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Figure 3 - Egalité des angles (preuve).Comment cette figure est-elle construite ? On part d’un point P qui n’est pas l’undes sommets du triangle ABC. En opérant une rotation de 60 degrés de centre A, onenvoie C sur C' et P sur P'. Les triangles AP'C' et APC étant isométriques, nousavons AP=AP' et PC=P'C'. Mais le triangle APP' étant équilatéral, nous avonségalement AP=PP'. AinsiAP+BP+CP=BP+PP'+P'C'≥BC'avec égalité si et seulement si les points B, P, P' et C' sont alignés. Il faut noterque ce point C' ne dépend pas du choix de P puisque c’est simplement l’image de Cpar la rotation de 60 degrés de centre A. Le point P sera donc celui qui minimiseAP+BP+CP si les points B, P, P' et C' sont alignés : il n’est pas difficile de seconvaincre qu’alors, les trois angles BPC , BPA et APC sont égaux à 120 degrés.Cette preuve, comme beaucoup de preuves géométriques "à la grecque", estsimplissime, une fois donnée. Le problème est de savoir d’où elle sort. On peutimaginer que l’objectif est de substituer le problème de sommes de longueurs à unproblème de points alignés puisque nous savons que la ligne droite est le plus courtchemin. Certes, mais cela ne fait que redonner une certaine naturalité à la preuve aposteriori. Car rien ne nous dit a priori comment passer par construction duproblème initial à ce problème d’alignement 11 . Heureusement, le 17ème siècle estpassé par là, le développement de l’analyse ayant justement eu à cette époque pour11 Tant qu’on ne connaît pas le résultat. Une fois qu’on le connaît, les angles de 120 degrés etla recherche d’alignement (180 degrés) peuvent faire penser à une rotation de 60 degrés).28 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ