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certains des éléments de ce PER qui concernent les nombres relatifs en 5 e et l’entréedans l’algèbre en 5 e et 4 e .Produire des éléments du savoir mathématique en tant que construction collectivede réponses à une question, de manière à ce qu’elles soient identifiées et reconnuescomme savoir mathématique, peut être vu par les élèves comme une création demathématiques dont ils sont en grande partie les auteurs. Le professeur doit alorsdisposer a priori des conditions nécessaires à l’émergence des réponses, pourprovoquer les tâtonnements et les débats que cette recherche suscite. Atteindre un telobjectif suppose la force d’un collectif disposant des outils venus de la théoriedidactique, nécessaires à une telle élaboration et réalisation.4.2. Les relatifs, une raison d’être interne aux mathématiquesAfin d’éviter le recours aux métaphores (températures, altitudes) qui, tôt ou tard,se constituent en obstacle, la nécessité des nombres relatifs est motivée par desraisons internes à la pratique mathématique. Les élèves éprouvent en acte lasimplification d’un calcul mental que fournit le calcul des deux derniers termes, alorsqu’on leur a antérieurement enseigné qu’il s’effectue toujours de gauche à droite. Parexemple, calculer mentalement 435 + 61 – 62. On convient qu’ajouter 61 puissoustraire 62 équivaut à soustraire 1 et peut être noté -1. Les élèves peuvent alorsrapidement mener à bien des calculs comme : + 4 – 5 ; + 768,3 – 769,5 ; etc., enrecourant au sens donné à ces notations : « ajouter 768,3 puis soustraire 769,5revient à soustraire 1,2 qu’on note –1,2 ». Lorsqu’on a suffisamment éprouvé ce typede pratique, une nouvelle question émerge : « ces nouvelles notations ressemblent etsont manipulées comme des nombres, se pourrait-il qu’elles en soient ? » Les élèvesrépondent qu’il faudrait pour cela savoir si on peut faire des opérations sur cesnotations, les comparer. On se lance alors dans la recherche et la construction detelles opérations. Le lecteur intéressé trouvera la description détaillée de ce PER surla partie du site Educmath consacrée à AMPERES.4.3 Un objet didactique unificateur de l’algèbre du CollègeL’étude des relatifs a conduit à rencontrer un nouvel objet didactique : leprogramme de calcul. Les relatifs ont émergé de la simplification de programmes dutype « à un nombre on ajoute un second puis on retranche un troisième ». Lesprogrammes de calcul facilitent aussi la résolution de certains problèmes. C’est cequ’éprouvent les élèves à travers la recherche du terme de rang n de suitesarithmétiques et géométriques présentées sous forme de figures à motifs répétés. Parexemple, comment calculer le nombre total d’allumettes pour la construction de la23 e répétition du motif de maisonnettes accolées les unes aux autres.Si les élèves recourent à des tentatives de modélisation proportionnelle, ils lesabandonnent rapidement pour trouver une relation donnée sous la forme d’unephrase désignant un programme de calcul. Par exemple « trois fois le nombre demaisons plus le nombre de maisons plus un ». La comparaison des diverses réponsesActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ247