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monnaies » sont caractéristiques.Problème des monnaies : Serait-il possible d’utiliser un système de monnaie où iln’existerait que des pièces de valeurs 9 et 11 ? (IREM de Montpellier, GroupeResCo, 2003-2004, d’après les exercices d’évaluation PISA, 2003)Ce problème demande l’étude d’équations du type ax + by = c dans , mais sous laforme du problème des monnaies, les élèves ayant décidé en très grande majorité qu’ildevait être possible de rendre la monnaie, le problème s’est ramené à la résolution del’équation de Bézout dans l’ensemble des entiers relatifs. La relance a alors orienté letravail en suivant les choix faits par les élèves, vers les équations du type ax + by = cadmettant ou non des solutions et en incitant les élèves à s’interroger sur la faisabilitéde ces solutions (la possibilité de payer toute somme avec des pièces de valeurspremières entre elles est théorique : dans la réalité, il faut non seulement trouver unesolution, mais s’assurer qu’elle est réalisable en minimisant le nombre de pièceséchangées).5. Pourquoi contextualiser un problème ?Ce choix est lié à nos hypothèses d’enseignement :– un problème posé dans le cadre d’une situation réaliste favorise sadévolution ; cette hypothèse est étayée par l’observation du travail desélèves en classe et par la teneur des échanges entre les classes, qui montrentque les élèves s’approprient le problème,– le travail de mathématisation permet l’émergence de questions sur lesrelations entre mathématiques et « réalité », qui sont peu traitéestraditionnellement dans l’enseignement ; on assiste à des allers-retourspermanents entre objets réels et objets mathématiques,– de ce fait, le travail de mathématisation participe à un changement deperception des mathématiques.Ce choix est aussi lié à une question de confidentialité : les solutions de nombreuxproblèmes ouverts classiques sont disponibles sur Internet avec des ressourcescomplètes. Avec un sujet posé dans un contexte original, les recherches qui s’étalentsur 5 semaines ne devraient pas être parasitées par des solutions artificielles trouvéessur Internet.6. Un exemple de contextualisationPour détailler le travail que permet la contextualisation, nous nous appuyons sur unexemple, qui a fait l’objet de deux sessions de résolution collaborative en 2009 et2010 dans une cinquantaine de classes de la 6 e à la Terminale.Le problème des régions dans un disque : On place n points sur un cercle.Combien de régions détermine-t-on à l'intérieur de ce cercle en joignant les pointsdeux à deux ? (La feuille à problèmes, version électronique, IREM de Lyon, n°12)Après avoir envisagé plusieurs situations réalistes différentes, nous avonscontextualisé ce problème de la manière suivante :Le problème de l’artiste : Un artiste contemporain veut réaliser une œuvre sur unsupport rond, en plantant des clous sur le pourtour et en tendant des fils entre lesclous. Il se propose de peindre chaque zone d’une couleur différente. De combiende couleurs aura-t-il besoin ?(IREM de Montpellier, Groupe ResCo, 2009-2010)Ce problème présente les caractéristiques précitées : il est mathématiquementrobuste à tous les niveaux de l’enseignement secondaire (voire à l’université),170 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ