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Les nombres F-adiques sont obtenus en considérant une série infinie de 0 et de 1sans jamais avoir deux 1 consécutifs. Cela revient à considérer des séries Σ ε i F i oùε i =0 ou 1 avec (ε i ,ε i+1 ) ≠ (1,1). L’ensemble obtenu possède une structure de groupetopologique abélien totalement ordonné (Rittaud & Vivier, 2011a). Deux sériesjouent un rôle fondamental : 010101… = 01 et 101010… = 10 (le cadre sert àmarquer une période) puisque si l’on ajoute 1 (ou 1000…) alors, par un jeu dedominos reproduisant successivement la réduction 110001, on trouve 000….Nous nous sommes tout d’abord attachés à prouver la conjecture suivante relativeaux nombres rationnels : les éléments périodiques (sous-entendu périodiques à partird’un certain rang) s’identifient avec les fractions d’entiers (c’est-à-dire une solutiond’une équation D × x = N où D et N sont deux entiers naturels, D est non nul).La détermination chiffrée de fractions simples a permis d’affiner la conjecture.Avec un travail à la main, il n’est pas trop difficile de déterminer certaines fractionset de constater qu’elles sont périodiques. Par exemple, les solutions de 2 × x = 1 sont0010100100 et 010100100 et les solutions de 3 × x = 1sont 100010100000, 01000010100000 et 001000010100000. Ainsi, avec quelquesautres exemples, nous avons conjecturé qu’une équation D × x = N possèdeexactement D solutions F-adiques. Pour tester cette conjecture, nous nous sommesattachés à déterminer les solutions de 5 × x = 1 en nous répartissant la tâche : lemathématicien cherchait une solution commençant par 10 et le didacticien unesolution commençant par 010. Une minute plus tard, une solution était trouvée,, alors que l’autre résistait aux tentatives de recherche à la main par ledidacticien. Cette répartition aléatoire du travail a peut-être joué un rôle important(cf. section 2.1 ci-dessous).2. Les deux moments clésDans cette section, nous exposons les deux moments clés de la recherche : lepremier, lié à la didactique, a initié le travail notamment par l’utilisation del’informatique et le second, essentiellement mathématique, a permis de débloquerune situation qui semblait dans l’impasse.2.1. Abaque et go !Pour la recherche d’une solution de 5 × x = 1 commençant par 010, ledidacticien a développé plusieurs dispositifs dont l’idée provenait directement desconnaissances didactiques sur l’enseignement des nombres à l’école primaire commel’utilisation de feuilles à carreaux (pour placer un chiffre par case) ou des essais decompteurs découpés dans du papier à carreaux (pour gérer les réductions). Bref, ledidacticien s’attachait à trouver un bon artefact pour traiter le problème. Bienentendu, et dès le début de la recherche, le mathématicien avait mentionné lapossibilité d’une programmation informatique qui permettrait de faire des recherchesActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ87