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partie des compétences exigibles du socle commun » et on comprend les professeursqui renoncent à l’usage d’un outil d’enseignement efficace mais trop technique : lessociétés inventent et utilisent les moyens technologiques que leur culture moyenneleur permet.3. Discussion : ce que nous savons sur la question3.1. Imaginer des situations pour faire émerger des représentationsNous appellerons notions des éléments de discours qui relèvent des expériencesculturelles réalisées dans des domaines d’expérience. Les notations sont alors desobjets substitutifs des objets du domaine d’expérience étudié comme domaine deréalité. Les notations rendent compte des pratiques dans ce domaine de réalité. Ellespermettent des manipulations réglées (u calcul) sous le contrôle des notions et desdiscours associés, qui proviennent de l’expérience, et donnent un sens pratique aucalcul. En ce sens, les notations représentent les propriétés des objets du domaine deréalité sur lesquels l’action se réaliserait.En mathématiques, et surtout dans leur enseignement, les notations (des manièresde représenter des objets et des relations pour en faire les objets d’un calcul) sontpresque toujours données aux élèves comme des outils tout faits, qu’il suffiraitd’apprendre à mettre en œuvre. Cela crée de nombreuses difficultés et desquiproquos dont l’exploration a été longue et difficile, je vous en ai rapidementprésenté les résultats les plus significatifs.Le problème est alors le suivant : de même que les outils mobilisés dans lespratiques quotidiennes ont une fonction de représentation de l’action, c’est leursémioticité, ces outils désignent (à qui les connaît) l’activité qu’ils outillent ; ilsdésignent (à qui en connaît par expérience l’usage) la technique mobilisée pourrésoudre le problème que l’activité rencontre, les notations montrent donc « ce quel’on pourrait faire ». Les notations, comme les outils, ne montrent cela qu’à quiconnaît culturellement et personnellement leur usage. C’est un cercle vicieux commeon l’a vu pour le travail algébrique, mais il en va de même pour tous lesapprentissages silencieux, par dressage sur le tas ou à l’école.Une école devrait avoir d’autres ambitions que d’organiser l’apprentissage dutravail algébrique par un dressage de plusieurs années. Mais il ne suffit pas de le direet d’imaginer une voie de réponse, il faut aussi développer les infrastructuresnécessaires à l’appropriation sociale de la technique qui résout la question : commele transport aérien, qui suppose les aéroports, l’enseignement proposé ici supposeune culture universitaire productrice et porteuse de ces connaissances. Laresponsabilité de la situation n’appartient plus, aujourd’hui, aux IUFM et auxformateurs qui étaient sur le point de découvrir ces phénomènes en travaillant lesquestions didactiques qu’ils observaient. Elle appartient aux universitaires, dont on asupposé que leur manière de produire des mathématiques allait les conduire à savoirActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ49