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IntroductionDepuis de nombreuses années déjà, les travaux de l’IREM de Lyon ont sumontrer l’intérêt du dispositif « problème ouvert » qui favorise une modification ducontrat didactique dans la classe de mathématiques. Plus récemment, les travaux deséquipes EXPRIME (2006-2010) et DREAM se sont également intéressés auxpossibilités d’un tel dispositif en termes de travail des concepts mathématiques.Dans cette optique nous allons tout d’abord présenter quelques réflexions surl’activité de l’élève dans une situation de recherche en classe. Cette activité estenvisagée sous l’hypothèse que les apprentissages se réalisent dans le cadre d’unerelation bien spécifique aux objets mathématiques en jeu, relation que nous pouvonsenvisager de favoriser par les explorations que permet la part expérimentale dutravail mathématique. Pour l’élaboration de situations spécifiques de cetteproblématique, c’est alors le cadre de la théorie des situations didactiques(Brousseau, 1998) qui s’impose à nous. Pour autant, dans l’approche choisie, il vas’avérer nécessaire d’affiner l’étude du mode de relations aux objets que met enœuvre tout chercheur engagé dans la recherche proposée, et c’est pourquoi l’étudeépistémologique est un autre aspect fort des situations élaborées. Nous illustreronsici, avec deux exemples de situations, la pertinence de cette approche centrée sur lesactions sur les objets. Le premier exemple mettra en évidence le fait quel’exploration des possibles par les élèves participe de la naturalisation d’objetsmathématiques et le deuxième qu’en appui sur ces naturalisations les élèves sontproducteurs de mathématiques.1. L’activité de l’élève dans une situation de recherche en classeNous débutons cette partie en empruntant à G. Longo (Longo, 1997) unquestionnement qui permet dans le cadre géométrique d’interroger la notiond’activité mathématique : « Les calamars font-ils de la géométrie 1 ? » Longorépond : « Si la géométrie est une de nos constructions conceptuelles qui émergentdans la praxis, [...], et que nous la construisons dans notre rapport aux régularitésdu monde (ses symétries, ses homogénéités ...), [...], dans sa simulation-prévisionmentale, ainsi que dans l’appréciation de certains invariants spatiaux (les formes),alors les calamars « font » un embryon de cette géométrie qui sera la nôtre. »Alors, en imaginant nos élèves entre calamars et mathématiciens, il nous semblepossible de provoquer une activité géométrique issue de la praxis, de l’action soustenduepar une idée vers un résultat. Pour ce qui concerne l’observation d’une telleactivité géométrique mise en œuvre par les élèves, nous chercherons alors àidentifier :des projections, simulations, prévisions, des manipulations d’objetsmathématiques ou de certaines de leurs représentations (matérielles ou non), desinterprétations de perceptions, des appréciations de certains invariants, desformulations de conjectures, des élaborations de raisonnements, de démonstrations,d’algorithmes (Euclide, Pythagore, ...), des définitions, structurations « d’objets àsavoir 2 ». Et il se trouve que les travaux de l’IREM de Lyon ont montré que ledispositif « problème ouvert » favorise une part de cette activité en particulier parcequ’il incite aux essais, aux conjectures, à l’élaboration de processus et de1 Il est clair que le type d’action que nous identifions ici s’entend au-delà du domainegéométrique et fondent une grande partie de l’activité mathématique telle que nous souhaitonsla mettre en évidence.142 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ