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film vertical dont la trace sur le plan est le segment de droite reliant les deux pointsde départ, ce qui est visiblement la surface d’aire minimale sous la contrainte d’êtreaccroché à ces deux plots. Mais prenons ce fait comme un point de départ. Nousvoilà maintenant sur le terrain des mathématiques ; le savon répond à la questionsuivante : quelle est la surface d’aire la plus petite possible sous la contrainte d’êtreaccroché à un contour donné ? En fait, le savon ne répond pas exactement à cettequestion. Il ne "trouvera" qu’une surface qui minimise localement (i.e. parmi lessurfaces vérifiant les contraintes proches de celle considérée) l’aire. On peut illustrercela par un ballon lâché dans des montagnes russes. Celui-ci ira se placer en un pointd’altitude minimale, mais seulement localement minimale. Nul ne dit qu’il n’y a pasdans le paysage un point d’altitude plus faible mais que le ballon ne pourra pasatteindre.Mais la question reste entière : ces surfaces d’aire minimale présentent unecertaine régularité, les mêmes motifs semblant revenir quel que soit le contourplongé dans la cuve. Pourquoi ?2. Le problème des autoroutes et les points de SteinerLe premier acte mathématique, une fois ce problème bien posé, est de simplifierle problème. Nous inciterons les élèves à commencer par le problème 2-dimensionnel, plutôt que d’essayer de comprendre immédiatement le problème dansl’espace. Les plaques sont construites pour réduire le problème d’une dimension enimposant au savon une invariance selon l’axe vertical.Le problème devient alors : étant donnés quelques points dans le plan, quel est leplus court chemin pour les relier entre eux (cf. figure 1) ? Ce problème est connusous le nom de problème des autoroutes 7 . Étant donnés quelques villages, commentconstruire un réseau routier permettant de joindre deux quelconques de ces villagesen utilisant le moins de bitume possible, le paysage étant supposé plat ?6 Nous renvoyons encore une fois à [Laurain 2011] pour une brève explication ou alors à[Isenberg 1978].7 Ou plus scientifiquement sous le nom de problème de Steiner, du nom d’un mathématiciensuisse (1796-1863), excellent géomètre du XIXe siècle.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ25