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2.6. Et le carré ?La réponse naturelle est : « les deux diagonales ». Cette réponse revient à tousles coups. Nous attendons naturellement autant de symétrie dans la solution que dansle problème de départ. Malheureusement, rien ne permet d’affirmer ce genre depropriétés. Seul l’ensemble des solutions aura nécessairement toutes les symétriesdes données initiales. Cette réponse donne lieu à une petite démonstrationmathématique, toute simple, pour montrer qu’elle ne peut pas être la bonne. Tout estdans la figure suivante :Figure 5 - Le cas du carréSi les deux diagonales (rouges) constituaient le réseau le plus court pour joindreles 4 sommets du carré, alors elles seraient bien entendu également le réseau le pluscourt pour joindre les 4 sommets su carré plus le centre de celui-ci. Mais, pourjoindre le centre avec deux sommets consécutifs du carré, c’est le réseau bleu qui estle plus court, ce que nous avons vu en traitant le cas du triangle. Ainsi, le réseau bleuest plus court que le réseau rouge. « Les deux diagonales » ne peut donc pas être labonne réponse. Rien ne prouve que le réseau bleu soit minimal. En fait, c’est le casmais nous ne l’avons pas démontré. Il n’a pas toutes les symétries du carré mais, parrotation de 90 degrés de centre le centre du carré, on obtient une autre solution auproblème de Steiner. L’ensemble des solutions possède toutes les symétries du carré.Sur cet exemple, nous voyons bien avec les élèves comment la réponse dans lecas le plus simple (celui des triangles) permet de démontrer des choses sur les cas lesplus compliqués.32 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ