obtenir le fichier - Educmath

1.2.3. Comment convaincre les élèves qu’il n’y a qu’un seul triangle ?Mieux qu’une vérification approximative au calque, une preuve mathématiqueconsiste à faire construire aux élèves les symétries qui font correspondre deuxtriangles superposables, à l’aide d’un logiciel de géométrie. On sait que troissymétries suffisent. Les élèves de ce niveau disposent de toutes les propriétésnécessaires pour justifier ensuite l’isométrie des triangles ainsi obtenus.1.3. La poursuite par le travail sur l’inégalité triangulaireLa question devient : « étant donnés trois nombres, peut-on toujours tracer aumoins un triangle ayant ces trois nombres comme longueur de côtés ? »De nombreux élèves ne prévoient pas l’alignement des points dans le cas del’égalité. Ils ne sont pas convaincus de la non-existence d’un « vrai » triangle mêmes’ils voient les trois points alignés. Pour eux cela n’empêche pas l’existence d’un ouplusieurs « vrais » triangles non plats (Berté, 1995). Dans ce cas encore, la preuvemathématique s’impose. Le professeur note le point C sur le segment (AB), et lespoints C’ et C’’ symétriques hors de la droite dans la zone où les cercles semblentencore se toucher. Il y a deux cas de figure selon que AB est la plus grande des troismesures (cercles tangents extérieurement) ou bien que c’est l’une des deux autres(cercles intérieurs). Il guide les élèves pour rédiger une preuve avec le théorème : siun triangle est isocèle, ses angles à la base sont égaux.Laig.3fig.4fdémonstration peut aussi reposer sur l’unicité d’un cercle passant par trois points ousur la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment.1.4. ConclusionPour rendre les élèves capables de formuler consciemment des questionsmathématiques, il est nécessaire que le professeur prépare leur travail par unesérieuse analyse mathématique et didactique a priori. En géométrie les situationsproposées doivent conduire les élèves à se placer dans une problématique demodélisation. Par ailleurs, les questions posées doivent être suffisamment riches pourque les élèves trouvent de l’intérêt à leur étude. Elles sont donc à rechercher parmicelles qui engendrent les mathématiques de niveaux d’organisation élevés, de l’ordreActes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ241