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c) Le groupe des élèves accédera ainsi à une technique - une manière efficace quisera devenue traditionnelle et qui aura été validée lors d’une présentation à toute laclasse et d’un débat entre les groupes.d) Chaque élève pourra alors éprouver personnellement la pertinence de cettetechnique, dans le traitement des problèmes sur lesquels lui et son groupe aurontéchoué dans un premier temps, juger de l’efficacité que procure son usage, poser lesproblèmes que pose sa mise en œuvre dans des situations nouvelles.Le fait que les problèmes étudiés soient linéaires garantit que le tâtonnementproduira une première connaissance du mode de vie du problème. La culturealgébrique (minimale, mais existante) des élèves et l’intervention du professeur, quioriente vers l’étude des comptes-rendus écrits de leurs stratégies en les faisantd’abord communiquer par groupes puis, en leur proposant la rédaction d’untransparent pour exposer à la classe, évitent cette impasse qu’est l’arithmétique : leraisonnement ne doit pas risquer de remplacer la modélisation algébrique. Noussavons que des formules numériques de la forme « 2 lits × 5 chambres + 8 chambres= 18 personnes logées » apparaissent d’abord comme moyen de vérifier qu’unepremière idée selon laquelle 5 chambres à deux lits et huit chambres à un litpermettent de loger 20 personnes est plausible mais fausse. L’usage systématique deces écritures montre un format répété qui peut s’écrire 2x + y = 20 et être l’objet detentatives de traitement algébrique. Enfin, grâce à l’organisation explicite de laBanque en tableaux, le professeur peut organiser l’étude des diverses stratégies etdes discours justificatifs qui leur sont associés, dans les divers temps de débat. Labanque garantit en effet que les élèves sont en état de débattre de la validité desstratégies qu’ils proposent, parce qu’ils savent valider leurs réponses à partir de laconnaissance qu’ils ont acquise par tâtonnements. Ainsi, l’accès à la banque peut êtrelibre, et ne pas être limité au temps de classe. Voici donc le texte initial distribué auxélèves et lu collectivement :AvertissementLes problèmes proposés ici relèvent tous d’une même classe, ce qui signifiequ’il existe une méthode générale de résolution de tous ces problèmes. Ils sontproposés à votre étude afin que, en cherchant une méthode pour en résoudre un,vous vous fassiez une idée des mathématiques qui sont au programme puis, encherchant à les résoudre tous avec l’aide de vos camarades et sous la direction devotre professeur, vous puissiez découvrir par vous-même une partie desmathématiques au programme de votre classe.Ces problèmes sont choisis de telle manière que vous puissiez résoudrecertains d’entre eux avant même de connaître une méthode mathématique valablepour tous : pour chacun d’eux, vous pouvez vérifier par vous-même si votre réponseest juste. Cependant, leur difficulté graduée augmente de tableau en tableau avecvotre expérience et vos connaissances : vous pouvez donc tenter de les résoudretous d’emblée ou, au contraire, vous pouvez attendre que le travail collectif fait enclasse vous ait donné accès à des méthodes éprouvées et mathématiquementActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ41