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moteur principal l’objectif de traiter ce type de questions d’une manière générale etefficace, sans recours aux "astuces" miraculeuses (cf. section 3.4).Toujours est-il que cette preuve nous donne un moyen direct de construire cepoint de Steiner puisqu’il doit se trouver à l’intersection des droites (AB'), (BC') et(CA') :Figure 4 - Construction du point de Steiner.2.3. Le point de Steiner - une deuxième preuveVoici une deuxième preuve que ce point M est tel que eBMC ,BMA t AMCsont égaux. Nous admettons toujours que ce point M existe. Supposons qu’il soitdifférent des sommets du triangle. L’ensemble des points P tel que PA+PB=MA+MBest une ellipse de foyer A et B. Sur cette ellipse, le point M est celui qui minimise ladistance entre C et M. Ainsi, c’est le pied du point C sur l’ellipse. Mais alors latangente à l’ellipse se doit d’être perpendiculaire à la droite (MC). Il ne reste plusqu’à invoquer une propriété de l’ellipse pour conclure : les angles faits par latangente en M avec les deux droites reliant M aux deux foyers A et B, i.e. les droites(MA) et (MB) sont égaux. Ainsi, il est clair que les angles BMC et AMC sont égaux.Comme on peut répéter l’argument à partir des sommets B et C, on obtient le résultatvoulu.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ29