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Suite à une expérimentation en formation continue, l’étude d’un échange permetd’identifier un retour aux actions sur les objets, lors de l’analyse problématiqued’une relation obtenue dans l’étude des pavages réguliers. Mis en difficulté par larelation 180 ×n − 2n= 360p, des collègues du second degré s’interpellent :« Non mais c’est des trucs que tu vois en terminale »... (en référence à des équationsdiophantiennes). Mais si on en met plus de 6 on va peut-être trouver un angle trop aigu. Sisi on va s’en sortir parce que là on essaie d’en mettre le plus possible à un moment donné€on arrive à des angles aigus plus petits que l’angle du triangle ça marche plus ben toutsimplement, on peut pas faire moins que 60 ... et oui oui ... n il est forcément plus grandou égal à 60 euh… Non pas n, p »Et c’est ainsi, par la manipulation d’images mentales des polygones réguliers,que ces collègues trouvent une piste qui leur permettra ultérieurement, ladétermination de tous les candidats pavages. Ces extraits illustrent ainsi que lasituation proposée permet, en appui sur des connaissances déjà naturalisées ounaturalisées pendant la séance, de produire :– des éléments de l’ensemble des pavages archimédiens,– des conditions nécessaires (pour l’existence d’un pavage strict, pourl’assemblage autour d’un nœud),– des caractérisations (aspect global, travail sur le type d’un nœud, ...),– des preuves, dans certains cas particuliers,– des processus de constructions.ConclusionDans l’étude des productions mathématiques des élèves, élaborées lors desituation de recherche en classe, il apparait indispensable de prendre enconsidération les objets disponibles dans le milieu de la recherche, les actionsengagées sur ces objets, les relations que les individus entretiennent avec les objets.Les illustrations présentées ici permettent de montrer des élèves qui, dans le cadredes situations proposées, se familiarisent avec des concepts, structurent des objetsmathématiques, produisent des processus qui conduisent à des élaborationsthéoriques. Les pistes proposées par le travail du groupe DREAM autour de cessituations permettent ainsi d’envisager des apprentissages conceptuels dans ce cadre,les modalités du dispositif garantissant par ailleurs que chaque élève peut s’engagerdans les élaborations mathématiques.Cette réflexion sur les investigations mathématiques possibles autour d’unesituation construite dans ce paradigme se doit d’être poursuivie à l’heure où lademande institutionnelle oriente l’activité attendue des élèves dans cette direction.BibliographieAldon, G., Cahuet, P.-Y., Durand-Guerrier, V., Front, M., Krieger, D., Mizony, M. & Tardy,C. (2010). Expérimenter des problèmes de recherche innovants en mathématiques à l’école.Cédérom INRP.Arsac, G. & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert, IREM de Lyon, SCEREN-CRDP Académie de Lyon.Bloch, I. (2002). Différents niveaux de modèles de milieu dans la théorie des situations. Actesde la 11ème école d’été de Didactique des Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ147