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IntroductionLa notion de modèle en mathématique est probablement aussi ancienne que lascience géométrique. Alors que l’on cherchait à représenter toutes sortes desituations, d’objets et de structures du monde réel, les Anciens purent simuler laréalité du monde de l’espace et des formes et ainsi anticiper sur ses propriétés. Maisqui dit modélisation dit aussi simplification, ce qui donne au modèle descaractéristiques qui lui sont propres, en toute indépendance de réalité originelle.C’est-à-dire que la géométrie, dans son interprétation et ses traitements, se comportecomme une nouvelle réalité, à la fois abstraite dans sa logique et concrète dans sesmodes de représentation. Et depuis l’avènement des logiciels de géométriedynamique, le modèle géométrique semble se réinventer, offrant même un espace desimulation au sein du modèle qui devient une autre réalité.Dans notre texte nous commençons avec des acceptions classiques des processusde représentation de modélisation (section 1.1) afin de les appliquer à la constitutiond’un logiciel de géométrie dynamique tridimensionnel, le GeoGebra3D, pour lequelle développement informatique cherche à rapprocher les modèles géométriques à laréalité de l’institution scolaire (section 1.2). Nous introduisons ensuite trois notionsclefs, issues de la didactique des mathématiques (section 1.3), de façon à soutenirl’exploration de deux situations d’interaction entre les mathématiques et sadidactique (section 2). Nous terminons sur quelques considérations générales pourl’enseignement des mathématiques (section 3).1 Quelques références théoriques1.1. Représentation et modélisation : deux processus charnières aux cœur del’apprentissage de la géométrieDans un même contexte géométrique, les notions de représentation et demodélisation peuvent prendre des sens forts différents. Du point de vue de la théoriedes signes (perspective sémiotique), le dessin est un modèle de la figure (au sens dereprésentation sémiotique), cette dernière étant un objet mathématique issu dumodèle euclidien (au sens de théorie représentante). Ce double jeu autorise lamultiplicité des processus de représentation et de signification du registre figural(Richard, 2004a). C’est-à-dire que si un même objet géométrique peut êtrereprésenté par des unités figurales différentes, un même support peut être utilisé pourdifférents modèles. Ainsi, on peut «voir» qu’un dessin est effectivement un carré àcause de son apparence visuelle (approche synthétique) ou parce que l’on peut enétablir la nature par le raisonnement (approche analytique). À l’inverse, qu’il soitdessiné sur papier ou visible par l’activation de pixels à l’écran d’un ordinateur, cemême carré peut en représenter un en géométrie euclidienne ou bien représenter uncercle en géométrie du chauffeur de taxi (Krause, 1986) – sur les nœuds d’un94 Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ