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monde entier, montre que la solution n’est pas évidente mais nous avons appris aminima qu’il faut interpréter un assemblage, pour dire ce qu’il dénote, ou pourcomprendre ce qu’il démontre. Étudier ce qu’un même assemblage peut dénoter, etquels sont les systèmes de règles de manipulation que permettent les notationsalgébriques (qu’on pourrait comparer par exemple aux propriétés des notationsgéométriques), ne peut être un enjeu que dans un travail universitaire, mais ne figurepas semble-t-il dans le formation mathématique des futurs professeurs.1.3. Ce type d’enseignement par dressage produit des idées erronées et desapprentissages lentsDans ces conditions, les élèves s’essaient donc à faire sans savoir, ils tâtonnent etgénéralisent sans contrôle. Les erreurs que l’on observe élèves sont les mêmes entous pays au début du travail algébrique, comme nous l’avons noté plus haut et parexemple ils proposent avec insistance la transformation connue : a 2 – b 2 = (a – b) 2 quiconserve toute l’information que porte l’écriture puisque l’on retrouve les lettres a etb, le signe –, l’exposant 2. La mise en commun de 2 entre a et b revient donc auxétourdis, comme un mauvais pli. Et pire, les élèves peuvent bien en être persuadés,puisqu’ils y voient la transformation introduisant les parenthèses rondes, connued’eux sous le nom de « distributivité ». Tonnelle a appelé le principe qui rendcompte de cette manière « la conservation de l’information ostensive ». Ce typed’enseignement conduit à des apprentissages si lents qu’il est fort peu efficace : laplupart des gens s’y refusent et oublient rapidement tout cela, les autres apprennentune mécanique formelle qu’ils ne peuvent que difficilement retravailler pour en faireévoluer le sens ou les manières, puisqu’ils n’en disposent pas comme d’un savoir(Mercier, 1992).2. PEUT-ON IMAGINER UNE AUTRE VOIE, NON FORMELLE ?Ces représentations (en mathématiques, ce sont des systèmes de notations) sontdes créations humaines sur lesquelles la pensée s’appuie. C’est ce qu’on appelle enmathématiques le calcul dans les modèles. Ainsi la pensée n’est plus en rapportimmédiat au monde, et au-delà de la langue, dont l’expérience montre lesinsuffisances, la pensée s’outille d’artefacts, les représentations organisées enmodèles d’un domaine de réalité. Nous affirmons que les représentationsreprésentent non pas le monde, mais les idées que notre action dans le monde nousconduit à former sur le monde. Cela explique qu’on ne puisse pas enseignerefficacement la manipulation formelle des représentations.Nous allons donc imaginer la genèse artificielle des connaissances algébriquesscolaires sur le modèle générique d’un type d’objets qui a fait irruption dans laculture commune avec les usages de l’informatique, les jeux de console. Ceux-cirépondent en effet à certaines des conditions données par les théorisations de l’actionen situation didactique, et ils fournissent donc une métaphore efficace pour les élèvescomme pour les professeurs :Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ39