axiomatique et déductive. Le Manipulateurrend disponib<strong>le</strong>, via l'interface, un ensemb<strong>le</strong> de commandes qui correspondent auxpropriétés de base des opérations, aux propriétés des égalités et inégalités entreexpressions algébriques, et aux opérations logiques de base entre propositions etensemb<strong>le</strong>s. Tant qu’aucune sous-expression n’est sé<strong>le</strong>ctionnée, <strong>le</strong>s commandes pour<strong>le</strong> traitement ne sont pas actives.190 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Quand une sous-expression est sé<strong>le</strong>ctionnée pour effectuer une manipulation, <strong>le</strong>scommandes de l’interface qui peuvent être appliquées à cette sous-expression sontactivées automatiquement (en jaune).Une fois qu’une commande active a été sé<strong>le</strong>ctionnée, <strong>le</strong> manipulateur transformeautomatiquement l’expression en une autre équiva<strong>le</strong>nte.Figure 4. L’expression (x+1) 2 doit être transformée en x 2 +2x+1.Le logiciel permet aussi de créer de nouvel<strong>le</strong>s règ<strong>le</strong>s, lorsqu’el<strong>le</strong>s sontdémontrées au moyen des commandes disponib<strong>le</strong>s ; ces règ<strong>le</strong>s peuvent êtreenregistrées et inscrites comme commandes de l’interface et el<strong>le</strong>s peuvent êtreutilisées dans <strong>le</strong>s manipulations ultérieures.Ces caractéristiques sont essentiel<strong>le</strong>s pour aborder une didactique destransformations algébriques selon l’approche axiomatico-déductive (Pedemonte,2011). Cette approche est centrée sur l’usage de certains axiomes de base (propriétésdes opérations) et la démonstration de règ<strong>le</strong>s de plus en plus comp<strong>le</strong>xes pour <strong>le</strong>calcul algébrique (théorèmes).Cela permet de traiter des notions proto-mathématiques (comprendre ce qu’ilfaut faire et ce qu’il convient de faire dans une manipulation, ce qu’on peutconsidérer comme une démonstration algébrique) à travers une approche guidée où<strong>le</strong>s règ<strong>le</strong>s et <strong>le</strong>s axiomes qui sont utilisés apparaissent de façon explicite àl’utilisateur..Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ191
DiscussionConsidérons l’activité suivante qui a été proposée par l’enseignant à une classede seconde pendant une expérimentation avec AlNuSet.L’enseignant demande à un élève d’effectuer <strong>le</strong> calcul suivant: « Pense à unnombre, doub<strong>le</strong> <strong>le</strong>, ajoute 6, divise <strong>le</strong> résultat par 2 et enlève <strong>le</strong> nombre que tu aspensé au début ». L’enseignant dit : « Le résultat est 3 ». L’enseignant proposel’exercice à deux autres élèves en changeant <strong>le</strong> nombre à rajouter. El<strong>le</strong> devine <strong>le</strong>srésultats. A la fin el<strong>le</strong> propose l’exercice suivant: « Si x est <strong>le</strong> nombre initial, et a est<strong>le</strong> nombre à rajouter, écris une expression pour traduire <strong>le</strong> calcul. Représentel’expression sur la droite. Qu’observe-t-on si on déplace x? Qu’observe-t-on si ondéplace a? Quel<strong>le</strong> est la va<strong>le</strong>ur de l’expression? ».L’enseignant demande de construire l’expression :Evidemment l’enseignant est capab<strong>le</strong> de deviner <strong>le</strong> résultat de l’expression carcette expression ne dépend pas de la variab<strong>le</strong> x (<strong>le</strong> nombre que l’élève pense) maisel<strong>le</strong> dépend simp<strong>le</strong>ment du paramètre a (<strong>le</strong> nombre que l’enseignant demande derajouter). Si on transforme l’expression, on observe que son résultat (a/2) esttoujours la moitié de a. En effet, en éditant l’expression requise par l’enseignant surla droite algébrique on observe que si on déplace x l’expression ne bouge pas alorsque si on déplace a l’expression est toujours positionnée sur <strong>le</strong> point qui représentela moitié de a. Une fois que <strong>le</strong>s élèves ont compris pourquoi l’enseignant peutdeviner <strong>le</strong> résultat ils vont dans <strong>le</strong> manipulateur pour démontrer que l’expression estéga<strong>le</strong> à a/2.Cette activité est un exemp<strong>le</strong>, qui montre comment AlNuSet permet auxenseignants de proposer des activités nouvel<strong>le</strong>s et non répétitives qui peuvent donnerdu sens aux activités algébriques. Ega<strong>le</strong>ment, cette activité permet aux élèvesd’accomplir des expériences concrètes à propos de notions algébriques qui, dans lapratique ordinaire, présentent une nature para-mathématique ou protomathématique.Bibliographie*2 + ax− x2Chevallard, Y. (1985), La transposition didactique (1991). Grenob<strong>le</strong> : La Pensée sauvagePedemonte B. (2011) Conjecturing and proving in AlNuSet Proceeding of the SeventhCongress of the European Society for Research in Mathematics Education CERME 7,Rzeszów, Poland.192 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Introducción a profesores de matemáticasde nive<strong>le</strong>s de secundaria y bachil<strong>le</strong>ratoa paradigmas pedagógicos digita<strong>le</strong>sIntroduction à des enseignants de mathématiquesdu second degré du Mexique à des paradigmespédagogiques numériquesElisabet Rodríguez Vidal* Ana Isabel Sacristán**Depto. de Matemática Educativa, Cinvestav-IPNAv. Instituto Politécnico Nacional 2508,07360 México, D.F., Mexique*lis.rodriguez.vidal@gmail.com **asacrist@cinvestav.mxRÉSUMÉ : La recherche que je présente ici, a comme but connaître l’utilisation deressources numériques par des professeurs de mathématiques d’une région du Mexique(Puebla), tant sur eux-mêmes, comme sur <strong>le</strong>ur pratique d’enseignement, pour après avoir puconcevoir et mis en pratique une séquence d’ateliers pour <strong>le</strong>s rapprocher aux technologiesnumériques. Puis nous regardons comment <strong>le</strong>s professeurs transforment <strong>le</strong>ur pratiquepédagogique, de la planification de <strong>le</strong>urs <strong>le</strong>çons, jusqu’à la mise en pratique des ressourcesnumériques.RESUMEN :. La investigación aquí presentada tiene como finalidad conocer el uso detecnologías digita<strong>le</strong>s por profesores de matemáticas de la región de Puebla, México, tanto enellos mismos, como en su práctica docente, para después acercar a los profesores a estastecnologías digita<strong>le</strong>s mediante una serie de tal<strong>le</strong>res. También se considera en los profesoresun cambio en su labor docente, en la planeación de las clases, y en el desarrollo de lasmismas.MOTS-CLÉS : Ressources numériques, enseignement des mathématiques, formation desenseignants.PALABRAS CLAVE : Tecnologías digita<strong>le</strong>s, enseñanza de las matemáticas, formación deprofesores.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ193
Introducción y objetivosEn este documento se presentan avances de una investigación que buscabaayudar a profesores de Secundaria y Bachil<strong>le</strong>rato de la región de Puebla, México, aincorporar significativamente las tecnologías a su práctica docente y clases dematemáticas. Para ello fue necesario identificar características de la situación actualrespecto al uso de las tecnologías digita<strong>le</strong>s en profesores de estos nive<strong>le</strong>s, tanto parasus clases de matemáticas como en su vida personal.Posteriormente, se l<strong>le</strong>vó a cabo una intervención didáctica, y luego se estudiaronalgunos efectos de esta instrucción (e.g. la manera de utilizar y l<strong>le</strong>var a cabo lasactividades propuestas en sus aulas y en su práctica docente).Los objetivos de esta investigación son primero, identificar el uso que losprofesores de matemáticas de Puebla hacen de las tecnologías digita<strong>le</strong>s en supráctica docente, tanto en la preparación de actividades, como en sus clases; despuésintroducir a dichos profesores en el uso de tecnologías digita<strong>le</strong>s en sus clases dematemáticas, mediante una serie de tal<strong>le</strong>res en los que se <strong>le</strong>s dan a conocer algunasherramientas y actividades que ejemplifican su uso.1. AntecedentesEn el mundo actual, el uso de las tecnologías digita<strong>le</strong>s ha crecido en lapoblación, permeando casi todo aspecto de la vida cotidiana, sobre todo en lapoblación joven. Resultaría por lo tanto de gran importancia que la introducción detecnologías en las instituciones educativas tuviera la misma acogida que en lasociedad y se diera con la misma rapidez. De hecho, la Secretaría de EducaciónPública (SEP), autoridad educativa en México, pide la integración de tecnologíasdigita<strong>le</strong>s en las aulas.1.1. Requisitos de SEPEl Plan y Programa de Estudio de Educación Secundaria vigente que estab<strong>le</strong>ce laSEP (Acuerdo 384, SEP, 2006) registra en una de sus características, el uso de lasTecnologías de la Información y Comunicación (TIC) en la enseñanza, para que losalumnos:desarrol<strong>le</strong>n habilidades clave como el pensamiento lógico, la resolución deprob<strong>le</strong>mas y el análisis de datos al utilizar paquetes de graficación, hojas de cálculoy manipuladores simbólicos; manejen y analicen configuraciones geométricas através de paquetes de geometría dinámica; exploren y analicen fenómenos delmundo físico y social, al representarlos y operar sus variab<strong>le</strong>s con paquetes desimulación, modelación, graficación y bases de datos (SEP, 2006, p. 33).Asimismo, para los docentes que imparten educación media superior (Acuerdo447.II.Art.4, SEP, 2008, p. 3) se señala entre los atributos de las competencias194 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
docentes, que el profesor debe ser alguien que: Utiliza la tecnología de la información y la comunicación con una aplicacióndidáctica y estratégica en distintos ambientes de aprendizaje. Propicia la utilización de la tecnología de la información y la comunicaciónpor parte de los estudiantes para obtener, procesar e interpretar información, así comopara expresar ideas.Incluso desde antes de dichos acuerdos, la SEP ha realizado diversos intentos porimpulsar en México programas de integración de las tecnologías en las aulas. Unejemplo de ello es el caso del programa EMAT (Enseñanza de las Matemáticas conTecnología) que inició en 1997 (y aún vigente en algunas regiones del país) y queintentó poner en práctica un modelo constructivista de enseñanza y aprendizaje delas matemáticas a través del uso de las tecnologías digita<strong>le</strong>s. Más adelante sedescribe dicho programa ya que parte de nuestro trabajo se basó en él.Aunque SEP estab<strong>le</strong>ce en sus programas de estudio la integración de tecnologíasdigita<strong>le</strong>s en el aula, he observado que pocos profesores de matemáticas utilizanregularmente estas tecnologías en sus aulas, ni es utilizada por sus alumnos en clase.Esto me motivó a realizar una investigación-acción para ayudar a los profesores demi zona, como se describe a continuación.2. Diseño y descripción del trabajo y de algunos resultadosPor lo tanto, para ayudar a remediar un poco dicha situación, se quiso hacer unaintervención didáctica (como se explicó en la introducción) y para ello, como ya seseñaló, era necesario conocer la situación en la que se encuentran profesores de lazona respecto al uso de tecnologías. Para esta parte diagnóstica, se aplicaronencuestas a algunos profesores en servicio, para conocer la familiaridad que ellostenían con las tecnologías digita<strong>le</strong>s y con software específico para clases dematemáticas, y el uso que dan de estas tecnologías, tanto desde el punto de vistapersonal, como para la preparación de sus clases, o el uso directamente en sus aulas.2.1. Las encuestasEn un primer modelo de encuesta se solicitaron datos sobre la edad, y formacióny experiencia profesional de los profesores, así como indagar sobre las herramientastecnológicas que conocen, su apreciación de la utilidad de ellas, y el posib<strong>le</strong> uso que<strong>le</strong>s dan. Esta primera encuesta se aplicó a 62 profesores; en ella, los profesores sídicen conocer algunos recursos como las hojas de cálculo (54 profesores) y lageometría dinámica (29 profesores). Sin embargo se muestra una utilizaciónlimitada de tecnologías digita<strong>le</strong>s en el aula: sólo 23 profesores usan las hojas decálculo y 11 profesores usan geometría dinámica en el aula; en la figura 1 se muestrauna gráfica con los resultados de esta encuesta.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ195
Figura 1 Resultados de la primera encuesta, aplicada a 62 profesoresLos resultados arrojados por dicha encuesta, motivaron a rediseñarla y a aplicarlaa un segundo grupo de profesores (algunos de los cuá<strong>le</strong>s luego formarían parte delgrupo con quien se realizó la intervención didáctica), profundizando en el tipo derecursos tecnológicos o software utilizados, así como solicitando ejemplosespecíficos de uso. Para ello se convocó a profesores de los nive<strong>le</strong>s de Secundaria yBachil<strong>le</strong>rato a participar en esta segunda encuesta y en tal<strong>le</strong>res posteriores para eluso de las tecnologías digita<strong>le</strong>s en sus clases de matemáticas.Los resultados de la encuesta ampliada (ver figura 2), aplicada a 51 profesores,mostraron que Internet y Excel son los recursos más populares para los profesores,pero sólo dicen ser utilizados por menos de la mitad de los profesores en sus clasesde matemáticas en el aula, y muy pocos dicen dejar a los alumnos utilizarlas.Figura 2 Resultados de la encuesta ampliada, aplicada a 51 profesoresCon el fin de ampliar detal<strong>le</strong>s sobre la utilización de tecnologías digita<strong>le</strong>s en elaula con los alumnos, se realizaron entrevistas a los profesores (seis en total) quedieron ejemplos específicos de su uso en clase. De estas seis entrevistas, se obtuvoque las tecnologías digita<strong>le</strong>s son utilizadas en el aula, sobre todo, para trazar gráficasy observar su comportamiento.196 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
2.2. Una serie de tal<strong>le</strong>res de formación para el uso de tecnologías digita<strong>le</strong>s en laenseñanza de las matemáticasEn base a los resultados de las encuestas y entrevistas, se planeó una serie detal<strong>le</strong>res para acercar a los profesores a estas tecnologías digita<strong>le</strong>s y dar<strong>le</strong>s a conoceruna forma de trabajo donde sus alumnos pudieran usar la tecnología para aprenderconceptos matemáticos. La final de los tal<strong>le</strong>res se realizaron entrevistas a losprofesores participantes que aplicaron las actividades en sus aulas, así comovideograbaciones de clases aplicando tecnologías digita<strong>le</strong>s por alumnos. También seentrevistaron a algunos directivos de escuela; así como alumnos de un profesor queaplicó lo aprendido en los tal<strong>le</strong>res con ellos.Como metodología de trabajo durante los tal<strong>le</strong>res, se quiso seguir un modelo detrabajo con tecnología que fuera constructivista y que fomentara la colaboraciónentre participantes (o alumnos). Por ello se eligió el modelo pedagógico EMAT quepromueve actividades para descubrir e investigar conceptos matemáticos, así comouna forma de trabajo en equipo, y que incluye hojas de trabajo con preguntas pararef<strong>le</strong>xionar sobre los contenidos implícitos; además el modelo EMAT, a lo largo deuna década ha mostrado resultados positivos (Sacristán & Rojano, 2009), tanto enprofesores como en alumnos. A continuación se describe dicho modelo.Modelo pedagógico EMATEl modelo pedagógico EMAT (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología),según señala Ursini (2006, p.26),permite la creación de ambientes de aprendizaje que propician la expresión de ideasmatemáticas, la formulación de hipótesis y el emp<strong>le</strong>o de conceptos matemáticospara explorar situaciones, pretende enriquecer y facilitar la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticasy tiene las siguientes características:• Ambiente colaborativo de aprendizaje con los alumnos:A fin de fomentar el intercambio y la confrontación de ideas y así motivar a<strong>le</strong>studiante a organizar, ref<strong>le</strong>xionar, defender y, cuando sea necesario, modificar susideas […] lo que ayudaría al alumno a […] escuchar y debatir los argumentos de losdemás e ir reafirmando sus conocimientos matemáticos, así como ir adquiriendoconocimientos nuevos. (Ursini, 2006, p. 29, 30)• El papel del profesor:Su función es observar con cuidado el trabajo de los equipos, contestar las preguntaso dudas que manifiestan los alumnos, hacer sugerencias y, cuando sea necesario,proponer posib<strong>le</strong>s acercamientos que permitan resolver la tarea propuesta usando latecnología. El profesor asume así el rol de mediador entre los alumnos y laherramienta computacional. (Ursini, 2006, p. 31)• Hojas de trabajo; se utilizan paraActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ197
Presentar un prob<strong>le</strong>ma de manera sucinta, recordar algún conocimiento previo queel alumno ya debía poseer, y formular preguntas, y a veces sugerencias, para que losalumnos empezaran a explorar el prob<strong>le</strong>ma propuesto. Las preguntas guiarían alalumno a ref<strong>le</strong>xionar acerca del prob<strong>le</strong>ma planteado, a formular algunas hipótesis, aponerlas a prueba usando la tecnología y explorar así posib<strong>le</strong>s soluciones. (Ursini,2006, p. 29)Las principa<strong>le</strong>s herramientas utilizadas en el programa EMAT son la HojaE<strong>le</strong>ctrónica de Cálculo (Excel), Geometría Dinámica con Cabri-Géomètre,Calculadoras Graficadoras (TI-92) y el <strong>le</strong>nguaje de programación Logo.2.3. Organización de los tal<strong>le</strong>resUsando EMAT se diseñó una serie de tal<strong>le</strong>res. El software e<strong>le</strong>gido para trabajaren los tal<strong>le</strong>res fue parecido a las herramientas de EMAT: Hoja de Cálculo (Excel yCalc de OpenOffice), Geometría Dinámica (Geogebra) y Programacióncomputacional (Lenguaje Logo) y la calculadora TI-Nspire. La e<strong>le</strong>cción de estosrecursos se debió, por un lado a la facilidad de acceso e instalación de éstos, y porotro lado, a que estas tecnologías digita<strong>le</strong>s permiten a los usuarios realizarconstrucciones, no sólo a seguir instrucciones.Asimismo se usaron los materia<strong>le</strong>s (actividades y ficheros) del Programa EMATque utiliza esos recursos. La finalidad de utilizar ta<strong>le</strong>s materia<strong>le</strong>s era que losprofesores conocieran actividades concretas en los tal<strong>le</strong>res, para trabajarposteriormente con sus alumnos en el aula usando tecnologías digita<strong>le</strong>s. Losresultados encontrados hasta el momento, se describen en seguida.2.4. Algunos resultados de los tal<strong>le</strong>resSe realizaron videograbaciones de las sesiones de los tal<strong>le</strong>res con los profesores,así como entrevistas con ellos en la parte final de estos tal<strong>le</strong>res. Se recabaronalgunos documentos de trabajo de profesores participantes, como planeaciones declase. También se realizaron grabaciones de sesiones de clases de los profesores,después de los tal<strong>le</strong>res, para observar algunas consecuencias en su labor docente.Para realizar el análisis de los datos recabados se consideraron las categorías deanálisis de cambios en aulas de matemáticas al utilizar tecnologías digita<strong>le</strong>sdefinidas por Sacristán, Sandoval y Gil (2007):La perspectiva del profesor y el uso didáctico de las tecnologías digita<strong>le</strong>sLa perspectiva de las interacciones en la claseEl posib<strong>le</strong> impacto en los estudiantesLa perspectiva técnicaEl contexto socialA continuación se describen algunos cambios observados en la práctica docentede profesores participantes de los tal<strong>le</strong>res, con respecto únicamente a las dosprimeras categorías: Cambios en los profesores y su uso de las tecnologías, ycambios en las interacciones en clase.198 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Cambios en la perspectiva del profesor y el uso didáctico de las tecnologíasdigita<strong>le</strong>sSe l<strong>le</strong>vó a cabo un análisis de algunos de los instrumentos de trabajo de unprofesor, en particular de sus planeaciones de clase, que son documentos donde elprofesor indica, para cada tema de clase, las actividades, contenidos, recursos queutilizará y la forma de evaluarlos, así como el tiempo programado para cadaactividad. Estas planeaciones de clases fueron, por un lado, de ciclos escolaresanteriores y, por otro, de clases posteriores a los tal<strong>le</strong>res. En este análisis se pudoobservar un cambio, ya que en las planeaciones posteriores al tal<strong>le</strong>r, existe unaarticulación de las actividades con geometría dinámica, hoja de cálculo yprogramación computacional, con los requisitos curriculares. Estas tecnologíasdigita<strong>le</strong>s incluyeron también actividades con geometría dinámica no vistas durantelos tal<strong>le</strong>res, mostrando así, al parecer, que el profesor adquirió suficiente confianzaen esta herramienta para atreverse a abordar otros temas.Del análisis de videos de otros profesores también se observa que lograron ciertaintegración de las tecnologías digita<strong>le</strong>s en sus clases a raíz de los tal<strong>le</strong>res. Algunasde estas sesiones de clase, incluyendo tecnologías digita<strong>le</strong>s con los alumnos, fueronvideo grabadas por los mismos profesores. En estas sesiones se observa que lastecnologías digita<strong>le</strong>s también son utilizadas por los alumnos.Cambios en las interacciones en clase: trabajo colaborativoDesde la perspectiva de las interacciones en el aula, fue posib<strong>le</strong> observar cómose fue dando un trabajo más colaborativo entre los profesores, ya que en las primerassesiones de los tal<strong>le</strong>res, algunos profesores no manifestaban deseos de realizar lasactividades en equipo. Pero conforme transcurrieron las sesiones, se observó mejordisposición, de los profesores participantes, a colaborar en equipos, aportando ideas,y atendiendo a los comentarios y observaciones del resto de los integrantes.Algunos resultados genera<strong>le</strong>sLas encuestas revelaron que los profesores no utilizan de forma habitual lastecnologías digita<strong>le</strong>s en las clases de matemáticas y aún menos sus alumnos. Una delas razones es que no existe un acercamiento natural a las tecnologías digita<strong>le</strong>s;muchos de ellos ni siquiera saben la existencia de muchos software existentes ni deque existen versiones alternativas a los más conocidos; y pocos de ellos conocen lasposibilidades educativas y didácticas de muchos recursos tecnológicos.Por otro lado, el poco trabajo que realizan con tecnologías digita<strong>le</strong>s, por logeneral, se relaciona con la observación de gráficas de funciones. Además, el usopor sus alumnos para realizar construcciones es limitado; y si permiten a losalumnos realizar construcciones, muchas veces el objetivo es simp<strong>le</strong>mente usar lacomputadora para crear una gráfica, y no la construcción de conceptos matemáticos.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ199
Algunas ideas concretas para mejorar la aptitud de los profesores en lastecnologías digita<strong>le</strong>sAunque se tenía en cuenta que las sesiones de los tal<strong>le</strong>res para cada recurso osoftware, no serían suficientes para que los profesores desarrollaran competenciassólidas para incorporar las tecnologías digita<strong>le</strong>s en su actividad docente con losalumnos, aún así se observó que los profesores alcanzaron a apreciar ciertaspotencialidades de las herramientas.El estudio en cursoLa investigación aquí descrita aún continúa. A principios del próximo cicloescolar observaremos si los profesores, cinco meses después de haber tomado lostal<strong>le</strong>res, integran las herramientas digita<strong>le</strong>s en su práctica docente, y cómo lo hace.Para una próxima investigación, quedaría por estudiar el efecto de la integración delas tecnologías digita<strong>le</strong>s en las clases de matemáticas, sobre la apreciación que losalumnos tienen de esta asignatura, así como la influencia sobre su aprendizaje.BibliografíaSacristán, A.I. & Rojano, T. (2009). The Mexican National Programs on TeachingMathematics and Science with Technology: The Legacy of a Decade of Experiences ofTransformation of School Practices and Interactions. In A. Tatnall and A. Jones (Eds.).Education and Technology for a Better World, WCCE 2009, IFIP Advances inInformation and Communication Technology - Boston: Springer. Pp. 207–215.Sacristán, A.I., Sandoval, I. & Gil, N. (2007). Incorporating Digital Technologies to theMathematics Classroom: In-Service Teachers Ref<strong>le</strong>ct on the Changes in their Practice. InLamberg, T., & Wiest, L. R. (Eds.). Proceedings of the 29 th PME-NA - ExploringMathematics Education in Context. Stateline (Lake Tahoe), NV: University of Nevada,Reno. CD-ROM Pp. 137-144.SEP (2006) Acuerdo número 384 por el que se estab<strong>le</strong>ce el nuevo Plan y Programas deEducación Secundaria. Diario Oficial 26 Mai 2006. México.SEP (2008) Acuerdo número 447 por el que se estab<strong>le</strong>cen las competencias docentes paraquienes impartan educación media superior en la modalidad escolarizada, Diario Oficial29 Oct. 2008. México.Ursini, S. (2006). Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (EMAT). En Rojano, T.(ed.), Enseñanza de la Física y las Matemáticas con Tecnología: Modelos detransformación de las prácticas y la interacción social en el aula (pp. 25-41) México:SEP.200 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Niveaux d’intervention enseignante pour<strong>le</strong> développement d’un système tutorielUne expérience didactique à l’éco<strong>le</strong> secondaireavec <strong>le</strong> système géogébraTUTORMichè<strong>le</strong> Tessier-Baillargeon*, Nicolas Leduc**,Philippe R. Richard ** Université de Montréal90, ave. Vincent-d'IndyMontréal (Québec) H2V 2S9{miche<strong>le</strong>.tessier-baillargeon, philippe.r.richard}@umontreal.ca** Éco<strong>le</strong> Polytechnique de Montréal2500, chemin de PolytechniqueMontréal (Québec) H3T 1J4nicolas.<strong>le</strong>duc@polymtl.caRÉSUMÉ : Cette communication montre <strong>le</strong>s niveaux d’intervention qui émergent d’unepremière analyse lorsque des enseignants soutiennent des élèves de l’éco<strong>le</strong> secondaire aucours de la résolution de problèmes de géométrie avec géogébraTUTOR (GGBT). Celui-ci estun système tutoriel qui se destine lui-même à soutenir l’élève «à la manière de l’enseignant»,et dont <strong>le</strong> développement intègre des phases de validation expérimenta<strong>le</strong>s dans des classesdéjà instrumentées par GGBT. Le texte commence par situer certaines caractéristiques de cesystème tutoriel et il termine par l’établissement de types d’intervention enseignante. Puisqueces interventions agissent sur <strong>le</strong>s interactions entre l’élève et <strong>le</strong> milieu, nous introduisonséga<strong>le</strong>ment quelques références théoriques issues de la didactique des mathématiques.MOTS-CLÉS : Didactique des mathématiques, système tutoriel intelligent, interventionsenseignantes, interactions cognitives sujet-milieu..KEYWORDS: Didactics of mathematics, intelligent tutorial system, mathematicalcompetencies, teaching interventions, student-milieu cognitive interactionsActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ201
IntroductionDans <strong>le</strong> monde l’éducation, on admet volontiers que la technologie informatiqueet la pratique mathématique se nourrissent mutuel<strong>le</strong>ment. C’est sans doute pourquoion retrouve déjà cette association dans l’énoncé des programmes de formation del’éco<strong>le</strong> québécoise (MÉLS, 2006 & 2007). Toutefois, ces mêmes programmes sontpeu bavards sur <strong>le</strong>s effets didactiques de la technologie, comme s’il s’agissait d’unmoyen sans contraintes. À ce sujet, Rabardel (2000) rappel<strong>le</strong> que l’instrument n’estpas conceptuel<strong>le</strong>ment neutre, que ce soit avec l’usage d’outils issus des technologiescontemporaines ou traditionnel<strong>le</strong>s:Dans l’enseignement, <strong>le</strong>s instruments sont très souvent considérés comme desimp<strong>le</strong>s auxiliaires, neutres, n’intervenant pas en tant que tel sur laconstruction des savoirs par <strong>le</strong>s élèves et sur <strong>le</strong>s conceptualisations qui enrésultent. Luc Trouche à montré, par exemp<strong>le</strong>, que la calculatrice graphiqueest un non-objet pour <strong>le</strong>s enseignants, enseignants et élèves étant d’accordpour estimer que son utilisation ne nécessite aucun apprentissage.Par ail<strong>le</strong>urs, si certains modè<strong>le</strong>s de connaissances se fondent déjà sur l’interactionentre l’élève et l’outil informatique (ex. Balacheff & Margolinas, 2005), c’estjustement pour poser la dépendance de l’outil dans la formation des conceptions.L’outil qui nous intéresse ici est géogébraTUTOR (GGBT), un système tutorielqui soutient l’élève lors de la résolution de problèmes de géométrie en assurant à lafois la gestion de messages discursifs et la gestion de problèmes (Richard et al.,2011). Bien qu’il ne vise pas à remplacer l’enseignant ordinaire, GGBT demeure unsystème suffisamment autonome pour appuyer l’élève en l’absence de l’enseignant.De sorte qu’au cours de phase de développement du système, nous avons puproposer une expérience qui visait, en premier lieu, à valider l’usage d’un prototypeavec des élèves réels, et en second lieu, à rentabiliser l’expérimentation pourconnaître <strong>le</strong> type d’intervention qui émerge lorsque l’enseignant ordinaire appuiel’élève dans sa résolution instrumentée.1. Quelques jeux et enjeux dans l’usage de géogébraTUTOR1.1. Les interactions au sein du système didactiqueCe qui caractérise GGBT relativement à un logiciel de géométrie dynamique estl’existence d’une relation didactique simulée dans laquel<strong>le</strong> un agent pédagogiquevirtuel joue un rô<strong>le</strong> tuteur. Dans l’esprit de la théorie des situations didactiques deBrousseau (1998), parce que cet agent tuteur remplace momentanément l’enseignantdans son interaction principa<strong>le</strong> avec <strong>le</strong> système «sujet-milieu», il modifieconséquemment <strong>le</strong>s relations traditionnel<strong>le</strong>s dans <strong>le</strong> jeu de l’enseignant en tantqu’organisateur du jeu de l’élève (figure 1). C’est-à-dire que <strong>le</strong>s jeux principaux del’enseignant (relation 1) et de l’élève (relation 2) se transposent au sein du système202 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
«sujet-milieu» (respectivement relations 6 et 7). La notion de milieu demande alorsune nouvel<strong>le</strong> distinction : <strong>le</strong> «milieu didactique» comme système antagoniste dusystème enseigné (définition origina<strong>le</strong> de l’auteur), mais au sein duquel l’agenttuteur apparaît en sous-système; et <strong>le</strong> «milieu virtuel», sous-système concurrent pourl’élève avec qui celui-ci négocie et qui fonde, conjointement, <strong>le</strong> jeu principal del’agent tuteur (relation 6 sur 7).Figure 1. Les relations fondamenta<strong>le</strong>s avec GGBT (Richard et al., 2011)1.2. Le fonctionnement du système tutorielDu point de vue informatique, GGBT est une application Java autonome quitourne sur un ordinateur domestique. L’interface du prototype que nous avonsemployé dans notre expérience montre essentiel<strong>le</strong>ment trois parties (voir illustration2, fenêtre principa<strong>le</strong>). Dans la partie supérieure, on aperçoit l’énoncé du problème (àgauche) et une image correspondante (à droite), qui sont des éléments invariab<strong>le</strong>s aucours de la résolution d’un même problème. Au milieu se trouve <strong>le</strong> gratuiciel librede géométrie dynamique géogébra 1 , sans changement et parfaitement intégré ausystème, mais qui peut contenir au besoin une figure déjà construite. Quand au tiersinférieur, sous <strong>le</strong> modu<strong>le</strong> géogébra, nous utilisons <strong>le</strong> paradigme de la fenêtre declavardage pour simu<strong>le</strong>r un dialogue entre l’élève et <strong>le</strong> système tutoriel. Celui-ci estsusceptib<strong>le</strong> de répondre aux actions de l’élève par un message qui apparaît dans <strong>le</strong>bas de la fenêtre. Ces actions peuvent être discursives (modu<strong>le</strong> du bas), graphiquesou symboliques (modu<strong>le</strong> GGB), tandis que <strong>le</strong>s messages de l’agent tuteur peuventêtre discursifs (proposition dans <strong>le</strong> modu<strong>le</strong> du bas) ou cognitifs (lien hypertexte quis’ouvre vers un sous-problème, c’est-à-dire une nouvel<strong>le</strong> fenêtre GGBT).Afin de valider <strong>le</strong> bien-fondé des solutions de référence et de faciliterl’interaction avec l’enseignant ordinaire, <strong>le</strong>s messages du prototype employépendant l’expérience se présentaient sous la forme d’une suite ordonnée d’entiers,dont chaque nombre représente respectivement <strong>le</strong> pourcentage de complétude parrapport aux solutions envisagées dans une logique inférentiel<strong>le</strong> (Richard, 2004).1 Voir .Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ203
Illustration 2. Interactions à l’interface de GGBT et intervention de l’enseignant2. Contexte de la recherche2.1. Choix des groupes, des enseignants et des problèmesPour la résolution de 5 problèmes de preuve en géométrie euclidienne, nousavons ciblé 4 groupes au deuxième cyc<strong>le</strong> du secondaire (15-16 ans) avec <strong>le</strong>urs deuxenseignants. Une première séance se destinait à la présentation du projet alors que<strong>le</strong>s élèves étaient appelés à résoudre, par équipe de deux (binôme), trois problèmespréalab<strong>le</strong>s dans un environnement papier-crayon. Puisque <strong>le</strong>s élèves n’ont pas reçud’enseignement explicite sur <strong>le</strong> raisonnement déductif, nous avons profité desproblèmes préalab<strong>le</strong>s pour introduire implicitement la logique inférentiel<strong>le</strong>implantée dans <strong>le</strong> système tutoriel. D’abord, par la résolution d’un casse-tête dedémonstration à la manière de Coutat et Richard (2011) (problèmes préalab<strong>le</strong>s 1 et3), ensuite par l’ordonnancement de propositions données pê<strong>le</strong>-mê<strong>le</strong> et qui, pargroupe de trois ou de quatre, forment <strong>le</strong>s déductions d’une démonstration complète(problème préalab<strong>le</strong> 2).Afin d’initier la genèse instrumenta<strong>le</strong> avec GGBT et de favoriser <strong>le</strong> transfertd’une activité déjà connue dans un environnement informatique, <strong>le</strong> premierproblème de preuve parmi <strong>le</strong>s cinq reprenait l’énoncé du premier problèmepréalab<strong>le</strong>. Les problèmes suivants, de difficulté progressive allant du plus simp<strong>le</strong> auplus comp<strong>le</strong>xe, proviennent de la littérature en didactique des mathématiques et eninformatique, offrant ainsi un contexte de résultats de recherche pour étayerl’analyse a priori. Les trois premiers problèmes (problèmes de preuve 2, 3 et 4)avaient déjà été posés par Richard (2004) dans l’environnement papier-crayon, et204 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
<strong>le</strong>urs solutions formel<strong>le</strong>ment possib<strong>le</strong>s ont été testées par Botana et Recio (2006) àl’aide d’un moteur déductif. Le dernier problème (problème de preuve 5) est issud’une étude de Cobo et Fortuny (2000) sur l’effet des interactions socia<strong>le</strong>s etcognitives – il s’agit du problème de l’illustration 2 –, dont l’espace des solutionsprogrammab<strong>le</strong>s avaient déjà été expérimenté avec des élèves qui utilisaient unsystème tutoriel antérieur (Richard et Fortuny, 2007).Du côté des enseignants, ceux-ci connaissaient déjà l’ensemb<strong>le</strong> des solutionspossib<strong>le</strong>s pour chaque problème et ils on pu se familiariser à GGBT bien avantl’expérimentation. Ils n’ont pas reçu de consigne particulière quant au sty<strong>le</strong> detutorat qu’ils pouvaient employer, mais nous avons insisté pour que <strong>le</strong>ursinterventions s’effectuent dans <strong>le</strong> prolongement de <strong>le</strong>urs cours ordinaires.2.2. Col<strong>le</strong>cte et analyse des donnéesL’expérimentation a eu lieu au laboratoire d’informatique habituel de l’éco<strong>le</strong>. Parclasse, l’ensemb<strong>le</strong> des élèves s’y trouvait en même temps. Bien que nous ayonsprévu la conservation des <strong>fichier</strong>s journaux pour l’ensemb<strong>le</strong> des solutions, nousavons aménagé l’arrière de la sal<strong>le</strong> pour enregistrer conjointement <strong>le</strong>s interactionsd’un échantillon de quatre binômes à l’aide du logiciel ScreenFlow. Ce logicielpermet d’enregistrer, sous forme d’une vidéo, <strong>le</strong>s interactions à l’interface dudispositif informatique. L’illustration 2 est en fait une capture d’écran lorsque nousobservons un enregistrement. Dans celui-ci, <strong>le</strong> son et l’image des utilisateurs(premier plan) se constitue sur une trame distincte de l’action à l’écran del’ordinateur (second plan). Au premier plan, on voit d’ail<strong>le</strong>urs <strong>le</strong>s membres d’unbinôme (à gauche et au centre) de même que <strong>le</strong>ur enseignant (à droite). Puisque cedernier continuait d’assurer un soutien à l’ensemb<strong>le</strong> de ses élèves, il portait avec soiun dictaphone qui enregistrait la trame ora<strong>le</strong> de ses interventions. L’enseignant a pubénéficier d’un auxiliaire pour l’aider dans son soutien aux élèves, celui-ci portaitaussi un dictaphone. Il s’agissait d’un membre de notre équipe de recherche.Même si nous n’avons pas encore terminé la systématisation dans l’analyse desdonnées, nous avons déjà procédé à une première étude des verbatims del’intervention enseignante et des <strong>fichier</strong>s vidéos qui résument <strong>le</strong>s interactions élèvemilieu.L’étude des <strong>fichier</strong>s vidéos impliquait une analyse des stratégies déployéespar <strong>le</strong>s 16 binômes dans <strong>le</strong>urs processus de résolution, en commençant par re<strong>le</strong>ver<strong>le</strong>s opérateurs (outils de résolution) qui s’appuient sur des systèmes dereprésentation (discursif, figural et gestuel) et des moyens de jugements et dedécisions (structures de contrô<strong>le</strong>). Afin de pouvoir déterminer <strong>le</strong>s indicesd’apprentissage au sein de chaque binôme, nous avons considéré chaque membredes équipes à tour de rô<strong>le</strong>, l’intervention du coéquipier (ou de l’enseignant, <strong>le</strong> caséchéant) appartenant au milieu par rapport à l’équipier lorsque cel<strong>le</strong>-ci répondait àune demande. Mais pour déterminer des niveaux d’intervention pour <strong>le</strong>développement du système tutoriel, c’est surtout l’étude des verbatims qui était aucentre de notre démarche, par la catégorisation de régularités observées dans l’effetde l’intervention enseignante sur <strong>le</strong>s systèmes élèves-milieu.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ205
3. Premiers résultats : niveaux et types d’interventionLes interventions de l’enseignant, en réaction aux questions et actions des élèves,s’échelonnent sur <strong>le</strong>s trois niveaux que nous résumons à la figure 3. Nous <strong>le</strong>squalifions de «neutre», d’«incitatif» ou d’«actif-proactif» en suivant un ordreascendant selon l’effet dans <strong>le</strong> processus de résolution instrumentée. Même si nousn’avions pas demandé aux enseignants de privilégier un niveau ou un autre, nousavons noté une disposition à fournir essentiel<strong>le</strong>ment des réponses au niveau«neutre», hésitant du coup à s’é<strong>le</strong>ver aux niveaux supérieurs. En revanche, un desdeux enseignants intervenait davantage au niveau «actif-proactif», ce qui suggèredéjà la différenciation de profils d’intervention de l’agent tuteur selon la fréquenced’usage des niveaux. De plus, chaque niveau se décline selon l’effet del’intervention dans l’espace de travail de l’élève. Les types «communication»,«mathématique» et «technique» ne sont pas sans rappe<strong>le</strong>r recpectivement <strong>le</strong>scomposantes «espace réel et local», «référentiel» et «artefact» de la notion d’espacede travail géométrique de Kuzniak, ou l’adaptation de Coutat et Richard (2011) auregard du milieu épistémologique. Mais comme la nature de ces interventionsémergent des données expérimenta<strong>le</strong>s, nous devrons poursuivre notre analyse pourapprofondir <strong>le</strong>s enjeux d’un tel rapprochement.Figure 3. Niveaux et types d’intervention de l’enseignant206 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
ConclusionMême si dans sa conception actuel<strong>le</strong>, notre système tutoriel termine son premiercyc<strong>le</strong> de développement, GGBT se valide et se raffine par l’intégration de couchesau cours d’expérimentations menées dans des situations d’enseignementapprentissageréel<strong>le</strong>s (figure 4). Au départ, si cette disposition visait à permettre uneadaptation à la spécificité de contrats didactiques donnés, c’était aussi pour respecterl’apprentissage de la géométrie qui repose avant tout sur <strong>le</strong> sens des concepts et desprocessus mathématiques, et non pas sur toute syntaxe au regard de modè<strong>le</strong>s degéométrie formel<strong>le</strong>. Par contre, comme nous avons pu <strong>le</strong> constater avec <strong>le</strong>sinterventions enseignantes, <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> formel n’est peut-être pas un objectifd’apprentissage dans <strong>le</strong>s situations proposées, mais il demeure un moyen avec <strong>le</strong>quell’enseignant intervient sur <strong>le</strong> système sujet-milieu. Cette relativisation desconnaissances mathématiques est tout à fait compatib<strong>le</strong> avec une approchecurriculaire par compétences, comme on la retrouve dans l’institution québécoise.Toutefois, il ne peut s’agit d’une relation de subordination parce que ce sont <strong>le</strong>sconnaissances mathématiques mêmes qui restent au cœur de l’apprentissageinstrumenté avec notre système tutoriel.Figure 4. Cyc<strong>le</strong>s du développement expérimental de GGBT (Richard et al., 2011)Dans une démarche ultérieure, il faudra reprendre l’exercice expérimental pourvalider la nouvel<strong>le</strong> structure des messages et concevoir une structure de problèmesqui se destine à enrichir l’action tutoriel<strong>le</strong>. Il s’agit ici d’identifier, dans la résolutiond’un problème source, quel<strong>le</strong> est la nature des moments c<strong>le</strong>fs où l’élève estsusceptib<strong>le</strong> de rester bloqué, afin de lui retourner un problème connexe qui devraitrelancer la résolution initia<strong>le</strong>. Il est possib<strong>le</strong> que ces moments c<strong>le</strong>fs se rapprochentdes indices d’apprentissage. Mais si nous n’en sommes pas sûr, nous savons enretour qu’il y a là un nouveau foyer de développement.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ207
RemerciementsLe développement de cette recherche a été rendu possib<strong>le</strong> grâce à une subventiondu Conseil de recherches en sciences humaines (CRSH 410-2009-0179,Gouvernement du Canada). Nous tenons à remercier <strong>le</strong>s élèves de quatrième etcinquième secondaire de l’Éco<strong>le</strong> d’éducation internationa<strong>le</strong> de Laval et <strong>le</strong>ursenseignants, Huguette et Stéphane, pour <strong>le</strong> dévouement et la perspicacité dont ils ontfait preuve tout au long de <strong>le</strong>ur contribution.BibliographieBalacheff, N. & Margolinas, C. (2005). Ck¢, mode<strong>le</strong> de connaissances pour <strong>le</strong> calcul desituations didactiques. In A. Mercier, & C. Margolinas (Eds.), Balises pour la didactiquedes mathematiques (pp. 75-106). Grenob<strong>le</strong>: La Pensee Sauvage.Brousseau, G. (1998). Theorie des situations didactiques. Grenob<strong>le</strong>: La Pensee Sauvage.Botana, F. & Recio, T. (2006). Towards Solving the Dynamic Geometry Bott<strong>le</strong>neck Via aSymbolic Approach. In H. Hong, & D. Wang, D (Eds.), Automated Deduction inGeometry, pp. 92-110. Lecture Notes in Computer Science, Springer Berlin / Heidelberg.Cobo, P. & Fortuny, J.M. (2000). Social interactions and cognitive effects in contexts of areacomparisonprob<strong>le</strong>m solving. Educational Studies in Mathematics, 42, 115-140.Coutat, S. & Richard, P.R. (2011). Les figures dynamiques dans un espace de travailmathématique pour l’apprentissage des propriétés géométriques, Anna<strong>le</strong>s de didactique etde sciences cognitives, 16, 1-30.Kuzniak, A. (2009). Un essai sur la nature du travail géométrique en fin de la scolaritéobligatoire en France. Dans Gagatsis, Kuzniak, Deliyianni & Vivier (Éds) PremierColloque Franco-Chypriote de Didactique des Mathématiques, 71-89.MELS (2006 & 2007). Programme de formation de l’eco<strong>le</strong> quebecoise, enseignementsecondaire 1er cyc<strong>le</strong> (2006) et enseignement secondaire 2e cyc<strong>le</strong> (2007). Publications duGouvernement du Quebec.Rabardel, P. (2000). Éléments pour une approche instrumenta<strong>le</strong> en didactique desmathématiques. Dans Bail<strong>le</strong>ul (Ed.), Les instruments dans la pratique et l'enseignementdes mathématiques, pp. 203-213.Richard, P.R., Fortuny, J.M., Gagnon, M., Leduc, N., Puertas, E. & Tessier-Baillargeon, M.(2011). Theoretical Fundaments for an Intelligent Tutorial System Towards the Learningof Geometry at a High School Level. ZDM - The International Journal on MathematicsEducation, 43(4), 425-439.Richard, P.R., & Fortuny, J. (2007). Amelioration des competences argumentatives a l’aided’un systeme tutoriel en classe de mathematique au secondaire. Anna<strong>le</strong>s de didactique etde sciences cognitives. Vol 12, pp 83-116.Richard, P.R. (2004). Raisonnement et stratégies de preuve dans l’enseignement desmathématiques. Berne: Peter Lang.208 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
AteliersActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ209
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Atelier 1Quel<strong>le</strong>s interactions entre enseignants,mathématiciens et didacticiens ?Gil<strong>le</strong>s Aldon et Luc TroucheEducTice- S2HEP (IFE-ENSL)19 allée de Fontenay69347 LyonGil<strong>le</strong>s.Aldon@ens-lyon.fr, Luc.Trouche@ens-lyon.frRÉSUMÉ : La création de l’Institut français de l’Éducation, prolongement de l’INRP dansl’Éco<strong>le</strong> norma<strong>le</strong> supérieure de Lyon, peut favoriser <strong>le</strong>s interactions entre <strong>le</strong>s recherches surl’enseignement des mathématiques et mes recherches mathématiques. Ces interactionsexistaient déjà, <strong>le</strong> plus souvent dans <strong>le</strong> cadre de partenariats entre l’INRP et <strong>le</strong>s instituts derecherche sur l’enseignement des mathématiques. L’atelier 1 avait pour objectif de faire <strong>le</strong>point sur <strong>le</strong>s travaux en cours à l’IFÉ sur cette thématique.ABSTRACT: The creation of the French Institute of Education, which continues the INRP inthe frame of the ENS of Lyon, may favour interactions between research on mathematicsteaching and research on mathematics. These interactions were already active, often in theframe of collaboration between INRP and the Institutes of research on MathematicsTeaching. This workshop was dedicated to a cross report of the main current studies on thisthematic in IFE.MOTS-CLÉS : enseignement des mathématiques, didactique des mathématiques.KEYWORDS: mathematics teaching, didactics of mathematics.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ211
IntroductionL’atelier a organisé ses travaux autour de cinq contributions :– trois contributions d’équipes de l’IFÉ, l’équipe ERMEL Équipe de recherchemathématiques à l'éco<strong>le</strong> élémentaire, l’équipe (CD)Ampères (Conception et diffusiond'apprentissages mathématiques et parcours d'étude et de recherche pourl'enseignement secondaire) et l’équipe MATINal (MAThématiques INstrumentéesau lycée) ;– deux contributions individuel<strong>le</strong>s de chercheurs étrangers, A<strong>le</strong>xander Conde(Mexique) et Mouloud Abdelli (Algérie).Étudier <strong>le</strong>s rapports entre l’enseignement et la recherche, en mathématiques ou endidactique des mathématiques, ouvre un vaste champ de recherche. L’atelier l’aexploré en choisissant quelques entrées :– <strong>le</strong>s apports possib<strong>le</strong>s des autres disciplines pour nourrir l’enseignement desmathématiques (l’apport de la musique, dans la contribution de A. Conde) ;– <strong>le</strong>s relations comp<strong>le</strong>xes entre la langue naturel<strong>le</strong> et <strong>le</strong> langage formel desmathématiques (contribution de M. Abdelli), d’autant plus comp<strong>le</strong>xes que la languenaturel<strong>le</strong> d’usage dans l’enseignement n’est pas toujours la langue maternel<strong>le</strong> ;– <strong>le</strong>s apports des mathématiques et de la didactique des mathématiques pour laconception des ressources des enseignants (équipes ERMEL et Ampères).La nécessité de motiver l’engagement des élèves dans l’étude mathématique estapparue comme un ressort commun de ces différents travaux : cette motivation estrecherchée à travers la promotion, dans la classe, de démarches d’investigation(équipe MATINal), ou à travers la conception de parcours d’étude et de recherchequi donnent une cohérence aux différentes activités mathématiques conduites dans laclasse.La présentation, dans <strong>le</strong>s pages suivantes, de ces cinq contributions donne unaperçu de la richesse des échanges qui ont nourri cet atelier.212 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
1. De la notion de droite à la production de ressourcesEquipe ERMEL : Henri-Claude Argaud, Magali Carcel-Nowak, Georges Combier,Jacques Douaire, Marie-Pau<strong>le</strong> Dussuc, Gérard Gerdil-Margueron et LaetitiaRousson (jacques.douaire@wanadoo.fr)1.1 IntroductionLa production de dispositifs d’enseignement privilégiant une réel<strong>le</strong> activitémathématique des élèves et <strong>le</strong>ur permettant l’acquisition d’un savoir suppose, dans<strong>le</strong>urs différentes phases d’adopter un point de vue centré successivement sur <strong>le</strong>savoir mathématique, sur l’analyse des compétences et potentialités des élèves, etenfin sur la construction et l’expérimentation de situations d’apprentissages. Cesdernières étapes sollicitent <strong>le</strong> recours à des concepts et méthodes de la didactique desmathématiques. L’étude de l’appropriation par <strong>le</strong>s enseignants de ces problématiquesd’apprentissages et de ces dispositifs est aussi un de nos objets de recherche. C’esten ce sens que nous pensons pouvoir apporter une contribution à la réf<strong>le</strong>xion sur <strong>le</strong>thème de cet atelier. Nous nous appuierons sur <strong>le</strong>s apprentissages liés à une relationgéométrique, l’alignement, au cyc<strong>le</strong> 2 pour illustrer ces questions.1.2 Les programmes et <strong>le</strong> savoirDans <strong>le</strong>s programmes de l’éco<strong>le</strong> primaire, avant ceux de 2002, l’alignement n’estpas cité comme objet de savoir. Dans <strong>le</strong>s programmes actuels, l’utilisation desinstruments et des techniques est indiquée pour reproduire ou tracer des figuresplanes et l’alignement est cité pour <strong>le</strong> cyc<strong>le</strong> 3. D’un point de vue théorique une droitepeut être caractérisée de différentes façons : par l’effet (invariance) d’unetransformation, par l’intersection de plans, comme solution d’un problème dedistance, par un rayon de courbure infini, par sa direction (prolongement, etc.).1.3 Les significations de l’alignementAu sein de l’atelier, la confrontation des réponses à la question « qu’est-ce quivous semb<strong>le</strong> important de travail<strong>le</strong>r concernant « droite » et concernant« alignement » au primaire » a mis en évidence la diversité des approches. En effet,<strong>le</strong> concept de droite et <strong>le</strong>s notions associées (alignement, etc.) peuvent êtreappréhendés par <strong>le</strong>s élèves du cyc<strong>le</strong> 2 à travers différentes significations liées à laperception ou l’expérience : un objet matériel (fil tendu, bord d’un objet rectiligne,pli d’une feuil<strong>le</strong>, etc.), un objet du monde graphique (trait rectiligne, tracé sur unécran par l’outil « droite » dans Cabri), etc. Ces significations sont associées à desproblèmes portant sur l’identification ou la production d’alignements ou de traitsrectilignes ou sur la reconnaissance ou l’usage d’instruments utilisés dans ces buts.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ213
1.4 Présentation d’expérimentationsDeux situations d’alignement ont été présentées dans <strong>le</strong> cadre de cet atelier. Lapremière, qui se dérou<strong>le</strong> dans la cour, propose aux élèves de déterminer unemplacement d’où un plot en cache un autre ; la seconde propose un problème voisinsur l’espace plus réduit d’une grande tab<strong>le</strong> (placer un objet pour qu’il soit caché parun autre lorsque l’on regardera dans <strong>le</strong> viseur d’un appareil photo). Dans <strong>le</strong>s deuxcas, la résolution du problème analogue dans <strong>le</strong> domaine spatiographique est ensuiteproposée.1.5 Résultats de rechercheLes résultats expérimentaux montrent <strong>le</strong>s difficultés de transfert sur la feuil<strong>le</strong> depapier des procédures développées dans <strong>le</strong> méso-espace, en particulier <strong>le</strong> tracé d’uneligne droite n’apparaît comme la procédure privilégiée par <strong>le</strong>s élèves. Ils ont aussimis en évidence la nécessité d’un travail spécifique permettant l’appréhension enacte des significations et de certaines propriétés de la droite dès <strong>le</strong> cyc<strong>le</strong> 2. Ce travailsur la « rectitude », indépendant de la représentation d’alignement de points, faitl’objet d’une expérimentation actuel<strong>le</strong>.1.5 Témoignage d’enseignantesMagali Carcel-Nowak et Laetitia Rousson, de formation scientifique, enseignentdepuis quelques années ; el<strong>le</strong>s ont fait ou terminent un master « recherche » endidactique ; Magali a aussi été formatrice en mathématiques à l’IUFM de Grenob<strong>le</strong>(site de Va<strong>le</strong>nce). Utilisatrices des ressources produites par l’équipe à laquel<strong>le</strong> el<strong>le</strong>sparticipent, el<strong>le</strong>s ont souligné l’importance et la gestion délicate, pour desenseignants débutants, des phases de dévolution du problème pour garantir la qualitéde la recherche des élèves, ainsi que cel<strong>le</strong> des phases de validation où l’enseignantdoit donner aux élèves la possibilité de déterminer <strong>le</strong> vrai et <strong>le</strong> faux.1.6 BibliographieArgaud, H.-C., Douaire, J., & Dussuc, M.-P. (2010). Alternance et formation enmathématiques – Des exemp<strong>le</strong>s en PE2 et en T1. Actes du colloque COPIRELEM (Auch)Douaire, J., Emprin, F., & Rajain, C. (2009). L’apprentissage du 3D à l’éco<strong>le</strong>, des situationsd’apprentissage à la formation des enseignants. Repères IREM n° 77.Douaire, J. Argaud, H.-C., Dussuc, M.-P, & Hubert, C. (2003). Gestion des mises en communpar des enseignants débutants. In J. Colomb, J. Douaire et R. Noirfalise (coord.), Faire desmaths en classe ? Didactique et analyse de pratiques enseignantes, INRP.ERMEL (2006). Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cyc<strong>le</strong> 3.INRP/Hatier.214 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
2. Une approche méthodologique pour l’amélioration de l'apprentissage desfractions au travers des éléments musicauxA<strong>le</strong>xander Conde, Cinvestav, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, Col. SanPedro Zacatenco. México, 07360 DF — alconder23@hotmail.com2.1 Le lien entre <strong>le</strong>s mathématiques et la musiqueQuand on par<strong>le</strong> des mathématiques et de la musique dans <strong>le</strong> contexte scolairesurgissent des questions tel<strong>le</strong>s que : est-ce qu’il y a des liens entre <strong>le</strong>s mathématiqueset la musique ? Si la réponse est affirmative, alors, quel<strong>le</strong>s sont <strong>le</strong>s relations ? Laconstruction de la réponse à cette question a commencé beaucoup d'années avant. Lafigure 1 présente une frise chronologique des liens entre <strong>le</strong>s mathématiques et lamusique depuis différentes perspectives.La théorie de la musique a ses origines dans la nature de sons musicaux.Pythagore (570-479 a.C.), qui au moyen des explorations, a trouvé des liens entre lafréquence et la longueur de chaque fraction de la corde vibrante. D’un côté, <strong>le</strong>sdifférents mathématiciens, physiciens et scientifiques ont compté sur « l’héritage dePythagore », pour contribuer au développement de la théorie musica<strong>le</strong> et de seséléments, essentiel<strong>le</strong>ment l'harmonie, la mélodie, <strong>le</strong> timbre et <strong>le</strong> rythme. D'un autrecôté, <strong>le</strong>s musiciens célèbres ont utilisé des structures mathématiques dans <strong>le</strong>ursoeuvres, tels que Bach, Mozart, Bartók, entre autres.Figure 1. Liens entre <strong>le</strong>s mathématiques et la musique au cours du temps.2.2 Comment est-ce qu’on peut utiliser favorab<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>s liens entre <strong>le</strong>smathématiques et la musique pendant l'enseignement et l'apprentissage desmathématiques dans l'éco<strong>le</strong> ?Les liens peuvent être profités dans <strong>le</strong>s activités interdisciplinaires autour de l'étuded'un contenu intégrateur avec la même signification. L’attention est attirée sur unSystème de signes musicaux (SSM) composé des figures et des si<strong>le</strong>nces musicaux,puisqu’il possède une structure mathématique fractionnaire d’après la propriétésuivante « chaque figure est la moitié de la précédente et <strong>le</strong> doub<strong>le</strong> de la suivante ».Dans <strong>le</strong> SSM converge <strong>le</strong>s trois disciplines après mentionnées : <strong>le</strong> son et <strong>le</strong> temps (laphysique), <strong>le</strong>s fractions (<strong>le</strong>s mathématiques) et <strong>le</strong>s figures et <strong>le</strong>s si<strong>le</strong>nces musicaux (lamusique).Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ215
2.3. Description des activités de l'atelier.L’approche consiste en la création d'une proposition didactique interdisciplinaireavec l’intervention des preuves virtuel<strong>le</strong>s (simulation des objets) et preuves réel<strong>le</strong>s(matériel concret). Les preuves donnent en même temps la notion du temps réel(physique) et <strong>le</strong> temps musical. Le rapprochement signa<strong>le</strong> à une des plus grandesdifficultés dans l'apprentissage des fractions : l'identification de l'unité pour fairel'équipartition. Grâce au SSM, la figure ronde « l’unité » peut être clairementidentifiée et « l’unité » peut déduire la va<strong>le</strong>ur des autres figures.Les activités de l'atelier focalisent la construction de la notion de l’unité,l’équipartition, la fraction comme un nombre et l’équiva<strong>le</strong>nce. Un métronomemécanique virtuel sera utilisé. L'objectif principal de l'atelier est l'utilisation desfractions et de ses propriétés dans la construction des figures et des si<strong>le</strong>ncesmusicaux. La figure 2 fait preuve des activités proposées.Figure 2. L’activité de l'atelier sur la va<strong>le</strong>ur relative des figures et des si<strong>le</strong>nces musicaux.2.4 Quelques réf<strong>le</strong>xions.La représentation graphique et la perception sonore exposent <strong>le</strong> partage de l'unité demême que la division des partages et donnent la possibilité aux étudiants d’établirune relation de l'ordre entre <strong>le</strong>s figures et d’exprimer une fraction en termes desautres. Dans ce cas n’existe pas seu<strong>le</strong>ment une relation symbolique (figure-fraction),mais aussi une signification de mesure associée au temps de la durée d'un son.Ces divers rapprochements et représentations que l'étudiant a avec <strong>le</strong>s objetsmathématiques — musicaux caractérisent <strong>le</strong>s processus de concrétisation(significatif) des mêmes objets. (Wi<strong>le</strong>nsky, 1991).En conséquence, <strong>le</strong> professeur requiert aussi des propositions f<strong>le</strong>xib<strong>le</strong>s pour réaliserdes ajustements et des adaptations par rapport au contexte scolaire et potentialiser <strong>le</strong>soutils, ainsi que favoriser l'activité mathématique dans la classe.2.5 BibliographieConde, A. (2009). Las fracciones al ritmo de la música. Thèse de Master, Cinvestav, México.216 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Wi<strong>le</strong>nsky, U. (1991). Abstract Meditations on the Concrete, and Concrete Implications forMathematics Education, en Harel, I. & Papert, S. (éd.) Constructionism, p. 193-204 ;Ab<strong>le</strong>x Publishing Corporation, Norwood, NJ.3. La recherche (CD)Ampères : usages de la théorie anthropologiquedu didactique pour construire des AER (Activités d’étude et de recherche)et des PER (Parcours d’étude et de recherche)Dominique Gaud*, Robert Noirfalise*** IREM de Poitiers, 40 avenue du recteur Pineau, Poitiers** IREM de C<strong>le</strong>rmont-Ferrand, Comp<strong>le</strong>xe des Cézeaux, 63170 Aubière3.1 Motivation de la recherche(CD)Ampères est un sig<strong>le</strong> pour « Conception et diffusion d'apprentissagesmathématiques et parcours d'étude et de recherche pour l'enseignement secondaire ».Il désigne une recherche INRP/ADIREM initiée par la commission inter-IREM dedidactique. Des équipes des IREM de Bordeaux, C<strong>le</strong>rmont-Ferrand, Dijon,Marseil<strong>le</strong>, Montpellier, Nice, Poitiers, de l'IUFM de Toulouse contribuent à sondéveloppement. Des liens sont établis avec d'autres équipes au sein d'IREM, maisaussi avec des groupes de recherche belges, espagnols et italiens car <strong>le</strong>s problèmesabordés ne sont pas spécifiques de l'enseignement de notre discipline en France, maisse retrouvent éga<strong>le</strong>ment chez nos voisins européens.Un des motifs essentiels qui a donné naissance à ce projet de recherche est <strong>le</strong>problème posé, au quotidien, par <strong>le</strong> manque d'engagement des élèves dans <strong>le</strong>s études.Divers rapports et enquêtes nationa<strong>le</strong>s, internationa<strong>le</strong>s 1 soulignent ainsi l'urgence àredonner du sens aux mathématiques enseignées dans <strong>le</strong> secondaire. Retrouver <strong>le</strong>sens d'un enjeu, d'un problème non résolu à l'avance, bâtir un enseignement à partirde questions, développer des activités d'étude et de recherche (AER) ou plus encore,des parcours d'étude et de recherche (PER) pour élaborer des réponses à cesquestions, c'est ce que nous essayons de faire tout en respectant <strong>le</strong>s programmesofficiels.3.2 Du bon usage des théories didactiquesPour travail<strong>le</strong>r, nous utilisons des outils venus des théories didactiques. Toutparticulièrement, <strong>le</strong> modè<strong>le</strong> des quatre T (type de tâches, techniques, technologie,théorie) et <strong>le</strong>s niveaux de détermination empruntés à la théorie anthropologique dudidactique, conjugués avec une enquête à la fois historique et écologique sur <strong>le</strong>susages actuels des mathématiques nous conduisent à déterminer des questions à fort1 Rapports Rocard, du sénat, de l'IGEN, etc. Les textes sont nombreux pour souligner cetteurgence pour nos sociétés modernes et <strong>le</strong> besoin de personnes ayant la possibilité d'accès auxsciences.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ217
pouvoir générateur d'étude et de recherche. À titre d'exemp<strong>le</strong>s, citons pour <strong>le</strong>domaine de la géométrie <strong>le</strong>s questions suivantes :• Comment déterminer la distance entre deux points inaccessib<strong>le</strong>s ?• Comment déterminer une aire, un volume ?• Comment représenter un solide ?• Comment se repérer sur une droite, dans <strong>le</strong> plan, dans l'espace ?• Comment construire une figure répondant à des spécifications ?3.3 Des questions génératrices d’étudesDes réponses à de tel<strong>le</strong>s questions ne peuvent se traiter en quelques instants etbien au contraire peuvent s'élaborer sur plusieurs années scolaires. La déterminationdes distances inaccessib<strong>le</strong>s peut débuter en cinquième avec des triang<strong>le</strong>ssuperposab<strong>le</strong>s, et se terminer en 1 re S avec la loi des sinus et <strong>le</strong> théorème d'Al-Kashiet former ainsi un parcours d'études et de recherches (PER). On s'autorise donc àposer des problèmes qui ne peuvent être résolus en quelques minutes contrairement àla plupart de ceux rencontrés dans <strong>le</strong>s activités proposées à l'heure actuel<strong>le</strong> dans <strong>le</strong>smanuels. L'équipe de L'IREM de Poitiers propose de parcourir la totalité d'unprogramme à partir de quelques grandes questions génératrices d'études 2 .3.4 Des ressources pour <strong>le</strong>s enseignantsPour en savoir plus sur <strong>le</strong> travail de l'ensemb<strong>le</strong> des équipes (CD) Ampères, unensemb<strong>le</strong> de documents est en ligne sur <strong>le</strong> site educmath :Pour <strong>le</strong>s travaux plus spécifiques de l'IREM de Poitiers, consulter <strong>le</strong> site de cet IREM :http://irem2.univ-poitiers.fr/portail/2 Voir <strong>le</strong>s publications de l'IREM de Poitiers218 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
4. Ressources et démarches d'investigationGroupe MATINaL, IRES, Université d’Orléans, BP 6759 45067 Orléans cedex 2manuel.pean@ac-or<strong>le</strong>ans-tours.fr4.1 IntroductionL’équipe MATINal (MAThématiques INstrumentées au Lycée) étudiel'acceptabilité de ressources à fort potentiel DIES (Démarches d’investigation pourl’enseignement des sciences) dans <strong>le</strong>s pratiques de classes des enseignants et dans<strong>le</strong>ur système documentaire. C'est dans ce cadre que sont présentées deux ressources :une activité liée à un prototype de plate-forme multi-agent autour de GeoGebra() et la ressource « ligne de pixels » issue du sited'animations en ligne l'e-cureuil ().4.2 Historique du groupe MATINaLCette équipe a créé <strong>le</strong> site e-cureuil afin de mettre en ligne des animationsmathématiques pour la classe au lycée. Dans <strong>le</strong> cadre d'un partenariat avec l'INRP etsous l'acronyme CROME, il a étudié un réseau de calculatrices (TI-navigator). Lagenèse instrumenta<strong>le</strong>, <strong>le</strong> travail collaboratif et <strong>le</strong> débat scientifique sont au cœur dece travail. C'est cette étude qui a servi de support pour l'élaboration du prototype deplate-forme multi-agent autour de GeoGebra. C'est ensuite sous <strong>le</strong> nom GdoN, qu'il aanalysé <strong>le</strong>s clés USB destinées aux néo titulaires en s'intéressant notamment à lanotion de genèse documentaire et de critère de qualité d'une ressource.4.3 La plate forme multi-agent autour de GeoGebraLes participants à l'atelier ont testé la plate-forme multi-agent. Ils ont construit,dans une fenêtre GeoGebra spécifique, une figure géométrique sur <strong>le</strong> demi-plan desabscisses négatives et placé <strong>le</strong> point correspondant dont l'abscisse est l'aire de lafigure et l'ordonnée <strong>le</strong> périmètre. Ce qui, une fois mutualisé, a donné <strong>le</strong> résultat cidessous:Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ219
Figure 1. Production mutualisée de l'atelierEn extrapolant sur ce que pourrait produire un groupe d'une vingtaine d'élèvespendant <strong>le</strong> temps nécessaire, on aboutirait aux questions : À aire constante, <strong>le</strong>périmètre peut-il tendre vers l'infini ? Et à périmètre constant ? Quel<strong>le</strong> partie duquart de plan positif est couverte ? Le peu de temps disponib<strong>le</strong> pour tester cetteactivité n'a pas permis d'observer des phénomènes d'instrumentalisation comme celaavait été <strong>le</strong> cas pour <strong>le</strong> TI-navigator. On remarquera néanmoins l'apparition de deuxpoints aberrants (due à une inversion aire/périmètre), ce sont aussi ces points quinourrissent <strong>le</strong> questionnement et <strong>le</strong> débat scientifiques dans la classe.4.4 La ressource « ligne de pixels »La ressource « ligne de pixels » a été présentée accompagnée de son scénariod'usage. L'objectif étant de produire un algorithme permettant de représenter uneligne droite entre deux points sur un écran pixelisé. Cette ressource a générébeaucoup de questions au sein de l'atelier.4.5 Critère de potentialité DIESLes critères de potentialité DIES proposés sont : 1. La ressource est-el<strong>le</strong> baséesur une démarche inductive ? 2. La ressource mobilise-t-el<strong>le</strong> des savoirs et savoirfairemathématiques (ou scientifique) ? 3. La ressource permet-el<strong>le</strong> de construire uneréponse à une question vive ? 4. Le scénario ou la situation mathématique proposéspar la ressource induisent-ils des débats ou des échanges scientifiques entre <strong>le</strong>sélèves ? 5. La ressource prévoit-el<strong>le</strong> une instrumentation afin de rechercher,conjecturer ou d'éprouver <strong>le</strong>s réponses ? Cette gril<strong>le</strong> a ensuite été testée sur laressource « ligne de pixels ». Cela n'a pas suscité autant d'engagements de la part desparticipants que la ressource el<strong>le</strong>-même. Quelques critiques et propositions ontcependant été formulées : à quel niveau peut se situer la vivacité de la question ?Que peut-on entendre par « démarche inductive » ? Ne vaut-il pas mieux demanderde préciser quels sont <strong>le</strong>s savoirs et savoir-faire qui peuvent être mobilisés ?220 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
4.6 ConclusionLa plate forme multi-agent autour de GeoGebra mérite d'être développée. C'estdans ce but qu'est née une collaboration entre <strong>le</strong>s enseignants chercheurs eninformatique et <strong>le</strong> groupe MATINal au sein de l'IRES d'Orléans. Le cahier descharges a déjà été discuté lors de réunions permettant à chacun de conjuguer despoints de vue « développement d’application » et des points de vue « activités desélèves ». Cela engage d'autres collaborations, par exemp<strong>le</strong> autour de l'enseignementde l'informatique au lycée. Il faudra aussi produire des scénarios d'usage commepour la ressource « ligne de pixels » afin que l'activité proposée lors de l'atelier nereste pas au stade de germe. La gril<strong>le</strong> d'analyse quant à el<strong>le</strong> devra être reprécisée enchoisissant des cadres didactiques clairs et en croisant par exemp<strong>le</strong> une échel<strong>le</strong> desquestions vives avec <strong>le</strong>s structures de contrô<strong>le</strong>.5. Langue naturel<strong>le</strong> et raisonnement mathématique au lycéeMouloud Abdelli, Département de Mathématiques, Faculté des sciences exactesuniversité Mentouri Constantine, mouloudabdelli@hotmail.fr5.1 IntroductionDans <strong>le</strong> cadre d’une étude sur <strong>le</strong>s implications matériel<strong>le</strong> et formel<strong>le</strong> et quiconsiste à étudier, entre autres, <strong>le</strong>s équiva<strong>le</strong>nces de phrases langagières et desphrases symboliques, nous avons repris un problème, proposé par Denise Grenier –IREM de Grenob<strong>le</strong>. Nous avons quantifié ces équiva<strong>le</strong>nces auprès d’étudiants de 3eannée de licence mathématique académique de l’Université de Constantine ayantsuivi un enseignement en Français (langue non maternel<strong>le</strong>).5.2 Problème 1 : reconnaissance de l’équiva<strong>le</strong>nce (ou non) avec une propositiondonnéeSoit la proposition : « x 2 se termine par 996 si <strong>le</strong> nombre x se termine par114 » que l’on notera « A si B ». Les propositions suivantes sont-el<strong>le</strong>s équiva<strong>le</strong>ntes ?Nous avons porté sur <strong>le</strong> tab<strong>le</strong>au ci-dessous <strong>le</strong>s réponses de 127 étudiants de3 e année de licence. Nous avons joint une (*) aux réponses correctes du point de vuede la logique formel<strong>le</strong>.Oui Non Je ne saispasPour que A il faut que B 45 81* (10) 1 63Pour que B il faut que A 84* (4) 39 4 66Pour que A il suffit que B 97* (16) 28 2 76Pour que B il suffit que A 23 99* (16) 5 77Équiva<strong>le</strong>nce %Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ221
Non A ou B 19 (5) 98* 10 77A et non B 13 107* (13) 7 84(non B) ou A 102* (5) 24 1 80A => B 16 98* (16) 13 77non A => non B 100* (13) 27 0 78B seu<strong>le</strong>ment si A 70* (4) 47 10 55non B si A 11 104* (18) 12 81Les réponses produites par <strong>le</strong>s 127 étudiants montrent que la reconnaissancede l’équiva<strong>le</strong>nce d’une phrase avec la phrase « A si B » est de l’ordre de 2/3 pour <strong>le</strong>sexpressions de type « Pour que…il faut que… ». El<strong>le</strong> est supérieure à 3/4 pour <strong>le</strong>sexpressions « Pour que…il suffit que… » et <strong>le</strong>s phrases « en termes symboliques ».Pour la phrase « B seu<strong>le</strong>ment si A », l’équiva<strong>le</strong>nce avec la phrase « A si B » n’estreconnue qu’à hauteur de 55 %.Dans <strong>le</strong> raisonnement déductif, on n'utilise jamais « P seu<strong>le</strong>ment si Q »,puisque P est vérifiée d'abord, pour en déduire Q. D'où la question qui peut se poser :si P est avant Q, comment Q peut-el<strong>le</strong> être une condition nécessaire à P ? On peutfaire l'hypothèse que l'enseignement usuel, qui privilégie très fortement <strong>le</strong>raisonnement déductif, crée une conception temporel<strong>le</strong> et causa<strong>le</strong> de l'implication quise résume ainsi : « Examiner ou utiliser P=>Q n'a de sens que si P et Q ont un liende cause à effet entre eux, et dans “P=>Q”, P est avant Q ». Cette conception faitobstac<strong>le</strong> à l'objet « implication », puisque, en logique formel<strong>le</strong>, on décide de lavéracité d'une implication uniquement sur <strong>le</strong> critère de véracité de chacune despropositions.Pour <strong>le</strong>s 4 premières phrases, la réponse correcte est NOON. 76 étudiantssur 127 ont produit une réponse correcte conforme à B=>A. Or, on a enregistré aussique 51 sur 127 ne peuvent reconnaître des phrases équiva<strong>le</strong>ntes (ou non) à la phrase« A si B » :• 18 étudiants sur 51 ont produit la réponse « ONNO » qui estconforme à « A=>B ».• 9 étudiants sur 51 ont produit des réponses partiel<strong>le</strong>s. Ce sont desproductions qui comportent la réponse « je ne sais pas ».• 24 étudiants sur 51 [ONON(13), NONO(5), ONNN(4),OONN(1), OOON(1)] ont produit des réponses incorrectes faisantressortir essentiel<strong>le</strong>ment des contradictions : BA et B A.La grande diversité des réponses incorrectes pour ces quatre phrases révè<strong>le</strong>qu'il y a une réel<strong>le</strong> difficulté à distinguer condition nécessaire, condition suffisanteet <strong>le</strong>urs rapports à l'implication ou à l'équiva<strong>le</strong>nce. C'est comme si l'utilisation quasiexclusive du raisonnement déductif dans l'enseignement, même à un niveau é<strong>le</strong>vé,ne permet pas de construire une connaissance sur l'implication comme concept222 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
mathématique, car ce qui se construit semb<strong>le</strong> rester très proche de la logiquenaturel<strong>le</strong>.5.3 Problème 2 : Transcription en termes symboliques d’une phrase donnéeÉnoncé : on considère <strong>le</strong>s assertions A et B suivantes : A : « Une conditionpour qu’un entier N différent de 2 soit premier est qu’il soit impair » ; B : « Unecondition pour qu’un nombre soit divisib<strong>le</strong> par 5 est que l’écriture en base 10 de cenombre se termine par un zéro ».1. Écrire <strong>le</strong>s assertions A et B dans <strong>le</strong> langage symbolique.2. Indiquer, pour chaque cas, la condition nécessaire et la condition suffisante.3. Y a-t-il dans A et B des conditions nécessaire et suffisante à la fois ? justifiervotre réponse.Soient A 1 : « N différent de 2 est premier » ; A 2 : « N est impair »B 1 : « M est divisib<strong>le</strong> par 5 » ; B 2 : « l’écriture de M en base 10 se terminepar 0 »Réponses à la question 1 : assertion A : réussite (A 1 => A 2 ) : 28 % ;assertion B : réussite (B 1 => B 2 ) : 4 %. Peut-on supposer que <strong>le</strong>s très faib<strong>le</strong>s réussitesenregistrées, ici, sont dues à une mauvaise perception de l’implication proposée ?Les réponses fausses produites sont « A 2 => A 1 » et « B 2 => B 1 ». Pour l’assertion B,que peut-on dire pour <strong>le</strong> cas M = 0 ? Peut-on dire que M = 0 est divisib<strong>le</strong> par 5 ?Réponses à la question 2 : assertion A : réussite : 38 % ; assertion B :réussite : 19 %. Les résultats obtenus révè<strong>le</strong>nt une certaine incapacité des auteurs àtranscender <strong>le</strong> palier du calcul propositionnel. Ils sont loin du cadre du raisonnementdéductif (pratique usuel<strong>le</strong> dans l’enseignement) qui met en jeu l’ostensif « Si…,alors… » Les relations causa<strong>le</strong>s dans chacune des assertions A et B ne sont pasrepérées.Réponses à la question 3 : seu<strong>le</strong>ment 54 étudiants sur 127 ont réponducorrectement. 19 sur 127 considèrent qu’il y a dans A et B des conditions nécessaireet suffisante à la fois, mais aucune justification n’a été donnée.5.4 ConclusionLe problème de compréhension des textes étant d’un point de vue didactique« comment développer la possibilité pour un élève d’acquérir des connaissancesnouvel<strong>le</strong>s par la <strong>le</strong>cture, c’est-à-dire comment développer sa capacité de comprendredes textes sur des thèmes et sur des sujets qui ne lui sont pas déjà familiers ? ».Ainsi, <strong>le</strong> processus de compréhension doit être analysé de façon spécifique danschacune des situations de <strong>le</strong>cture possib<strong>le</strong>s. La plupart des textes auxquels <strong>le</strong>sétudiants sont confrontés et à propos desquels <strong>le</strong>s enseignants constatent desdifficultés de compréhension lors de la <strong>le</strong>cture relèvent de l’une de ces situations de<strong>le</strong>cture.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ223
5.5 RéférencesAbdelli, M. (2009). La dimension linguistique dans l’enseignement desmathématiques. Dakar : EMF.Bebbouchi, R. (2009). Le passage des mathématiques en arabe aux mathématiquesen français en Algérie. Dakar : EMF.Grenier, D., Deloustal, V. (2001). L’implication dans <strong>le</strong> raisonnementmathématique : état des lieux dans l’enseignement en France et conceptionsd’étudiants. Conférence publiée dans Learning in mathematics and Science andEducational Technology, A. Gagatsis Éd., Intercol<strong>le</strong>ge press Cyprus.Grenier, D. (2005). Eléments d'analyse des problèmes sur l'implication.Kazadi, C. (2009). Quelques difficultés logico — linguistiques des élèves congolaisdu secondaire. Dakar : EMF.224 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Atelier 2Le travail collaboratif des enseignants :conception de ressources et formationMagali Hersant*, Sophie Soury-Lavergne*** CREN, IUFM des Pays de la Loire, Université de Nantes4 chemin de Launay Vio<strong>le</strong>tte44300 NANTESmagali.hersant@univ-nantes.fr** S2HEP-IFE-ENSL19, allée de Fontenay69007 Lyonsophie.soury-lavergne@inrp.frRÉSUMÉ : Actuel<strong>le</strong>ment, <strong>le</strong> numérique modifie considérab<strong>le</strong>ment <strong>le</strong>s modes d’élaboration deressources pour l’enseignement des mathématiques, <strong>le</strong> travail des enseignants et <strong>le</strong>urformation. Dans cet atelier, à partir de différentes recherches soutenues par l’IFÉ, nousavons exploré la question du travail collaboratif des enseignants de mathématiques du pointde vue de la production de ressources et de la formation. Nous nous sommesparticulièrement attachés aux ressources relatives à la démarche d’investigation.ABSTRACT: Information Technology drastically changes the way mathematics educationresources are produced, along with the training and daily work of teachers. Relying onresearch work supported by IFÉ, we have considered in this workshop the prob<strong>le</strong>m of thecollaborative work of teachers of mathematics from the point of view of both resourceproduction and training, focusing, in particular, on inquiry-based science teaching.MOTS-CLÉS : travail collaboratif ; ressources ; formation ; démarche d’investigation ;collège ; lycéeKEYWORDS: col<strong>le</strong>ctive work ; ressources ; training; INQUIRY BASED SCIENCE TEACHING ; SECONDARYSCHOOLActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ225
IntroductionAvec l’évolution numérique, mais aussi l’évolution de la formation, <strong>le</strong> travailcollaboratif des enseignants et <strong>le</strong>s « communautés » virtuel<strong>le</strong>s se développent. Laconception et l’échange de ressources pour la classe constituent un enjeu important,tant du point de vue technologique de la faisabilité que du point de vue didactique dela qualité des ressources proposées. Il est d’autant plus grand qu’il faut, à la fois, que<strong>le</strong>s enseignants poursuivent l’intégration d’outils technologiques dans <strong>le</strong>senseignements et répondent à des injonctions nouvel<strong>le</strong>s comme mettre en œuvre ladémarche d’investigation (DI).Dans cet atelier, <strong>le</strong>s échanges ont concerné différents aspects de cet enjeu et enpremier lieu la mise en œuvre de la démarche d’investigation et ce qui permet defavoriser la responsabilité des élèves dans <strong>le</strong> travail mathématique. Deuxcontributions ont proposé des problèmes mathématiques pouvant être des supportsou des points de départ pour l’élaboration de séances ou scénario pour la démarched’investigation (M. Nowak pour e-CoLab et F. Loric et G. Gueudet dansPairform@nce). L’équipe E-DHES (G. Gueudet et M. P. Lebaud) a présentédifférents points de vue relatifs à la démarche d’investigation, et la contribution sur àLaboMep (de B. C<strong>le</strong>rc) a fait <strong>le</strong> tour de nouveaux outils pour la conception descénario d’enseignement avec <strong>le</strong>s TICE.Par ail<strong>le</strong>urs, la question du col<strong>le</strong>ctif a été traitée par <strong>le</strong>s quatre contributions,d’une part à travers l’idée de partage et de diffusion de ressources et d’autre part enquestionnant la formation des enseignants. Pour LaboMep il s’agit de proposer desoutils technologiques pour <strong>le</strong> partage de séances de classe au sein d’unétablissement. Pour l’équipe e-CoLab qui élabore des ressources pour l’utilisation dela calculatrice TI-nspire, la question est d’identifier <strong>le</strong>s présentations de ressourcespertinentes pour favoriser <strong>le</strong>ur utilisation par <strong>le</strong>s enseignants, en examinantnotamment la différence entre ressources « papier » et ressource « en ligne ».F. Loric et G. Gueudet de l’équipe Pairform@nce abordent la question du col<strong>le</strong>ctif etde la collaboration dans la formation des enseignants et examinent notamment <strong>le</strong>soutils, en ligne ou pas, qui peuvent être proposés pour soutenir <strong>le</strong> travail collaboratif.Enfin, l’équipe E-DHES (G. Gueudet et M.P Lebaud) aborde explicitement <strong>le</strong> rô<strong>le</strong>des col<strong>le</strong>ctifs d’enseignants dans la formation et étudie <strong>le</strong>urs différentesconfigurations et objectifs.226 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
1. LaboMep, pour scénariser la mise en œuvre de ressourcesÉquipe LaboMep, IREM de Montpellier : B. C<strong>le</strong>rc, benjamin.c<strong>le</strong>rc@sesamath.net1.1. Présentation de LaboMepLaboMep est <strong>le</strong> descendant direct de Mathenpoche réseau, son nom initial estd'ail<strong>le</strong>urs Mathenpoche réseau v3 (C<strong>le</strong>rc, 2008). Il reprend <strong>le</strong>s fonctionnalités deMathenpoche, on y trouve donc la possibilité d'associer à des élèves des séancesproposant : des exercices Mathenpoche, des exercices avec de la géométriedynamique (Tracenpoche), des exercices avec de la géométrie aux instrumentsvirtuels (Instrumenpoche), des exercices de calcul mental, des exercices avec tab<strong>le</strong>ur(Casenpoche).Dans ces séances, il était possib<strong>le</strong>, avec une certaine maîtrise du langage html, deproposer bien d'autres ressources (C<strong>le</strong>rc, 2008). Cela a été rendu possib<strong>le</strong>, pour tous,pour de nombreux types de ressources dans Labomep. En plus des exercicesMathenpoche habituels, il est possib<strong>le</strong> de proposer aux élèves de la même manière :<strong>le</strong>s exercices en cours de développement (en langue étrangère ou <strong>le</strong>s exercices duMathenpoche initial repris au nouveau modè<strong>le</strong>) (Hache, 2010) ; <strong>le</strong>s exercices issusde la recherche Lingot (Grugeon et al, 2011) ; <strong>le</strong>s aides des exercices Mathenpoche ;<strong>le</strong>s exercices de calcul mental de Calcul@tice (dans la bibliothèque) ; <strong>le</strong>s QCM et « àtoi de jouer » des manuels Sésamath, corrigés par animation ; <strong>le</strong>s énoncés desexercices des ressources papier de Sésamath (manuels et cahiers d'exercices).1.2. Le partage des ressourcesDes ressources partagées par des collègues (pour l'instant ceux de l'établissementdu compte en cours d'utilisation) et <strong>le</strong>s ressources créées par <strong>le</strong> détenteur du comptesont aussi disponib<strong>le</strong>s via l'interface ci-dessous :« Message ou question » permet de présenter à l'élève tout contenu insérab<strong>le</strong> dansune page html : image, vidéo, texte, équations… accompagné éventuel<strong>le</strong>ment d'unezone de saisie pour récupérer du texte saisi par l'élève.« Page internet externe à LaboMep » permet de construire une ressource à partird'une URL externe (il faut s'assurer du droit de faire cela) accompagnéActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ227
éventuel<strong>le</strong>ment d'une consigne et/ou d'une zone de saisie pour récupérer du textesaisi par l'élève (Hache, 2011c).« Exercice Tracenpoche » et « Exercice Geogebra » permettent de créer uneressource contenant une consigne, un logiciel de géométrie dynamique vide(éventuel<strong>le</strong>ment paramétré) ou avec une figure à manipu<strong>le</strong>r et/ou à compléter, etéventuel<strong>le</strong>ment une zone de saisie pour récupérer du texte saisi par l'élève. Bien sûr,la figure réalisée par l'élève est ensuite consultab<strong>le</strong> par son professeur (Hache,2011b).« Exercice avec la calculatrice cassée » permet de donner une consigne avec zonede saisie, par exemp<strong>le</strong>, on « casse » la touche virgu<strong>le</strong> et on demande d'afficher 0,75.Pour « Exercice de calcul mental », voir (Hache, 2011a).L'inscription à LaboMep se fait via Sésaprof, el<strong>le</strong> est gratuite et ouverte à toutepersonne pouvant prouver son appartenance au corps enseignant (une adresse mailprofessionnel<strong>le</strong> suffit).1.3. Le travail en classe avec LaboMepToutes ces ressources peuvent être proposées au sein d'une séance de travailaffectée à un groupe d'élèves (cette séance est paramétrab<strong>le</strong> : horaires, ordre imposé,priorité). Cette séance peut être composée des divers éléments listés ci-dessus 1 .Une fois la séance traitée par <strong>le</strong>s élèves, l'enseignant a accès à son bilan quipropose une évaluation chiffrée de chacun des exercices Mathenpoche abordés, <strong>le</strong>sfigures de géométrie réalisées par l'élève et <strong>le</strong>s textes qu'il a saisis.Sur <strong>le</strong> bilan ci-dessus, <strong>le</strong>s trois premières lignes concernent la correction d'unexercice donné à faire lors du cours précédent. L’élève en prend connaissance etprend note de la correction si nécessaire, <strong>le</strong>s deux lignes suivantes correspondent àdes QCM évalués grâce à la réponse saisie par l'élève (réponse B puis réponse A). Ànoter que <strong>le</strong> vendredi 25 février l'élève a répondu pendant une séance de classe, la1 Voir l’exemp<strong>le</strong> d’une tel<strong>le</strong> ressource dans <strong>le</strong> travail d’analyse d’une ressource pourl’enseignement des sciences de B. C<strong>le</strong>rc, accessib<strong>le</strong> en ligne :.228 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
séance était à terminer pour la rentrée des vacances d'hiver, il s'est connecté pendant<strong>le</strong>s vacances <strong>le</strong> lundi 7 mars pour terminer son travail. Le contrô<strong>le</strong> de <strong>le</strong>çon a étéévalué comme un travail fait en classe, <strong>le</strong> reste de la <strong>le</strong>çon a donné lieu à une note dedevoir maison.2. e-CoLab, des équipes hybrides pour des mathématiques dynamiquesÉquipe e-CoLab, IFE, IREM de Lyon, de Paris et de Montpellier : M. Novakmarie.nowak@univ-lyon1.frL’équipe e-CoLab est l’auteur de ressources pour la classe issues d’un travailcollaboratif et de l’expérimentation de la plate-forme TI-nspire, composées d’unecalculatrice et d’un logiciel « jumeau » qui a débutée en 2006. Ces ressources sontpubliées dans la col<strong>le</strong>ction « Mathématiques dynamiques » (2 de , 1r e , et T a<strong>le</strong> ). Lesmembres du groupe sont répartis dans trois vil<strong>le</strong>s éloignées (Montpellier, Lyon etParis). La collaboration a lieu en présentiel en moyenne trois fois par an pour latotalité de l’équipe et selon <strong>le</strong>s besoins dans chaque vil<strong>le</strong>. Le reste du travail a lieu àdistance.S’agissant de la production d’ouvrage, après avoir fait <strong>le</strong> choix de germes deressources, il a été très rapidement question de la forme à donner aux productions.Ce point apparaissant comme primordial dans tout travail collaboratif, nous avonsproposé aux participants de l’atelier une réf<strong>le</strong>xion autour de la forme à donner auxproductions mises à disposition des enseignants.2.1. Mise en activité des participants de l’atelierLa question posée aux participants a été la suivante : quel<strong>le</strong>s seraient vosexigences vis-à-vis d’une ressource à destination des enseignants ? Le support choisiest volontairement simp<strong>le</strong> (connu et d’un accès faci<strong>le</strong> au niveau mathématique).Sur la figure : <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> OAB est rectang<strong>le</strong> etisocè<strong>le</strong> en O avec OA = 4. Le quadrilatère OAQRest un rectang<strong>le</strong> avec OR = . Par un point M dusegment [OA], on a tracé une parallè<strong>le</strong> à (OB) quicoupe [AB] en N et [RQ] en P.Question : existe-t-il une position du point M tel<strong>le</strong>que l’aire du rectang<strong>le</strong> OMPR et l’aire du triang<strong>le</strong>MNA soient éga<strong>le</strong>s ?Les propositions des participants relatives à la forme à donner à une ressourcequi en facilite l’appropriation par des enseignants pouvaient être contextualisées ens’appuyant sur l’énoncé proposé, ou décontextualisées. Dans <strong>le</strong>s deux cas, ilActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ229
s’agissait d’identifier <strong>le</strong>s informations à fournir et <strong>le</strong>s informations à omettre pour nepas décourager.2.2. Quelques éléments du débatLorsqu’on dispose d’un problème, il faut se donner un moyen de <strong>le</strong> transformeren situation. Diverses situations correspondent à un même problème, il faut donnerdes indications à ce sujet. Certaines sont incontournab<strong>le</strong>s : niveau, objectifs,prérequis, dérou<strong>le</strong>ment. D’autres apparaissent souhaitab<strong>le</strong>s : matériel ; résolutionsattendues ; documentation des différents registres à utiliser ; variantes de laressource, en donnant précisément <strong>le</strong>s variab<strong>le</strong>s didactiques qui permettent auxenseignants de faire des choix en connaissance de cause. Se pose éga<strong>le</strong>ment laquestion de l’insertion de ce problème dans une progression, ce qui n’est pas précisé.Des copies d’écran, de la TI-nspire ou d’un logiciel, marquant des étapes de larecherche du problème posé permettent de fournir beaucoup d’informations sousforme condensée, rapidement accessib<strong>le</strong>.Par ail<strong>le</strong>urs, il faut noter que <strong>le</strong>s exigences de qualité et <strong>le</strong> potentiel d’uneressource ne sont pas nécessairement <strong>le</strong>s mêmes pour des ressources en ligne ou desressources papier. En ligne, une zone de retour sur expérimentation peut être prévue.La qualité des ressources déposées en ligne est plus ou moins contrôlée en fonctiondes sites. Par exemp<strong>le</strong>, <strong>le</strong> contrô<strong>le</strong> pourra être plus affiné sur un site académique. Enrevanche, sur <strong>le</strong> site Intergeo, il n’y a pas de restriction au niveau des auteurs et laqualité est construite à partir des avis des utilisateurs. En version papier, uneressource dans un livre a un label. Par exemp<strong>le</strong>, pour eCoLab, l’étiquette INRP, puisIFé et <strong>le</strong> nom de l’éditeur sont des indices de qualité pour <strong>le</strong>s enseignants.Devant <strong>le</strong> foisonnement des ressources, la question est posée du contrô<strong>le</strong> desproductions et de la synthèse de ce qui est à disposition, au niveau national.L’exemp<strong>le</strong> du Japon, montre un concours annuel qui permet une évaluation desproductions et <strong>le</strong>ur normalisation. Les IREM devraient-ils tenir ce rô<strong>le</strong> ? Publimathest-il un élément de réponse à ce contrô<strong>le</strong> de qualité ?En guise de conclusion : tout groupe producteur de ressources devrait pouvoirbénéficier d’un regard extérieur critique.230 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
3. Pairform@nce, un dispositif innovant de formation des enseignantsÉquipe Pairform@nce : Ghislaine Gueudet, CREAD, IUFM Bretagne et IREMRennes ; François Loric, IREM Rennes, ghislaine.gueudet@bretagne.iufm.fr3.1. Le programme Pairform@nceLe programme national Pairform@nce, et <strong>le</strong>s travaux du projet de rechercheassocié, INRP-Pairform@nce, ont déjà été évoqués à plusieurs reprises dans <strong>le</strong>sjournées mathématiques de l'INRP (Soury-Lavergne et al. 2010). Nous en rappelonsainsi simp<strong>le</strong>ment ici <strong>le</strong>s principes essentiels.Il s'agit d'un programme de formation continue, visant l'intégration des TICE pourtoutes <strong>le</strong>s disciplines et à tous <strong>le</strong>s niveaux scolaires. Ces formations sont hybrides,basées sur un principe de conception collaborative de séquences de classe par deséquipes de stagiaires accompagnés par des formateurs. Une plate-forme nationa<strong>le</strong>héberge des parcours de formation ; des formateurs intéressés par un parcourspeuvent demander son transfert sur <strong>le</strong>ur plate-forme académique, sur laquel<strong>le</strong> ilspeuvent alors modifier ce parcours et l'utiliser pour une formation avec desstagiaires. Les parcours de formation sont très divers, ils contiennent de multip<strong>le</strong>sressources, pour <strong>le</strong>s formateurs comme pour <strong>le</strong>s stagiaires : ca<strong>le</strong>ndrier de laformation, exemp<strong>le</strong>s de séquences, artic<strong>le</strong>s de recherche, guides de prise en main delogiciels, forums, espaces de dépôt pour <strong>le</strong>s stagiaires etc. Cependant ils sont tousstructurés selon sept étapes : introduction de la formation, sé<strong>le</strong>ction des contenusd’enseignement et constitution des équipes, co et autoformation, productioncol<strong>le</strong>ctive d'une séquence pédagogique, mise en œuvre de la situation dans la classe,retour réf<strong>le</strong>xif, évaluation de la formation.Nous présentons ci-dessous, au-delà de ces caractéristiques communes, <strong>le</strong>sprincipaux choix effectués pour <strong>le</strong> parcours que nous avons conçu à propos desdémarches d'investigation en mathématiques au collège, avec différents types delogiciels.3.2. Le parcours « démarches d'investigation », principaux choixLes choix de structure que nous avons faits pour <strong>le</strong> parcours « démarchesd'investigation » sont issus d'expériences précédentes en tant que concepteurs deparcours, ou que formateurs dans des formations Pairform@nce. Les choix pour <strong>le</strong>contenu proviennent de notre expérience de formation à différents logiciels et derésultats établis par la recherche en didactique sur <strong>le</strong>s démarches d'investigation. Iciencore, nous en faisons une présentation rapide ; d'autres aspects sont évoqués dansGueudet et al. (2010).Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ231
Dérou<strong>le</strong>ment de la formationLa formation se dérou<strong>le</strong> sur 13 semaines (hors vacances scolaires) etcomporte trois journées présentiel<strong>le</strong>s. El<strong>le</strong> débute par une prise de contact par mail,une semaine avant <strong>le</strong> premier présentiel. Cel<strong>le</strong>-ci permet de col<strong>le</strong>cter <strong>le</strong>s attentes desstagiaires, et de s'informer sur <strong>le</strong> matériel dont ils disposent. Lors du premierprésentiel, la formation est présentée, <strong>le</strong>s équipes sont constituées, des exemp<strong>le</strong>s sontétudiés, un temps de prise en main de logiciels est aussi dégagé. Entre <strong>le</strong>s deuxprésentiels, <strong>le</strong>s équipes réalisent un TP. Deux énoncés mathématiques au choix sontprésentés aux stagiaires afin que chacun puisse choisir un énoncé qui soit en relationavec <strong>le</strong>s niveaux de classe auxquels il enseigne. L’objectif est alors d’amorcer untravail en équipe autour de l'énoncé choisi afin de concevoir une mise en œuvrepossib<strong>le</strong> dans une classe prenant en compte la dimension « démarched'investigation ». Ces TP donnent lieu à des discussions lors du deuxième présentiel,au cours duquel <strong>le</strong>s équipes commencent éga<strong>le</strong>ment à élaborer <strong>le</strong>urs séquences. Cesséquences sont testées en classe et observées ; <strong>le</strong>ur description est déposée sur laplate-forme, éventuel<strong>le</strong>ment des modifications sont apportées pour une deuxièmemise en œuvre en classe. El<strong>le</strong>s sont présentées et débattues lors du troisièmeprésentiel.Organisation de la collaborationLa présence de deux enseignants d'un même établissement au sein d'unemême équipe favorise un travail collaboratif et des pratiques de mutualisation audelàde la formation. La rencontre entre des enseignants d'établissements différentsest souvent l'occasion de découvrir de nouvel<strong>le</strong>s pratiques ; de plus, dans <strong>le</strong> cas d'uneformation Pairform@nce, el<strong>le</strong> oblige au travail distant et incite à l'exploitation de laplate-forme, ce qui est un des objectifs de la formation.Par conséquent, une équipe est idéa<strong>le</strong>ment composée d'enseignants d'un mêmecollège et d'enseignants de collèges différents. Chaque équipe a à sa disposition unforum de discussion sur la plate-forme.Ressources pour la conception de séquencesAfin de permettre la conception collaborative de séquences, à distance enparticulier, et de favoriser <strong>le</strong>s échanges entre <strong>le</strong>s équipes et <strong>le</strong>s mutualisations, <strong>le</strong>sconcepteurs ont fait <strong>le</strong> choix de proposer aux stagiaires l'utilisation de ressourcesspécifiques. Trois gril<strong>le</strong>s ont été ainsi élaborées, chacune ayant sa spécificité :décrire <strong>le</strong> scénario d'une séquence, rendre compte des observations effectuées lorsd'une séance, faire <strong>le</strong> bilan d'une séquence.3.3. Exemp<strong>le</strong> d'une ressource : <strong>le</strong> TP de début de formationUne fois <strong>le</strong>s équipes formées, une première activité col<strong>le</strong>ctive <strong>le</strong>ur est proposée. Ils'agit de réaliser un scénario pour une séance en sal<strong>le</strong> informatique (que nousnommons ici « un TP » - notons que cette activité des stagiaires est el<strong>le</strong>-mêmeconsidérée comme un TP). Nous proposons aux stagiaires deux textes de problèmes ;232 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
ils doivent en retenir un, et proposer un scénario pour sa mise en œuvre en classeavec un logiciel (voir sur la figure 1 ci-dessous un exemp<strong>le</strong> de problème).Figure 1. L'énoncé « trois pail<strong>le</strong>s plus une », proposé comme support au TP dedébut de formationLes stagiaires utilisent ainsi une première fois la gril<strong>le</strong> de description. Lesscénarios sont déposés sur la plate-forme ; ils sont utilisés lors du deuxièmeprésentiel pour discuter <strong>le</strong>s caractéristiques d'une séance proposant une démarched'investigation. Ce problème permet en particulier de poser la question du rô<strong>le</strong> dulogiciel, selon l'objectif assigné à la situation ; de l'articulation entre investigation etinitiation à la démonstration ; des savoirs qui peuvent être institutionnalisés aprèsune séance d'investigation. Les points de vue au sein d'une équipe, et dans <strong>le</strong> groupeentier, peuvent être très divers ; ils donnent lieu à des débats, suite auxquels <strong>le</strong>sformateurs projettent un diaporama relatif aux démarches d'investigation, et auxusages possib<strong>le</strong>s de logiciels pour ces démarches.4. Démarches d'investigation et col<strong>le</strong>ctifs dans la formation des enseignantsÉquipe e-DHES et IUFM de Bretagne : G. Gueudet, M.-P. Lebaud,ghislaine.gueudet@bretagne.iufm.frNotre travail vise à contribuer à l'élaboration de formations aux démarchesd'investigation (DI, dans ce qui suit) en classe de mathématiques. De nombreuxtravaux de recherche ont étudié l'impact de tel<strong>le</strong>s formations, selon <strong>le</strong>s choix dedispositifs qui sont faits. Nous avons donc souhaité faire un bilan des résultatsapportés par ces travaux, en nous intéressant particulièrement aux apports decol<strong>le</strong>ctifs de professeurs, pour appuyer la conception de formations futures.Nous avons retenu environ cinquante artic<strong>le</strong>s, chapitres de livres et actes deconférences représentant une grande variété de contextes nationaux, et évoquant desformations visant des évolutions en classe ménageant de plus grandes responsabilitésActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ233
aux élèves. Nous avons examiné dans ces artic<strong>le</strong>s comment étaient caractérisées,explicitement ou non, <strong>le</strong>s DI. Nous avons ensuite re<strong>le</strong>vé la nature et <strong>le</strong> rô<strong>le</strong> descol<strong>le</strong>ctifs impliqués, ainsi que <strong>le</strong>s impacts de la formation.4.1. Différents points de vue sur <strong>le</strong>s DILes DI ont donné lieu à de nombreux travaux. Matheron (2010) présente unemise en perspective à laquel<strong>le</strong> nous nous référons ici. Il montre en particulier queselon <strong>le</strong>s auteurs, <strong>le</strong>s DI désignent un positionnement théorique, ou une forme demise en œuvre en classe. Les DI peuvent aussi être vues comme objetsd'enseignement (mais nous n'avons pas rencontré de travaux en mathématiquesportant sur cette dimension).En termes de positionnement théorique, deux dimensions principa<strong>le</strong>s des DI enmathématiques apparaissent : d'une part, questionner <strong>le</strong> réel et faire <strong>le</strong> lien entre <strong>le</strong>réel et <strong>le</strong>s concepts scientifiques et, d'autre part, « mener une enquête » (NCTM,2000). La technologie (calculatrices et ordinateurs) est éga<strong>le</strong>ment présentée commeessentiel<strong>le</strong> à l'enseignement et à l'apprentissage des mathématiques, et susceptib<strong>le</strong> desoutenir l'investigation. Du côté de la mise en œuvre en classe, de nombreux travauxse réfèrent aux « <strong>le</strong>çons japonaises » (Miyakawa & Winsløw, 2009). Une tel<strong>le</strong>« <strong>le</strong>çon » se dérou<strong>le</strong> en cinq phases : d’abord l’enseignant propose une questionouverte (hatsumon) ; <strong>le</strong>s élèves travail<strong>le</strong>nt sur ce problème (kikan-shido) ; puiscertains – choisis par l'enseignant - font une présentation des résultats obtenus(takuto). Ces présentations sont ensuite discutées par tous <strong>le</strong>s élèves (neriage) etl’enseignant conclut cette <strong>le</strong>çon en résumant <strong>le</strong> travail accompli (matome). Dans cedispositif, <strong>le</strong>s rô<strong>le</strong>s de l’enseignant et des élèves sont parfaitement définis. EnFrance, des dispositifs de mise en œuvre de DI sont apparus dans <strong>le</strong>s programmesmis en place au collège (Bul<strong>le</strong>tin officiel, 2007) : dans l'introduction commune auxdisciplines scientifiques, <strong>le</strong>s DI sont mises en avant comme une des méthodesd’enseignement possib<strong>le</strong>s, en fonction du sujet traité. El<strong>le</strong>s sont décrites sous laforme d'un « canevas » en sept points ; mais celui-ci ne précise pas <strong>le</strong>s rô<strong>le</strong>srespectifs de l'enseignant et des élèves.4.2. Dispositifs de formation et col<strong>le</strong>ctifs de professeursNous distinguons <strong>le</strong>s col<strong>le</strong>ctifs de professeurs, encadrés par des formateurs dans<strong>le</strong> cadre d'une formation « officiel<strong>le</strong> » ; et des groupes de type recherche-formation,associant des professeurs et des chercheurs.Le dispositif emblématique du premier cas est la « <strong>le</strong>sson study » japonaise, quivise la formation aux « <strong>le</strong>çons » évoquées ci-dessus. El<strong>le</strong> comporte une préparation,une mise en œuvre observée par tous <strong>le</strong>s membres du col<strong>le</strong>ctif de professeurs(encadré par un enseignant plus expérimenté), puis un retour amenant desmodifications. El<strong>le</strong> a été adaptée dans de nombreux pays, donnant lieu à desdispositifs de type « conception et étude col<strong>le</strong>ctive de <strong>le</strong>çons », qui remplacentsouvent l'observation directe par <strong>le</strong>s vidéos de classe (Inoue, 2011).234 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Le deuxième cas se rapproche des groupes IREM, il a été particulièrement étudiédans <strong>le</strong> projet LCM (Jaworski et al. 2007). Dans ces groupes se développe un certainpositionnement commun de recherche : on assiste à l'émergence d'une « communautéd'investigation ».4.3. Impacts des formations et rô<strong>le</strong> des col<strong>le</strong>ctifsLe travail dans <strong>le</strong>s col<strong>le</strong>ctifs amène des évolutions dans la préparation de laclasse, comme dans la mise en œuvre, <strong>le</strong>s deux étant étroitement articulés.Pour la préparation, comme <strong>le</strong>s DI amènent de l'incertitude dans la classe, <strong>le</strong> faitd'avoir plusieurs points de vue permet une anticipation plus complète des possib<strong>le</strong>s.Par ail<strong>le</strong>urs la préparation col<strong>le</strong>ctive donne lieu à des analyses a priori approfondies,qui contribuent au développement de l'attention aux savoirs en jeu.Pour la mise en œuvre en classe, <strong>le</strong>s professeurs développent une attention auxprocédures des élèves. La confrontation de plusieurs points de vue dans <strong>le</strong> col<strong>le</strong>ctifmontre que différentes interprétations de la même production d'élève peuvent êtrefaites. Ceci, et la préparation approfondie évoquée plus haut amènent une plusgrande attention aux raisonnements des élèves et à l'exploitation de <strong>le</strong>urs productionsqui peut être faite en classe.La dimension col<strong>le</strong>ctive, en particulier lorsqu'il s'agit de professeurs du mêmeétablissement, est un facteur de durabilité pour <strong>le</strong>s acquis de la formation. Cependantla question des moyens à mettre en œuvre pour de tel<strong>le</strong>s formations reste posée : eneffet, <strong>le</strong>s dispositifs évoqués sont généra<strong>le</strong>ment longs, en particulier <strong>le</strong>scommunautés semb<strong>le</strong>nt se développer particulièrement après deux années de travail.Discussion et conclusionLes présentations de l’atelier ont donné un aperçu des modalités possib<strong>le</strong>s detravail collaboratif des enseignants. D’autres modalités existent probab<strong>le</strong>ment ousont encore à inventer. Ces présentations nous ont aussi questionnés quant auxhypothèses implicites qui président à la constitution de ces col<strong>le</strong>ctifs, au-delà du faitque <strong>le</strong> numérique, à la fois, permet ce travail et y incite. Si on peut raisonnab<strong>le</strong>mentpenser qu’un col<strong>le</strong>ctif de praticiens a la capacité de produire du « nouveau », ce quiest particulièrement important, on peut aussi se demander dans quel<strong>le</strong>s mesures cequi est produit par ce col<strong>le</strong>ctif est adapté à d’autres praticiens. Se pose alors laquestion de la qualité des ressources au sens d’une qualité qui permettrait uneappropriation large de ces ressources. Des travaux sont probab<strong>le</strong>ment nécessairesdans cette direction pour dégager des conditions de cette qualité.Par ail<strong>le</strong>urs, et de façon dépendante, l’atelier a donné lieu à des débatsconcernant <strong>le</strong>s ressources produites. Il n’est certainement pas anodin que <strong>le</strong> travailcollaboratif se développe aujourd’hui en particulier à propos de la démarched’investigation dans la mesure où <strong>le</strong>s enseignants sont là confrontés à une injonctionActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ235
institutionnel<strong>le</strong> nouvel<strong>le</strong>. Mais cette nouveauté appel<strong>le</strong> d’autant plus d’exigences auniveau des ressources produites puisque <strong>le</strong>s références partagées par <strong>le</strong>s enseignants àce sujet sont moindres. Or, nous avons à plusieurs reprises discuté au cours de l’atelierdes objectifs d’apprentissage de ces situations : ils ne semb<strong>le</strong>nt pas suffisammentexplicites. Peut-on <strong>le</strong>s expliciter ? Là encore, des recherches sont à mener.BibliographieC<strong>le</strong>rc B. (2008) Intégration des outils Mathenpoche : Exercisation et convergence vers unlaboratoire de mathématiques, Colloque TICE, Lil<strong>le</strong> 2008.C<strong>le</strong>rc B. (2009) Pour un usage optimal de Mathenpoche en classe, MathémaTICE.Gueudet G., Lebaud M.-P., Loric F. & Sicard M. (2010) Démarches d'investigation enmathématiques : l'exemp<strong>le</strong> d'un parcours Pairform@nce. In Gueudet, G., Aldon, G.,Douaire, J. & Trgalova, J. (Eds.). Apprendre, enseigner, se former en mathématiques : quelseffets des ressources ? Actes des journées mathématiques de l’INRP 2010. Lyon : INRP.Grugeon-Allys B., Pi<strong>le</strong>t J., Delozanne E., Chenevotot F., Vincent C., Prévit D. & El KechaiN. (2011) PepiMep : différencier l’enseignement du calcul algébrique en s’appuyant surdes outils de diagnostic, MathémaTICE.Hache S. (2010) <strong>le</strong>s nouveaux exercices Mathenpoche dans Labomep, MathémaTICE.Hache S. (2011a) Calcul mental dans Labomep, MathémaTICE.Hache S. (2011b) Labomep : pour rendre accessib<strong>le</strong> la géométrie dynamique (AC n° 3),MathémaTICE.Hache S. (2011c) Tout <strong>le</strong> Web dans Labomep ? (AC n° 3), MathémaTICE.Inoue N. (2011) Zen and the art of neriage: facilitating consensus building in mathematicsinquiry <strong>le</strong>ssons through <strong>le</strong>sson study. Journal of Mathematics Teacher Education, online.Jaworski B., Fug<strong>le</strong>stad A.B., Bjuland R., Breiteig T., Goodchild S. & Grevholm B. (éd.)(2007). Learning communities in mathematics. Bergen : Caspar.Matheron Y. (2010) « Démarches d'investigation » et Parcours d'étude et de recherche enmathématiques : entre injonctions institutionnel<strong>le</strong>s et étude raisonnée des conditions etcontraintes de viabilité au sein du système. Conférence invitée au colloque de laCORFEM, juin 2010, Caen.Miyakawa T. & Winsløw C. (2009) Étude col<strong>le</strong>ctive d’une <strong>le</strong>çon : un dispositif japonais pourla recherche en didactique des mathématiques. In I. Bloch, F. Conne, F. (éd.), Nouvel<strong>le</strong>sperspectives en didactique des mathématiques (CD-rom). Grenob<strong>le</strong> : La Pensée sauvage.National Council of Teachers of Mathematics. (2000) Princip<strong>le</strong>s and standards for schoolmathematics, Reston, VA .Soury-Lavergne S., Trouche L & Gueudet G. (2010). De la conception de parcours deformation à <strong>le</strong>ur appropriation par des formateurs, Rapport du projet INRP-Pairform@nce 2008-2009 INRP, 152 p.Bul<strong>le</strong>tin officiel de l’Éducation nationa<strong>le</strong>, hors-série n° 6, vol. 2 du 19 avril 2007,.236 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Atelier 3Comment rendre <strong>le</strong>s élèves créateurs de mathématiquesdans la sal<strong>le</strong> de classeYves MatheronUMR P3 ADEF, Aix-Marseil<strong>le</strong> Université et IFÉ-ENSLyves.matheron@ens-lyon.frIREM d’Aix-Marseil<strong>le</strong>, Faculté des Sciences de Luminy, Case 901, 163, avenue deLuminy, 13288 Marseil<strong>le</strong> Cedex 09RÉSUMÉ : L’origine du travail présenté dans cet atelier tient à la volonté de dépasser unenseignement des mathématiques découpé en divers chapitres d’où <strong>le</strong> sens global de l’étudeéchappe à un grand nombre d’élèves ; cette préoccupation est l’une de cel<strong>le</strong>s qui ont motivéla création du réseau (CD)AMPERES réunissant neuf équipes académiques en France. Ils’agit alors d’inscrire l’étude dans une dynamique de continuité de l’enseignement, à partirde la recherche d’une élaboration col<strong>le</strong>ctive, par <strong>le</strong>s élèves et sous la direction du professeur,d’éléments de réponse à une question d’assez grande amp<strong>le</strong>ur. Cette démarche est présentéedans cet atelier à travers divers exemp<strong>le</strong>s : début de l’enseignement de l’algèbre, fractions,triang<strong>le</strong>s, géométrie synthétique. Une réponse à la question de la créativité mathématiquedes élèves peut être trouvée dans <strong>le</strong> concept d’extension praxémique.ABSTRACT: (CD)AMPERES brings together nine teams. They are federated by the commonidea to exceed the ordinary mathematics teaching it can be observed in many classrooms. Acharacteristic of this kind of mathematics teaching is to divide the mathematics know<strong>le</strong>dge indifferent chapters. A consequence is that, generally, many pupils do not perceive the globalsense of the studied mathematics. (CD)AMPERES suggests another way: it tries to removethe teaching of mathematics into a continuing process. A question is proposed to the pupils. ,Directed by the teacher, they study the mathematical possibilities of answer. The questionmust be rather great to generate more litt<strong>le</strong> questions. The answers set up a part of themathematical course that must be taught. We present examp<strong>le</strong>s: the beginning of algebraicteaching, fractions, triang<strong>le</strong>s, synthetic Geometry. An answer to the question of the pupils’creativity may be found through the concept of praxemic extension.MOTS-CLÉS : parcours d’étude et de recherche, calcul algébrique, fractions, triang<strong>le</strong>s,géométrie synthétique, extension praxémiqueKEYWORDS: study and research course, algebraic calculus, fractions, triang<strong>le</strong>s, syntheticGeometry, praxemic extension.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ237
PrésentationL’origine du travail présenté dans cet atelier tient à la volonté de dépasser unenseignement des mathématiques découpé en divers chapitres, souvent perçuscomme déconnectés <strong>le</strong>s uns des autres, et d’où <strong>le</strong> sens global de l’étude échappe à ungrand nombre d’élèves. Changer cet état de fait est l’une des préoccupations qui ontmotivé la création du réseau (CD)AMPERES dont on trouvera la présentation et <strong>le</strong>sproductions en ligne sur <strong>le</strong> site <strong>Educmath</strong>.Il s’agit d’inscrire l’étude dans une dynamique de continuité de l’enseignement, àpartir de la recherche col<strong>le</strong>ctive, par <strong>le</strong>s élèves et sous la direction du professeur,d’éléments de réponse à une question d’assez grande amp<strong>le</strong>ur : par exemp<strong>le</strong>,« comment calcu<strong>le</strong>r la distance entre deux points inaccessib<strong>le</strong>s ? » Cette question sedécline en des questions de plus faib<strong>le</strong> amplitude qui apparaissent au cours de larecherche d’éléments de réponses à la question première, génératrice de l’étude. Untel processus d’étude d’un savoir a été théorisé par Yves Chevallard sous <strong>le</strong> nom deParcours d’Étude et de Recherche (PER) ; des similitudes existent avec unenseignement par situations enchaînées tel qu’on peut <strong>le</strong> trouver dans <strong>le</strong>s travaux deGuy Brousseau, notamment dans Rationnels et décimaux dans la scolaritéobligatoire. Quelques-uns des éléments de la définition des PER, ainsi que certainesdes raisons qui poussent à abandonner la forme actuel<strong>le</strong> de l’enseignement desmathématiques au profit de PER, sont exposés dans Chevallard (2007).Pour (CD)AMPERES, constitué de neuf équipes d’académie autour d’un projetconjoint ADIREM-IFÉ, il s’agit de concevoir et d’expérimenter dans <strong>le</strong>s classes« ordinaires » des collèges et lycées la possibilité d’un tel type d’enseignement desmathématiques, tout en respectant <strong>le</strong>s contenus des programmes courants de la 6 e à latermina<strong>le</strong>. Faire vivre la construction col<strong>le</strong>ctive de réponses à une ou des questions,de manière à ce qu’el<strong>le</strong>s soient ensuite identifiées et reconnues en tant que savoirmathématique, peut être vu par <strong>le</strong>s élèves comme une création de mathématiquesdont ils sont en grande partie <strong>le</strong>s auteurs. La question qui se pose est cel<strong>le</strong> desconditions didactiques à mettre en place afin de favoriser cette « créativité »col<strong>le</strong>ctive en classe, ayant été résolue la question de la formation des professeurs à laconduite de PER, ce qui n’est actuel<strong>le</strong>ment pas <strong>le</strong> cas pour la profession desprofesseurs de mathématiques.Chaque présentation ayant duré une heure, <strong>le</strong>s extraits figurant dans ces actessont constitués des descriptions succinctes de parties de PER de Collège conçus partrois des neuf équipes (CD)AMPERES travaillant en France. L’idée de concevoir etimplanter un tel type d’enseignement au sein des classes rencontre <strong>le</strong>spréoccupations de didacticiens d’autres pays d’Europe. Aussi trouvera-t-on, dans <strong>le</strong>compte rendu de cet atelier, une quatrième contribution : cel<strong>le</strong> de collèguesespagnols travaillant dans la même direction.238 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
1. Organiser un parcours pour enseigner <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> au collègeCatherine Desnavres & Équipe (CD)AMPERES de l’IREM d’Aquitaine1.1. Le triang<strong>le</strong> en 6 e (élèves de 11 à 12 ans)Dans ce PER, <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> apparaît pour la première fois en 6 e comme solutiond’un problème : « soit un segment [AB] de 6 cm de longueur, placer tous <strong>le</strong>s pointssitués à 5 cm de a et à 4 cm de B ». L’expérience est renouvelée avec des longueursdifférentes. Les élèves voient deux triang<strong>le</strong>s symétriques et disent qu’ils sont égaux.Le professeur demande ensuite de construire un triang<strong>le</strong> ayant trois mesuresdonnées comme longueurs de côtés (<strong>le</strong> triang<strong>le</strong> existe). Les élèves choisissent <strong>le</strong> côtépar <strong>le</strong>quel ils commencent et la position dans laquel<strong>le</strong> ils vont dessiner <strong>le</strong> triang<strong>le</strong>.Des questions sont posées par <strong>le</strong>s élèves eux-mêmes : « Dans une figure comme cidessous,<strong>le</strong>s deux triang<strong>le</strong>s sont-ils <strong>le</strong>s mêmes ? Les triang<strong>le</strong>s tracés par tous <strong>le</strong>sélèves de la classe sont-ils <strong>le</strong>s mêmes ? »Pour reproduire un triang<strong>le</strong> dessiné avec un côté « horizontal » de longueurinconnue et connaissant <strong>le</strong>s deux autres côtés et l’ang<strong>le</strong> compris, <strong>le</strong>s élèves veu<strong>le</strong>ntcommencer par <strong>le</strong> côté « horizontal » sur <strong>le</strong>quel ils n’ont aucun renseignement. Ilssont bloqués ou obtiennent un triang<strong>le</strong> qui n’a pas de côté horizontal. Ils sedemandent si <strong>le</strong>ur triang<strong>le</strong> est bien <strong>le</strong> même que celui qu’ils devaient reproduire.Commence ainsi à émerger « en acte », pour <strong>le</strong>s élèves, la question de laconstruction de triang<strong>le</strong>s vérifiant des conditions données sur côtés et ang<strong>le</strong>s.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ239
1.2. En 5 e (élèves de 12 à 13 ans), la question de la détermination des triang<strong>le</strong>sLa question à travail<strong>le</strong>r devient alors la suivante, même si el<strong>le</strong> n’est pas poséesous cette forme auprès des élèves : « Quel<strong>le</strong>s données est-il nécessaire et suffisantde connaître sur <strong>le</strong>s six éléments d’un triang<strong>le</strong> (ang<strong>le</strong>s et côtés) pour déterminer cetriang<strong>le</strong> à une isométrie près, à une similitude près ? »1.2.1. Comment faire dévolution de la question aux élèves ?Placés dans une problématique pratique, <strong>le</strong>s élèves peuvent réussir à reproduireun triang<strong>le</strong> dans <strong>le</strong> micro-espace de la feuil<strong>le</strong> de papier. Mais s’ils peuvent effacer etajuster à volonté sans perdre de vue <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> à reproduire, ils n’éprouveront pas lanécessité d’une géométrie théorique pour résoudre <strong>le</strong> problème de la déterminationd’un triang<strong>le</strong> ; ce qui est pourtant <strong>le</strong> but visé. Il est donc nécessaire de placer <strong>le</strong>sélèves dans une problématique où la modélisation est nécessaire pour anticiper etdiriger l’action et, de plus, concevoir une situation gérab<strong>le</strong> en classe. Au niveau d’unespace plus grand (méso-espace), <strong>le</strong>s constructions techniques impliquent la donnéede caractéristiques permettant de déterminer <strong>le</strong>s objets choisis avant de <strong>le</strong>sconstruire. La détermination des triang<strong>le</strong>s prend alors du sens, car la problématiquene peut plus être pratique (par essais et erreurs). On transpose alors <strong>le</strong> problème duméso-espace à un autre, similaire, dans la feuil<strong>le</strong> de papier.1.2.2. Triang<strong>le</strong> déterminé par la donnée de ses trois côtésLa question à étudier est la suivante : « combien peut-on tracer de triang<strong>le</strong>s ayantces trois nombres comme longueurs de côtés ? », par exemp<strong>le</strong> 4, 5 et 7 ou 4, 7 et 10.Les élèves proposent deux triang<strong>le</strong>s symétriques, quatre triang<strong>le</strong>s (en prenant <strong>le</strong>ssymétriques de chaque triang<strong>le</strong> par rapport au côté et par rapport à la médiatrice ducôté), trois triang<strong>le</strong>s (en commençant successivement par chacun des côtés), sixtriang<strong>le</strong>s (avec <strong>le</strong>s symétriques des trois triang<strong>le</strong>s obtenus), ou encore douzetriang<strong>le</strong>s, en combinant toutes ces possibilités ; quelques productions ci-dessous :240 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
1.2.3. Comment convaincre <strong>le</strong>s élèves qu’il n’y a qu’un seul triang<strong>le</strong> ?Mieux qu’une vérification approximative au calque, une preuve mathématiqueconsiste à faire construire aux élèves <strong>le</strong>s symétries qui font correspondre deuxtriang<strong>le</strong>s superposab<strong>le</strong>s, à l’aide d’un logiciel de géométrie. On sait que troissymétries suffisent. Les élèves de ce niveau disposent de toutes <strong>le</strong>s propriétésnécessaires pour justifier ensuite l’isométrie des triang<strong>le</strong>s ainsi obtenus.1.3. La poursuite par <strong>le</strong> travail sur l’inégalité triangulaireLa question devient : « étant donnés trois nombres, peut-on toujours tracer aumoins un triang<strong>le</strong> ayant ces trois nombres comme longueur de côtés ? »De nombreux élèves ne prévoient pas l’alignement des points dans <strong>le</strong> cas del’égalité. Ils ne sont pas convaincus de la non-existence d’un « vrai » triang<strong>le</strong> mêmes’ils voient <strong>le</strong>s trois points alignés. Pour eux cela n’empêche pas l’existence d’un ouplusieurs « vrais » triang<strong>le</strong>s non plats (Berté, 1995). Dans ce cas encore, la preuvemathématique s’impose. Le professeur note <strong>le</strong> point C sur <strong>le</strong> segment (AB), et <strong>le</strong>spoints C’ et C’’ symétriques hors de la droite dans la zone où <strong>le</strong>s cerc<strong>le</strong>s semb<strong>le</strong>ntencore se toucher. Il y a deux cas de figure selon que AB est la plus grande des troismesures (cerc<strong>le</strong>s tangents extérieurement) ou bien que c’est l’une des deux autres(cerc<strong>le</strong>s intérieurs). Il guide <strong>le</strong>s élèves pour rédiger une preuve avec <strong>le</strong> théorème : siun triang<strong>le</strong> est isocè<strong>le</strong>, ses ang<strong>le</strong>s à la base sont égaux.Laig.3fig.4fdémonstration peut aussi reposer sur l’unicité d’un cerc<strong>le</strong> passant par trois points ousur la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment.1.4. ConclusionPour rendre <strong>le</strong>s élèves capab<strong>le</strong>s de formu<strong>le</strong>r consciemment des questionsmathématiques, il est nécessaire que <strong>le</strong> professeur prépare <strong>le</strong>ur travail par unesérieuse analyse mathématique et didactique a priori. En géométrie <strong>le</strong>s situationsproposées doivent conduire <strong>le</strong>s élèves à se placer dans une problématique demodélisation. Par ail<strong>le</strong>urs, <strong>le</strong>s questions posées doivent être suffisamment riches pourque <strong>le</strong>s élèves trouvent de l’intérêt à <strong>le</strong>ur étude. El<strong>le</strong>s sont donc à rechercher parmicel<strong>le</strong>s qui engendrent <strong>le</strong>s mathématiques de niveaux d’organisation é<strong>le</strong>vés, de l’ordreActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ241
du domaine ou du secteur mathématiques (la géométrie du triang<strong>le</strong> par exemp<strong>le</strong>) etnon aux seuls niveaux du sujet ou du chapitre, comme c’est trop souvent <strong>le</strong> cas despropositions trouvées dans <strong>le</strong>s manuels ou sur l’Internet. Il reste ensuite à <strong>le</strong>stransposer pour qu’el<strong>le</strong>s soient adaptées à la recherche en classe, tout en veillantsimultanément à exercer une vigilance épistémologique sur <strong>le</strong>s questions choisies,tant du point de vue mathématique que didactique. La gestion de la classe favorisel’expression des élèves. L’analyse a priori a permis de déterminer par avance ungrand nombre des questions et réactions d’élèves, ce qui, du point de vue duprofesseur, réduit <strong>le</strong>ur caractère aléatoire et inattendu et favorise par anticipation <strong>le</strong>urtraitement didactique.2. Un PER sur <strong>le</strong>s fractions. Comment <strong>le</strong>s productions des élèves nourrissentnos PER ?Ruben Rodriguez Herrera (IUFM & IREM de Basse-Normandie), ClaudinePlourdeau (IREM de Basse-Normandie) & Équipe (CD)AMPERES de Caen2.1. IntroductionAu cours de cet atelier, nous avons tout d’abord présenté « l’Univers desbandes » : <strong>le</strong>s élèves construisent des bandes de papier de 12 cm de longueur. Lesactions de superposition pour comparer deux bandes et de juxtaposition pour <strong>le</strong>sadditionner construisent l’univers expérimentab<strong>le</strong> dans <strong>le</strong>quel il est possib<strong>le</strong>d’anticiper <strong>le</strong>s actions réalisab<strong>le</strong>s. Nous avons ensuite présenté <strong>le</strong>s premières séancesdu PER sur <strong>le</strong>s fractions jusqu’à l’étape des calculs de sommes du type 1 / 3 + 1 / 3.Cet univers linéaire nous apparaît plus adapté pour débuter l’apprentissage desfractions. Ce n’est que plus tard que <strong>le</strong>s élèves travail<strong>le</strong>ront dans <strong>le</strong>s univers dedisques et secteurs, comme on <strong>le</strong>s rencontre dans <strong>le</strong>s propositions d’enseignementdes fractions... L’univers des bandes et la formalisation associée permettent aussid’aborder l’enseignement de la proportionnalité (Rodriguez, 2007). On trouvera cidessousla description factuel<strong>le</strong> de quelques moments de l’atelier.2.2. Présentation généra<strong>le</strong> : construire l’univers des bandesLes participants à l’atelier, tout comme <strong>le</strong>s élèves, manipu<strong>le</strong>nt des bandes depapier de 12 cm de longueur. La première bande témoin est de cou<strong>le</strong>ur blanche. Puisils construisent des bandes b<strong>le</strong>ues, superposab<strong>le</strong>s entre el<strong>le</strong>s ainsi qu’à une bandeblanche si on juxtapose deux. La construction est réalisée par pliage ou par division :12 cm ÷ 2 = 6 cm. On écrit sur chaque bande b<strong>le</strong>ue 1 / 2 pour se rappe<strong>le</strong>r qu’unebande blanche se superpose à deux b<strong>le</strong>ues ; puis, à partir de bandes rouges de 12 cm,on construit quatre bandes rouges superposab<strong>le</strong>s entre el<strong>le</strong>s et qui, mises bout à bout,sont superposab<strong>le</strong>s à une blanche. Une question apparaît qui a son importance pourla cohérence de la notation symbolique chiffrée : « Qu’écrire sur une bande rouge,1 / 4 ou 4 / 1 ? » Dans la phase suivante, la consigne est posée à l’intérieur de242 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
l’univers formalisé symbolique : « fabriquer des bandes de cou<strong>le</strong>ur jaune sur<strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s on pourrait écrire 1 / 3 ». Une grande importance est attachée à ce que <strong>le</strong>sélèves expliquent ce qu’ils réalisent et à ce que l’enseignant évalue s’ils ont biencompris ce premier sens de l’écriture des fractions. Le calcul mathématique permeten effet d’anticiper <strong>le</strong> résultat et l’emporte sur des pliages diffici<strong>le</strong>s à réaliser. Lesparticipants à l’atelier ont pu constater que <strong>le</strong>s élèves peuvent ainsi, à partir del’univers des bandes, intégrer beaucoup de propriétés d’ordre, d’addition desfractions et, conjointement, <strong>le</strong>s formaliser dans l’univers symbolique respectif. (fig1).Fig. 1 : Cette structure construite dans l’universexpérimentab<strong>le</strong> des bandes est signifiante de beaucoup depropriétés dans l’univers symbolique numérique desfractions.Nous avons présenté dans l’atelier un phénomène didactique à partir del’exemp<strong>le</strong> 1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3. Les élèves réalisent une bande de cou<strong>le</strong>ur vio<strong>le</strong>ttepar juxtaposition dans l’univers des actions expérimentab<strong>le</strong>s qui correspondmorphiquement à la somme 1 / 3 + 1 / 3. Ils écrivent d’un côté de la bande vio<strong>le</strong>tte1 / 3 + 1 / 3, mais comment écrire symboliquement <strong>le</strong> résultat de cette somme ?L’effet « mousse »D’un univers… à l’autrePaul : dis et écris un mot qui soit surl’image -Ruben : « Mousse » -Paul :Bravo ! tu as bien vu la mousse de la merPaul à Ruben : C’est toi qui as vu moussesur <strong>le</strong> dessin, moi j’ai pensé à majeunesse, quand j’étais mousse sur uncargo transatlantique-Professeur : combien ça fait un tiers plusun tiers ? -Élèves : ça fait deux tiers -Professeur : Bravo !, et il écrit au tab<strong>le</strong>au1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3-Formateur : C’est <strong>le</strong> professeur qui a vucette écriture, <strong>le</strong>s élèves ne savent pasencore <strong>le</strong> sens de cette somme écritesymboliquement. Ils ont répondu, à lamanière de « Une pomme plus unepomme c’est égal à deux pommes ! »Le piège didactique dans <strong>le</strong>quel l’enseignant peut tomber consiste à écrire toutde suite au tab<strong>le</strong>au la réponse 2 / 3 en attribuant indûment aux élèves uneconnaissance qui est en fait la sienne. La manipulation des bandes par <strong>le</strong>s élèves,antérieure à l’écriture 1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3, évite cette erreur.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ243
2.3. Comment <strong>le</strong>s productions des élèves nourrissent nos PER ?Au collège, la création des bandes de papier avec des élèves de 6 e (élèves de 11 à12 ans) permet de construire <strong>le</strong> sens et la symbolique de l’écriture a / b dans <strong>le</strong>palier 1 du parcours d’apprentissage mémorisé où cet assemblage devient un« schéma opérationnel » et construit « l’expérimentab<strong>le</strong> » de la situation.Ici la bande témoin est jaunePour par<strong>le</strong>r des bandes témoin de Ruben, <strong>le</strong>s élèves d’un de nos collègues dugroupe de Caen <strong>le</strong>s ont baptisées : « Kikoké » et depuis <strong>le</strong>s Djojins, <strong>le</strong>s Chtoungs, <strong>le</strong>sBantems, <strong>le</strong>s Zúrons, <strong>le</strong>s Segbans…Dans un palier 2, <strong>le</strong>s élèves utilisent <strong>le</strong> matériel construit dans une situationsimp<strong>le</strong> de mesurage de segments tracés, ce qui génère des productions riches àvalider ou à réfuter dans un débat col<strong>le</strong>ctif, et suscite des questionnements. Dans unpalier 3, l’analyse des productions des élèves permet à l’enseignant de décider des« activités de deuxième génération » déc<strong>le</strong>nchées par <strong>le</strong> questionnement des élèves.etc.De cet échantillonressortent deuxproblématiques :Guillaume -On ne peutpas trouver 6 / 4, car onn’a pas de bande de6 / 4 ! Et la classepropose d’en fabriquerdes vio<strong>le</strong>ttes sur<strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s on pourraitécrire 6 / 4. La prof-Comment vérifier si el<strong>le</strong>est bonne ?Bryan propose desuperposer 6 bandesjaunes pour 4 bandesvio<strong>le</strong>ttes244 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Pour valider la proposition d’Émilie : « est-ce que : 1 / 4 + 1 / 4 = 2 / 4 ? », laclasse répond que ce doit être faci<strong>le</strong> avec <strong>le</strong> schéma opérationnel.Mais Dylan s'écrit :« moi, je ne suis pas d'accord..1/4+ 1/4= 2/8 »… Et Dylan <strong>le</strong>s arrête très vite !On « emblématise » la remarque de Dylan :Si <strong>le</strong> prof dit:« Plus jamais Dylan...La classe en Choeur poursuit …2.4. … ajoutera Remerciements <strong>le</strong>s dénominateurs.Et toute la classe s’engage àconstruire une bande surlaquel<strong>le</strong>On « emblématise chacun pourrait » la remarqueécrirede Dylan :2 / 8…Si <strong>le</strong> prof dit: « Plus jamais Dylan...La classe en Choeur poursuit …… ajoutera <strong>le</strong>s dénominateurs.Notre groupe, constitué de Céci<strong>le</strong> Bezard- Falgas, Loïc Coulombel, JacquesDuval, Claudine Plourdeau et Ruben Rodriguez Herrera, remercie l’ex-INRP, l’IFÉet l’équipe (CD)AMPERES pour <strong>le</strong>ur soutien et <strong>le</strong>s enrichissements que nous ontapportés <strong>le</strong>s notions d’AER et PER en navigant entre nos multip<strong>le</strong>s « Univers » : ex-INRP, IFÉ et IREM, PER et Parcours d’apprentissage-enseignement articulés dansl’univers du « Spiralaire »3. Un parcours d’étude et de recherche pour introduire la géométrie analytiqueBernat Ancochea (Institut de Premià de Mar, Rafael Casanovas s/n), JosepGascón (Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona -Edifici C) & Marianna Bosch (FUNDEMI - Facultat d’Economia IQS, UniversitatRamon Llull)3.1. IntroductionQuel<strong>le</strong> géométrie devons-nous enseigner ? Nos élèves peuvent-ils étudier lagéométrie analytique dans <strong>le</strong> deuxième cyc<strong>le</strong> de l’enseignement secondaire et <strong>le</strong>baccalauréat sans des connaissances solides de géométrie synthétique ? Les réponsesà ces questions crucia<strong>le</strong>s sont gravement compromises par quelques-uns des constatsque l’on peut dresser sur l’enseignement de ce domaine en Espagne : absenced’articulation entre la géométrie de l’ESO (Enseignement secondaire obligatoire) etcel<strong>le</strong> du « bachil<strong>le</strong>rato » (Gascón, 2002), absence des raisons d’être de la géométrieanalytique, absence de travail de la relation entre modè<strong>le</strong>s graphiques et analytiques,pas d’enseignement de « l’algébrisation » des techniques de la géométrie de la règ<strong>le</strong>et du compas, absence de la mise en évidence de la puissance des techniquesanalytiques par rapport aux synthétiques.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ245
3.2. Thèse de la continuité entre <strong>le</strong>s deux géométriesÀ partir d’un groupe de problèmes considérés comme représentants« authentiques » de la géométrie synthétique (Bosch & Gascón, 1994), on peutdémontrer que <strong>le</strong>s techniques analytiques, caractéristiques de la géométriecartésienne, apparaissent comme un développement des techniques avec règ<strong>le</strong> etcompas (en parallè<strong>le</strong> avec l’accroissement progressif du champ de problèmes). Ils’agit d’articu<strong>le</strong>r <strong>le</strong>s deux géométries et non pas de subordonner l’une à l’autre(Gascón, 2003).3.3. Les logiciels de géométrieOn dispose aujourd’hui des instruments nécessaires pour que la formation de nosélèves soit beaucoup plus complète. Les logiciels de géométrie dynamique, depuisdéjà quelques années, fournissent aux élèves des points de vue « dynamiques » sur<strong>le</strong>s mathématiques. Sans se substituer aux démonstrations formel<strong>le</strong>s, souventinaccessib<strong>le</strong>s à la plupart des élèves des collèges, ces logiciels montrent lagénéralisation des propriétés géométriques en ne se servant que du simp<strong>le</strong>maniement de la souris de l’ordinateur. Avec Wiris et GeoGebra, il est possib<strong>le</strong> derésoudre <strong>le</strong> problème de l’articulation des deux géométries en suivant <strong>le</strong> processussuivant :1. On part d’un énoncé caractéristique d’un problème du premier cours dubaccalauréat.2. On <strong>le</strong> traduit en un énoncé de géométrie synthétique particulier que l’on résoutà partir de la construction avec règ<strong>le</strong> et compas.3. Résolution analytique particulière avec un système d’équations.4. Résolution analytique généra<strong>le</strong> (avec des paramètres) en choisissantconvenab<strong>le</strong>ment <strong>le</strong> système de référence.5. On fait une étude de cas (interprétation géométrique).4. Des élèves « auteurs » des mathématiques du programmeYves Matheron, Marie-Christine de Redon, Christiane Mota, Karine Drousset &l’équipe (CD)AMPERES de l’IREM d’Aix-Marseil<strong>le</strong>4.1. IntroductionLe groupe (CD)AMPERES d’Aix-Marseil<strong>le</strong> travail<strong>le</strong> à la conception et àl’expérimentation, dans des classes de l’académie, de Parcours d’Étude et deRecherche (PER) re<strong>le</strong>vant du domaine « nombres et calcul » du programme deCollège, et courant de la 5 e à la 3 e (élèves de 12 à 15 ans). Nous présentons ici246 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
certains des éléments de ce PER qui concernent <strong>le</strong>s nombres relatifs en 5 e et l’entréedans l’algèbre en 5 e et 4 e .Produire des éléments du savoir mathématique en tant que construction col<strong>le</strong>ctivede réponses à une question, de manière à ce qu’el<strong>le</strong>s soient identifiées et reconnuescomme savoir mathématique, peut être vu par <strong>le</strong>s élèves comme une création demathématiques dont ils sont en grande partie <strong>le</strong>s auteurs. Le professeur doit alorsdisposer a priori des conditions nécessaires à l’émergence des réponses, pourprovoquer <strong>le</strong>s tâtonnements et <strong>le</strong>s débats que cette recherche suscite. Atteindre un telobjectif suppose la force d’un col<strong>le</strong>ctif disposant des outils venus de la théoriedidactique, nécessaires à une tel<strong>le</strong> élaboration et réalisation.4.2. Les relatifs, une raison d’être interne aux mathématiquesAfin d’éviter <strong>le</strong> recours aux métaphores (températures, altitudes) qui, tôt ou tard,se constituent en obstac<strong>le</strong>, la nécessité des nombres relatifs est motivée par desraisons internes à la pratique mathématique. Les élèves éprouvent en acte lasimplification d’un calcul mental que fournit <strong>le</strong> calcul des deux derniers termes, alorsqu’on <strong>le</strong>ur a antérieurement enseigné qu’il s’effectue toujours de gauche à droite. Parexemp<strong>le</strong>, calcu<strong>le</strong>r menta<strong>le</strong>ment 435 + 61 – 62. On convient qu’ajouter 61 puissoustraire 62 équivaut à soustraire 1 et peut être noté -1. Les élèves peuvent alorsrapidement mener à bien des calculs comme : + 4 – 5 ; + 768,3 – 769,5 ; etc., enrecourant au sens donné à ces notations : « ajouter 768,3 puis soustraire 769,5revient à soustraire 1,2 qu’on note –1,2 ». Lorsqu’on a suffisamment éprouvé ce typede pratique, une nouvel<strong>le</strong> question émerge : « ces nouvel<strong>le</strong>s notations ressemb<strong>le</strong>nt etsont manipulées comme des nombres, se pourrait-il qu’el<strong>le</strong>s en soient ? » Les élèvesrépondent qu’il faudrait pour cela savoir si on peut faire des opérations sur cesnotations, <strong>le</strong>s comparer. On se lance alors dans la recherche et la construction detel<strong>le</strong>s opérations. Le <strong>le</strong>cteur intéressé trouvera la description détaillée de ce PER surla partie du site <strong>Educmath</strong> consacrée à AMPERES.4.3 Un objet didactique unificateur de l’algèbre du CollègeL’étude des relatifs a conduit à rencontrer un nouvel objet didactique : <strong>le</strong>programme de calcul. Les relatifs ont émergé de la simplification de programmes dutype « à un nombre on ajoute un second puis on retranche un troisième ». Lesprogrammes de calcul facilitent aussi la résolution de certains problèmes. C’est cequ’éprouvent <strong>le</strong>s élèves à travers la recherche du terme de rang n de suitesarithmétiques et géométriques présentées sous forme de figures à motifs répétés. Parexemp<strong>le</strong>, comment calcu<strong>le</strong>r <strong>le</strong> nombre total d’allumettes pour la construction de la23 e répétition du motif de maisonnettes accolées <strong>le</strong>s unes aux autres.Si <strong>le</strong>s élèves recourent à des tentatives de modélisation proportionnel<strong>le</strong>, ils <strong>le</strong>sabandonnent rapidement pour trouver une relation donnée sous la forme d’unephrase désignant un programme de calcul. Par exemp<strong>le</strong> « trois fois <strong>le</strong> nombre demaisons plus <strong>le</strong> nombre de maisons plus un ». La comparaison des diverses réponsesActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ247
obtenues dans la classe nécessite bientôt de recourir à l’usage de <strong>le</strong>ttres. Parexemp<strong>le</strong> : « 5 + (a – c) × 4 = b avec a nombre entier de maisons, c nombre demaisons en<strong>le</strong>vées, b <strong>le</strong> résultat ». Certains élèves utilisent des « patterns » tels quecerc<strong>le</strong> ou rectang<strong>le</strong> pour désigner la régularité du calcul. Trouver une écriturecommune nécessite de « développer, réduire et ordonner » <strong>le</strong>s expressionspolynômia<strong>le</strong>s rencontrées ; d’où l’étude des techniques algébriques au programme.On parvient alors à faire vivre une genèse artificiel<strong>le</strong> cohérente du savoirmathématique – algébrique dans ces exemp<strong>le</strong>s – incombant en partie aux élèves sousla responsabilité et <strong>le</strong> contrô<strong>le</strong> du professeur, sans recourir à un découpage enchapitres ou à des activités dites « préparatoires » à partir desquel<strong>le</strong>s <strong>le</strong> sens à donnerà l’étude des mathématiques est peu visib<strong>le</strong> des élèves.4.5. L’extension praxémique comme moteur de la créativité des élèves€Nul<strong>le</strong> part ne peut être décrétée la créativité mathématique, notamment enclasse ; on ne peut guère que la favoriser. Un des moyens consiste à recourir àl’extension praxémique définie comme extension d’usage d’une pratique autre quel’originel<strong>le</strong> (Matheron, 2010). Par exemp<strong>le</strong>, s’appuyer sur l’écriturex × y = x × y pour écrire ln(x × y) = lnx + lny, la notion d’homorphisme n’étantplus étudiée, mais toujours rencontrée en acte dans <strong>le</strong> cursus secondaire. Desextensions erronées peuvent entrainer <strong>le</strong>s élèves à déclarer que pour « résoudrel’équation lnx = lny, on simplifie par ln » ! Mais favoriser la créativité mathématiquedes élèves repose entre autres, dans <strong>le</strong>s deux propositions présentées, sur <strong>le</strong>ursconnaissances antérieures afin qu’ils s’engagent dans des extensions praxémiques :notations d’opérateurs additifs dans <strong>le</strong> cas des relatifs, extension au calcul algébriquedes écritures littéra<strong>le</strong>s jusqu’alors réservées aux formu<strong>le</strong>s (aires, volumes). L’usagedidactique de ces extensions suppose au préalab<strong>le</strong> une sérieuse analyse a priorioutillée des concepts issus de la didactique des mathématiques, et des professeursformés à cet enseignement.5. Éléments bibliographiquesBerté, A. (1995). Réf<strong>le</strong>xions sur inégalité triangulaire et distance d’un point à une droite àpartir d’observations dans <strong>le</strong>s classes. Petit x n° 40, 41 - 63Bosch, M. & Gascón, J. (1994). La integración del momento de la técnica en el proceso deestudio de campos de prob<strong>le</strong>mas de matemáticas. Enseñanza de las ciencias, 12(3), 314-332(CD)AMPERES (2010). http://educmath.inrp.fr/<strong>Educmath</strong>/ressources/documents/cdamperes/Chevallard, Y. (2007). Les mathématiques à l’éco<strong>le</strong> et la révolution épistémologique à venir,Bul<strong>le</strong>tin de l’APMEP n° 471, 439-461Gascón, J. (2002) Geometria sintètica en l’ESO y analítica en el baxil<strong>le</strong>rato. ¿Dos mundoscomp<strong>le</strong>tamente separados? Revista Suma, 39, 13-25248 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Gascón, J. (2003). Efectos del “autismo temático” sobre el estudio de la geometría ensecundaria. Revista Suma, 44, 25-34GEOGEBRA (2011). http://www.geogebra.orgMatheron, Y. (2010). Mémoire et étude des mathématiques, une approche didactique àcaractère anthropologique. Rennes : Presses Universitaires de RennesRodriguez Herrera, R. (2007). L’enseignement des fractions basé sur la loi de lacorrespondance morphique de deux systèmes dans la formation de connaissances. Caen :IREM de Basse-Normandie. Disponib<strong>le</strong> sur Internet : http://irembn.fr/spip.php?artic<strong>le</strong>23WIRIS (2011). http://www.wiris.comActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ249
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Atelier 4Quels outils technologiques pour appuyer<strong>le</strong>s processus d’enrichissement des ressources ?Hamid Chaachoua*, Giorgos Psycharis**, Jana Trgalová**** MeTAH-LIG, Université Joseph Fourier961 rue de la Houil<strong>le</strong> BlancheBP 4638402 Grenob<strong>le</strong> cedexhamid.chaachoua@imag.fr**Department of Mathematics, National and Kapodistrian University of Athens,15784 Zografou, Athens, Greece.G.Psycharis@math.uoa.gr*** S2HEP-IFE-ENSL15 parvis René-Descartes, BP 7000,69342 Lyon cedex 07Jana.trgalova@ens-lyon.frRÉSUMÉ : Ces journées d’étude mathématiques mettent <strong>le</strong> concept de qualité des ressourcespour l’enseignement des mathématiques au centre des discussions. El<strong>le</strong>s choisissent uneapproche dynamique de ce concept, s’intéressant aux processus qui permettent de revisiterdes problèmes, de réorganiser des ressources qui <strong>le</strong>s mettent en scène, dans un mouvementoù conception et mises en œuvre se nourrissent mutuel<strong>le</strong>ment. Cet atelier se propose dequestionner <strong>le</strong>s usages d’outils technologiques et <strong>le</strong>s moyens dont dispose l’utilisateur pourmodifier et enrichir <strong>le</strong>s ressources disponib<strong>le</strong>s afin de <strong>le</strong>s adapter à ses propres besoins.ABSTRACT: These “journées d’étude mathématiques” have the concept of quality ofresources for mathematics teaching in focus. They choose a dynamic approach to thisconcept, concerned with processes allowing to revisit prob<strong>le</strong>ms, reorganize resourcesenacting them, in a movement in which the design and the imp<strong>le</strong>mentation nourish eachother. This workshop intends to question usages of technological tools and the means usershave at their disposal to modify and enrich availab<strong>le</strong> resources to fit their own needs.MOTS-CLÉS : outil technologique, qualité de ressources, conception, usage.KEYWORDS: technological tool, quality of resources, design, usage.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ251
IntroductionCet atelier s’inscrit dans la thématique de qualité des ressources produites ous’appuyant sur des outils technologiques. Ce thème, déjà étudié lors des précédentesjournées de l’INRP (Gueudet et al., 2010), représente une des problématiquesfondamenta<strong>le</strong>s relatives aux ressources. Une des conclusions de l’atelier portant sur<strong>le</strong>s questions de qualité des ressources a été la proposition de trois niveaux de qualitéde ressources (ibid., p. 145) :- qualité minima<strong>le</strong> consistant en la validité mathématique et la conformitéinstitutionnel<strong>le</strong> des contenus ;- qualité didactique et épistémologique de la ressource, qui recouvre éga<strong>le</strong>mentson potentiel pour l’apprentissage ;- qualité pour <strong>le</strong>s usagers concernant notamment l’aspect ergonomique de laressource, son potentiel d’appropriation et son adaptabilité.Ainsi, un aspect de la qualité d’une ressource est la possibilité qu’el<strong>le</strong> offre à unutilisateur, en l’occurrence un enseignant, de l’enrichir et de l’adapter à ces propresbesoins. L’objectif de l’atelier a été d’approfondir cet aspect de qualité en invitant<strong>le</strong>s participants à travail<strong>le</strong>r autour de deux questions :- Quels sont <strong>le</strong>s usages possib<strong>le</strong>s ou effectifs des outils proposés ?- De quels moyens l’utilisateur dispose-t-il pour construire ses propresressources ? Pour modifier et enrichir <strong>le</strong>s ressources disponib<strong>le</strong>s afin de <strong>le</strong>sadapter à ses propres besoins ?Ont participé à cet atelier quatre équipes : Aplusix-epsilonwriter, Wiris, Intergeoet Casyopée, qui travail<strong>le</strong>nt sur la conception et l’usage des ressources à l’aide desoutils technologiques différents.252 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
1. Conception et utilisation des ressources de la plateforme epsilonwriterÉquipe Aplusix epsilonwriter : Hamid Chachoua, Nataly Essonnier, SébastienJolivet, Saïd Mouffak, Jean-François Nicaud, Jana Trgalová et Christophe Viudez.1.1. EpsilonwriterL’application Web « epsilonwriter » du portail « epsilonwriter.com » (Nicaud& Viudez, 2009) permet une rédaction très faci<strong>le</strong> de documents contenant du texte,des formu<strong>le</strong>s mathématiques et des images. L’application offre éga<strong>le</strong>ment des outilspermettant à l’enseignant de rédiger des questionnaires, avec des questions à choixmultip<strong>le</strong> (QCM) contenant des formu<strong>le</strong>s mathématiques et avec des questions àréponses mathématiques ouvertes. En mode « questionnaire », l’élève répond auxquestions une à une et passe en correction pour voir si sa réponse est juste et pourvisualiser la réponse attendue et <strong>le</strong>s explications rédigées par l’enseignant-auteur. Enmode « test », l’élève répond à l’ensemb<strong>le</strong> des questions puis passe en correction à lafin pour voir son score global, l’évaluation de ses réponses, <strong>le</strong>s réponses attendues et<strong>le</strong>s explications. Les questionnaires remplis par <strong>le</strong>s élèves peuvent être envoyés parmail à l’enseignant qui peut mettre des annotations sur chaque réponse et modifier<strong>le</strong>s scores calculés automatiquement par <strong>le</strong> logiciel. Le portail propose aussi unforum permettant <strong>le</strong>s échanges entre élèves et enseignant. Le portail avec ses outilspermet donc aux élèves de travail<strong>le</strong>r en autonomie même en dehors de la classe et àl’enseignant de suivre à distance <strong>le</strong> travail des élèves.Cette année nous avons lancé une étude du portail « epsilonwriter.com » commeun dispositif d’aide aux élèves et un outil permettant de prolonger <strong>le</strong> travail declasse. Les enseignants avaient la liberté sur <strong>le</strong> choix des outils de la plateforme etsur <strong>le</strong>s usages de ces outils. Nous avons mis en place un journal de bord pour garderune trace de l’utilisation de cette plateforme et <strong>le</strong>s ressources associées. Lesenseignants doivent indiquer <strong>le</strong> choix de l’outil utilisé (application, forum, mail), <strong>le</strong>type d’usage (en classe, en dehors de la classe) et la finalité didactique. Nousrendons compte ci-dessous de trois utilisations différentes de la plateforme.1.2. Conception et utilisation des QCM pour la remédiationLes QCM et l’application epsilonwriter ont été utilisés dans un dispositif deremédiation avec des élèves de BTS.Nous constatons que <strong>le</strong>s QCM ont joué un rô<strong>le</strong> important dans la déstabilisationde conceptions des élèves plutôt que dans <strong>le</strong>ur remédiation. Nous avons éga<strong>le</strong>mentvu qu’ils ont un potentiel révélateur de conceptions. Ils apportent un aspect ludique.Ils permettent plus d’individualisation, <strong>le</strong>s élèves n’hésitent pas à appe<strong>le</strong>rl’enseignant pour une explication supplémentaire alors qu’il ne l’aurait pas fait enActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ253
situation de classe classique, et plus d’autonomie grâce à la correction automatique,en classe. Notons qu’ils ont été bien accueillis par <strong>le</strong>s élèves.Notons cependant que la conception de QCM bien construits n’est pas tâchefaci<strong>le</strong>. El<strong>le</strong> nécessite une connaissance préalab<strong>le</strong> d’erreurs et de conceptions erronéespossib<strong>le</strong>s chez <strong>le</strong>s élèves pour l’introduction de distracteurs pertinents. Cet aspect estplus coûteux en temps que la création des QCM avec epsilonwriter qui el<strong>le</strong> estrelativement aisée.1.3. Conception des textes par <strong>le</strong>s élèvesUn des enjeux liés à la généralisation de l'usage de l'informatique dans <strong>le</strong> cadrescolaire est de ne pas faire de cet usage l'exclusivité de l'enseignant. Un autre enjeuimportant de l'acte d'enseigner est la mise en activité des élèves. L'objectif del'expérimentation avec epsilonwriter a donc été de combiner ces deux enjeux.Pour cela il a été décidé d'utiliser dans un premier temps l'aspect « éditeur detexte mathématique » d'epsilonwriter. S'il existe en effet différents outils pourl'enseignant (LaTex, D-Math et OpenOffice par exemp<strong>le</strong>), aucun n'est réel<strong>le</strong>mentadapté à un usage par <strong>le</strong>s collégiens. Il a donc été demandé aux élèves de réaliser desfiches de révision en vue du brevet, <strong>le</strong> support numérique permettant par ail<strong>le</strong>ursl'évolutivité et la mutualisation des ressources produites.Le prolongement de ce travail a consisté en l'utilisation de l'aspect « éditeur deQCM » d'epsilonwriter en demandant aux élèves d'associer à <strong>le</strong>ur fiche de révisionun QCM (élaboré par <strong>le</strong>ur soin ou à partir d'extraits de QCM trouvé dans des anna<strong>le</strong>sde brevet) avec un travail important de commentaire des réponses erronées pourmettre en évidence <strong>le</strong>s erreurs classiques liées aux notions travaillées.1.4. Utilisation du ForumL'objectif de l'expérimentation est de prolonger <strong>le</strong> groupe classe à l'extérieur del'établissement. Sortir l'élève qui travail<strong>le</strong> chez lui de son « iso<strong>le</strong>ment » pour <strong>le</strong>remettre dans « l'ambiance classe », pour qu'il puisse poser immédiatement, toutequestion relative à toute difficulté surgissant au moment de son travail à la maison.Les autres élèves sont invités à répondre et en dernier recours il y a intervention duprofesseur. Le logiciel epsilonwriter permet des échanges avec une écriture faci<strong>le</strong> desymbo<strong>le</strong>s mathématiques. Il y a eu peu d'échanges alors que <strong>le</strong>s élèves ont déjàl'habitude d'utiliser <strong>le</strong>s forums dans différents domaines. On pouvait espérer uneforte mobilisation mais cela n'a pas été <strong>le</strong> cas pour des raisons diverses :- Manque de motivation dans <strong>le</strong> travail, ce qui a été confirmé lors d'unediscussion bilan avec <strong>le</strong>s élèves qui disent « nous n'avons jamais appris àtravail<strong>le</strong>r ».- 4 élèves qui abusaient des jeux sur la toi<strong>le</strong> ne pouvaient plus accéder à internetpar décision parenta<strong>le</strong>.254 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
- Une dizaine d'élèves rencontraient des difficultés techniques : mots de passeoubliés ou perdus, version non adaptée de javas etc.2. Base de données WIRIS quizzes : mathématiques « ready-made » pourMood<strong>le</strong> QuizEquipe WIRIS : Car<strong>le</strong>s Aguiló, Ramon Eixarch2.1. IntroductionWIRIS quizzes améliore la fonctionnalité de Mood<strong>le</strong> Quiz pour <strong>le</strong>squestionnaires mathématiques. Il permet la création de questions aléatoires quis’évaluent automatiquement par moyen d’un système de calcul formel. On afinement intégré WIRIS aux questionnaires Mood<strong>le</strong> en respectant <strong>le</strong>s types dequestions existants et en permettant rajouter des maths pour tous ces types, à savoir :vrai/faux, à choix multip<strong>le</strong>, appariement, réponse courte (ouverte), composition,question « close ».Nous avons créé aussi WIRIS col<strong>le</strong>ction, une base de données avec des contenuspour faciliter l’intégration des TICE aux professeurs moins versés dans ce domaine.Il s’agit d’exercices élaborés et partagés par <strong>le</strong>s professeurs, qui sont donc déjà testésen sal<strong>le</strong> de classe ou comme devoirs.2.2. WIRIS Col<strong>le</strong>ctionWIRIS quizzes permet l’intégration de paramètres aléatoires (chiffres ; objets telsque matrices, polynômes etc. ; représentations graphiques) dans <strong>le</strong>s questionsMood<strong>le</strong>. Cela permet à l’élève de pratiquer autant qu’il veut avec des exercicestoujours différents et au professeur d’être rassuré que ses élèves ne peuvent pastricher sur son examen, parce qu’ils ont chaque un une question différente.La réponse de l’élève est automatiquement évaluée par <strong>le</strong> système de calculformel, WIRIS cas, ce qui permet d’avoir non seu<strong>le</strong>ment des questions aux choixmultip<strong>le</strong>s, mais aussi des questions ouvertes (« Réponse courte ») qui s’évaluentautomatiquement et qui donnent un retour (feedback) immédiat. Avec cela on évitetomber sur la situation frustrante pour l’élève d’avoir donné une réponse différentemais mathématiquement équiva<strong>le</strong>nte à l’attendue qui ne soit pas prise en comptecomme correcte.De l’autre côté, WIRIS offre un éditeur de formu<strong>le</strong>s visuel à l’élève (fig. 1) pourrentrer sa réponse de façon naturel<strong>le</strong>, qui exécute en plus un contrô<strong>le</strong> en temps réelde la syntaxe de cette réponse. L’éditeur visuel WIRIS et <strong>le</strong> contrô<strong>le</strong> de syntaxeminimisent la quantité d’erreurs des élèves aux strictement mathématiques. Il s’agitici de ne pas rajouter comp<strong>le</strong>xité au sujet à l’heure d’introduire l’utilisation desTICE, mais d’en faciliter l’utilisation aux élèves.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ255
Figure 1. Éditeur visuel de WIRIS.Notre expérience montre qu’avoir à disposition des contenus déjà créés et prêts àêtre déployés est une composante essentiel<strong>le</strong> pour faire déc<strong>le</strong>ncher l’utilisation desTICE chez <strong>le</strong>s professeurs qui n’ont pas encore vu comment son travail pouvaitbénéficier des nouvel<strong>le</strong>s technologies. Nous nous proposons de surmonter cettepremière étape en fournissant des contenus triés par thème.La base de données des contenus est hébergée sur http://col<strong>le</strong>ction.wiris.com etcontient des questions WIRIS quizzes. Ces contenus sont élaborés par <strong>le</strong>s utilisateursmêmes et sont offerts en licence Creative Commons, c’est-à-dire, que tout <strong>le</strong> mondepeut partager son travail avec <strong>le</strong>s autres utilisateurs.Pour rendre encore plus faci<strong>le</strong> cet échange, WIRIS quizzes intègre un outil detraduction automatique qui permet de traduire toutes <strong>le</strong>s commandes e instructionsd’une langue à une autre avec un seul clic. On a créé aussi une interface avec Drupalqui facilite la recherche et localisation d’exercices par thèmes et auteurs.256 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
3. Une démarche qualité pour améliorer <strong>le</strong>s ressources du répertoire i2geoEquipe Intergeo : Frédérique Bourgeat, Anne Calpe, Marina Digeon, EsmaelEsfahani, Isabel<strong>le</strong> Leyraud, Sophie Soury-Lavergne, René Thomas, Olivier Tourail<strong>le</strong>et Jana Trgalová3.1. Plateforme i2geo et démarche qualité pour <strong>le</strong>s ressourcesPour <strong>le</strong>s enseignants désireux d'intégrer <strong>le</strong>s TICE à <strong>le</strong>ur pratique sans avoir à toutcréer, il existe diverses banques de données sur internet. I2geo.net est l'une de cesplateformes qui contiennent plus particulièrement des activités utilisant <strong>le</strong>s logicielsde géométrie dynamique.Initia<strong>le</strong>ment créé avec l'objectif de fédérer <strong>le</strong>s productions autour d'un langageinformatique commun au niveau européen, ce site regroupe près de 3 500 activitésdéposées par des enseignants contributeurs souhaitant partager <strong>le</strong>urs réalisations. Cesressources sont <strong>le</strong> plus souvent composées d'une figure de géométrie dynamiquetéléchargeab<strong>le</strong> ou accessib<strong>le</strong> en ligne à partir d'une page de présentation contenantdes rubriques permettant de cib<strong>le</strong>r <strong>le</strong>s objectifs, <strong>le</strong>s prérequis, <strong>le</strong> niveau concerné, <strong>le</strong>type d'activités et <strong>le</strong>s mots-c<strong>le</strong>fs. Cet ensemb<strong>le</strong> de méta-données permet à l'utilisateurune recherche d’activités autour d'un thème donné. Certaines ressources sontaccompagnées de documents précisant <strong>le</strong>s modalités d'utilisation pour <strong>le</strong> professeuret <strong>le</strong>s élèves.Ce site offre éga<strong>le</strong>ment la possibilité d'évaluer la qualité des ressources à l'aided'un questionnaire (Trgalová et al., 2011) qu'il est possib<strong>le</strong> de remplir de manièreplus ou moins fine et complète en déposant ou non des commentaires. La note quirésulte de cette revue permet de repérer des ressources qui semb<strong>le</strong>nt plus pertinentesque d'autres et <strong>le</strong>s commentaires qui l'accompagnent sont autant d'indications pourque son auteur puisse apporter d'éventuel<strong>le</strong>s modifications selon <strong>le</strong>s avis déposés.L’élaboration de cette démarche qualité a été présentée lors des dernières journéesmathématiques (Groupe Intergeo, 2010).3.2. Analyse des revues de qualité disponib<strong>le</strong>sLe travail de cette année du groupe IREM associé à l'IFÉ a été d'analyser desressources disposant d’au moins deux revues afin de voir si <strong>le</strong>s avis déposésconvergeaient et de quel<strong>le</strong> manière. En effet, une note de « 3 sur 4 » peut êtreobtenue de différentes manières. Un peu plus de 10 % des ressources sont évaluées(contre 5 % il y a un an) mais par moins de deux utilisateurs en moyenne. Parmicel<strong>le</strong>s-ci, certaines <strong>le</strong> sont de manière complète et détaillée, d'autres plussommairement, alors que d'autres ne comportent que des commentaires.Si l'objectif initial de ce site a été de permettre à chacun de faire évoluer cesressources à partir des questionnaires, celui-ci sera atteint à condition que la revueActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ257
soit « objective » et pertinente. C'est ce qui explique la présence du questionnaireabordant des aspects tant technique que pédagogique ou didactique. Cependant,l'avis d'un seul utilisateur aussi expert soit-il ne reflète pas nécessairement la qualitéde la ressource. Une activité peut « fonctionner » avec des élèves et être bien évaluéea posteriori par un utilisateur alors que <strong>le</strong>s élèves n'auront peut-être rien retenu àl'issue de cel<strong>le</strong>-ci. De même, une activité riche sera peut-être boudée a priori par desenseignants la jugeant diffici<strong>le</strong> à mettre en œuvre alors qu'el<strong>le</strong> peut provoquer demanière imprévisib<strong>le</strong> un impact fort auprès des élèves.Cependant, seu<strong>le</strong> une analyse a posteriori sera plus objective (mais encore faut-ilavoir <strong>le</strong> temps de la faire) et permettra de juger si des modifications sont nécessaires.Dans tous <strong>le</strong>s cas, un seul avis, qu'il résulte d'une analyse a posteriori ou non, n'estpas suffisant : un ensemb<strong>le</strong> de revues est nécessaire pour faire émerger la qualitéd'une ressource et permettre à l'utilisateur de mieux se rendre compte des possibilitésoffertes par la ressource. Les convergences (et <strong>le</strong>s divergences) entre <strong>le</strong>s différentesrevues seront d'autant plus significatives si <strong>le</strong> nombre de revues est important.De plus, il faudrait que l'utilisateur de la plateforme consultant une ressourcepuisse connaître <strong>le</strong> degré d'expertise des évaluateurs pour avoir un regard critique sur<strong>le</strong>s revues el<strong>le</strong>s-mêmes et faire correctement la part des choses. Par exemp<strong>le</strong>, unétudiant en master n'ayant jamais enseigné et un enseignant utilisant <strong>le</strong>s TICErégulièrement n'auront pas la même vision de la qualité d’une ressource et pasforcément <strong>le</strong> même avis.3.3. ConclusionSi la présence du questionnaire permet de balayer <strong>le</strong>s différents aspects à évaluer,il faut que la personne qui <strong>le</strong> remplit saisisse bien <strong>le</strong> sens de tous <strong>le</strong>s items et prenne<strong>le</strong> temps de tous <strong>le</strong>s renseigner. Des divergences entre <strong>le</strong>s revues peuvent en résulter.Quoi qu’il en soit, ce questionnaire peut être un outil de formation pour sensibiliser<strong>le</strong>s enseignants aux différents aspects à prendre en compte lors de la créationd'activité. Dans tous <strong>le</strong>s cas et quelque soit la note de la revue, ce questionnaireparticipe à un regard critique sur la ressource lors de sa création, avant ou après sonutilisation et est, dans ce sens, un outil nécessaire à l'enrichissement des ressources.Le fait qu'il ne soit pas suffisant laisse ainsi toute la liberté à chacun d'utiliser ou nontel<strong>le</strong> ou tel<strong>le</strong> ressource selon son public, sa sensibilité, sa manière d'enseigner, sonobjectif sans conditionner <strong>le</strong>s créations dans un modè<strong>le</strong>-type exclusif.258 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
4. Ressources pour la formation à l’enseignement des fonctionsEquipe Casyopée : Gil<strong>le</strong>s Aldon, Roselyne Halbert, Jean Baptiste Lagrange,Christine Le Bihan, Bernard Le Feuvre, Marie Catherine Manens et Xavier MeyrierLes fonctions occupent une place centra<strong>le</strong> dans l'enseignement des mathématiques aulycée pour consolider <strong>le</strong>s apprentissages algébriques du collège et préparer unenseignement de l’analyse. Notre groupe cherche à apporter des éléments de réponseà une demande de l’académie de Rennes sur l’élaboration de ressources pour laformation. Notre projet est de créer des ressources sur l’enseignement des fonctionsau lycée en créant des ressources vidéos pour la formation à l'enseignement desfonctions, en enrichissant <strong>le</strong>s publications réalisées dans <strong>le</strong> groupe Casyopée et enorganisant, à plus long terme, <strong>le</strong>s ressources en parcours de formation.4.1. Objectifs du groupeDévelopper une « didactique des fonctions » qui sous-tend <strong>le</strong>s usages possib<strong>le</strong>sdes environnements algébriques et géométriquesLes TICE peuvent soutenir l’activité de l’élève tant par <strong>le</strong>s possibilités d’explorationoffertes par <strong>le</strong>s logiciels numériques (tab<strong>le</strong>ur, géométrie dynamique) que par l’aideaux calculs algébriques apportée par <strong>le</strong> calcul formel. Les activités sur <strong>le</strong>s fonctionsdoivent contribuer de façon décisive à la formation des élèves à la démarchescientifique. Les situations proposées par <strong>le</strong> logiciel contribuent à élargir <strong>le</strong> choix desenseignants pour s’adapter aux exigences des programmes. Notre problématique estl’insertion de ressources relatives à Casyopée dans <strong>le</strong>s parcours qu’ils se proposentde développer, de façon à <strong>le</strong>ur permettre d’élargir <strong>le</strong>ur choix de logiciel et d’évaluerl’effet de ce choix sur <strong>le</strong>ur pratique.Donner des moyens à des professeurs de la mettre cette didactique en œuvre par<strong>le</strong>s mini-sites et <strong>le</strong>s vidéosLe rô<strong>le</strong> du professeur est essentiel. Il doit mettre en place des situations de résolutionde problèmes adaptées, choisir un logiciel en considérant <strong>le</strong>s fonctionnalités qu'iloffre pour ces situations, en concevoir l'exploitation par <strong>le</strong>s élèves et construire avec<strong>le</strong>s élèves <strong>le</strong>s techniques et notions mathématiques que l'activité fait émerger.Mettre en œuvre cette « didactique » à travers la formationInitia<strong>le</strong> (masters d’enseignement) ; continue (PAF) ; individuel<strong>le</strong> (en ligne).4.2. Les ressourcesEl<strong>le</strong>s sont au nombre de trois : <strong>le</strong> logiciel, <strong>le</strong>s mini-sites décrivant <strong>le</strong>sexpérimentations réalisées par <strong>le</strong> groupe, <strong>le</strong>s vidéos accompagnant <strong>le</strong>s mini-sites.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ259
Les outils technologiques pour appuyer <strong>le</strong>s processus de production et dediffusion des ressources :- Le travail du groupe s'est appuyé sur un outil de travail collaboratif mis àdisposition du groupe par l'Académie de Rennes, dans <strong>le</strong> cadre du partenariatacadémique avec l'INRP, la plateforme Nuxeo, intégrée à l'Espace Numérique deTravail académique qui permet la publication et l'indexation de ressourcespédagogiques produites par et en direction des enseignants de l'académie.-Le site Casyopée, basé sur Guppy et ouvert à tout public, contient une présentationsuccincte en français et en anglais, la possibilité de télécharger <strong>le</strong>s versionssuccessives du logiciel et la documentation et des liens, notamment vers des minisites.L'accès aux vidéos est possib<strong>le</strong> via une inscription validée par <strong>le</strong> webmestre.Les utilisateurs peuvent poster des commentaires. Une « news<strong>le</strong>tter » est prévue.L'objectif est de dépasser <strong>le</strong> cadre académique pour la diffusion et <strong>le</strong>s échanges.- Le service Sial<strong>le</strong> du ministère de l'Éducation nationa<strong>le</strong> est une sé<strong>le</strong>ction delogiciels libres destinés à la communauté éducative. Cette sé<strong>le</strong>ction est opérée surdes critères stricts par <strong>le</strong> réseau académique et <strong>le</strong> SCEREN-CNDP. Il s'agitprincipa<strong>le</strong>ment de vérifications juridiques et techniques. Sial<strong>le</strong> offre des logicielséducatifs destinés à un usage en classe. L'évaluation de qualité et de pertinence estréalisée par des enseignants inscrits au service selon onze critères concernant larigueur scientifique, l'ergonomie, l'apport aux apprentissages et la documentation.-Les Edu'bases donnent accès à des exemp<strong>le</strong>s d'usages et de pratiques publiés sur<strong>le</strong>s sites académiques disciplinaires placés sous la responsabilité de groupesd'enseignants pilotés par des IA-IPR. Des usages de Casyopée y sont indexés.- Notre réf<strong>le</strong>xion porte cette année sur la réalisation et la diffusion de vidéosdestinées à des formateurs ou à des enseignants qui cherchent une information sur<strong>le</strong> logiciel. À partir de vidéos réalisées soit en sal<strong>le</strong> informatique soit en classeentière, nous construisons plusieurs types de vidéos : courtes, présentant uneséance avec <strong>le</strong> logiciel ou <strong>le</strong>s objectifs des séances et <strong>le</strong> cadre d'utilisation dulogiciel (≈5 min), plus longues, utilisab<strong>le</strong>s par des formateurs (≈20 min). Cesvidéos seront particulièrement uti<strong>le</strong>s en formation pour concrétiser <strong>le</strong>s démarchesproposées, en étudier <strong>le</strong>s effets sur l’activité des élèves et plus largement pourdévelopper une attitude réf<strong>le</strong>xive vis-à-vis de l’intégration des TICE.4.3. ConclusionLes participants à l’atelier ont considéré que <strong>le</strong>s différentes formes de vidéosaccompagnant <strong>le</strong>s mini-sites peuvent aider l’enseignant désirant utiliser <strong>le</strong> logicielou un tab<strong>le</strong>au interactif. Quant au logiciel ils ont estimé qu’il est « inclassab<strong>le</strong> »,car il utilise à la fois la géométrie dynamique et <strong>le</strong>s possibilités du calcul formel.Le groupe Casyopée a comme projet de continuer la réalisation de vidéosaccompagnants <strong>le</strong>s mini-sites et de poursuivre sa réf<strong>le</strong>xion sur l’enseignement desfonctions au lycée qui pourrait aboutir à un parcours de formation.260 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ
Discussion et conclusionLes équipes ayant participé à cet atelier produisent diverses ressources dans <strong>le</strong>but d’améliorer l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques : logicielséducatifs, sites web ou plateforme avec des activités pour la classe, outils pourconcevoir et utiliser des questionnaires.Les équipes partagent l’avis que <strong>le</strong>s utilisateurs - élèves, enseignants ouformateurs - ont besoin de pouvoir disposer de ressources toutes prêtes, comme laconception d’activités intéressantes et adaptées aux outils technologiques n’est pastâche faci<strong>le</strong>. El<strong>le</strong>s sont toutefois sensib<strong>le</strong>s aux questions d’appropriation desressources proposées, qui nécessite souvent <strong>le</strong>ur adaptation à un contexte particulier,l’utilisateur doit ainsi pouvoir modifier et enrichir <strong>le</strong>s ressources disponib<strong>le</strong>s.La qualité des ressources produites est au cœur des préoccupations des équipes,de manière explicite ou implicite. Divers moyens sont mis en place pour permettred’évaluer la qualité des ressources ou simp<strong>le</strong>ment pour signifier à l’utilisateur quetel<strong>le</strong> ou tel<strong>le</strong> ressource semb<strong>le</strong> avoir un réel potentiel d’apprentissage. Ainsi laplateforme i2geo invite ses utilisateurs à donner <strong>le</strong>urs avis sur <strong>le</strong>s ressources parl’intermédiaire d’un questionnaire. Le groupe Casyopée met en ligne des vidéosannotées montrant l’utilisation du logiciel Casyopée en classe.Il ressort des discussions que <strong>le</strong>s enseignants souhaitant intégrer des outilstechnologiques dans <strong>le</strong>urs classes deviennent des concepteurs ou des co-concepteursde ressources. Ils doivent pour cela développer de nouvel<strong>le</strong>s compétences, tel<strong>le</strong>squ’analyser <strong>le</strong>s erreurs et difficultés des élèves pour proposer un choix de réponsespertinent lors de conception de QCM ou orchestrer <strong>le</strong>s interactions des élèves avecdes outils technologiques. De nouvel<strong>le</strong>s questions se posent : quel<strong>le</strong> formation etquel accompagnement proposer aux enseignants ?BibliographieGroupe Intergeo (2010). Qualité des ressources de géométrie dynamique dans <strong>le</strong> projeteuropéen Intergeo. In G. Gueudet et al. (éd.), Apprendre, enseigner, se former enmathématiques : quels effets des ressources ? Actes des journees mathematiques del’INRP (pp. 139-143), 9-10 juin 2010, Lyon.Gueudet, G., Aldon, G., Douaire, J. & Trgalova, J. (éd.) (2010), Apprendre, enseigner, seformer en mathématiques : quels effets des ressources ? Actes des journéesmathématiques de l’INRP, 9-10 juin 2010, Lyon : INRP.Nicaud, J.-F. & Viudez, C. (2009), epsilonWriter : imp<strong>le</strong>menting new ideas for typing text andmath. The MathUI workshop, Grand Bend, Ontario, Canada. .Trgalova J., Soury-Lavergne S. & Jahn A. P. (2011, à paraître). Quality assessment processfor dynamic geometry resources in Intergeo project, ZDM-The International Journal onMathematics Education.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ261
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