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– d’identifier des objets potentiellement travaillés,– d’identifier des démarches possibles,– d’identifier des obstacles, des erreurs,– de percevoir l’influence des relations spécifiques aux objets 12 ,– d’envisager les limites de l’action sur les objets.Sur ce dernier point, nous pouvonspar exemple suspecter que, quand Keplerécrit « nous affirmons à juste titre que lecôté de l’heptagone fait partie des nonêtres; j’entends connaissables », lepolygone à sept côtés va avoir une placebien particulière dans le milieu objectifde la recherche.Sans aller ici plus avant dans cetteanalyse historique et épistémologique,nous pouvons affirmer que la situation serévèle propice aux actions sur denombreux objets, que des élaborationsthéoriques sont possibles et que larelation que chacun entretient avec les objets mathématiques a une influencefondamentale, particulièrement pour ce qui concerne la dimension expérimentale dela recherche. Montrons sur trois extraits, issus d’expérimentations en Terminalescientifique (TS) et en formation continue du second degré, la forme que peuventprendre les actions sur les objets et les productions.Après un premier travail numérique, un groupe en TS s’engage dans lamanipulation de représentations de certains polygones réguliers, découpées dans dupapier de couleur (annexe 3). Cette manipulation engendre un questionnement sur lacongruence des longueurs.« - tu veux dire si on en prend un de c’te longueur là et ben ça marche ?- mais on peut pas !- et pourquoi ?- ben parce que le coin de là il est dans la longueur là et c’est dit...- ah ouais c’est vrai- on exclut de ce problème les pavages tels que le sommet d’un polygoneappartienne au côté ...- on aurait du y penser tout de suite alors ».Cette congruence, dont le questionnement n’est pas fréquent, se déduit ici d’uneinteraction entre la manipulation et les données du problème. Le même groupe aproduit l’affiche reprise en annexe 4 qui montre un début de structuration del’ensemble des pavages semi-réguliers du plan :– avec la représentation de certains éléments de cet ensemble (dont uncandidat invalidé lors du débat) ;– avec l’élaboration de conditions nécessaires, sur la congruence descôtés, sur la somme des angles autour d’un nœud ;– avec la reconnaissance de l’aspect non suffisant de cette dernièrecondition dans une considération globale.12 La recherche de Kepler sur les pavages, qui s’inscrit dans une recherche globale del’Harmonie du monde, s’appuie sur une relation aux objets et une représentation du mondetrès personnelle et spécifique (on pourra consulter sur cet aspect Simon (1979)). L’étuded’autres auteurs confirme que chacun entretient une relation particulière au monde et auxobjets mathématiques, relation qui induit des pratiques spécifiques et des élaborationsnécessairement différentes.146 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ