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Figure 3a, b, c et d. Vues interactives des coniques dans les plans directeurs etfenêtre d’équations correspondantes.2.2. Le travail des abeilles2.2.1. La géométrie du gâteau de cireUn gâteau de cire présente deux côtés parallèles, constitués d’un faisceau de«tubes» prismatiques dont les ouvertures forment un pavage hexagonal. Ces tubessont les alvéoles au fond desquels l’abeille dépose ses œufs et son miel. L’interfaceentre ces deux côtés n’est pas plane : chaque tube se termine par trois losanges,comme le fond d’un dodécaèdre rhombique. Cette configuration semble nonseulement optimiser la quantité de cire utilisée (Hales, 2001), mais elle permetégalement une meilleure proximité des œufs, réduisant ainsi les déperditions dechaleur (Richard, 2006). Nous posons alors la question suivante : étant donnée unesphère tangente aux parois d’un prisme droit et régulier à base hexagonale, la«fermeture» du prisme en dodécaèdre rhombique est-elle optimale ? En guised’exploration, nous commençons par considérer la situation d’un fond pyramidal etnous poursuivons avec l’intuition du fond rhombique.2.2.2. Première situation : refermer le prisme à l’aide d’une pyramideL’enjeu du problème consiste à concevoir une pyramide afin que ses paroissoient tangentes à une sphère (figure 4a). La situation se laisse ramener à laconstruction du sommet S d’un côté de la pyramide dans le plan médiateur de sabase [GH] (figure 4b). Si P est le point de tangence de l’apothème [MS], alors letriangle MOP est rectangle en P. Sous ces contraintes, la variation de la hauteur TMdu prisme, pour OO’ < TM ≤ 2·OO’, engendre un ajustement conséquent de laposition du point S. Comme dans la situation des jardins de Madrid, l’interactioncognitive entre l’élève et le milieu doit coordonner plusieurs réalités et modèlesgéométriques. Mais en posant un problème d’aire maximale, le traitement dominantintègre des processus de variation (réalité sous-jacente) et de modélisation enanalyse fonctionnelle, par exemple avec la représentation graphique dynamique quis’obtient par un lieu géométrique de points ou par une trace numérique (figure 4c).Lorsque l’élève expérimente sur les figures (ib. 4a ou b), il fait bien plus qu’unerésolution instrumentée dans un espace de travail. Il agit directement sur lareprésentation figurale en tant que système sémiotique, donc sur les conceptions.98 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ