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d’Isabelle Bloch (Bloch, 2002) : ils permettent la théorisation du va et vient entre lemilieu épistémologique, le milieu expérimental a priori et la confrontation à lacontingence pour l’élaboration des situations. Dans ce cadre, nous étudions dans unpremier temps les conditions nécessaires à l’élaboration de la situation du point devue « théorique » par une analyse de la structure mathématique de l’objet à savoir(manifestations anciennes ou contemporaines de ce savoir, environnementmathématique, culturel et social, place dans les mathématiques actuelles, obstaclesépistémologiques relatifs à cet objet).Puis nous envisageons l’élaboration d’un jeu relatif à l’objet à savoir mettant enprésence un acteur ou des acteurs et un milieu matériel susceptible de rétroactions,avec une composante adidactique importante. Nous étudions des conditionssuffisantes pour qu’un jeu existe avec une première analyse de la pertinence de lasituation didactique envisagée par rapport au savoir mathématique et au savoirantérieur requis, une recherche des variables de cette situation, une analyse de laconsistance de la situation (il s’agit de vérifier que les variables retenues ne sont pascontradictoires c’est-à-dire ne conduisent pas à des connaissances incompatibles,même provisoirement, pour l’actant).Une troisième étape permet de construire l’ingénierie didactique effective,relative à l’objet à savoir, de fixer les variables, de définir le milieu avec exactitude,d’anticiper, de prévoir des comportements, les jeux possibles de l’élève et les jeuxdu professeur, de prévoir de recueillir des observables, de les organiser, de lesinterpréter dans le cadre défini.Suivent des confrontations à la contingence, indispensables pour juger de lapertinence des analyses précédentes et les affiner. Lors de ces confrontations à lacontingence, nous sommes, pour ce qui nous préoccupe ici, particulièrement attentifsà l’engagement des élèves dans un processus de va et vient entre l’exploration duproblème, en appui sur les manipulations d’objets, et les élaborations théoriques.Concernant les actions et les élaborations dans l’action, nous pouvons préciserqu’il s’agit bien d’identifier des instants constitutifs de l’élaboration conceptuelle oude processus, au-delà de l’action sur les objets. Car rappelons-le, si les objets« délimitent a priori l’espace discursif dans lequel n’importe quoi ne peut pas êtredit » (Durand-Guerrier & Dias, 2008), leur prégnance empêche parfois lesconstructions conceptuelles attendues. Ces identifications se font essentiellement parles analyses des échanges, lors du travail en groupes ou lors des débats sur la validitédes résultats présentés. Nous présentons maintenant deux illustrations de la mise enœuvre de situations didactiques élaborées dans ce contexte.3. Deux illustrations3.1. La rivière : des élèves qui explorent des possibles et naturalisent de l’abstraitLes éléments que nous présentons ici sont issus d’une expérimentation defévrier 2011, en classe de Terminale scientifique, dans le cadre d’une étude dutransfert de notre ressource documentaire à des collègues du secondaire.144 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ