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1.2. En 5 e (élèves de 12 à 13 ans), la question de la détermination des trianglesLa question à travailler devient alors la suivante, même si elle n’est pas poséesous cette forme auprès des élèves : « Quelles données est-il nécessaire et suffisantde connaître sur les six éléments d’un triangle (angles et côtés) pour déterminer cetriangle à une isométrie près, à une similitude près ? »1.2.1. Comment faire dévolution de la question aux élèves ?Placés dans une problématique pratique, les élèves peuvent réussir à reproduireun triangle dans le micro-espace de la feuille de papier. Mais s’ils peuvent effacer etajuster à volonté sans perdre de vue le triangle à reproduire, ils n’éprouveront pas lanécessité d’une géométrie théorique pour résoudre le problème de la déterminationd’un triangle ; ce qui est pourtant le but visé. Il est donc nécessaire de placer lesélèves dans une problématique où la modélisation est nécessaire pour anticiper etdiriger l’action et, de plus, concevoir une situation gérable en classe. Au niveau d’unespace plus grand (méso-espace), les constructions techniques impliquent la donnéede caractéristiques permettant de déterminer les objets choisis avant de lesconstruire. La détermination des triangles prend alors du sens, car la problématiquene peut plus être pratique (par essais et erreurs). On transpose alors le problème duméso-espace à un autre, similaire, dans la feuille de papier.1.2.2. Triangle déterminé par la donnée de ses trois côtésLa question à étudier est la suivante : « combien peut-on tracer de triangles ayantces trois nombres comme longueurs de côtés ? », par exemple 4, 5 et 7 ou 4, 7 et 10.Les élèves proposent deux triangles symétriques, quatre triangles (en prenant lessymétriques de chaque triangle par rapport au côté et par rapport à la médiatrice ducôté), trois triangles (en commençant successivement par chacun des côtés), sixtriangles (avec les symétriques des trois triangles obtenus), ou encore douzetriangles, en combinant toutes ces possibilités ; quelques productions ci-dessous :240 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ