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Comme en écriture décimale, la valeur approchée, ici trouvée après denombreuses heures de recherche avec le jeu de go, permet de déterminer la solutionqui est. La période est de 20 chiffres, ce quiimplique un travail sur l’abaque avec une quarantaine de chiffres. Une vérificationsur papier est bien entendu effectuée, mais c’est surtout la nécessité del’informatique qui s’est naturellement imposée. Ainsi, un programme informatique,qui a été affiné au fur et à mesure des résultats, a été écrit.2.2. Une idée fondamentaleAvec l’informatique, la recherche mathématique sur les rationnels a trouvé unnouveau souffle : des listings de nombres ont été produits, des périodes sont trouvées(la conjecture est toujours vérifiée) et de nouvelles conjectures ont vu le jour. Malgrétout cela, la recherche stagne et les règles de formation des rationnels restentparticulièrement opaques : nous sommes face à des données brutes provenant desrecherches informatiques dont on ne sait que faire. C’est l’impasse !Nous avions compris que, pour trouver une solution de D × x = N, qui seraitpériodique d’après la conjecture, il nous faudrait d’abord trouver la période π. Nousrecherchions π par la propriété : D × (πππ…) est de période 01 (tout simplementparce que 1+010101…=000000… par le jeu de dominos). Mais hormis desrecherches informatiques systématiques basées sur la technique d’approximation,nous ne savions pas comment utiliser cette propriété puisque les retenues peuvent serépercuter sur plusieurs périodes (par exemple pour D = 5, la réduction d’un 5 pourle calcul de 5 × x déborde de 3 rangs à droite et de 4 rangs à gauche). La situationsemblait inextricable. C’est alors que, lors d’une de nos réunions hebdomadaires, lemathématicien a eu une idée qui a tout débloqué. Au lieu de prendre le nombre xdans sa totalité, il suffit de prendre une période et de compter sur elle-même lesretenues produites. La simplicité de cette idée est frappante car on simule ainsi lesretenues provenant des autres périodes. Le travail de recherche est relancé. Enparticulier nous définissons un algorithme de somme pour les éléments périodiquesen traitant de manière séparée le début du nombre et la partie périodique. Vérifierqu’une séquence est une période d’un dénominateur D devient simple puisqu’il suffitde ne considérer qu’une période sans faire appel à un argument du type valeurapprochée. Prenons par exemple le cas de la période trouvée par le jeu de go :5×10000001001001010100 = 50000005005005050500= 10020020021112103011 (réduction de tous 13 les 5 en 10010001)= 20020020010102001010 (réduction de tous les 11 en partant de la gauche)= …= 10101010101010101010 (il faut réduire les 2 un à un)Sans entrer dans les détails, signalons que les conjectures s’affinent, des résultatsimportants sont prouvés, le programme informatique est réécrit pour être plusefficace, de nouvelles conjectures sont avancées et prouvées, etc.13 L’algorithme général demande de réduire les 5 un à un et les 11 qui apparaissent alors.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ89