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1.3. Les interactions a priori entre l’élève et le milieuSi les connaissances mathématiques ne sont pas innées, l’élève possède tout aumoins une capacité à analyser, raisonner et communiquer des idées qui se rapportentfondamentalement à la culture mathématique (PISA, 2006), que ce soit au regard dela quantité, l’incertitude, les variations et les relations, ou l’espace et les formes.Mais l’élève a été engagé très tôt dans sa scolarité à poser, formuler ou résoudre desproblèmes au sein de modèles mathématiques pour lesquels il a dû en interpréter lessolutions. Qu’il s’agisse d’une réponse à une intention d’enseignement ou d’unquestionnement personnel, c’est donc en interaction avec un milieu porteur deconnaissances mathématiques que l’élève a pu animer les siennes.Dans ce qui suit, nous utilisons la notion de milieu en tant que conceptunificateur de l’ensemble des supports qui véhiculent des connaissancesmathématiques lorsque ceux-ci sont en interaction avec un élève, qu’il s’agisse desystèmes de signes, d’outils, de mises en scène ou de tout autre matériel à usagedidactique, depuis les documents papiers jusqu’aux médias électroniques, en autantque ce soit en réaction aux propositions de l’élève dans une perspectived’apprentissage (Richard, 2011). Dans cette perspective, le milieu se considère horsdes situations proprement didactiques (Brousseau, 1998) et c’est l’élève qui souhaitefaire évoluer la connaissance de son propre chef.Figure 1. Deux éclairages du système élève-milieu.Puisque les connaissances mathématiques opératoires émergent de l’interactionentre l’élève et le milieu, la littérature didactique offre un double éclairage sur cesinteractions (figure 1). En regardant l’élève au premier plan, la notion de conceptionpermet de rendre compte d’une instance de la connaissance de l’élève, qui sedistingue par la représentation et les traitements qu’elle met en œuvre et les contrôlesqu’elle mobilise, et dont la portée est locale, attestée sur un domaine de validité etd’efficacité particulier (Balacheff et Margolinas, 2005). Par ailleurs, lorsque c’est lemilieu qu’on regarde au premier plan, la notion d’espace de travail mathématiquepermet de rendre compte de l’environnement qui amorce la genèse desconnaissances mathématiques à partir d’une articulation entre un référentielthéorique, des objets géométriques et un milieu matériel (Kuzniak, 2009). Alors quela notion d’espace de travail se structure d’abord selon trois composantes (ensemble96 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ