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IntroductionL’objet de ce texte est de rendre compte d’un travail collaboratif entre deuxchercheurs : Benoît Rittaud est un mathématicien qui s’intéresse à la suite deFibonacci et aux codages symboliques des nombres et Laurent Vivier est undidacticien qui s’intéresse à la didactique du nombre et plus spécifiquement auxaspects praxéologique et sémiotique du cadre numérique. Précisons que ladistinction mathématicien / didacticien que nous utilisons est un peu caricaturale : B.Rittaud s’intéresse à l’enseignement des mathématiques (premier et second degrés)et a publié de nombreux ouvrages de vulgarisation des mathématiques et L. Vivier aune formation doctorale de mathématicien. En outre, la recherche dont il est iciquestion ne constitue pas la première collaboration « Rittaud & Vivier ».Dans le chapitre 8 d’un livre de vulgarisation de Rittaud (2006) on trouve uneextension infinie du codage des nombres entiers qui permet une représentation desnombres p-adiques. Le didacticien, très intéressé par la lecture de cette partie, se voitproposer par le mathématicien une recherche commune en mathématiques (cf.section 1). Nous exposons en sections 2 et 3 les points importants de cette rechercheen pointant les apports du mathématicien et du didacticien ainsi que, en section 4,les recherches en didactiques que les résultats mathématiques ont permises.1. Le cadre de la recherche mathématiqueLe système d'écriture des entiers que nous utilisons s’appuie sur la suite despuissances de dix. Ce système se généralise en remplaçant dix par un entier B>1 : onchoisit alors la suite des puissances (B n ). D’autres suites sont utilisables pour coderles entiers et nous nous intéressons ici au système de numération de Zeckendorf(1972) défini par la suite de Fibonacci (cf. annexe). Dans ce système, tout entierpositif s’écrit de manière unique comme une suite finie de 0 et de 1 ne montrantjamais deux 1 consécutifs. Ainsi, par exemple, les nombres entiers de un à onze sont12: 1, 01, 001, 101, 0001, 1001, 0101, 00001, 10001, 01001 et 00101. Le nombrecent s’écrit 3 + 8 + 89 = F 2 + F 4 + F 9 soit 0010100001.Dans ce texte, nous nous focalisons sur la somme. En base de Fibonacci, uneaddition de deux entiers peut faire apparaître soit 11 soit 2 qu’il faut alors réduirepour avoir une forme admissible. On utilise pour cela les deux réductions suivantes(on souligne les chiffres pour marquer les rangs identiques avant et après réduction) :11 001 provenant de la définition de la suite de Fibonacci et 2 1001 car pourn ≥ 2 on a 2 × F n = F n-2 + F n+1 (on traite les cas n=0 et n=1 à part). Par exemple : 7 +4 = 0101 + 101 = 1111 = 00101 et 5 + 6 = 0001 + 1001 = 1002 = 11001 = 00101.12 Les nombres sont écrits ici de gauche à droite pour avoir une bonne congruence entre lesécritures chiffrées et la décomposition additive comme 100101 = F 0 + F 3 + F 5.86 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ