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systèmes de notations dont ils ont besoin : mieux, ces systèmes sont ceux que l’oncherche à leur enseigner.Le professeur en organise l’exploration, il nomme les objets ainsi produits etengage les élèves à développer des jeux de langage stables à leur propos pouraccompagner le processus dans lequel les élèves s’engagent. Pour cela, il doit être aufait des moments nécessaires de toute situation didactique. Ces moments sont aumoins trois, comme nous avons pu le voir sur l’exemple étudié :1) la formation d’une expérience du problème,2) la formalisation d’une représentation du problème,3) l’étude et l’épreuve des propriétés de cette représentation.En mathématiques, nos observations et nos travaux vont de la maternelle à laTerminale en passant par tous les niveaux intermédiaires (projets École Kleber,École Saint Charles, AMPERES). J’ai rapidement montré deux des moments dutravail algébrique, en Troisième autour des systèmes d’équations à deux inconnues,correspondant environ à trois heures de travail en classe. Nous avons bien d’autresexemples, par exemple au début du Collège autour des premières écrituresalgébriques (Krysinska, Schneider et Mercier 2009), ou en Cinquième avec lesprogrammes de calcul comme appui à l’introduction des relatifs. Nos travauxd’ingénierie consistent donc à développer les suites de situations 1) qu’un professeurpuisse définir pour les élèves, 2) où un professeur puisse les accompagner parce qu’ilen connaîtra les moments clés, les points d’appui et les enjeux épistémologiques :trois dimensions à décrire pour rendre nos productions robustes et fiables.Les connaissances qu’un professeur doit mobiliser pour faire son travail sontmultiples, elles relèvent de ce qu’appellerai, pour dire en une seule formule ce quej’ai tenté de montrer sur un exemple, une analyse épistémique des domainesd’expérience culturelle et des situations didactiques que ces domaines fondent. Destravaux en ce sens se développent, dans le monde (Shulman, 1986). Les auteurs quiréfèrent à Shulman appellent « Pedagogical Content Knowledge » les savoirspratiques du professeur qui résultent de ces analyses, et Shulman affirmait, lorsd’une conférence devant l’assemblée des professeurs de mathématiques des USA,que contrairement au dicton selon lequel « ceux qui savent faire font, ceux qui nesavent pas faire enseignent », il fallait bien comprendre que « ceux qui enseignentsont ceux qui ont une compréhension profonde de ce qu’il y a à faire. » J’affirmepour ma part, en complément de ce que dit Shulman, que pas plus que dans le casdes pilotes d’avion que dans celui des ingénieurs des travaux publics, « la formationde cette compréhension nécessaire ne peut être laissée aux hasards dudéveloppement de l’expérience professionnelle des professeurs. » Il y faut le travailcollectif d’étude de ce domaine de réalité qu’est ce que nous appelons le didactique.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ51