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Il semble donc que la solution puisse être de deux types : soit les deux segmentsdu triangle correspondant au grand angle de celui-ci lorsque cet angle est grand, soitun réseau composé de trois segments rejoignant les sommets à un quatrième point,qui reste à déterminer… Bien entendu, faute de place, nous ne donnons que deuxexemples mais l’application mentionnée ci-dessus permet de faire beaucoupd’expériences à peu de frais pour se convaincre que seules ces deux situationsarrivent.Une première chose à remarquer est que, dans ce réseau, les routes sont droites 9 ,et qu’il y a éventuellement des intersections. Dans le cas de trois points, le lecteur seconvaincra facilement qu’il n’y a aucun intérêt à avoir deux intersections : en effet,il faudra bien les joindre l’une à l’autre et il est plus court de joindre les points quiarrivent à la première directement à la seconde. Ceci nous permet de reposer leproblème, dans le cas du triangle : où est le point M tel que MA+MB+MC soitminimal ? Etant entendu que ce point pourrait être en A, B ou C et étant entenduégalement qu’un mathématicien voudra également démontrer que ce point existe.En observant quelques exemples, il semblerait que le point M soit tel que les troisangles BMC ,BMA et AMC soient égaux à 120 degrés. Sauf si l’angle le plus granddu triangle est trop grand (en fait supérieur à 120 degrés comme nous le verrons).2.2. Le point de Steiner - une première preuveAdmettons pour l’instant que ce point M existe et supposons également dans unpremier temps qu’il est différent des sommets du triangle. La figure ci-dessous donneune preuve 10 du fait que ce point M est tel queBMC ,BMA et AMC sont égaux.9 Le plus court chemin pour joindre deux points étant le segment les joignant.10 De niveau élémentaire.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ27