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Le professeur de la classe s’étantapproprié efficacement le dispositif, la séanceobservée laisse la place à 10 minutes derecherche individuelle puis aux actions libresdes élèves lors d’un travail par groupe dequatre d’environ 50 minutes. Les élèvesdisposent, pendant ce temps, d’ordinateurssur les bords de la salle et ont en particulier àdisposition un logiciel de géométriedynamique familier. A l’issue, chaque groupeproduit un transparent qui est présenté àl’ensemble de la classe par un rapporteur.Les observations confirment qu’il y a une infinité de manières d’objectiver undomaine de la réalité empirique (qui peut être soumis à l’expérimentation) et qu’iln’y a pas une seule manière de résoudre un problème 8 ! Lors de l’expérimentation,nous avons pu identifier une activité mathématique correspondant à celle attendue etplus précisément ici, des élèves qui essayent, conjecturent, réalisent desmanipulations de concepts (barycentres, symétries, optimisation numérique,analytique, ...) ce qui participent de leur naturalisation. Si nous examinons les écritsfigurant en annexe 1, on peut observer :– une première recherche qui propose une conjecture s’appuyant sur lesprojections orthogonales. Cette conjecture est éprouvée et rapidementrejetée. A l’issue de cette première phase la recherche se trouve réduite ;– une nouvelle approche utilisant un cercle de diamètre fixé. Laconjecture sous-jacente est là partiellement rejetée, en particulier parl’usage du logiciel de géométrie dynamique. L’absence de raisonnementassocié à cette approche est relevée.D’autres propositions sont faites, utilisant par exemple les notions de tangente àun cercle, de tangentes communes à deux cercles, de barycentre 9 , et également uneapproche analytique (cf. annexe 2). Le débat sur les procédures, engagé à l’issue dechaque présentation, participe de la naturalisation des différents objets introduits etla séance d’institutionnalisation pourra se conclure sur des preuves 10 possibles,s’appuyant sur des objets désormais plus familiers.3.2. Pavages semi-réguliers du plan : des élèves qui explorent des possibles etstructurent un nouvel objet mathématiqueLa situation proposée maintenant s’appuie sur la détermination de tous lespavages semi-réguliers du plan, c’est-à-dire des pavages stricts du plan à l’aide depolygones réguliers convexes, et présentant certaines régularités autour d’un nœud 11 .La planche ci-dessous montre en L, M, N, P, R, S, V des pavages semi-réguliersidentifiés par Kepler. Les écrits de l’Harmonices Mundi (Kepler, 1619/1980),particulièrement détaillés, mais aussi ceux de ses successeurs Badoureau, Lévy, ontpermis une étude épistémologique approfondie. Il a alors été possible :8 Ce dont il faut se convaincre avant d’observer l’activité des élèves pour rester ouvert àdémarche même surprenante a priori.9 Il est à noter que plusieurs de ces propositions portent en elles des approches pertinentespour la résolution du problème.10 Sans perdre de vue que la création d’un processus est aussi importante que l’établissementd’une preuve.11 Cf. Front, M. (2010), déjà cité.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ145