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On trouve ici enfin, sur la feuille detravail d’Albert, les deux formes duraisonnement qu’il a conduit, dans le casdu 4e problème du tableau 1, qu’il reprenden fin de séquence. L’observation de cettepage permet de confirmer nosinterprétations : le raisonnement qui avaitété rédigé maladroitement pour sonquatrième emploi et formalisé comme« méthode plus simple » pour résoudre tousles problèmes de ce type, supporte le calculconduit sur les deux formules quimodélisent le problème et qui met enévidence, justement, cette différence entrece que Albert nommait A et a.Ce que nous observons n’est plus letravail de formes pures, vides de sens, quenous avons dénoncé en introduction. L’algèbre devient pour les élèves « La languebien formée qui permet le calcul des raisonnements », ce qu’elle était pour sesinventeurs.Cela suppose seulement mais c’est beaucoup, car cet exposé ne montre qu’unetoute petite partie des difficultés à surmonter, sur une question seulement et à un seulniveau d’enseignement au Collège, que les élèves peuvent constituer le raisonnementsur les catégories de problèmes qu’ils apprennent à résoudre avant d’engager letravail algébrique de production d’une technique.Les professeurs ne savent pas le chemin qui conduirait leurs élèves vers cetteproduction. Son identification complète par l’ensemble de la profession supposeraitdes études spécialisées bien plus développées que ce que l’année de formationpermet. Car le processus est loin d’être achevé : je n’en ai décrit que lecommencement, mais comment les élèves vont-ils maintenant décrire leurs calculs ?Comment le professeur pourra-t-il nommer les opérations qu’ils réalisent s’il nedispose que de deux propriétés axiomatiques (distributivité, conservation de l’égalitépar soustraction d’un même terme aux deux membres). Par exemple, Albert isolel’expression x + y dans 5x + 7y, substitue à 5(x + y) sa valeur numérique 5×79 dansla formule, par ce procédé, il élimine la variable x et produit une équation à uneinconnue qu’il résout etc. Ces termes sont-ils disponibles, normalisés, pourraient-ilsfaire l’objet d’un enseignement visant à démontrer leur consistance ?Une des difficultés du mouvement didactique proposé, c’est par exemple que lesélèves vont demander ce qu’il se passerait si on donnait trois équations, et il faudraalors leur montrer que trois équations à deux inconnues ne sont pas nécessairementcompatibles, et que l’équation qui permet de donner la réponse est stable tant qu’elleest combinaison d’équations compatibles aux deux premières. Or « une techniquesystématique de résolution des équations du premier degré à une inconnue ne fait pas48 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ